ESTUDO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM AUXÍLIO DO PROGRAMA GEOGEBRA

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1 1 ESTUDO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM AUXÍLIO DO PROGRAMA GEOGEBRA Yara Patrícia Barral de Queiroz Guimarais 1 yara.barral@ifnmg.edu.br Marcelo de Miranda Lacerda 2 marcelo.miranda@ifnmg.edu.br Dimas Felipe de Miranda 3 dimasfm48@yahoo.com.br João Bosco Laudares 4 jblaudares@terra.com.br Este trabalho diz respeito a duas atividades investigativas que compõem um projeto de pesquisa iniciado no IFNMG/Instituto Federal de Ciências e Tecnologia do Norte de Minas Gerais, cuja problemática é como o IFNMG pode contribuir para a melhoria do ensino de Matemática nas escolas públicas municipal e estadual?. Serão apresentadas duas atividades investigativas sobre as Funções Afim e Quadrática com o uso do programa gratuito Geogebra, que foram aplicadas aos alunos do 1º ano do Curso Técnico Integrado em Informática, com duração de 04 horas-aula, em agosto de 2013, cujos resultados parciais da avaliação das atividades também serão apresentados. O planejamento da pesquisa envolve: a elaboração de atividades investigativas com uso de programas de computador sobre o Estudo das Funções; a aplicação das atividades a alunos regularmente matriculados no Ensino Médio do IFNMG; a análise e avaliação do aprendizado do conteúdo trabalhado junto aos alunos; e a correção de possíveis erros observados durante a aplicação das atividades. A fundamentação teórica para a pesquisa conta com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006); Fiorentini e Lorenzato (2007); Borba e Penteado (2001); Frota (2009); Valle, Mattos e Costa (2013); além de vários 1 Mestre em Ensino de Matemática PUC Minas, membro do GRUPIMEM, professora do IFNMG. 2 Mestre em Ciências da Educação UATAD Portugal, professor do IFNMG. 3 Doutor em Tratamento da Informação Espacial PUC Minas, membro do GRUPIMEM, professor da PUC Minas e da Universidade FUMEC. 4 Doutor em Educação PUC SP, membro do GRUPIMEM, professor da PUC Minas e do CEFET-MG.

2 2 autores de livros didáticos de Matemática para o Ensino Médio. Depois que o conjunto de atividades estiver pronto, pretende-se oferecer oportunidades de atualização para professores interessados da rede pública municipal e estadual. Com isso, ao se pesquisar sobre Tecnologias da Educação, há a intenção de se buscar melhorias para o Ensino da Matemática nas escolas públicas através do oferecimento de minicursos gratuitos para que mais professores possam também desenvolver suas próprias pesquisas e atividades, além de oferecer também aos alunos do IFNMG a oportunidade de melhor assimilação do conteúdo estudado. Palavras-chave: Atividades investigativas. Ensino de Matemática. Estudo das Funções. Tecnologias da Educação. Introdução O ensino de Matemática é alvo constante de pesquisas e discussões; o Brasil vem apresentando melhora no desempenho dos estudantes desde 2003 até 2012, conforme dados do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos). Essa pesquisa foi realizada com estudantes em todo o mundo e avaliou a capacidade de resolver questões de raciocínio lógico envolvendo situações do cotidiano. Mas mesmo apresentando ligeira melhora, a situação do ensino da Matemática é problemática no mundo todo e o Brasil está empenhado em melhorar o seu resultado, ou seja, em melhorar o processo ensino-aprendizado da disciplina. Muito mais do que simplesmente aprender a resolver equações e construir gráficos, os estudantes brasileiros precisam aprender a aplicar os conhecimentos adquiridos. Vários pesquisadores descrevem a importância de se ter projetos na vida e que todos, de algum modo, têm metas a serem alcançadas, o que configura a necessidade de um mínimo de organização para que aconteça o sucesso com tais metas. Aqui se tem a ideia de promover a organização do pensamento matemático por meio de uma contribuição para o aprendizado dos conteúdos.

