Previsão de cargas por séries temporais - tópicos

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1 Previsão de cargas por séries temporais - tópicos Vladimiro Miranda Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Portugal Versão. - Out Este texto foi preparado para apoio à introdução do tema aos alunos das disciplinas de DE da LEEC da FEUP.. INTRODUÇÃO Na actividade de uma empresa concessionária do sector eléctrico, a previsão de consumos ou cargas é uma peça essencial na condução do negócio, seja este visto na perspectiva tradicional da empresa monopolista seja na perspectiva actual da competição em ambiente de mercado regulado. O processo de previsão pode exercer-se sobre objectos diversos e sob formas variadas, e também tendo em conta horizontes temporais e espaciais muito distintos. Para certos objectivos de planeamento, pode ser necessária uma previsão da evolução dos consumos a longo ou muito longo prazo, anos por exemplo; na condução ou exploração de uma rede, para efectura um despacho económico de geração, por exemplo, pode ser indispensável uma previsão em tempo real abrangendo de alguns minutos até poucas horas. Por outro lado, em exercícios de planeamento dos sistemas de geração-transporte, importa ter em conta a evolução da carga agregada a nível nacional ou regional, enquato que para planeamento das redes de distribuição de energia eléctroca se torna indispensável dispor de instrumentos de previsão espacial de carga (ou seja, não só como evolui no tempo mas também como se distribui geograficamente a procura). Quando as necessidades de previsão apenas se referem á evolução temporal da carga, mesmo assim o exercício de previsão pode revestir-se de aspectos de muita complexidade. Há um certo número de factores que influenciam notavelmente a evolução da carga e que podem ser sumariados em: Factores económicos Factores cronológicos Factores meteorológicos Acontecimentos fortuitos, sociais ou outros A envolvente económica na qual opera a empresa concessionária é determinante na explicação da evolução do consumo. Factores demográficos, económicos ou sociais, o nível de actividade industrial ou agrícola, o crescimento demográfico e outros indicadores, todos influenciam o consumo no curto e no médio e longo prazo. De entre os factores cronológicos, há que considerar os sazonais (inverno, verão ), o dia da semana, a hora do dia, a existência de feriados. Por exemplo, se o período de inverno pode levar a um aumento de consumo de energia para aquecimento, o nível de desenvolvimento económico e a localização geográfica podem levar a que no período de verão se acentue a procura de energia para climatização ambiente. As condições meteorológicas também podem influenciar decisivamente a carga. De entre todos os factores, a temperatura atmosférica é reconhecidamente o de maior impacto, em especial nas regiões temperadas (como em Portugal) e frias do globo, para fins de aquecimento, pois é nessas zonas que podem ocorrer maiores amplitudes térmicas. Por contraste, nas zonas equatoriais, se bem que haja necessidade de energia para climatização, não há substanciais variações de temperatura ao ongo do ano (como por exemplo em Singapura) e portanto a temperatura é um factor de menor relevo. Para além disto, acontecimentos fortuitos podem ainda influenciar notavelmente a evolução da carga: um jogo de futebol importante, um programa de televisão especial, um festival público Usualmente, a ocorrência destes acontecimentos pode ser conhecida a priori mas o seu efeito sobre a carga é incerto. Quando apenas importa a evolução temporal da carga de um sistema, uma das técnicas modernamente mais adoptadas é a que recebe o nome de Box e Jenkins aplicada a séries temporais []. As razões deste sucesso /

