DIDÁTICA DA MATEMÁTICA. Marianna Bosch e Yves Chevallard

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1 1 DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Marianna Bosch e Yves Chevallard A teoria das situações situa a Didática da Matemática no quadro de uma ciência das condições de produção e de difusão dos saberes úteis às sociedades e às relações humanas. (Brousseau, 1995, p. 4). Um texto anterior apresenta uma definição um pouco mais precisa: chamamos de Didática da Matemática a ciência das condições específicas de difusão impostas dos saberes matemáticos úteis aos membros e às instituições da humanidade. (Brousseau, 1994). Se relembrarmos que, nos momentos iniciais de sua constituição, a Didática da Matemática era concebida com o objetivo de estudar as atividades que têm por objeto o ensino, evidentemente no que existe de específico nesse ensino em relação à Matemática. (Brousseau, 1986, p.35). Assim, vemos o quanto a definição do objeto da Didática da Matemática expandiu progressivamente, muito além das práticas escolares. Uma extensão como esta concorda muito bem com a localização da didática no campo da antropologia dos saberes, onde a didática com a qual trabalhamos aparece como a antropologia didática da matemática, uma sub-área da antropologia da matemática (Chevallard, 1991 e 1992). Nessa linha de interpretação, o quadro dos estudos escolares foi novamente ultrapassado e expandido. Partindo da constatação que o aspecto didático é sempre denso no aspecto matemático, ou em outros termos, que a atividade matemática pressupõe sempre uma atividade de estudo, propusemos recentemente uma outra maneira de conceber a Didática da Matemática como ciência do estudo e da ajuda do estudo das questões matemática (Chevallard, Bosch e Gascón, 1997). Essa expansão do objeto de estudo da didática não deveria, entretanto, esconder um aspecto essencial que dirige a pesquisa em Didática da Matemática desde as suas origens. Acreditamos que o fundamento característico da Didática da Matemática, como ciência, não é o fato de propor um projeto de estudo científico dos problemas de ensino da Matemática. Sua singularidade original consiste em tomar como objeto primário de estudo (consiste em questionar, modelar e problematizar de acordo com as regras da atividade científica), não o sujeito que aprende ou que ensina, mas o saber matemático que eles são levados a estudar em conjunto, assim como a atividade matemática que o 1

2 2 projeto comum de estudo empreendido por esse aluno e por esse professor. Para explicar os fatos de ensino aos quais a Didática da Matemática se vê confrontada, postulamos que o mistério está na Matemática e não nos sujeitos envolvidos na sua aprendizagem ou no seu ensino. Assim, o objeto da didática não pode estar restrito ao espaço das instituições de ensino. É necessário situá-lo no quadro mais amplo das práticas matemáticas no conjunto das instituições sociais. Observamos que esse princípio metodológico que coloca em primeiro plano a questão da modelagem da atividade matemática representou uma verdadeira inovação nas pesquisas realizadas em Didática da Matemática. A abordagem clássica, com relação essa questão, estudava problemas de transmissão e de aquisição de noções matemáticas supostamente dadas, ou seja, transparentes e não tematizadas pelo pesquisador. Além disso, mesmo nas pesquisas onde, de uma maneira ou de outra, era proposta alguma problematização, as noções matemáticas estudadas não eram submetidas aos modelos adotados para avaliar a característica científica dos trabalhos. A questão do saber matemático era vista como não problemática ou a resposta dada era tomada como inquestionável. Tudo se passava como se a problematização fosse uma atividade que essencialmente deveria ser situada ao lado dos sujeitos que aprendem ou que ensinam, em função de suas próprias capacidades cognitivas, de suas concepções e pré-concepções. As dimensões matemática e cognitiva eram concebidas de uma forma claramente separadas, da mesma maneira como se tentava separar o exterior e o interior das pessoas. A parte exterior era supostamente clara e evidente, caminhava por si mesma, enquanto que se deveria tentar explicar o interior. Neste paradigma predominante no passado, consideramos que o