3 3 Particularmente falando sobre a Teoria das Funções foram desenvolvidas atividades investigativas, conforme sugere Ponte (2006), a partir da pesquisa já iniciada durante o Mestrado, que gerou a Dissertação intitulada Exploração de Convergência em Tópicos de Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, usando os softwares VCN e Geogebra. Na Dissertação mencionada, foram elaboradas atividades investigativas voltadas para a disciplina de Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, integrantes do Currículo de vários cursos superiores como as Engenharias, Sistemas de Informação, Matemática, etc. A Atividade 0, anexo da Dissertação, teve a intenção de proporcionar uma espécie de revisão de conteúdos importantes e necessários para o aprendizado do Cálculo Diferencial e Integral, como as Funções Afim, Quadrática, Logarítmica, Exponencial e Trigonométricas, em que os alunos deveriam observar, principalmente, a representação gráfica dessas funções. Um pouco de Geometria Analítica também foi explorado no que diz respeito ao reconhecimento e estudo de retas e suas posições no plano cartesiano. Esta Atividade 0 foi transformada aqui em Lista 1, com algumas modificações e adaptações necessárias. A partir desta primeira atividade e reconhecendo a deficiência que a grande maioria dos alunos tem na disciplina Matemática surgiu a ideia para uma pesquisa, que objetiva contribuir para o aprendizado dos conteúdos matemáticos por meio de atividades investigativas que utilizem softwares educativos. Para isso está sendo desenvolvido no Instituto Federal de Ciências e Tecnologia do Norte de Minas Gerais/IFNMG Campus Pirapora um projeto de pesquisa cuja problemática é como o IFNMG pode contribuir para a melhoria do ensino de Matemática nas escolas públicas municipal e estadual?. Tais atividades terão o perfil de um estudante que esteja cursando o Ensino Médio e a pesquisa será desenvolvida com alunos de cursos técnicos profissionalizantes do IFNMG. O objetivo geral do projeto mencionado é: contribuir para melhoria do ensino e aprendizagem do conteúdo Teoria das Funções, aliando experimentações com o uso de programas de computador (inicialmente com o Geogebra, mas o uso de outros programas também poderá ocorrer) e prática de exercícios. Organização das atividades Os conteúdos matemáticos são sempre alvo constante de dúvidas e problemas de estudantes que precisam desse conhecimento para aplicação em outras disciplinas.

4 4 Particularmente sobre o IFNMG Campus Pirapora, vê-se a necessidade de material didático extra que possa contribuir para o estudo de diversos conteúdos matemáticos nos cursos Técnicos Integrados de Edificações e Informática, cursos Técnicos Subsequente e Concomitante de Administração, Edificações, Informática e Segurança do Trabalho, além do curso Bacharelado em Administração, e num futuro próximo Bacharelado em Sistemas de Informação e Engenharia Civil, além de outros cursos técnicos profissionalizantes. Todos estes cursos têm matemática em seu programa curricular e os alunos, em geral, chegam do Ensino Fundamental com grande deficiência nesse aprendizado. É do conhecimento de todos por meio de resultados de várias pesquisas publicadas que há um grande problema a nível de Brasil e mundo no ensino de Matemática tanto no Ensino Fundamental como no Médio, o que acaba por provocar problemas também em cursos superiores que têm essa disciplina como parte integrante do currículo. O desejo de contribuir para melhorar o processo ensino-aprendizado dessa disciplina é a grande meta deste projeto. Buscando aliar o estudo de conteúdos matemáticos com o uso do computador, já que hoje em dia é comum e atraente o uso dessa ferramenta, há o desejo por parte desta pesquisadora de oferecer mais uma possibilidade de estudo, dentre as várias já existentes voltadas para o ensino. Como todos os cursos deste Campus contemplam a Matemática como instrumento, acredita-se que a experimentação por meio de softwares possa contribuir para melhorar o aprendizado de alguns conteúdos que, como antes mencionado, inicialmente serão conteúdos da Teoria das Funções, mas depois outros conteúdos também serão abordados. O projeto de pesquisa aqui mencionado ainda não está cadastrado em nenhum órgão de fomento, mas já está sendo executado desde o início do ano de Juntamente com a pesquisa e estudo teórico, as atividades foram elaboradas e aplicadas para os alunos do 1º ano do curso técnico integrado de Informática, no momento em que era ensinado em sala de aula os conteúdos abordados nas Atividades. Inicialmente, os conteúdos abrangidos são os da Lista 1: construção de gráficos de funções polinomiais de 1º grau; reconhecimento de funções crescente, decrescente e constante; construção de gráficos de outros tipos de funções; da Lista 2: estudo da Função Polinomial de 1º Grau; e da Lista 3: estudo da Função Polinomial de 2º Grau. As atividades foram elaboradas, aplicadas aos alunos, avaliadas e alguns erros que foram observados durante a aplicação foram corrigidos. Depois da aplicação, o aprendizado dos