2 prendem-se com a relativamente fácil compreensão e implementação da técnica e com a precisão nos resultados que muitas vezes se obteve. Nos parágrafos seguintes será apresentada uma descrição sucinta dos fundamentos desta técnica de estudo das séries temporais, sendo certo que desde a sua concepção já sofreu densas evoluções cuja descrição ultrapassa o âmbito destas notas.. EXEMPLOS DE SÉRIES TEMPORAIS Eis alguns exemplos de séries temporais, que poderemos utilizar para efectura exercícios de aplicação experimental das técnicas que a seguir serão explicadas... Concentração de CO na atmosfera A primeira série que servirá de exemplo respeita a concentrações médias de CO na atmosfera, registadas no observatório de Mauna Loa, Hawaii, de 974 a 987. Estas concentrações foram monitoradas pelo analisador contínuo de infra-vermelhos da Divisão de Monitoramento Geofísico para a Mudança Climática do Laboratório de Recursos Atmosféricos do NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration, USA) [] Figura Concentração mensal de CO como o rácio de mistura em ar seco, expressa na escala de fracções molares WMO X85, registada no Scripps Institution of Oceanography A Figura ilustra a evolução da série. É claro que esta série nos desperta a atenção para o problema ambiental global do efeito de estufa e permite um conjunto de reflexões importante, se bem que fora do âmbito do presente texto. Observando-a, constatamos um comportamento sazonal e uma tendência de fundo continuamente crescente... Oscilações de pressão atmosférica A diferença de pressão atmosférica barimétrica entre Tahiti e as Ilhas Darwin (oceano Pacífico), ao nível do mar, é conhecida como Southern Oscillation (traduzamo -lo por oscilação meridional ). A oscilação meridional é usada como preditor do fenómeno conhecido como El Niño, reconhecido como condicionador global do clima do planeta. Mais concretamente, oscilações meridionais com valores inferiores a tipicamente anunciam um El Niño (que decorre da assunção, à superfície do oceano, de correntes quentes habitualmente circulando em profundidade, provocando um aquecimento anormal das águas nas costas do Peru e Equador). Será interessante poder prever a ocorrência de um El Niño, pelas implicações planetárias que o fenómeno tem. O de 998 foi muito importante, e em observou-se o reaparecimento do fenómeno, embora com menor intensidade. /

3 Figura Oscilação meridional: média mensal da diferença de pressão barimétrica entre Tahiti e as Ilhas Darwin, no Oceano Pacífico.3. Consumos de gás em Lisboa O consumo total de gás na cidade de Lisboa, observado pela empresa Gás de Portugal, S.A., que ao tempo era concessionária da distribuição de gás de cidade, exprime-se em m 3 por dia, à pressão de medida normalizada, valor obtido por soma dos consumos horários registados à saída da fábrica de gás. Para além dos fins de semana, há que ter em conta também a ocorrência de feriados, que influenciam o padrão de consumo, perturbando a regularidade do comportamento semanal Figura 3 Consumos diários de gás de cidade em Lisboa, entre de Setembro e de Dezembro de 99, registados em m 3. As abcissas correspondem à numeração sequencial dos dias do ano, de a 365, estando assinalados os Domingos. 3/

