Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada - 02

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1 Resoluções de Problemas Matemáticos Professor Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada ª Série 2 Bimestre Disciplina Curso Bimestre Ano Resolução de Problemas Matemáticos Ensino Médio 2 2 Habilidades Associadas 1. Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. 2. Utilizar o conceito de razão para calcular porcentagens. 3. Utilizar as razões trigonométricas para resolver problemas significativos.

2 Apresentação A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores docentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da autorregulação. Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-aconhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site a fim de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas. Estamos à disposição através do curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. Secretaria de Estado de Educação 2

3 Caro Tutor, Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas habilidades e competências do 2 Bimestre do Currículo Mínimo de Resoluções de Problemas Matemáticos da 2ª Série do Ensino Médio. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de um mês. A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI. Neste Caderno de Atividades, os alunos vão aprender o que é uma razão e uma proporção, além de analisar as grandezas proporcionais a partir de situações problemas. E ainda, trabalharão a trigonometria no triângulo retângulo. No primeiro momento deste caderno, eles vão retomar os conceitos de razão e proporção. Depois, serão trabalhadas as grandezas proporcionais, avaliando se são diretas ou inversas. Por fim, serão retomados conceitos da trigonometria referentes ao triângulo retângulo. Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o Professor Tutor. Este documento apresenta 03 (três) Aulas. As aulas podem ser compostas por uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto. Um abraço e bom trabalho! Equipe de Elaboração 3

4 Sumário Introdução Objetivos Gerais... Materiais de Apoio Pedagógico... Orientação Didático-Pedagógica... Aula 1: Entendendo as proporções... Aula 2: Resolvendo Problemas utilizando regra de três... Aula 3: Razões trigonométricas... Avaliação... Avaliação Comentada... Pesquisa Referências

5 Objetivos Gerais Na 2ª série do Ensino Médio, o conteúdo de Resoluções de Problemas Matemáticos tem por objetivo estimular habilidades e competências para o conteúdo denominado Resoluções de Problemas Matemáticos traçados a partir do Currículo Mínimo. Vale ressaltar que, este Caderno de Atividades se propõe a gerar situações que propiciem o confronto de concepções, cabendo ao aluno o papel de construtor de seu próprio conhecimento matemático. Portanto, almejamos que os alunos sejam capazes de estabelecer correspondência entre duas grandezas, resolver problemas utilizando o método da regra de três, e ainda trabalhar com razões trigonométricas e porcentagens através de problemas do cotidiano. Materiais de Apoio Pedagógico No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir: Teleaulas Teleaula N 46 Habilidade principal: Compreender e aplicar o conceito de razão entre duas grandezas. Reconhecer grandezas proporcionais e estabelecer sua forma de variação (direta ou inversamente proporcional). Compreender a ideia de escalas e suas aplicações. Descrição: A razão é uma comparação entre dois números. Você verá que ela - também chamada de escala - é usada para fazer mapas, plantas, maquetes e moldes. Endereço eletrônico: 5

6 Teleaula Nº 41 Habilidade Principal: Resolver problemas do cotidiano envolvendo as razões trigonométricas. Utilizar as razões trigonométricas para calcular o valor do seno, cosseno e tangente, dos ângulos de 30, 45 e 60. Calcular o valor do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Descrição: Os ângulos de 30, 45 e 60 graus são considerados casos especiais por serem os mais encontrados no nosso dia-a-dia. Você aprenderá a usar a trigonometria neles e verá novas relações geométricas, que serão muito úteis na resolução de problemas. Endereço eletrônico: Teleaula Nº49 Habilidade Principal: Reconhecer grandezas proporcionais e estabelecer sua forma de variação (direta ou inversamente proporcional). Compreender e aplicar o conceito de razão entre duas grandezas. Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas (Proporção inversa) Descrição: Esta vídeo aula irá abordar os números inversamente proporcionais. Endereço eletrônico: Orientações Pedagógicas do CM Recursos Digitais: - O vídeo Semelhança (Matemática na vida Série: Razão e Proporção TV Escola. Descrição: Apresenta diversas situações do cotidiano que envolvem os conceitos a serem trabalhados ao longo dessas aulas. Endereço Eletrônico: o/me mp4. e d_aulas_pdf/fichas_ok/ensino_fundamental/setem bro2011/lote20-09/matematica%20na%20vida_razao%20e%20prop orao_conceito%20no%20dia%20a%20dia.pdf 6