projeto inaugurado pela teoria das situações criou uma primeira ruptura ao colocar o aspecto matemático como a essência dos fenômenos didáticos. A vontade de elaborar uma ciência para estudar esses fenômenos significou então uma segunda ruptura, o que conduz a explicitar os modelos utilizados para submetê-los a uma avaliação direta com os fatos, isto é, com as leis de uma verdadeira epistemologia experimental. É neste sentido forte que precisamos interpretar, de acordo com nosso ponto de vista, a questão da especificidade matemática da didática, tema recorrente entre os pesquisadores franceses e que não cessou, até agora, de suscitar comentários. Ora, nos parece que esta dupla ruptura nem sempre foi bem interpretada. 2

3 3 Assim, somos levados a considerar que na teoria das situações a noção de situação fundamental serve, antes de tudo, para descrever e fabricar situações de ensino, visando o ensino escolar em classe (4). Desta forma se esquece que esta noção constitui também e, sobretudo, no instrumento chave que propõe esta teoria para caracterizar os conhecimentos matemáticos, sejam aqueles conhecimentos práticos ou conhecimentos a ser ensinados, quer sejam explícitos e reconhecidos como um saber matemático ou que permaneçam implícitos e possam aparecer somente nas ações. Para analisar o ensino e aprendizagem de uma noção matemática a teoria das situações coloca, de início, o problema de sua descrição, problema ao qual é preciso responder em termos de situações fundamentais. A hipótese (forte) de existência de uma situação fundamental específica para cada um dos conteúdos matemáticos não é aqui uma confissão de otimismo que guiaria a construção de situações didáticas, mas a própria definição de conhecimento matemático que a teoria das situações nos propõe. Descrevemos um conhecimento em termos de situação, um conhecimento é uma situação. Temos aqui um princípio teórico fundamentado sobre um modelo geral de matemática segundo o qual os conhecimentos matemáticos podem ser descritos com base em situações fundamentais, as quais podem ser definidas no seu devido contexto, como jogos formais. Este modelo geral deve permitir a construção de modelos locais dos diferentes conteúdos matemáticos a serem ensinados a fim de colocar em evidência as condições de construção e de difusão dos conhecimentos associadas. (6) [1.8] Assinalamos enfim que, em relação ao ponto de vista clássico sobre o saber matemático, a teoria das situações permitiu ainda uma nova ruptura epistemológica fundamental, ao supor que os conhecimentos matemáticos podem ser apreendidos somente através das atividades que esses conhecimentos permitem realizar e, portanto, através dos problemas que permitem resolver. A Matemática não é somente um sistema de conceitos logicamente consistente e com o qual podemos produzir de demonstrações: Em primeiro lugar, a Matemática é uma atividade que se realiza em uma dada situação e contra um meio. Além disso, trata-se de uma atividade estruturada da qual é possível destacar diferentes fases: ação, formulação e validação, às quais se acrescentam a devolução e a institucionalização. Nesse sentido, a noção de transposição didática deve ser interpretada como uma noção que permite uma leitura dessa dupla ruptura epistemológica provocada 3

4 4 pela teoria das situações (8). Visto que sua contribuição principal não foi somente evidenciar a distância que separa o saber acadêmico do saber ensinado e, portanto, as transformações necessárias que deve submeter todo objeto matemático para poder ser ensinado. A noção de transposição didática mostra que o saber matemático (quer seja acadêmico, ensinado ou a ser ensinado ) está na origem de toda problemática didática. Segue-se então que este saber não pode ser tomado como dado inquestionável e que as pesquisas em Didática da Matemática vão ser condicionadas pelo tipo de modelagem da matemática a qual recorremos postulado fundamental que estava longe de ser evidente por volta de 1980, mas que hoje, começa a ser bem aceito. O trabalho que apresentamos aqui se situa nessa problemática primeira da modelagem do conhecimento matemático. Pretendemos, mais precisamente, situar os meios escritos, gráficos, orais, gestuais e materiais que instrumentalizam a atividade matemática e condicionam o seu desenvolvimento. Mas antes de entrar no centro desse assunto, vamos relembrar os principais elementos básicos do modelo geral da atividade matemática que propõe a abordagem antropológica. 