4 3. MODELOS DE SÉRIE TEMPORAL 3.. Conceitos básicos Para se compreender o conceito de série temporal, vamos exemplificar com o problema de prever a ponta de carga diária de um sistema de energia. Como dados iniciais, admita-se que conhecemos o valor da ponta do diagrama de um conjunto de dias, desde o dia antecedendo o dia t (presente) até n dias antes: {X t-, X t-, X t-3 } Com estes dados, pretende-se conhecer (prever) a ponta de carga no dia seguinte ou nos dias seguintes, ou seja, conhecer X t+d para d =,,, 3. Como é óbvio, obter-se-á quando muito uma estimativa ẑ t + d. À expressão que exprime a estimativa ẑ t como função de {X t-, X t-, X t-3 } designa-se série temporal. O objectivo da técnica é procurar uma definição desta função que minimize o desvio quadrático entre a previsão e o valor que realmente acontece, ou seja, que minimize ( Xˆ t + d X t+ d ). A ideia básica das séries temporais é que o valor seguinte de uma série se pode explicar a partir dos valores anteriores, mais a influência de perturbações aleatórias ocorrendo em cada momento, formando uma série de ruído branco. Consoante estas influências se combinam, obtêm-se diveros formatos de modelos. 3.. A média e a variância A média X de uma série de N observações é dada simplesmente por A variância numa série de N observações é dada, como habitualmente, por N X = X k. N k= V (X) N = (X k X) N k= 3.3. Alisamento de uma série média móvel Pode interessar atenuar ou cancelar certos efeitos resultantes de perturbações aleatórias. Para tal, pode-se recorrer a técicas de alisamento ( smoothing ) da série, sendo um dos métodos básicos o chamado da média móvel. O processo mais simples é construir uma nova série, construindo-a a partir da média de três elementos consecutivos da série original. Começa-se pelos primeiros três e o processo repete-se, avançando sucessivamente um período de tempo. A nova série resulta com os picos atenuados devido ao efeito do cálculo de médias de três elementos e por isso se fala em alisamento da série. Na Figura 4 apresenta-se uma série, bem como o respectivo valor médio e ainda o seu alisamento por uma média móvel de dimensão 3. O alisamento também pode conduzir à subtracção, a uma série, de efeitos sazonais. Por exemplo, numa série representando pluviosidades mensais, estendida por vários anos, uma média móvel de dimensão atenuaria certamente as oscilações de pluviosidade dentro de cada ano, permitindo evidenciar a tendência de fundo anual. 3,5 3,5,5 5 5 Figura 4 Uma série temporal, o seu valor médio e o seu alisamento por uma média móvel de dimensão 3 4/

5 Série original Série alisada por média móvel de dimensão 3 3,6,57,7 3,4,577 4,76,5 5,37,653 6,83, ,4,84 8,65,697 9,4,35,43,33,36,75,53 3,46,77 4,9,83 5 3,4 3,4 6 3,7,99 7,76,87 8,55,557 9,36,46, Estacionaridade Um pressuposto comum em muitas técnicas lidando com uma série temporal é que esta é estacionária. Um processo estacionário tem a propriedade de que a sua média e variância não variam com o tempo. É possível definir o carácter estacionário de uma série em termos matemáticos rigorosos, mas para o nosso propósito interessa-nos verificar que a série tem um aspecto plano, sem exibir tendência crescente ou decrescente, com dispersão regular em torno da média e sem flutuações periódocas indicando sazonalidade. Se a série não for estacionária, é habitualmente possível convertê-la numa outra estacionária recorrendo a algumas técnicas apropriadas: a) se os dados revelam uma tendência ( trend ) crescente ou decrescente, pode tentar-se ajustar uma curva e subtraí-la aos dados, ficando com uma série de resíduos. Como o propósito do ajustamento é remover a tendência de longo prazo, habitualmente um ajustamento de uma recta é suficiente; b) se a variância não é constante, extrair o logaritmo ou a raiz quadrada da série pode ajudar a estabilizá-la. c) Em qualquer caso, pode-se diferenciar a série. Isto é, dada uma série com elementos X j, constrói-se a série das diferenças Y j Y j = X j A série diferenciada conterá menos um ponto que a original. Embora se possa diferenciar uma série mais do que uma vez, é comum que uma diferenciação seja suficiente. Na Figura 5 ilustra-se como a diferenciação contribui para criar uma série estacionária. Como é evidente, a partir de uma série diferenciada pode X j 5/