7 Utilizar as razões trigonométrias para calcular o valor do seno, co-seno e tangente, dos ângulos de 30, 45 e 60 : Calculando o seno, cosseno e tangente dos ângulos mais comuns (conhecidos como ângulos notáveis). Endereço Eletrônico: Resolver problemas do cotidiano envolvendo as razões trigonométricas: Experimentalmente, os alunos serão expostos ao significado da tangente de um ângulo interno do triângulo retângulo. Esse novo conceito será usado para, depois de construir uma ferramenta capaz de medir ângulos verticais, encontrar a altura de objetos como antenas, árvores, prédios ou postes. Endereço Eletrônico: c/15595 Compreender e aplicar o conceito de razão entre duas grandezas: Animação/simulação que trabalha com os conceitos de razão e proporção aplicados em uma foto, que será ampliada ou reduzida, mostrando através desse processo razões de proporcionalidade. Endereço Eletrônico: c/19070 Reconhecer grandezas proporcionais e estabelecer sua forma de variação (direta ou inversamente proporcional): Textos eletrônicos sobre proporcionalidade. Textos eletrônicos sobre regra de três. Endereços Eletrônicos: m/razoes/divprop.htm e simples.html 7

8 Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas: Apresenta dois desafios matemáticos. No primeiro desafio o aluno tem que calcular a altura real do Colosso de Rodes, comparando a medida da estátua com as medidas reais de outros objetos usando o conceito de proporcionalidade. No segundo desafio o aluno tem que observar os dados oferecidos e tentar descobrir a altura da pirâmide de Quéops. Endereço Eletrônico: c/841 Utilizar o conceito de razão para calcular porcentagem: Textos eletrônicos sobre razões. Textos eletrônicos sobre porcentagens. Endereço Eletrônico: m/razoes/razoes-aplic.htm e m.html Orientação Didático-Pedagógica Para que os alunos realizem as atividades referentes a cada dia de aula, sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no Caderno do Aluno: 1 - Explique aos alunos que o material foi elaborado que o aluno possa compreendê-lo sem o auxílio de um professor. 2 - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma individual ou em dupla. 4 - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o. 5 - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos abordados no texto base. 8

9 6 - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas nas ATIVIDADES. 7 - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade. Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação. Aula 1: Entendendo as proporções Caro aluno, nesta aula iremos abordar problemas que envolvem razão e proporção. Todos os dias de nossas vidas medimos coisas e comparamos medidas entre si. Por exemplo, suponha que você possua doze professores neste ano letivo. Sendo que, cinco deles são homens e sete são mulheres. Ao compararmos a primeira medida com a segunda, podemos escrevê-la na seguinte forma de fração. A esta fração podemos chamá-la de razão. 1 CONCEITO DE RAZÃO: Portanto, razão é uma relação entre duas grandezas do mesmo tipo que podemos representá-la das seguintes formas: "a está para b" a : b, com. consequente. Onde o primeiro termo relacionado recebe o nome de antecedente e o segundo, 9

10 EXEMPLO 01: Imagine uma foto 3 x 4, em que a largura mede 3cm e o comprimento mede 4cm. Logo, a razão entre essas medidas é. Assim, 3 é o antecedente e 4 é o consequente. Existem vários outros exemplos de razão. Um exemplo bem conhecido é a escala. Pois com ela relacionamos a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade. EXEMPLO 02: Ao medirmos um determinado mapa, verificamos uma distância de 15 metros de comprimento entre dois objetos. Porém, esta distância foi representada no papel com a medida de 50cm. Qual foi a escala utilizada para fazer este desenho? Resolução: Acompanhe a solução! Dados do problema: Assim, Lembre-se que ambas medidas devem ser tomadas sempre na mesma unidade! Medida da distância no desenho: 50cm Medida da distância real: 15m = 1500cm Isto significa, que cada 1cm representado no desenho corresponde a 30cm reais. Observe que quando duas razões são iguais, dizemos que elas são proporcionais. Assim, uma proporção é a igualdade entre duas razões. EXEMPLO 03: Vamos ampliar a figura abaixo, de tal forma que ela passe a ter 10cm de largura. Observe que não queremos modificar a figura, mas torná-la maior, ou seja, que elas sejam proporcionais. Se aumentarmos as medidas dadas, aleatoriamente, ou ainda, aumentarmos apenas em uma única dimensão, a figura ficará distorcida. Portanto, é necessário que os lados da figura ampliada sejam, respectivamente, proporcionais aos lados da figura original. Para que isto ocorra com sucesso, devemos igualar as duas razões. 10

11 Observe, que para manter a proporção neste caso, as medidas da figura ampliada representam cinco vezes as medidas da figura original. Logo, o comprimento da figura ampliada será de 15cm. Contudo, seria muito trabalhoso ficarmos pensando quantas vezes a figura ampliada representa a figura original. Para isto, usaremos a propriedade fundamental das proporções. Em uma proporção, temos que: e são chamados extremos. e são chamados meios. Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Então, 11