2. A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO- TAD Mesmo se a abordagem antropológica nasce do próprio movimento que inaugura a teoria das situações, os instrumentos que ela propõe para modelar a atividade matemática apareceram somente por meio de um processo lento, em um ritmo freado pela própria necessidade de primeiro evidenciar a fragmentação institucional do conhecimento. Uma rápida retrospectiva permite assinalar os traços principais dessa evolução que, por meio dos seus últimos progressos, soube construir instrumentos claramente operatórios para realizar uma análise das práticas matemáticas sociais. Desde o seu início, a teoria da transposição didática situa o saber matemático no centro das atenções e procura se inserir na elaboração de um projeto de análise epistemológica do regime didático do saber. Mas, o primeiro modelo proposto para analisar os componentes do saber matemático permaneceu de forma muito sumária. Esse modelo é enunciado em termos do objeto do saber os quais se dividem simplesmente em objetos matemáticos, protomatemáticos e paramatemáticos. (9) A problemática ecológica expandiu o campo de análise da Didática da Matemática e permitiu abordar as condições criadas entre os diferentes objetos do saber 4

5 5 a ser ensinado. A descrição do saber matemático resultante não supõe sempre uma estrutura prévia e contínua de se expressar em termos dos objetos que a constituem. Mas, estes objetos estabelecem agora interrelações hierárquicas que permitem visualizar as estruturas ecológicas relativas aos objetos (10). Os desenvolvimentos posteriores (11) inscrevem a Didática da Matemática no terreno da antropologia do conhecimento (ou antropologia cognitiva), refinam a axiomática da teorização e enriquecem o domínio da realidade que esta teoria ambiciona levar em conta. O ponto de partida continua intocável: tudo é objeto. Mas é preciso distinguir alguns tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as posições que ocupam os indivíduos nas instituições. Quando os indivíduos passam a ocupar tais posições, eles se tornam sujeitos das instituições e dessa maneira contribuem para manter a vida institucional e também pelo fato destas ter lhe proporcionado um espaço diferenciado para sua vivência. O conhecimento (e o saber como uma forma de organização de conhecimentos) entra em cena com a noção de relação: um objeto existe na medida em que existe uma relação envolvendo esse objeto, isto é, se um sujeito ou uma instituição conhece ou reconhece esse objeto. Sendo dado um objeto, um saber, por exemplo, e uma instituição, a noção de relação remete às práticas sociais realizadas no contexto da instituição e que colocam em jogo o objeto em questão e as atividades que podem ser feitas na instituição com esse objeto. Conhecer um objeto é ter alguma coisa a fazer com este objeto ou para aprimorar esse objeto. O saber matemático, como uma forma particular de conhecimento, resulta das ações humanas e institucionais. É algo que pode ser produzido, utilizado, ensinado ou mais geralmente transportados de uma instituição para outra. Entretanto, a matemática continua ainda sendo um termo primitivo, hipóstase (sedimento) de certas práticas institucionais, ou seja, práticas matemáticas sociais. O que falta é a elaboração de um método de análise de práticas institucionais que permita a descrição e o estudo das condições de sua realização. Os últimos desenvolvimentos da teorização vêm preencher essa lacuna. A noção chave que aparece então é aquela de organização praxeológica ou praxeologia. Não podemos retomar aqui, com todos os detalhes necessários, as noções que servem para instrumentalizar este nível de modelagem e que foram apresentadas em textos recentes. Mas, indicaremos as noções de base da construção assim como o conteúdo 5