6 reconstituir-se uma série original por integração, ou seja, pela soma acumulada dos elementos da série diferenciada Série Série diferenciada Figura 5 - Uma série temporal e a respecvtiva série diferenciada com atraso. Observe-se como a série diferenciada tem comportamento estacionário Neste exemplo, efectuou-se uma diferenciação de atraso, isto é, a diferenciação consegue-se pela subtracção de elementos com um intervalo de distância entre eles. Introduzindo o operador k como diferenciação de atraso k, poderíamos escrever a série diferenciada de atraso k como X k = X j X j k 3.5. Sazonalidade Por sazonalidade de uma série, entendem-se flutuações periódicas que normalmente são de alguma forma reconhecíveis ou que se intuem a partir do conhecimento exógeno das causas originadoras da série. Por exemplo, o consumo de energia eléctrica apresenta uma sazonalidade em diversos graus: diária, semanal, anual, etc. Se a sazonalidade está presente numa série temporal, ela deve ser incluída no modelo da série. Para se detectar a sazonalidade de uma série, podem-se usar vários processos: a) um gráfico da série evidencia muitas vezes a sazonalidade b) um diagrama da função de auto-correlação (a descrever em parágrafos seguintes) pode ajudar a identificar sazonalidades Modelos auto-regressivos (AR) Num processo autoregressivo, o valor presente da série temporal X t é expresso linearmente em termos dos valores passados da série e da perturbação aleatória a t ocorrendo no instante t. A ordem deste processo depende do valor mais antigo sobre o qual a regressão tem lugar. Num processo auto-regressivo de ordem p, o modelo pode escrever-se como X + a t = δ + φ X t + φ Xt φp Xt p em que os vários φi são constantes reais e a série dos a t apresenta distribuição normal de valores independentes. Um modelo autoregressivo é simplesmente uma regressão linear do valor corrente da série sobre um ou mais dos valores anteriores da série. Por isso, estes modelos podem ser criados usando a técnica dos mínimos quadrados, e têm uma interpretação fácil. t 6/

7 3.7. Modelos de média móvel (MA moving average ) Num processo dito de média móvel, o valor presente da série expressa-se em função dos valores presente e passados das perturbações aleatórias, que formam uma série de ruído branco. A ordem deste processo depende do valor mais antigo da série de ruído branco considerado; para um processo de média móvel de ordem q, a série exprime-se como em que os vários X t = m + a θ j são constantes reais. t θ a t θ a t... θ Isto é, um modelo de média móvel constrói-se como uma regressão linear do valor presente da série sobre as perutrbações aleatórias de um ou mais valores anteriores da série. Admite-se que estas perturbações são geradas por uma mesma distribuição, habitualmente normal, de média e desvio padrão constantes. Este modelo difere do anterior na medida em que cada perturbação aleatória se propaga para os valores futuros da série. Por causa disto, é mais complicado efectuar-se um ajustamento desta série e não se pode usar um modelo linear de mínimos quadrados. Além disso, os modelos MA são e mais difícil interpretação que os AR Modelos mistos auto-regressivos e de média móvel (ARMA) Box e Jenkins popularizaram uma técnica que combina as características dos modelos autoregressivos AR e de média móvel MA. Embora estes modelos fossem já conhecidos e investigados, a contribuião de Box e Jenkins foi o desenvolvimento de um processo eficaz e sistemático de identificação e estimação de modelos que pudessem incorporar em simultâneo ambas características. O processo de Box e Jenkins dito de tipo ARMA combina os dois efeitos anteriores. Um processo de ordem p,q representa-se por X t = δ + φ X t + φ X t φ p X t p + a t θ a p t a θ t q a t... θ O modelo de Box e Jenkins assume que a série é estacionária. Nalguns casos, subtrai-se a série do valor médio, para se trabalhar com uma série de média nula Modelos auto-regressivos integrados e de média móvel (ARIMA) Os processos definidos anteriormente são estacionários. Significa isto que a média da série temporal e as covariâncias entre as suas observações não variam com o tempo. Se o processo não for estacionário, terá que se proceder à sua estacionarização. A estacionarização de uma série temporal recomendada por Box e Jenkins consegue obter-se com operações de diferenciação, mesmo que aplicada sucessivas vezes. À série estacionarizada aplica-se então um modelo ARMA. Assim, ARIMA corresponde então a um processo auto-regressivo integrado com média móvel. A designação integrado explica-se pelo facto de se reconstruir a série original a partir da série diferenciada, por uma operação de integração ou soma recursiva. p a t q 4. PROPRIEDADES DE UMA SÉRIE Autocorrelação O conceito de covariância entre duas variáveis pretende avaliar até que ponto é que a variação de uma está associada à variação da outra. Para duas variáveis discretas Y e Z discretas, a covariância em p medidas é dada por Cov (Y, Z) = N (Yk Y)(Z k Z), onde Y e Z correspondem aos respectivos valores médios. N k= O conceito de coeficiente de correlação ρ corresponde a um escalamento da covariância entre e, com a normalização da covariância pela média geométrica das variâncias de cada uma das variáveis: Cov(Y, Z) ρ = ou V(Y)V(Z) Cov (Y, Z) ρ = V(Y)V(Z) 7/