12 Logo, Vamos ao exemplo! EXEMPLO 04: No exemplo anterior tínhamos que. Usando a propriedade acima, temos que:. Resolvendo, teremos: Portanto, chegamos ao mesmo resultado de uma maneira mais prática, certo? Agora é a sua vez de praticar! Atividades Comentadas Em uma sala de aula existem 15 meninas e 20 meninos. Nessas condições, responda: a) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos desta sala? b) Qual é a razão do número de meninos para o número total de alunos desta sala? Resolução: a). Ou seja, existe 4 meninos para cada 3 meninas. b). Ou seja, para cada 7 alunos, 4 são meninos. 02. A altura de Ana é de 160cm e a altura de Beatriz 1,80m. Qual é a razão entre as alturas de Ana e Beatriz? 12

13 Resolução: A principio vamos fazer as devidas conversões: Ana = 160cm Beatriz = 1,80m = 180cm. Observe que as unidades são diferentes! Logo,. 03. Em uma prova de 10 questões, João acertou 6. Dê a razão entre: a) O número questões que ele acertou e o número de questões que errou: b) O número de questões que ele acertou e o número total de questões: Resolução: a) Se a prova tinha 10 questões e ele acertou 6, podemos concluir que ele errou 4 então a razão entre o numero de questões certas e questões erradas é :. b) 04. Um terreno de 10m de comprimento foi representado por um segmento de 5cm. Qual foi a escala utilizada para elaboração deste desenho? Resolução: Mais uma vez, fique atento quanto às unidades de medida! Medida no papel = 5 cm Medida real = 10 m = cm Escala = Isto significa, que 1cm no papel representa 200cm reais. 05. Calcule o valor de nas proporções abaixo: a) 13

14 b) c) d) Resolução: a) b) c) d) 14

15 06. Tenho 36 fitas. Sendo que para cada três fitas azuis, tenho uma fita vermelha. Quantas fitas vermelhas tenho ao total? Resolução: Observe que foi dado o total de fitas. Nisto, incluímos as azuis e as vermelhas. Como para cada 3 fitas azuis temos 1 vermelha, então estamos comparando um total de 4 fitas entre si. Assim, podemos concluir que em cada 4 fitas analisadas 1 delas é vermelha. Portanto, vamos escrever da seguinte forma: Logo, temos 9 fitas vermelhas ao total. Aula 2: Resolvendo problemas utilizando regra de três Olá alunos! Agora que já estudamos as razões e proporções, vamos analisar o contexto em que elas se apresentam. Para isto, esta aula se desenvolverá a partir de exemplos de situações cotidianas. 1 REGRA DE TRÊS SIMPLES: EXEMPLO 01 : Imagine que um determinado professor receba seu salário por aula dada. Vamos supor que para cada aula trabalhada ele receberá 50 reais. Se esse professor trabalhar uma hora por dia, então receberá neste dia 50 reais. Correto? 15

16 AUMENTA AUMENTA Quanto esse professor receberá por dia, se passar a trabalhar 5 horas por dia? Seria mais de 50 reais ou menos? Talvez, você esteja pensando: É claro que é mais! Como você poderia me explicar tal situação? Agora, veja um outro exemplo. EXEMPLO 02 : João é gerente de uma fábrica de agendas personalizadas. A qual produz, a cada 2 dias, 300 agendas. João precisa de apenas 4 funcionários para executar tal tarefa. Porém, quando chegam as festas de fim de ano, as empresas contratam os serviços de João. Mas, eventualmente, algumas encomendas são feitas em cima da hora. Neste ano, João recebeu uma encomenda de 300 agendas para serem fabricadas em apenas 1 dia. apavorou! O que João deverá fazer para atender este pedido? João se Observe que os dois casos tratam de proporções diferenciadas. No primeiro, vemos que se o professor trabalhar mais, maior será o seu salário. Mas, no segundo caso, João precisará produzir o mesmo número de agendas, porém em um tempo menor. Podemos então deduzir que João precisará contratar mais funcionários. Certo? Vamos analisar a solução dos dois casos detalhadamente: 1º caso: Por cada aula dada o professor recebe 50 reais. Se ele trabalhar 5 horas, quanto receberá? Podemos observar que se aumentarmos o número de horas trabalhadas, o valor do salário recebido pelo professor também aumentará. E, se diminuirmos o número de horas trabalhadas, o valor do salário diminuirá. Portanto, estamos falando de grandezas diretamente proporcionais. 1 hora 50 reais 5 horas x reais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Ou seja, quando as setas estão no mesmo sentido. 16