5 5 alunos foi avaliado, no sentido de verificar a validade ou não das atividades, sendo que esses resultados parciais também serão apresentados. Após a aplicação das atividades, o conteúdo foi discutido em sala de aula, quando os alunos puderam expor dúvidas, sugestões e comentários. Os alunos fizeram posteriormente uma prova escrita, em que o conteúdo abordado nas atividades foi cobrado; depois que as provas foram corrigidas, estas foram resolvidas e discutidas em sala de aula, para que os alunos eliminassem todas as dúvidas (ou muitas, pelo menos). Com isso, todas as etapas de uma atividade investigativa proposta por Ponte (2006) foram cumpridas. Fundamentação Teórica O ensino de matemática já não tem mais o tratamento que há alguns anos existia, quando a técnica e a mecanização eram importantes e tinham grande enfoque. Aprender matemática consistia quase que exclusivamente na memorização e aplicação de fórmulas e algoritmos, e para isso, listas enormes de exercícios eram comuns. O professor explicava o conteúdo com alguns exemplos-modelos e passava listas com muitos exercícios, que os alunos deveriam fazer seguindo os modelos mostrados. Naquela época, não havia grande preocupação com o desenvolvimento do raciocínio e da compreensão; não importava o processo que era construído para se chegar ao resultado e nem o contexto histórico que a situação estava inserida. Os alunos ocupavam uma posição extremamente passiva e o professor era o único detentor do saber; a disciplina em sala de aula onde os alunos deviam ficar calados e nunca perguntar nada era rigorosa e tradicionalista. Mas os objetivos da educação passaram por transformações até chegar a um ponto onde o mais importante é a formação do cidadão consciente e digno, que tenha raciocínio lógicodedutivo e consiga resolver problemas. A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei nº 9394/96, garante o direito a todos de uma educação de qualidade e que possibilite não só a compreensão e o aprendizado dos conteúdos para o acesso a cursos de ensino superior visando o mercado de trabalho, mas também para o desenvolvimento intelectual e pessoal de todas as pessoas. Neste sentido, o ensino de matemática ocupa posição de destaque na organização curricular da educação básica. Valorizam-se situações em que o desenvolvimento de

6 6 habilidades e competências possa acontecer, de maneira que o pensar matematicamente não seja desvinculado do fazer matemática. O ensino da matemática é proposto de forma investigativa, fazendo com o aluno possa construir seu aprendizado. Como direcionamento para o programa curricular, o atual sistema educacional conta com os Parâmetros Curriculares Nacionais. De acordo com os PCNs, uma das principais funções do ensino da matemática é o desenvolvimento para solução de problemas: Resolver um problema pressupõe que o aluno: elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); compare seus resultados com os de outros alunos; valide seus procedimentos 5. (PCN) Para se adquirir habilidades e competências para a solução de problemas, muitas vezes é necessária a habilidade de realizar cálculos mentais. O conhecimento sobre números e operações é importante para se adquirir outras habilidades. No que se refere ao estudo da Teoria dos Números, relações importantes como a inclusão, a proporcionalidade, a composição e a estimativa, bem como o tratamento de informações são essenciais para a formação do aluno e o estudo das operações aritméticas permite a ampliação do conceito de número: Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos exato e aproximado, mental e escrito. 6 (PCN). Ainda de acordo com os PCNs do Ensino Fundamental, o estudo da Teoria dos Números é uma preparação para a introdução à álgebra: 5 PCNEF subcapítulo O recurso à.resolução de Problemas. 6 PCNEF subcapítulo Números e Operações.

