Matemática. Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada Ano 2 Bimestre. Disciplina Curso Bimestre Série

Transcrição

1 Matemática Aluno Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada 02 9 Ano 2 Bimestre Disciplina Curso Bimestre Série Matemática Ensino Fundamental 2 9 Habilidades Associadas 1. Utilizar a equação do 2 grau para resolver problemas significativos 2. Resolver problemas envolvendo o cálculo da soma e do produto das raízes sem resolver a equação 3. Compor uma equação do 2 grau, conhecidas suas raízes 4. Utilizar o teorema de Pitágoras na dedução de fórmulas relativas a quadrados e triângulos eqüiláteros 5. Construir alguns números irracionais utilizando o Teorema de Pitágoras

2 Apresentação A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores docentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da autorregulação. Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site a fim de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas. Estamos à disposição através do curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. Secretaria de Estado de Educação 2

3 Caro aluno, Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas habilidades e competências do 2 Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 9 ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de um mês. A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do século XXI. Neste caderno de atividades, vamos estudar a equação do 2 grau e as propriedades de suas raízes como a soma e o produto. O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais importantes da matemática e por isso faz parte do nosso estudo, assim como os desdobramentos de sua aplicação no quadrado e no triângulo eqüilátero. Para finalizar, vamos aprender a posicionar alguns números irracionais na reta utilizando o teorema de Pitágoras. Este documento apresenta 6 (seis) aulas. As aulas podem ser compostas por uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se, ainda, uma avaliação sobre o assunto. Um abraço e bom trabalho! Equipe de Elaboração. 3

4 Sumário Introdução Aula 1: Equação do 2 grau... Aula 2: Raízes de uma equação do 2 grau... Aula 3: Compor a equação do 2 grau através das raízes... Aula 4: Teorema de Pitágoras... Aula 5: Aplicações notáveis do Teorema de Pitágoras... Aula 6: Números Irracionais e o Teorema de Pitágoras... Avaliação... Pesquisa Referências

5 Aula 1: Equação do 2º grau Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre as equações do 2 grau. Vamos aprender que a equação do 2 grau é uma importantíssima ferramenta para resolver problemas que estão diretamente ligados ao nosso cotidiano. Então vamos lá! 1 EQUAÇÃO DO 2 GRAU: Uma equação é dita do 2 grau quando o maior expoente de sua incógnita é igual a dois. Nesta aula, vamos estudar as equação do 2 grau escritas na forma reduzida que se apresentam da seguinte forma:, onde a, b e c são números reais, chamados de coeficientes e a 0. São exemplos de equações do 2 grau: a), onde a = 1, b = 2 e c = -1. b), onde a = 3, b = 1 e c = 5. c), onde a = 1, b = 0,6 e c = 0. d), onde a =, b = 0 e c = 1. Você notou que em alguns exemplos, b e c eram nulos? O único coeficiente que não pode ser nulo é o a! 5

6 2 RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO DO 2 GRAU: Para resolver uma equação do 2 grau utilizaremos os coeficientes a, b e c e iremos aplicar a fórmula de Bhaskara. Bhaskara foi um matemático indiano que viveu no século XII, e enunciou o seguinte: Dada uma equação do 2 grau na forma temos que, onde A letra grega delta ( ) é chamada de discriminante da equação do 2 grau. Ele é muito importante para que a equação tenha solução. Note que o discriminante ( ) está dentro de uma raíz quadrada, logo ele deve ser maior ou igual a zero para que a equação possua pelo menos uma solução. Veja alguns exemplos: a) A principio, vamos identificar os coeficientes: a = 1 b = 3 c = Em seguida, vamos encontrar o valor do discriminante, substituindo os valores indicados acima na equação abaixo: Como o discriminante é positivo, vamos calcular as soluções da equação de acordo com a Fómula apresentada no inicio desta aula: 6