6 6 semântico mínimo pra poder explicitar, no quadro teórico considerado, a problemática geral na qual nos situamos. Aos primeiros termos da antropologia cognitiva, que foram destacados acima, acrescentamos as noções tipos de tarefas, tipos de técnicas, tecnologia e teoria. Essas noções permitem construir modelos das práticas sociais em geral e em particular da atividade matemática. Para isso, partimos de um primeiro postulado: toda prática institucional pode ser analisada de diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras por meio de um sistema de tarefas relativamente bem circunscritas que são realizadas no fluxo das práticas sociais. O problema da delimitação das tarefas em um contexto institucional permanece sempre aberto e por esse motivo varia em função do ponto de vista da instituição onde as práticas são desenvolvidas ou bem de um ponto de vista de uma instituição exterior de onde as atividades estão sendo observadas com uma finalidade qualquer. A semântica das palavras usadas permanece aberta e engloba atividades culturalmente diversas, fazendo com que tocar uma peça de Mozart ao piano, calcular o produto de dois inteiros, fechar uma porta, tomar o ônibus, saldar alguém, derivar uma função, resolver um problema de proporcionalidade, fazer um curso de grego antigo, dançar um tango [...], tudo isso seja considerado tarefa. Mas também existem em toda instituição atividades que não são analisadas em tipos de tarefas e que a menção ao uso de verbos de ações de aceitação bem ampla (calcular, demonstrar...) deixa o conteúdo mal definido, falamos então de gênero de tarefas. A noção de tarefa vai ser restrita pelo segundo postulado, que supõe que a realização de toda tarefa resulta da aplicação de uma técnica. Nesse caso também é preciso entender o termo técnica em um sentido mais largo, como uma maneira de fazer particular e não de acordo com a acepção corrente de ser um procedimento estruturado e metódico, por vezes, também algorítmico, o que acontece somente em casos bem particulares. Existem técnicas para resolver equações do segundo e do terceiro graus, para fazer demonstrações por recorrência, para abrir portas, para procurar informações por telefone ou na Internet, para ler um jornal, para escrever um artigo de pesquisa, para rever uma lição, para conseguir a atenção dos alunos no início de uma aula, etc. Todos os dias, as pessoas colocam em prática um grande número de técnicas, com um sucesso razoável, tendo em vista que toda técnica tem um alcance limitado no sentido de nos permitir aplicá-la em 6

7 7 certos casos e em outros não: tal equação não é possível de ser fatorada, a maçaneta desta porta está girando ao contrário; hoje, os alunos estão falantes, etc. A vida institucional é feita de uma ampla lista de tarefas realizadas de acordo com certas maneiras de fazer institucionalizadas, como se isso fosse uma lei implacável que tende a identificar todo tipo de tarefas à técnica normalmente usada na instituição para realizar as tarefas desse tipo. O elo entre a noção de relação e as noções já apresentadas, pode então ser explicitado da seguinte maneira: a relação institucional construída em torno de um objeto é moldada pelo conjunto das tarefas realizadas, por determinadas técnicas aplicadas na realização dessas tarefas e pelas pessoas que se ocupam da aplicação dessas técnicas. Essa é a maneira como as diferentes tarefas são realizadas pela pessoa ao longo de toda sua vida nas instituições onde ela é o sujeito, sucessivamente e simultaneamente, que conduzirá a fazer emergir sua relação pessoal com o objeto considerado. Portanto, desses pares de tipos de tarefas e de técnicas institucionais que fornecem a forma às relações institucionais e pessoais, irá permanecer, no contexto da instituição, apenas uma descrição redutora formulada em termos de conhecimentos e saber-fazer. Essa redução, geralmente, suficiente para descrever e gerar a vida institucional se explica também por um fenômeno geral de naturalização dos pares tarefas/técnicas, fenômeno que nos faz viver como naturais não supondo nenhuma técnica particular as tarefas que são realizadas normalmente em uma instituição. A maior parte das tarefas institucionais são, de fato, tarefas rotineiras: a técnica utilizada para realizá-las, mesmo que tenha sido construída um dia, foi se tornando rotineira, ao ponto de não mais aparecer como tal utilizar esta técnica para realizar uma tarefa acontece por si mesmo e não coloca nenhum problema para a pessoa. Apesar dessa consideração, em toda rotina institucional aparecem tarefas que são problemáticas, para a realização das quais não existem técnicas apropriadas, seja porque se trata de um novo tipo de tarefa, para o sujeito ou para a instituição, seja porque as técnicas habitualmente aplicadas não funcionam no caso específico dessa tarefa. Dessa maneira, podemos colocar então o problema da necessidade de construção de uma técnica adequada para resolver um problema, seja através da adaptação de uma técnica antiga ou por criação de uma técnica inédita, a menos que o problema 7