7 7 Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-algebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas através de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a "sintaxe" (regras para resolução) de uma equação. (PCN). Os PCNs do Ensino Fundamental consideram o estudo de Aritmética como sendo importante para o dia a dia do cidadão comum e sugere que as operações aritméticas tenham um tratamento especial, com a apresentação de situações-problema que possam fazer o aluno vivenciar problemas do cotidiano. Tanto para o desenvolvimento de habilidades que proporcionem crescimento pessoal como para aplicação em situações futuras, à medida que aumenta o nível de estudo, o cálculo mental tem o objetivo de desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo e o senso crítico. Vivenciar e conseguir uma solução para um problema do cotidiano é, sem dúvida, uma vitória para qualquer pessoa. Principalmente se a solução para esse problema envolve uma ideia matemática então se tem a certeza de que essa pessoa realmente absorveu e compreendeu o que estudou nesta disciplina. Mas encontrar a solução para um problema não é tarefa das mais simples... Segundo Polya (1995), a resolução de um problema deve envolver, basicamente, o seguinte caminho: compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano e retrospecto. Parecidos com estas etapas são também os processos sugeridos por Ponte (2006) para a realização de uma investigação Matemática (ou atividade investigativa de Matemática) que são: exploração e formulação de questões, formação de conjecturas, testes e reformulação, e justificação e avaliação. Uma investigação matemática é o momento de descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades (Ponte, 2006, p. 13). Cada etapa, com base nas propostas de Polya (1995) e Ponte (2006), serão detalhadas:

8 8 interpretação do problema: quando é realizada a apresentação por parte do docente de uma situação problemática relacionada a certo tema, para os alunos. Nesse momento, o problema é compreendido e é feito um levantamento de dados existentes. planejamento: o docente organizará a atividade investigativa buscando alcançar seus objetivos, de maneira que os estudantes possam encontrar a solução para o problema apresentado com a vivência de experiências. O foco deve ser a exploração e formulação de questões a respeito do tema para os alunos resolverem com o uso do programa de computador escolhido (neste caso, o Geogebra). execução do plano: a atividade será aplicada para os alunos de acordo com as condições de ambiente necessárias; para a atividade a que trata este trabalho, o ambiente é o laboratório de informática, com dois alunos por computador, no máximo. As folhas de respostas dos alunos serão recolhidas para posterior análise e validação da atividade. avaliação: através da análise das respostas dos alunos nas folhas de respostas, bem como dos comentários durante a sua aplicação, as atividades serão revistas para constatação da necessidade de correção de erros. A última questão é uma indagação aos alunos a respeito da atividade, questionando a validade ou não da atividade investigativa para seu aprendizado sobre o conteúdo; neste momento, os alunos tiveram liberdade para se pronunciar e expressar sua opinião sobre esse tipo de metodologia didática. De acordo com cada uma dessas etapas, as atividades mencionadas neste trabalho foram confeccionadas e todo o restante do desenvolvimento do projeto de pesquisa acontecerá. Espera-se que o aprendizado matemático aconteça aqui, como afirma Ponte (2006), fértil em acontecimentos inesperados. Uma vez que uma metodologia de ensino deve priorizar o desenvolvimento humano, principalmente do aluno, como bem aponta a pesquisa de Perez e Silva (2013) e ainda segundo esses mesmos autores, os professores e gestores são atores que sustentam o sistema educacional com seu trabalho, pode-se constatar que qualquer atividade didática elaborada e planejada por um docente, preferencialmente com o apoio dos gestores educacionais, deve visar prioritariamente o desenvolvimento do estudante, ou seja, o sucesso do processo ensino x aprendizado. Se o estudante se sente atraído por uma metodologia de ensino a ponto de