17 DIMINUI AUMENTA Podemos, então escrever da seguinte maneira: Assim, se o professor trabalhar 5 horas por dia, receberá por este dia, 250 reais. Viu como é fácil! Vamos agora ao 2º caso! 2º caso: João sabe que 4 funcionários conseguem produzir 300 agendas em dois dias. Ele precisa produzir este mesmo número de agendas em apenas um dia. A solução vai ser contratar mais funcionários. Mas, quantos? Podemos observar que se aumentarmos o número de funcionários, a quantidade de dias necessário para produzir o mesmo número de agendas diminui. E se quisermos diminuir o número de funcionários a quantidade de dias para efetuar tal produção aumentará. Portanto, estamos falando de grandezas inversamente proporcionais. Neste caso, temos que: 2 dias 4 funcionários 1 dia x funcionários Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Ou seja, quando as setas estão em sentidos contrários. Podemos, então escrever da seguinte maneira: Lembre-se que se as grandezas forem INVERSAMENTE proporcionais, você deve INVERTER a posição da segunda razão, como no exemplo! 17

18 Dessa maneira, podemos concluir que João precisará de 8 funcionários para realizar a tarefa. Os problemas de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por um método chamado regra de três simples. Ou seja, em um problema, são dados três termos conhecidos e encontraremos o quarto termo. EXEMPLO 03 : Carla adora fazer bolo de chocolate. Ela usa a seguinte receita para fazer um bolo. No próximo fim de semana, Carla vai receber alguns amigos em sua casa. Ela precisa fazer três receitas iguais a essa. Quantos ovos serão necessários para que Carla consiga aumentar a receita, mantendo as mesmas características? 18

19 AUMENTA AUMENTA AUMENTA DIMINUI Observe que ela precisa manter a mesma receita! Se ela vai aumentar a receita do bolo, então os ingredientes devem aumentar na mesma proporção. Logo, podemos perceber que as grandezas são diretamente proporcionais. Conhecemos três termos e falta encontrarmos o valor do quarto termo. Observe: 1 receita 4 ovos 3 receitas x ovos Ela vai precisar de 1 dúzia de ovos, ou seja, 12 ovos! EXEMPLO 04 : Agora, vamos supor que uma pessoa utilize o ônibus para ir à escola. Geralmente, este ônibus, com uma velocidade média de 60km/h, leva 1 hora para completar tal percurso. Porém, imagine que em um determinado dia houve um grande engarrafamento. O mesmo ônibus levou 2 horas para concluir o mesmo percurso diário. Nas condições acima, qual foi a velocidade média alcançada pelo ônibus? Vejamos, se o ônibus normalmente leva 1 hora para percorrer a distância citada a uma velocidade média de 60km/h, e neste dia em especial, levou 2horas para percorrer a mesma distância. Podemos concluir que ele andou mais lentamente. Você pode observar que as grandezas velocidade média e horas são inversamente proporcionais. Pois se o veículo em questão leva mais tempo em uma mesma distância significa que sua velocidade média foi menor. Então podemos escrever assim: 1 hora 60 km/h 2 horas x km/h 19

20 Conhecemos três termos e falta encontrarmos o valor do quarto termo. Logo, o ônibus percorreu a distância com uma velocidade média de 30km/h. Neste momento, gostaria de chamar a sua atenção para problemas que envolvem porcentagem e que podem ser resolvidos pelo método de regra de três simples. Mas antes, vamos recordar a ideia de porcentagem. 1 PORCENTAGEM: Porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Por isso, por cento. E pode ser representada pelo símbolo %. Vale ressaltar que, podemos representar uma porcentagem de maneiras diferentes. Veja como podemos expressar trinta por cento. 1) Forma de fração. 2) 0,3 Forma de decimal exato, que é obtido dividindo-se 30 por ) 30% Forma de taxa percentual. EXEMPLO 01 : 20

21 AUMENTA AUMENTA Como calcular 20% de um determinado valor? É fácil! Basta escrever essa taxa percentual na forma fracionária e depois multiplicá-la pelo valor dado. Observe: EXEMPLO 02 : Como calcular 20% de 400? Logo, 20% de 400 é igual a 80. Viu como é prático! Agora, vamos apresentar este assunto na forma de um problema do cotidiano. Suponhamos que em sua escola possua 800 alunos. De acordo com os dados do senso escolar, 38% são meninos. Qual é o número de meninos em sua escola? Acompanhe a solução: Desse modo, o número de meninos na escola é igual a 304. EXEMPLO 03 : Em uma classe, 75% dos alunos foram aprovados. Este 75% corresponde a 30 alunos. Qual é o número total de alunos nessa classe? Neste exemplo, queremos saber qual é o valor total de alunos nessa classe. Você pode observar que possuímos o valor de três termos e procuramos o valor do quarto termo. Podemos solucionar este problema pelo método da regra de três simples. 75% 30 alunos 21