8 8 permaneça sem solução e que se prolonguem indefinidamente os transtornos decorrentes, ao ponto da situação passar ser considerada natural. Uma evolução e por vezes até mesmo um progresso aparece quando, diante da situação onde um tipo de tarefa se revela problemático, decide-se, não de refutar o caráter problemático da tarefa situação bem freqüente no aspecto antropológico - mais de estudar o problema com o objetivo de construir a técnica para resolvê-lo. Partimos assim de um tipo de tarefa problemática. Como resolver uma equação do segundo grau? Como medir o tempo? Como contar o número de pessoas em uma multidão? Como introduzir a noção de número decimal? O caso que não for possível resolver, após um processo de estudo mais ou menos longo, pode se chegar a produzir técnicas que permitam fornecer respostas às questões colocadas inicialmente. Um novo saberfazer é então construído, o qual deverá ser ainda organizado para lhe assegurar um funcionamento regular na vida institucional. O terceiro postulado antropológico se refere à ecologia das tarefas e das técnicas, isto é, das condições e das restrições que permitem ou não a produção e a utilização nas instituições. Supomos que, para existir em uma instituição, uma técnica deve aparecer compreensível, legível e justificada. Trata-se de uma restrição institucional mínima para permitir o controle e garantir a eficácia das tarefas, que são geralmente tarefas cooperativas, supondo a colaboração de vários atores. Esta restrição ecológica implica na existência de um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que chamamos de tecnologia da técnica. O postulado acima anunciado supõe entre outras coisas que toda tecnologia tem a necessidade de uma justificação que é chamada teoria da técnica. A distinção entre técnica, tecnologia e teoria é funcional e deve ser referenciada ao tipo de tarefa que se toma como ponto de referência. Assim, a determinação do sinal do discriminante de uma equação do segundo grau pode ser um elemento de uma técnica de resolução deste tipo de equação, mas pode também se tratar de um ingrediente tecnológico visando explicar e justificar um tipo de técnica mais elementar baseada sobre a escritura e a fatoração de uma diferença de dois quadrados. Inversamente, isto que, em um dado momento ou em uma dada instituição aparece como a justificação de uma certa técnica, pode também ser considerada, em outro lugar ou em outro momento, como uma tarefa em si mesma (a tarefa que consiste 8

9 9 em justificar uma técnica) o que pressupõe a aplicação de uma técnica particular de elaboração de um ambiente tecnológico-teórico adequado. Um complexo de técnicas, de tecnologias e de teorias organizadas em torno de um tipo de tarefas forma uma organização praxeológica ou praxeologia pontual. A reunião de várias praxeologias pontuais criará uma praxeologia local ou regional ou global, de acordo com o grau de expansão dessas reuniões sucessivas e respectivamente, a tecnologia, a teoria ou a posição institucional considerada. Se considerarmos o ensino da matemática em nível do colégio, na França, podemos falar de uma organização praxeológica pontual em torno da resolução do tipo de problemas de proporcionalidade organização que virá responder a questão: Como resolver um problema desse tipo? de uma organização local em torno da resolução de diferentes tipos de problemas de proporcionalidade, isto é, do tema proporcionalidade, em fim de uma organização regional em torno, por exemplo, da noção de função numérica, que corresponde a um dos setores ensinados em nível do secundário. A noção de saber pode ser religada a esses novos termos: um saber remete a uma organização praxeológica particular, dotada de certa capacidade geradora que