9 fazer com que seu aprendizado seja protagonista de sua história, então o educador terá cumprido seu papel. 9 Principais resultados Os resultados obtidos com a aplicação dessas atividades foram satisfatórios. Os alunos se manifestaram positivamente, solicitando inclusive que mais assuntos do cotidiano fossem abordados dessa maneira. As respostas de dois alunos ilustram essa afirmação: Quadro 01: Aluno A Quadro 02: Aluno B

10 10 No que diz respeito às questões da atividade, os alunos tiveram a oportunidade de vivenciar experiências com as Funções Afim e Quadrática, usando o software dinâmico Geogebra. Esse software foi escolhido por ser gratuito, pode ser baixado da Internet mesmo e por ser de fácil utilização, contando com uma linguagem e interface simples. Os alunos estudaram o que acontece com a Função Afim no que diz respeito ao estudo do crescimento ou decrescimento; coeficientes angular e linear; raiz da função; posição da reta e lei de formação. A turma já contava com alguns conhecimentos prévios a respeito do assunto, de modo que a leitura e a interpretação das questões fosse possível. Inicialmente, consideraram a função o Quadro 03: y = 3 x + 1 e, a partir dela, fizeram algumas observações como mostra Quadro 03: página 01 da atividade.

11 11 Ao pedir para os alunos justificarem algumas respostas, a intenção era que eles assimilassem melhor os conhecimentos adquiridos, além da possibilidade de verificar se realmente compreenderam. Para a pergunta 1.a sobre crescimento e decrescimento da função, foi sugerido aos alunos que marcassem um ponto qualquer na reta e movessem esse ponto sobre a reta, para cima e para baixo, observando as modificações ocorridas nas coordenadas. Os quadros 04 e 05 mostram dois exemplos de posições do ponto A, de modo que suas coordenadas eram (0, 1) e passaram para (1, 4):

12 12 Quadro 04: interface do Geogebra. Quadro 05: interface do Geogebra.

13 Através de mais algumas movimentações e observações nas coordenadas dos pontos, os alunos puderam perceber que à medida que a abscissa aumentava, a ordenada também aumentava, concluindo que a função é crescente. Após essa observação, usaram o comando Intersecção de dois objetos para descobrir a raiz ou zero da função, assimilando melhor a ideia de que a raiz de uma função também recebe a denominação de zero porque é o ponto de encontro (ou intersecção) entre o gráfico e o eixo das abscissas, uma vez que nesse eixo as ordenadas assumem o valor zero. Em seguida, fizeram todas essas mesmas observações para a função decrescente y = 3 x + 1. No que diz respeito à questão 2 sobre Funções Quadráticas, o principal ganho foi quanto à observação do vértice da parábola. Os alunos usaram o comando ponto médio e verificaram que o ponto médio das raízes da função é a abscissa do vértice, e ainda constataram que a ordenada é o ponto mais alto ou mais baixo que a parábola pode alcançar, dependendo de 2 sua concavidade. Para essas experiências, começaram analisando a função y = x 5x + 4. A observação do conjunto imagem também foi interessante para os alunos, pois puderam inserir um ponto qualquer e passear com ele sobre a parábola, observando as modificações ocorridas nas coordenadas desse ponto. Assim, constataram que o conjunto imagem começa na ordenada do vértice, quando a parábola está voltada para cima, ou finaliza nessa mesma ordenada, quando a concavidade está voltada para baixo. Após estas primeiras constatações, os alunos vivenciaram experiências com a função 2 y = ax + bx + c, usando o comando Seletor para as variáveis a, b e c. O Quadro 06 ilustra essa informação: 13 Quadro 06: questão 05 da atividade.

14 14 A aluna cuja atividade foi escolhida para ser apresentada no Quadro 06 comentou, inclusive, que lhe chamou a atenção o fato de que quando a = 0 a parábola se transformou em uma reta. Durante esse momento da aplicação da atividade, no laboratório de informática, ela fez um comentário, que é descrito na íntegra: Então é por isso que no livro fala que para ser função quadrática a tem que ser diferente de zero? Eu não entendia de jeito nenhum esse negócio! Vários alunos se manifestaram positivamente quanto a essa questão, comentando o quanto compreenderam a importância do termo independente da função e quanto aos possíveis valores da variável a. Particularmente quanto à atividade 5.e, através do comando Habilitar Rastro, os alunos puderam observar um efeito interessante que ocorre com a parábola ao fixar os valores de a e c, e movimentar apenas o seletor b, que é ilustrado pelo Quadro 07: Quadro 07: interface do Geogebra.