8 Se o coeficiente de correlação estiver próximo de ou, encontra-se uma correspondência aproximadamente linear entre os valores de uma e os correspondentes de outra variável. Com ρ próximo de zero, não é perceptível uma relação entre os valores assumidos por uma variável e por outra (ver Figura 6) ρ =, ρ =, Figura 6 Representaçao de duas variáveis altamente correlacionadas (esquerda) e não correlacionadas (direita). A linha corresponde à tendência linear calculada pelo critério dos mínimos quadrados. Este conceito pode estendr-se às séries temporais, buscando uma relação entre valores da série (fazendo o papel de variável Y) e valores da mesma série com um certo atraso k (fazendo o papel de variável Y). Neste caso, estamos perante a definição da autocorrelação da série para o atraso k: Cov(Xt, X t k ) ρ (X t, Xt k ) = ρ k = V(X t ) já que V(X t ) = V(X t k ), pois trata-se afinal da variância da mesma série. O conjunto dos ρ k para k =,,,, p forma a chamada função de autocorrelação da série temporal. No exemplo seguinte, produziu-se uma série com base numa função geradora da forma X (t) =,8*X(t ) + Rand onde Rand corresponde a um número aleatório entre e produzido por uma distribuição uniforme. A Figura 7 apresenta a série assim gerada. 8/

9 4 3,5 3,5,5,5 5 5 Figura 7 Série temporal gerada artificialmente A aplicação da expressão da autocorrelação da série, para os primeiros 3 atrasos, dá coeficientes que se encontram apresentados graficamente na Figura 8.,,8,6,4, -, -,4 Figura 8 Coeficientes de auto-correlação da série da figura anterior o coeficiente de ordem vale, obviamente. Note-se como, a partir de um atraso de 3 unidades de tempo, o coeficiente de autocorrelação se mantém diminuto. Para comparação, produziu-se uma nova série com base numa função geradora da forma X (t) =,8* X(t ) +,4*sen(t / ) + Rand onde Rand corresponde a um número aleatório entre e produzido por uma distribuição uniforme. Note-se que esta função é a anterior com a presença de um termo periódico sinusoidal sobreposto. Na Figura 9 apresenta-se o andamento da série assim gerada. 9/

10 4,5 4 3,5 3,5,5,5 5 5 Figura 9 Série artificial incluindo um termo sinusoidal A aplicação da expressão da autocorrelação da série, para as primeiros 3 atrasos, dá coeficientes que se encontram apresentados graficamente na Figura 8.,,8,6,4, -, ,4 -,6 -,8 Figura - Coeficientes de auto-correlação da série da figura anterior o coeficiente de ordem vale, obviamente. Evidencia-se nitidamente a presença de um termo regular periódico. A presença de um termo claramente periódico ressalta imediatamente da figura. A identificação de uma situação desta natureza pode sugerir a necessidade de filtrar esta componente, procurando subtrair à série um termo sinusoidal, por exemplo. Quando analisamos um autocorrelograma, estamos sobretudo interessados em descobrir valores fortemente significativos e por isso valores pequenos são tomados como zero. /