lhe permite funcionar como um dispositivo de produção de conhecimentos, isto é, de novas praxeologias. Esta visão das coisas expande o ponto de vista usual que tende a considerar como um saber somente o par formado pela tecnologia e teoria da organização completa, a qual permite efetuar, geralmente, gerar ou reconstruir o conjunto de técnicas da praxeologia, isto é, o saber-fazer correspondente. Entretanto, é bom lembrar que, geneticamente, são as necessidades da prática, isto é, as necessidades de técnicas, que estão na origem das praxeologias. Portanto, é nesses termos que a abordagem antropológica responde à questão de modelagem das práticas sociais, de seus componentes, de sua evolução e de seus produtos. Como concebemos a matemática uma atividade humana estruturada em organizações praxeológicas, podemos dizer que esses conhecimentos nascem da problematização de certos tipos de tarefas, a partir do momento que são olhados como tipos de problemas que o estudo possibilita construir organizações praxeológicas locais. A articulação de algumas dessas praxeologias em torno de uma tecnologia comum permite formar organizações regionais quechamamos, globalmente, o saber matemático. A descrição dessas organizações e o estudo de sua ecologia 9

10 10 institucional estão no centro do programa de estudo da didática da matemática. 3. Um duplo questionamento e uma dicotomia fundamental [3.1] Dissemos que, num primeiro momento, a abordagem antropológica modela o saber matemático em termos de objetos e de relações estabelecidas entre esses objetos. Dessa visão voluntariamente unitária do universo matemático onde tudo é objeto, surgiu um primeiro questionamento sobre a natureza dos objetos e, em particular, desses objetos matemáticos que chamamos normalmente conceitos ou noções. Do que é constituído o conceito de primitiva de uma função? Qual é a composição desse conceito? Como podemos descrever os componentes desse conceito? Esse questionamento, bem como um primeiro elemento de resposta, foi expresso nos seguintes termos: (15) Se, partimos em busca de um objeto do tipo a primitiva de uma função o que vamos encontrar jamais será o próprio objeto em si mesmo, mas atividades humanas onde serão colocados em jogo outros objetos. Acharemos por exemplo declarações sobre o objeto pesquisado, as quais poderão ser organizadas sob a rubrica definição ou teorema [...], declarações que são por sua vez atividades que consistem em dar uma definição ou enunciar um teorema. Acharemos traços escritos desse objeto, tal como o nome do objeto ou outros objetos gráficos relacionados, sejam das atividades através das quais podemos escrever, ler, entender ou pronunciar esses objetos [...] Semelhantemente, descobriremos que o objeto método do pivô de Gauss existe somente através da manipulação de certos objetos no quadro de certas práticas onde acharemos atores que manipulam grafismos, fazendo gestos e pronunciando frases por meio de um discurso oral ou escrito. Mas, jamais colocaremos as mãos sobre o próprio objeto. Assim, quando se pesquisa o que pode ser tal objeto, se descobre que ele é composto de outros objetos, de natureza sempre material, em particular sonora (discursiva) gestual, de caráter escrito (gráfico) e de muito vazio em torno. [3.2] Relembramos que, no início da teorização, um objeto existe a partir do momento que existem instituições e pessoas que cultivam relações com esse objeto. A questão da natureza desse objeto nos leva assim ao problema da descrição das práticas institucionais onde o objeto está inserido, problema ao qual é preciso responder em termos de organizações praxeológicas. Seguindo esse raciocínio, então não perguntaremos mais o que é a primitiva de uma função mas o que são os tipos de tarefas e as técnicas que compõem as praxeologias institucionais onde se 10