7 Note que como o valor de para a equação: pode ser + 5 ou 5, temos dois resultados Logo, S = {-4, 1}. b) Seguindo o mesmo procedimento do exemplo anterior, vamos encontrar os coeficientes: a = 1 b = 2 c = 1 E em seguida, encontramos o valor do discriminante conforme o calculo abaixo: Neste caso, como o discriminante é nulo, distintos. Observe como vamos calcular a solução da equação: não teremos dois resultados Logo, S = {2}. 7

8 c) Nesta equação temos os seguintes coeficientes: a = 1 b = 5 c = 7 Substituindo os valores dos coeficientes na equação, encontramos o seguinte resultado: Como o discriminante é negativo, note que a equação não apresenta solução real, pois o valor não pertence ao conjunto dos números reais. Logo S = ou S = { }. Observe que o número de soluções depende do valor do discriminante: 1 Caso: Se temos duas soluções reais. 2 Caso: Se temos uma solução real. 3 Caso: Se não temos solução real. Bom estudo! Agora chegou a hora de aplicar os conhecimentos adquiridos nesta aula!!! Atividade Observe as equações do 2 grau na forma reduzida e identifique os valores dos coeficientes a, b e c: a) a = b= c = 8

9 b) a = b= c = c) a = b= c = 02. Escreva as equações na forma irredutível:. a) 3x 2 4x = 4 b) x = 6 5x 2 c) 7x + 4x 2 = 9 2x 03. Assinale quantas raízes possui cada uma das equações abaixo: ( DICA: Basta calcular o valor do discriminante.) a) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 b) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 c) ( ) 0 ( ) 1 ( ) Dadas as equações do 2 grau abaixo, calcule, quando possível, o conjunto solução: a) b) c) 9

10 Aula 2: Raízes de uma equação do 2 grau Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre as raízes de uma equação do 2 grau, mais especificamente, aprenderemos sobre um método que facilita a extração das raízes. É o método de soma e produto das raízes de uma equação do 2 grau. Com essas ferramentas muitos problemas aparentemente difíceis se tormam mais simples! Vamos à aula! 1 SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES: Em uma equação do 2º grau do tipo, com, podemos ter três situações: 1 Caso:, duas raízes reais e distintas. 2 Caso:, duas raizes reais reais e iguais. 3 Caso:, não há raiz real. Quando uma equação do 2 grau possui raízes reais, já vimos que suas raízes são expressas por:. Ou seja, uma raíz é e a outra raíz é. Então, podemos calcular a soma e o produto das raízes, observe: Soma (S): 10

11 Produto (P): Portanto, a soma das raízes e o produto das raízes podem ser calculado através da seguintes formulas: Soma : Produto : Através destas fórmulas, podemos solucionar as equações do 2º grau de forma simples e prática. Dada a equação suas raízes, mesmo sem conhecê-las., vamos calcular a soma e o produto das Utilizando as fórmulas acima, temos: e. Nesta equação a soma das raízes é 5 e o produto das mesmas é 4, podemos facilmente perceber que as raízes desta equação são 1 e 4, pois = 5 e 1.4 = 4. 11

12 Observe que foi muito fácil perceber quais eram as raízes utilizando este método, mas existem equações em que não será tão fácil assim. Nestas continuaremos utilizando o método de Bhaskara. Vamos testar o que acabamos de aprender? Qualquer dúvida retome aos exemplos! Bom estudo! Atividade Quais números naturais tem soma 7 e produto igual a 12? 02. Quais números naturais tem soma 2 e produto igual a 15? 03. Dada a equação do 2 grau, calcule: a) A soma das raízes. b) O produto das raízes. c) As raízes, sem utilizar o método de Bhaskara. 04. Dada a equação do 2 grau, calcule: a) A soma das raízes. b) O produto das raízes. c) As raízes, sem utilizar o método de Bhaskara. 05. Encontre as raizes das equações abaixo usando soma e produto: a) b) c) 12