22 100% x alunos Portanto, o total de alunos, nesta classe, é igual a 40. Viu como podemos resolver diversos problemas utilizando a regra de três simples. Agora, você precisa pôr em prática o que aprendeu. Vamos lá? Atividades Comentadas Calcule: a) 10% de 550= b) 25% de 480= c) 7% de 200= Resolução: a) b) c) 02. Uma blusa custa 28 reais. Mas se eu efetuar o pagamento à vista terei 15% de desconto. 22

23 AUMENTA AUMENTA a) Qual será o valor desse desconto? b) Quanto pagarei pela blusa, se efetuar o pagamento à vista? Resolução: a) Basta calcularmos 15% de 28, Ou seja, o desconto será de R$4,20 b) Podemos resolver este problema de duas formas diferentes. Vejamos cada uma delas! 1ª) Como pagarei à vista, devo retirar do valor total da blusa, o valor do desconto a ser dado. Portanto, 28-4,2=23,8 Ou seja, pagarei R$23,80. 2ª) Como o desconto será de 15%, significa que pagarei apenas 85% do valor da blusa. Assim, basta calcular 85% de 28. Isto significa que pagarei R$23, Comprei 7 metros de fita por 14 reais. Quanto pagarei por 13 metros dessa mesma fita? Resolução: Observe que se eu comprar mais metros dessa fita, maior será o valor a pagar. Portanto, as duas grandezas são diretamente proporcionais. Temos então: 7 metros 14 reais 13 metros x reais 23

24 AUMENTA DIMINUI Portanto, pagarei 26 reais por 13 metros de fita. 04. Com quatro pedreiros podemos construir um muro em três dias. Em quantos dias seis pedreiros podem construir o mesmo muro? Resolução: Observe que se quatro pedreiros constroem um muro em três dias, então seis pedreiros levarão menos dias para construí-lo. Portanto, as duas grandezas são inversamente proporcionais. Temos então: 4 pedreiros 3 dias 6 pedreiros x dias Portanto, seis pedreiros levarão dois dias para construir o mesmo muro. 05. Numa classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados? Resolução: Observe que como é pedido a taxa de porcentagem, precisamos apresentar uma correspondência com o total. Veja: o total de alunos é 40. Podemos dizer que 40 alunos representa 100% do problema. Logo, 32 alunos representam quantos por cento. Utilizando a regra de três simples, temos: 24

25 AUMENTA AUMENTA 40 alunos 100% 32 alunos x % Portanto, 32 alunos representa 80% dos de alunos dessa classe. Aula 3: Razões trigonométricas. Caro aluno, existem situações-problemas em que a coleta de dados se dá de forma prática e simples. Porém, há outras situações em que a coleta de dados torna-se muito difícil. Imagine que você precisa fazer uma determinada medição para agregar informações em uma determinada prefeitura. Uma de suas tarefas é apresentar a distância entre as duas margens de um rio, o qual não é possível atravessar. Ou ainda, medir a altura de um prédio sem ter acesso ao seu topo. Sabe como isso pode ser feito? Utilizando a trigonometria! Nesta aula, veremos como é possível medir grandes distâncias a partir de relações existentes entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. A essas relações chamamos de relações trigonométricas nos triângulos. Observe que trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Em especial, nesta aula, veremos a aplicação dessas relações apenas nos triângulos retângulos. Antes de apresentarmos os exemplos, vamos relembrar alguns conceitos! 25

26 1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS: Seja o triângulo ABC da figura abaixo: Observe que o ângulo A e o ângulo C medem juntos 90. Você sabe o por quê? Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 e o ângulo B mede 90. Então, o ângulo A mais o ângulo C medem 90. Podemos dizer que eles são ângulos complementares. Quando comparamos as medidas dos lados de um triângulo observando um determinado ângulo, determinamos razões trigonométricas a partir desse ângulo. Tem-se o mesmo triângulo anterior. Porém, vamos considerar o ângulo C como referência para construção dessas razões. Antes de compararmos as medidas dos lados deste triângulo, vamos nomear cada lado a partir do ângulo C, por exemplo: O lado AC é oposto ao ângulo reto do triângulo ABC, como mostra a figura abaixo. DICA: Em um triângulo retângulo, a hipotenusa será sempre o maior lado! A este lado chamemos de hipotenusa. 26