11 11 faz intervir a noção de primitiva e quais elementos tecnológicos e teóricos vêm descrever e justificar essas práticas, organizam um discurso sobre este objeto. Os conceitos matemáticos podem assim ser considerados como emergentes dessas praxeologias e das relações institucionais em torno desse objeto como moldados por complexos praxeológicos existentes num dado momento na instituição considerada. [3.3] Vemos então que a questão da natureza dos objetos matemáticos se apresenta sob um novo olhar. Conforme dissemos acima, a separação entre técnica, tecnologia e teoria é apenas funcional e essa divisão não afeta a essência disso que pode ser designado por esses três termos. Decorre que a distinção entre tipos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria, se cria uma diferenciação na organização do saber matemático não determina, portanto, a natureza desses componentes. Do que são feitos os ingredientes que compõem uma técnica, uma tecnologia, uma teoria? Como, em quais termos, podemos descrever o funcionamento de uma técnica? Segundo quais critérios e índices podem ser constatados nesta aplicação em uma situação particular? Como distinguir uma técnica de outra? Existiria algum possível invariante que estaria de alguma forma transitando por diferentes instituições? [3.4] Esse primeiro questionamento é apresentado aqui em seu aspecto teórico mais não podemos esconder a versão metodológica não saberia tomar toda sua pertinência se viesse coincidir com uma outra problemática que surgi da própria realidade que a didática propõe estudar, isto é, condições de desenvolvimento da atividade e das regras que regem sua aprendizagem e seu ensino. [3.5] Nosso questionamento admite uma apresentação de uma forma muito mais ingênua. Ele parte da constatação que a cultura ocidental estabelece, no conjunto de todas as práticas humanas, uma oposição estrutural entre as atividades consideradas como manuais e as atividades ditas intelectuais. Cesse oposição não é neutra. O eixo cultural ocidental prioriza as atividades do espírito (mind em inglês, mente em espanhol) sobre o trabalho manual, isto é, o trabalho realizado mais através do corpo, com exceção dessas partes do corpo que estão localizadas na cabeça... [3.6] Não é preciso dizer que a matemática é normalmente classificada no primeiro tipo de atividades: onde se trabalharia, sobretudo, com a cabeça, com a ajuda de ferramentas racionais, raciocínios, idéias, intuições e com um reduzido suporte de 11

12 12 elementos materiais. De fato, os poucos instrumentos materiais usados (papel e lápis, quadro e giz, régua e compasso, calculadora, computador) são considerados como simples suportes ou ajudas por vezes indispensáveis, mas que não saberia em nenhum caso fazer parte da própria atividade. Os outros objetos, se não materiais, pelo menos sensíveis, que ativa o matemático (escrita, formalismo, grafismos, palavras, discurso, etc.) podem por vezes desempenhar certa especificidade: a intervenção desses recursos na atividade é suposta enquanto signos, ocupando o lugar de outros objetos que eles representariam. [3.7] Compreende-se então que a Matemática não parece ser espontaneamente uma atividade no sentido próprio, econômico, do termo, isto é, como um agir onde intervêm atores e objetos materiais instrumentos que prolongam o corpo para aumentar sua capacidade (força, precisão etc), ou elementos externos contra os quais a ação se realiza. A concepção mais usual da atividade matemática tende a afastar as ferramentas materiais que normalmente a realização desse tipo de atividade requer. São levados em conta objetos sensíveis particulares, discursos, escritas, grafismos, não para centrar a atenção sobre esses próprios objetos (e as maneiras de manipulá-los), mas sobre o que esses objetos remetem, isto é, sobre o que representam ou significam, em resumo: seu sentido. Para fazer matemática é preciso usar discursos, figuras, símbolos, entre outros e objetos, mas, o que é importante estaria além das palavras e dos símbolos escritos. O ponto de vista dominante pode, a este respeito, ser considerado como idealista no sentido de levar em conta somente um aspecto da atividade matemática concretamente observável: sua função significante, produtora de conceitos. [3.8] Colocando de lado essa visão comum, pelo contrário, convém examinar a maneira como a atividade matemática é condicionada pelos instrumentos materiais, visuais, sonoros e táteis que são normalmente utilizados na sua realização. Sabemos que a ausência de um conceito pode bloquear a evolução do pensamento matemático, bem como pode acontecer no contexto histórico de uma comunidade ou em nível do trabalho individual do pesquisador ou do aluno. Ora, podemos interrogar-nos até que ponto a ausência seria somente a ausência de uma idealidade, de uma maneira de pensar ou de conceber o mundo, e não aquela de um complexo de ferramentas de trabalho, a maior parte de natureza material, cuja disponibilidade ou, pelo contrário, cuja ausência poderia modificar a maneira catastrófica o desenvolvimento a atividade. Acreditamos 12