11 4.. Autocorrelação parcial Devemos, de qualquer modo, ter em conta que as autocorrelações para intervalos sucessivos são formalmente dependentes. Pense-se no seguinte: se o primeiro elemento da série está fortemente relacionado com o segundo, e o segundo com o terceiro, então o primeiro está de alguma forma também relacionado com o terceiro. Daí que o coeficiente de autocorrelação para um atraso de ordem não seja independente do coeficiente de autocorrelação para um atraso de ordem. Para obter uma informação sobre autocorrelações na série sem esta influência em cascata, definiu-s um poutro conceito, o de função de autocorrelação parcial. A autocorrelação parcial de atraso k corresponde à autocorrelação entre X t e X t-k que não é explicada pelos atrasos de a k. O seu cálculo é mais elaborado do que a simples função de autocorrelação e não o apresentaremos nestas notas. Todavia, sem uma referência à existência desta função, qualquer descrição do métodode Box and Jenkins ficaria substancialmente incompleto. 5. IDENTIFICAÇÃO DE UM MODELO DE BOX E JENKINS Eis um resumo do método de Box e Jenkins: Estacionaridade - o primeiro passo para desenvolver um modelo de Box e Jenkins é determinar se a série é estacionária. Isto consegue-se observando se o gráfico da série apresenta uma escala constante e posicionamento estável. Também se pode observar, num diagrama de autocorrelação, quando a série não é estacionária, um decaimento muito lento da função de autocorrrelação. Sazonalidade (ou periodicidade) - a identificação de sazonalidade também pode fazer-se por observação directa ou por exame do diagrama da função de autocorrelação Obtenção de estacionaridade - Box e Jenkins recomendaram o processo de diferenciação para se obter a estacionaridade de uma série, ms também é possível ajustar-se uma curva e trabalhar com a série das diferenças para esta curva. Identificação das ordens p e q - isto executa-se pelo exame das funções de autocorrelação e de autocorrelação parcial, comparando os seus gráficos com o respectivo comportamento teórico quando as ordens p e q são conhecidas Ordem p de um processo autoregressivo - para um processo autoregressivo AR() de ordem, a função de autocorrelação deve ter um comportamento com decaimento exponencial. Para processos AR de ordem superior, poderão observar-se combinações de aspectos de decaimento exponencial com sinusoides amoortecidas. Neste caso, interssa observar a função de autocorrelação parcial, cujo valor para um processo AR(p) deverá ser nulo para atrasos superiores a p. Ordem q de um processo de média móvel - um processo de média móvel MA pode ser indiciado por uma função de autocorrelação com um ou mais picos. A função de autocorrelação de um processo MA(q) anula-se parta atrasos superiores a q. A tabela seguinte resume como usar a função de autocorrelação para identificar o modelo de uma série temporal FORMA Exponencial, decaindo para zero Valores alternando entre positivos e negativos, decaindo para zero Um ou mais picos, com os restantes valores praticamente zero Decaimento só começando após alguns atrasos MODELO INDICADO Modelo AR. Usar o gráfico da função de autocorrelação parcial para identificar a ordem p do processo Modelo AR. Usar o gráfico da função de autocorrelação parcial para identificar a ordem p do processo Modelo MA. A ordem q do modelo é identificada pelo valor do atraso em que a função se anula Modelo misto ARMA /

12 Todos os valores perto de zero Valores elevados em intervalos fixos Não se observa decaimento para zero Daos essencialmente aleatórios Sazonalidade A série não é estacionária 6. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Uma vez identificado o modelo (AR, MA, ARMA, ARIMA), procede-se à estimação dos seus parâmetros, recorrendo-se em geral a algum processo ou algoritmo que minimiza os quadrados dos resíduos ou no princípio da máxima verosimilhança. Não desenvolveremos nestas notas introdutórias tais processos. REFERÊNCIAS [] Box, G.E.P., Jenkins, G.M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, San Francisco: Holden-Day, 97 [] Jim Elkins, NOAA, 988, in /