27 Após localizarmos o lado que representa a hipotenusa do triângulo, sobram outros dois. Esses outros lados recebem o nome de catetos. O nosso intuito é comparar as medidas dos lados do triângulo a partir do ângulo C dado. Para isto, chamaremos o lado BC de cateto adjacente, que significa aquele que está junto ao ângulo. E o lado AB de cateto oposto, que significa o lado oposto ao ângulo dado. Observe que se estivéssemos comparando as medidas dos lados do triângulo a partir do ângulo A dado, chamaríamos o lado BC de cateto oposto e o lado AB de cateto adjacente. Agora, após denominarmos os nomes a cada lado desse triângulo podemos montar as seguintes razões: I A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo dado e a medida da hipotenusa, chamamos de seno do ângulo. II A razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa, chamamos de cosseno do ângulo. 27

28 III A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo dado e a medida do cateto adjacente ao ângulo, chamamos de tangente do ângulo. Vejamos o exemplo a seguir: EXEMPLO 01 : Calcule as razões seno, cosseno e tangente do ângulo F do triângulo DEF ao lado. Resolução: Observe que primeiro precisamos nomear os lados a partir do ângulo F. Temos então: O seno, o cosseno e a tangente são as principais razões trigonométricas. 2 TABELAS TRIGONOMÉTRICAS: As razões trigonométricas são aplicadas à resolução de muitos problemas. Para isto, é comum recorrermos as tabelas trigonométricas, na qual são fornecidos os valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 1 a

29 A construção das primeiras tabelas trigonométricas deveu-se ao astrônomo grego Hiparco de Niceia ( a.c.). Mas, hoje em dia, é muito comum calculadoras fornecerem os valores dessas razões. Por isso, estudaremos apenas as razões trigonométricas referentes aos ângulos notáveis, ou seja, que aparecem com frequência em problemas. São eles: 30, 45 e 60. Observe a tabela: Seno Cosseno Tangente 1 EXEMPLO 01 : Você precisa medir a altura de um prédio. Para isto se afasta 40 metros deste. Dentro do seu campo de visão e com a ajuda de um instrumento que mede ângulos, o teodolito. Você determinou que o ângulo formado entre a linha do horizonte e o topo do prédio é de 60. Sabendo que a sua altura é igual a 1,60m. Qual é a altura do prédio que você está observando? Observe o esquema abaixo: 29

30 Primeiro, precisamos achar o valor de x. Sendo assim, vamos nomear os lados do triângulo dado. Como o ângulo dado é 60. Então nomearemos a partir deste ângulo. Daí, temos que: 40m é a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60 ; x é a medida do cateto oposto ao ângulo de 60. Como as informações dadas referem-se aos catetos oposto e adjacente, devemos analisar a razão tangente entre eles. Pois é esta razão que relaciona o cateto oposto e o cateto adjacente entre si. Podemos escrever assim: Lembre-se que devemos sempre utilizar as informações da tabela dada. Da qual, temos que. Portanto, basta aplicarmos a substituição: Resolvendo, temos: Vamos usar o valor aproximado para. Assim, Mas, cuidado! 68 é a medida do valor de x e não a altura do prédio. Para acharmos a medida da altura do prédio devemos somar a este resultado a altura do observador. 30

31 Portanto, a altura do prédio em questão é de 69,60m. Que tal exercitar um pouco? Faça as atividades propostas, e em caso de dúvidas retorne aos exemplos apresentados! Atividades Comentadas Considere o triângulo ao lado e responda as seguintes questões: a) Qual é a medida da hipotenusa? b) Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo Q? c) Qual é a medida do cateto adjacente ao ângulo Q? d) Calcule o seno do ângulo Q: e) Calcule o cosseno do ângulo Q: f) Calcule a tangente do ângulo Q: Resolução: a) A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto do triângulo dado. Portanto, o lado QR que mede 20cm. b) O cateto oposto ao ângulo Q é o lado PR. Portanto, mede 16cm. c) O cateto adjacente ao ângulo Q, é o lado que está junto ao ângulo Q. Logo, o lado PQ, que mede 12cm. d) O seno do ângulo Q é obtido a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo Q e a hipotenusa do triângulo PQR. Podemos escrever da seguinte maneira: 31

32 e) O cosseno do ângulo Q é obtido a partir da razão que relaciona o cateto adjacente ao ângulo Q e a hipotenusa do triângulo PQR. Podemos escrever da seguinte maneira: f) A tangente do ângulo Q é obtida a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo Q e o cateto adjacente ao ângulo Q. Podemos escrever da seguinte maneira: 02. Calcule o valor de x no triângulo abaixo: Resolução: Primeiro vamos nomear os lados do triângulo dado usando como referência o ângulo de 30. Note que: x é a hipotenusa do triângulo; 6 é o cateto oposto ao ângulo de 30 Como conhecemos o cateto oposto e estamos procurando o valor da hipotenusa, então a razão que relaciona esses dados é o seno. Assim, temos que: Como o valor de seguinte forma:, conforme apresentado na tabela. Podemos substituir da 32