13 Aula 3: Compor a equação do 2 grau através das raízes Nesta aula vamos aprender como descobrir qual é a equação do 2 grau dada suas raízes. Para isso, utilizaremos os conceitos aprendidos na aula anterior, que são a soma e o produto das raízes da tal equação. 1 COMPOR UMA EQUAÇÃO DO 2 GRAU CONHECENDO SUAS RAÍZES: Aprendemos na última aula que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2 grau na forma, são dadas, respectivamente, por e. Vamos dividir a equação na forma reduzida pelo coeficiente a, já que a é sempre diferente de zero: Note que podemos substituir por e por. Assim, nossa equação será escrita da seguinte forma: Veja alguns exemplos: a) Vamos descobrir qual equação do 2 grau possui raízes iguais a 2 e 3: Observe que a soma e o produto das raízes são respectivamente, e. Sendo assim, pela fórmula apresentada nesta aula, a equação do 2 grau que possui estas raízes será dada por:. S P 13

14 b) Vamos descobrir qual equação do 2 grau possui raízes iguais a 1 e 5. Utilizando o mesmo procedimento do exemplo anterior, note que a soma e o produto das raízes são respectivamente, e. Substituindo esses valores na fórmula:, vamos obter a seguinte equação:. c) Vamos descobrir qual equação do 2 grau possui raízes iguais a 6 e 3. Neste exemplo devemos ter um cuidado especial com os sinais. De acordo com os dados apresentados temos que a soma e o produto das raízes são respectivamente, e. Substituindo esses valores na fórmula:, vamos obter a seguinte equação:. Agora é o momento de testar se você aprendeu, faça as atividades abaixo com bastante atenção! Bom estudo! Atividade Encontre a equação do 2 grau que possui raízes com valores iguais a: a) 4 e 2. c) 3 e 5. b) 1 e 7. d) 11 e 2. 14

15 02. A equação do 2 grau possui raízes igual a 1 e 2, assim calcule os valores de e. ( DICA: Substitua os coeficientes na Fórmula de Soma e Produto ) 03. Algumas equações do 2 grau possuem raízes com valores -3 e 2. Monte uma equação que possui tais raízes. 04. Em uma equação do 2 grau tanto a soma como o produto das raízes são iguais a 2, ou seja, S = P = 2. Monte uma equação do 2 grau que possui tais características. 15

16 Aula 4: Teorema de Pitágoras Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre o Teorema de Pitágoras. Um famoso matemático que nasceu em uma cidade chamada Samos, por volta do ano 570 a.c. Pitágoras foi um dos matemáticos gregos mais importantes da história da matemática. Na Grécia, Pitágoras fundou uma sociedade secreta chamada de Irmandade Pitagórica, onde chegou a ter muitos seguidores que estudavam sobre filosofia e matemática. Ficou curioso? Vamos para aula então!!! Fonte: oras1.jpg 1 TEOREMA DE PITÁGORAS: O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90. O triângulo retângulo é formado por dois catetos (lados que formam o ângulo reto) e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. De acordo com a figura, a hipotenusa é o lado a e são catetos os lados b e c. O Teorema de Pitágoras diz o seguinte: O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Ou seja, de acordo com a figura,. 16

17 EXEMPLO 01: Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. Resolução: O seguimento desconhecido neste exemplo é a hipotenusa. Dados os valores dos dois catetos, poderemos através da Fórmula obter alguns dados importantes, tais como b = 9 e c = 12. Logo, recorrendo ao Teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x temos; Através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja: EXEMPLO 02: Calcule o valor de x no triângulo abaixo: Resolução: 17

18 EXEMPLO 03: Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo. Resolução: EXEMPLO 04: Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir: Qual é a medida do comprimento do cabo de aço? Resolução: Note que a diferença das alturas dos prédios é a medida de um cateto, ou seja, 25m 15m = 10m. E a distância entre os prédios é a medida do outro cateto, 40m. Assim, pelo Teorema de Pitágoras temos: 18