15 15 Para essa situação, foi explicado aos alunos que uma família de parábolas é formada e que os vértices de cada uma dessas parábolas formam outra parábola cujo vértice tem coordenadas (0, c). Considerações finais Após a aplicação dessa atividade investigativa, da análise das respostas dos alunos e dos comentários escritos na questão 6, bem como dos comentários feitos pelos participantes da pesquisa durante a experiência, algumas considerações puderam ser firmadas. Sobre as questões que compõem a atividade, foi possível perceber que algumas modificações seriam necessárias, no que diz respeito a erros de digitação e outros para melhorar a interpretação das questões. Um exemplo de modificação é a questão 1, mostrado no Quadro 08: Quadro 08: sugestão de modificação da atividade. de a) a função é crescente ou decrescente? Justifique. para

16 16 a) Insira um ponto qualquer na reta da função e movimente esse ponto sobre a reta. Observando as modificações ocorridas nas coordenadas do ponto, copie três pontos diferentes e escreva o que pode ser observado quanto aos valores de suas coordenadas. b) Então, essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. Não ficaram dúvidas quanto ao fato de que a atividade foi interessante para os alunos, pois isso foi manifestado o tempo todo durante a aplicação desta. Muitos alunos pediram inclusive que outros assuntos fossem abordados da mesma forma. A partir da análise desta atividade e das devidas correções, o próximo passo será a confecção de atividades para outros tipos de funções matemáticas com as devidas aplicações. A mesma análise e as necessárias correções também serão feitas, de modo a organizar um banco de atividades que permitam a organização de cursos preparatórios. Esses cursos serão oferecidos para professores da rede pública de ensino, de forma gratuita, como atualização profissional, fazendo com que o Instituto Federal exerça mais um papel junto à sociedade. Assim, as atividades que são protagonistas deste trabalho e que compõem um pequeno projeto de pesquisa assumirão uma posição de coadjuvantes em um futuro projeto de extensão, pois os protagonistas naquele momento serão os professores das redes públicas estadual e municipal, com seu interesse e vontade de oferecer para seus alunos mais uma oportunidade didático-pedagógica. Referências bibliográficas BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, DANTE, Luis Roberto. Matemática contextos e aplicações. Volume único. Manual do Professor. São Paulo: Ática, FIORENTINI, Dário; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática. 2. ed.

17 17 São Paulo: Autores Associados, FROTA, Maria Clara Rezende. Estilos de aprendizagem matemática e autocontrole do processo de aprendizagem. In: FROTA, Maria Clara Rezende; NASSER, Lilian (Org.) Educação Matemática no Ensino Superior. Recife: SBEM, 2009, p GUIMARAIS, Yara Patrícia B. Q. de. Exploração de convergência em tópicos do Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, usando os softwares VCN e Geogebra. Dissertação de Mestrado. Orientador: Dimas Felipe de Miranda. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Belo Horizonte: IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática. Volume Único. São Paulo: Atual, LACHINI, Jonas. Subsídios para explicar o fracasso de alunos em Cálculo. In: LAUDARES, João Bosco; LACHINI, Jonas (Org.). Educação matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, p LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional Lei 9394/96. PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. PCNs: Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Fundamental e Ensino Médio. PEREZ, José Roberto Rus; SILVA, Fabrício de Paula. Computadores na educação: uma revisão da pesquisa internacional. In: VALLE, Luiza Helena L. R. do; MATTOS, Maria José V. M. de; COSTA, José Wilson da. (Org.) Educação Digital a tecnologia a favor da inclusão. Porto Alegre: Penso, PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações

18 18 matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, SMOLE, Kátia S.; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 1ª série. Livro do professor. São Paulo: Saraiva, isa_2012.pdf