33 Agora, basta resolver a proporção: Logo, o valor de x na figura acima é igual a Um carpinteiro precisa construir um telhado utilizando uma madeira de 3 metros, conforme figura abaixo. A recomendação do fabricante das telhas que serão utilizadas, informa que a inclinação correta para este telhado deve ser de 30. Sabendo disso, qual será a altura (x) correta para que a instalação deste telhado obedeça as especificações? Resolução: Vamos reescrever os dados do problema em um triângulo retângulo. Observe que: o ângulo de referência é 30 ; hipotenusa mede 3m; Note que o cateto oposto ao ângulo de 30 mede x. Como conhecemos a hipotenusa e estamos procurando o valor do cateto oposto, então a razão que relaciona esses dados é o seno. Assim, temos que: 33

34 Como o valor de seguinte forma:, conforme apresentado na tabela. Podemos substituir da Agora, basta resolver a proporção: Portanto, a altura do telhado deve ser de 1,5m. Avaliação Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa. Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se utilizar a seguinte pontuação: Saerjinho: 2 pontos Avaliação: 5 pontos Pesquisa: 3 pontos Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como uma das três notas. Neste caso teríamos: Participação: 2 pontos Avaliação: 5 pontos Pesquisa: 3 pontos A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este bimestre. 34

35 Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação dos alunos. As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada 02. Avaliação Comentada aluno: Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades do 01. Em uma pesquisa com o total de 350 alunos. Obteve-se os seguintes resultados: 210 são meninas; 10% tem mais 18 anos ou mais; Em cada 5 alunos pesquisados, 4 mora próximo à escola. Com base nos dados acima, responda as seguintes questões: a) Qual é a razão entre o número de meninas e o número de meninos? b) Qual é o número de alunos com menos de 18 anos? c) Quantos alunos moram próximo à escola? Resolução: a) Observe que o total de alunos é igual a 350. Como o número de meninas é igual a 210. Podemos efetuar =140. Logo, o número de meninos é igual a 140. Agora, como conhecemos o número de meninas e o número de meninos, podemos escrever da seguinte maneira: b) Com base nos dados acima, temos que 10% do número de alunos da pesquisa possuem 18 anos ou mais. Sendo assim, 90% desses alunos possuem menos de 18 anos. Portanto, basta calcularmos 90% do total de alunos entrevistados.. Logo, 315 alunos possuem menos de 18 anos. 35

36 c) Observe que podemos escrever uma razão entre o número de alunos pesquisados e o número de alunos que moram próximo a escola. Como o total de alunos entrevistados é igual a 350. Podemos escrever uma proporção: Resolvendo, Assim, temos que dos 350 alunos entrevistados, 280 moram próximo à escola. 02. A razão entre a altura de Izabela e Fabiana é. A altura de Izabela é 160 cm. Qual é a altura de Fabiana? Resolução: Como conhecemos a altura de Izabela, podemos dizer que: Portanto, Fabiana mede 96cm. 36

37 AUMENTA DIMINUI 03. Uma torneira despeja 12 litros de água por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto? Resolução: Como a torneira passará a despejar mais água por minuto, significa que levará menos tempo para encher a caixa. Sendo assim, podemos dizer que as grandezas são inversamente proporcionais. 12 litros 5 horas 20 litros x horas Então, devemos inverter a segunda razão: Portanto, esta torneira levará 3 horas para encher a mesma caixa. 04. Considere o triângulo abaixo e responda as seguintes questões: a) Qual é a medida da hipotenusa? b) Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo B? c) Qual é a medida do cateto adjacente ao ângulo B? d) Calcule o seno do ângulo B: e) Calcule o cosseno do ângulo B: f) Calcule a tangente do ângulo B: 37

38 Resolução: a) A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto do triângulo dado. Portanto, o lado AB que mede 6. b) O cateto oposto ao ângulo B é o lado AC. Portanto, mede 5. c) O cateto adjacente ao ângulo B, é o lado que está junto ao ângulo B. Logo, o lado BC, que mede 3,4. d) O seno do ângulo B é obtido a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa do triângulo ABC. Podemos escrever da seguinte maneira: e) O cosseno do ângulo B é obtido a partir da razão que relaciona o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa do triângulo ABC. Podemos escrever da seguinte maneira: f) A tangente do ângulo B é obtida a partir da razão que relaciona o cateto oposto ao ângulo B e o cateto adjacente ao ângulo B. Podemos escrever da seguinte maneira: 05. O prefeito de uma cidade quer fazer do Morro da Cruz um local para atrair turistas. Para isto, pretende construir um teleférico a fim de tornar mais acessível o ponto mais alto do morro (o ponto B). A altura do ponto B, em relação ao solo, é de 1250 metros. Os engenheiros recomendaram o ponto A, como ponto de partida do teleférico. Qual é a distância do ponto A ao ponto C, de acordo com a figura apresentada abaixo? Resolução: Vamos reescrever o problema através do desenho do triângulo ABC. 38