19 Logo o cabo de aço mede aproximadamente 41,2 m. Agora temos que verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e em caso de dúvidas retorne aos exemplos. Bom estudo! Atividade João colocou uma tábua de madeira na porteira de sua fazenda, como mostra a figura. Determine o comprimento desta tábua que foi colocada na diagonal da porteira. 02. Um avião percorreu a distância de metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu metros. Determine a altura do avião. 03. Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 19

20 04. Pedro e João estão na pracinha e adoram brincar na gangorra, como indica a figura: Fonte: A altura máxima que cada amigo pode atingir é de 60 cm. Qual o comprimento dessa gangorra? ( DICA: Lembre-se de passar todas as medidas para centímetros.) 05. Um retângulo tem altura medindo 12 cm e sua diagonal medindo 15 cm. Determine a medida da largura deste retângulo 20

21 Aula 5: Aplicações notáveis do teorema de Pitágoras Olá alunos, nesta aula vamos estudar duas aplicações notáveis do Teorema de Pitágoras, uma delas para calcular a diagonal de um quadrado e a outra para calcular a altura de um triângulo equilátero. Estas ferramentas serão muito úteis em geometria. Vamos à aula! 1 DIAGONAL DO QUADRADO: O quadrado é um quadrilátero que possui os quatro lados com a mesma medida e os quatro ângulos internos medindo 90. Denotamos a medida do lado do quadrado por e queremos escrever a diagonal em função de, para isso vamos utilizar o teorema de Pitágoras. Você pode observar na figura que a diagonal parte o quadrado em dois triângulos retângulos congruentes com catetos medindo e hipotenusa medindo, desse modo aplicando o teorema, temos: Vamos calcular a diagonal de um quadrado de lado 3cm. Aplicando a fórmula que acabamos de aprender, constatamos que a diagonal de um quadrado de lado 3cm será dado por: cm. 21

22 2 ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO: O triângulo equilátero possui todos os três lados com a mesma medida e os três ângulos internos medindo 60. Traçando a altura do triângulo equilátero, você pode notar que ela o divide em dois triângulos retângulos congruentes, onde o lado do triângulo equilátero, denotado por, é a hipotenusa e os catetos são a altura do triângulo equilátero, denotado, e metade de um de seus lados. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: Vamos calcular a altura de um triângulo equilátero com lado medindo 2cm. Aplicando a fórmula que acabamos de aprender, cm. Viu como é fácil?! Vamos fazer as atividades? 22

23 Atividade Calcule o valor da diagonal de todos os quadrados abaixo: a) b) 02. Calcule o valor da altura do triângulo equilátero abaixo: 03. Calcule o valor do lado do quadrado abaixo: 04. Calcule a altura de um triângulo equilátero com lado medindo cm. 23

24 Aula 6: Números irracionais e o Teorema de Pitágoras Caro aluno, nesta aula vamos aprender a posicionar na reta alguns números irracionais com origem em raízes quadradas não exatas utilizando para isso o Teorema de Pitágoras. Veja que este teorema tem mais uma aplicação importante! 1 POSIÇÃO DA : Você já viu na aula 4, exemplo 2, que a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1, mede. Agora vamos mostrar como posicionar exatamente o na reta numérica utilizando este triângulo. Utilizando um arco de circunferência transferimos o segmento hipotenusa de tamanho irracional. para a reta numérica, nos apresentando a posição exata deste número Uma boa aproximação da é 1,41. Compare com a posição que encontramos na reta! 24