39 A partir das informações obtidas no enunciado da questão, note que: o ângulo de referência é 45 ; o lado BC, que mede 1250m, é o cateto oposto ao ângulo de 45 ; observe que o lado AB, que mede x, é o cateto adjacente ao ângulo de 45. Como conhecemos o cateto oposto e estamos procurando o valor do cateto adjacente, então a razão que relaciona esses dados é a tangente. Assim, temos que: Como o valor de da seguinte forma:, conforme apresentado na tabela. Podemos substituir Agora, basta resolver a proporção: Portanto, a distância do ponto A ao ponto C é de 1250m. Pesquisa Professor Aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais assuntos relativos ao 2 bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles em suas vidas. É um momento onde a busca do conhecimento é aguçada, trazendo o aluno para um universo diferente, onde as respostas buscadas se tornam desafios, tirando muitas 39

40 vezes o aluno de um estado de acomodação e contribuindo para formar novos pesquisadores. Na pesquisa você provavelmente encontrará diversos respostas distintas, por isso, neste documento não responderemos as questões propostas. O aluno deverá responder a pesquisa após interagir com os colegas, assistir a videos, pesquisar na internet ou em literaturas diversas. Oriente-o a ler atentamente as questões respondendo cada uma delas de forma clara e objetiva. ATENÇÃO: Não se esqueça de ressaltar a importância de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites nos quais foram utilizados. Seguem algumas sugestões e propostas para a realização da pesquisa referente aos assuntos do 2 Bimestre: I Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar razões e proporções. Espera-se que o aluno seja capaz de identificar relações entre grandezas do mesmo tipo ocorridas no seu cotidiano, como por exemplo, a utilização de uma escala, a ampliação ou diminuição de uma imagem, ou ainda, a proporção que existe na forma humana. Esta atividade não tem o objetivo de verificar se o aluno responderá formalmente, mas se ele entendeu a noção de razão e proporção apresentada através das relações por ele expostas, e se ele é capaz de representá-la. II Agora que estudamos o conteúdo de razão e proporção e vemos que elas estão ligadas às formas, estruturas, e de certa forma definem um conceito de beleza e harmonia. Podemos verificar que tais conceitos influenciam a música. Por exemplo, através da proporção áurea, sistemas de afinação, entre outros. Explique como se dá a razão e proporção na música. Como ela interfere na harmonia e afinação. Apresente alguns exemplos de sua aplicação. ( ATENÇÃO: Fazer esta parte da atividade em uma folha separada! ) 40

41 Caro Professor, este item tem o objetivo de verificar se o aluno foi capaz de perceber que as razões tem uma utilização no nosso cotidiano, em especial na música. Então, ele deverá apresentar a influência da razão áurea e falar um pouco da influência da matemática na música. Ressaltando a representação através de razões da harmonia e afinação. Esta atividade tem, ainda, a finalidade de associar o aprendizado adquirido à Artes e, ainda, suscitar no aluno interesse por outros campos de conhecimento. Referências [1] DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria Plana. 8 ed. São Paulo: Atual, 2006 [2] IEZZE, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6ª. Edição. São Paulo: Atual, [3] PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2006 [4] MARTAIX, M. El Discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo, Equipe de Elaboração 41

42 COORDENADORES DO PROJETO Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa Coordenação de Áreas do Conhecimento Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva Ivete Silva de Oliveira Marília Silva COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática PROFESSORES ELABORADORES Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro Jonas da Conceição Ricardo Reginaldo Vandré Menezes da Mota Tarliz Liao Vinícius do Nascimento Silva Mano Weverton Magno Ferreira de Castro 42

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47 CIEP 456 Marco Polo Matemática 2º ano: exercícios de proporções 2º TRABALHO - 2 bim Aluno: Turma: Data: Justifique as respostas.

48 CIEP 456 Marco Polo Matemática 2º ano: exercícios de proporções -AULA - 2 bim Aluno: Turma: Data: Justifique as respostas. 1

49 CIEP 456 Marco Polo Matemática 2º ano: exercícios de porcentagem 3º TRABALHO - 2 bim Aluno: Turma: Data: Justifique as respostas.