25 2 POSIÇÃO DA : Vamos dar continuidade ao raciocício anterior. Observe que um triângulo retângulo com catetos medindo e 1, possui hipotenusa medindo. Basta aplicar o Terorema de Pitágoras para conferir! Assim, nossa figura agora é: Utilizando novamente um triângulo retângulo conseguimos a posição exata na reta numérica de mais um número irracional, lembre que uma boa aproximação para a é 1,73 e compare com a posição que achamos na reta numérica. 3 OUTRAS RAÍZES QUADRADAS: Com este método podemos encontrar também,, e assim por diante. Veja a figura abaixo e conclua que podemos construir as raízes de todos os números naturais através deste processo: 25

26 Mas e se quisermos constuir a? Nós teremos que fazer muitas construções? A resposta é não! É por isso que a matemática é facinante, nós podemos utilizar o teorems de Pitágoras e construir um triângulo com catetos medindo 2 e 3. Note que 2² + 3² = = 13, logo a hipotenusa seria a. Agora chegou a hora das atividades, vamos ver se entendemos tudo desta aula. Qualquer dúvida volte aos exemplos! Atividade Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1 e 2. E explique como você faria para posicionar o número encontrado na reta numérica. 02. Quais números naturais poderiam ser os valores dos catetos de um triângulo retângulo com hipotenusa medindo Como você posicionaria na reta numérica? Explique e faça um desenho utilizando régua e compasso! 03. Dê os valores inteiros para os catetos de um triângulo retângulo com hipotenusa medindo. Explique como você posicionaria este número na reta numérica. 04. Você pôde verificar alguns irracionais posicionados na reta. Então responda: como você posicionaria o número na reta numérica? 26

27 Avaliação Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários. Vamos lá, vamos tentar? 01. Calculando as raízes da equação do 2 grau, encontramos: (A) -2 e 5 (B) -5 e 3 (C) -3 e 5 (D) -15 e Dada a equação do 2 grau a soma e o produto das raízes são, respectivamente: (A) 4 e 10 (B) 2 e 5 (C) -2 e -5 (D) -4 e Sabendo que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2 grau são respectivamente 3 e 4, a equação pode ser: (A) (B) (C) (D) 27

28 04. Utilizando o Teorema de Pitágoras, calcule o valor de x conforme a figura abaixo: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) Calculando o valor da altura do triângulo equilátero da figura encontramos: (A) (B) (C) (D) 06. Observe bem a figura e responda: Qual das raízes abaixo foi marcada na reta numérica? (A) (B) (C) (D) 28

29 Pesquisa Caro aluno, agora que já estudamos os principais assuntos relativos ao 2 bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então, vamos lá? Iniciamos este estudo reconhecendo e resolvendo equações do 2 grau, trabalhando com a soma e produto das suas raízes e encerramos com o Teorema de Pitágoras e suas aplicações. Espero que você tenha entendido tudo com clareza! Agora, vamos fazer uma pesquisa para que estes conceitos fiquem consolidados. Vamos lá! ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites nos quais foram utilizados. I Faça uma busca na internet sobre o matemático Indiano Bhaskara e relate as principais características (onde e quando nasceu, onde viveu, o que estudou, quais os principais legados que gerou,...) deste homem que tem seu nome no teorema estudado na última aula. II Assista o vídeo, sobre uma demonstração do Teorema de Pitágoras, disponível no link e faça uma pesquisa sobre as diferentes demonstrações do Teorema de Pitágoras existentes. Descreva abaixo alguns personagens famosos da história que já demonstraram o teorema de Pitágoras: 29

30 Referências [1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, [2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática, [3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8. 1 ed. São Paulo: Moderna, [4] BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 9º ano. 7 ed. São Paulo: Moderna,

31 Equipe de Elaboração COORDENADORES DO PROJETO Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa Coordenação de Áreas do Conhecimento Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva Ivete Silva de Oliveira Marília Silva COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática PROFESSORES ELABORADORES Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro Jonas da Conceição Ricardo Reginaldo Vandré Menezes da Mota Tarliz Liao Vinícius do Nascimento Silva Mano Weverton Magno Ferreira de Castro 31