13 13 que a análise didática do desenvolvimento do saber matemático resultante de sua trajetória histórica, na história da vida de uma pessoa ou na vida de uma classe não pode considerar como secundária esta dimensão da atividade, lhe assegurando uma pura função instrumental na construção dos conceitos. [3.9] O duplo questionamento explicitado acima, o problema da natureza dos objetos matemáticos e a sua função na atividade matemática nos levam a uma dicotomia que consiste em distinguir dois tipos de objetos: os ostensivos e os não-ostensivos. Falamos de ostensivo, lembrando que este termo tem origem no latim ostendere que significa mostrar, apresentar com insistência, para nos referir a todo objeto que tem uma natureza sensível, certa materialidade e devido a este fato tal objeto pode ser apreendido pelo sujeito por ser uma realidade perceptível. Assim, um objeto ostensivo é um objeto material qualquer tal como os sons (entre os quais as palavras de uma língua) os grafismos (entre os quais os grafemas que permitem a escrita das línguas naturais ou construídas das línguas formais) e os gestos. Os objetos não ostensivos são então todos os objetos como as idéias, as intuições ou os conceitos, existentes institucionalmente, no sentido onde lhes são atribuídas existências, sem poder ser vistos, ditos, mostrados, percebidos por si mesmo. Esses objetos podem ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos associados (palavras, frases, grafismos, escritas, gestos ou um longo discurso). Assim, os objetos função e primitiva de uma função são objetos não ostensivos que aprendemos a identificar e ativar por meio de expressões escritas e grafismos utilizados nas práticas e situações particulares. [3.10] A distinção entre objetos ostensivos e não-ostensivos não retoma jamais as dicotomias do tipo corpo ou espírito, ação ou pensamento, que foram muito caras à cultura ocidental. Os objetos não ostensivos não devem ser entendidos como entidades mentais, pessoais e individuais, que existiriam somente nas cabeças ou no nosso espírito. Ostensivos e não-ostensivos são sempre objetos institucionais onde a existência depende muito raramente da atividade de uma única pessoa. Como veremos agora, os objetos ostensivos e os objetos não-ostensivos estão unidos por meio de uma dialética que considera os segundos emergentes da manipulação dos primeiros e, ao mesmo tempo, como meios de guiar e controlar esta manipulação. 13

14 14 Referências Bibliográficas BROUSSEAU G. (1983), Étude de questions d enseignement. Un exemple : la géométrie, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l Informatique de Grenoble, Université Joseph-Fourier. BROUSSEAU G. (1986), Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, 7/2, BROUSSEAU G. (1994), Problèmes et résultats de didactique des mathématiques, Washington: ICMI Study 94. BROUSSEAU G. (1995), L enseignant dans la théorie des situations didactiques. Dans : Noirfalise R. et Perrin-Glorian M. J., Actes de la VIII e Ecole d été de didactique des mathématiques, Clermont-Ferrand: IREM de Clermont-Fd, CHEVALLARD Y. (1980), Mathématiques, langage, enseignement : la réforme des années soixant. Dans : G. Kaléla, F. Ledoux, A. Rouchier et B. Rozoy-Sénéchal (eds), La politique de l ignorance - Mathématiques-enseignement-société, Recherches, 41, CHEVALLARD Y. (1985), La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble : La Pensée Sauvage, 2 e édition CHEVALLARD Y. (1989a), Le concept de rapport au savoir. Rapport personnel, rapport institutionnel, rapport officiel, Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l Informatique de Grenoble, Université Joseph Fourier. CHEVALLARD Y. (1991a), Postface à la seconde édition. Dans : Chevallard Y. (1985), La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble : La Pensée Sauvage, 2 e édition 1991, CHEVALLARD Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique, Recherches en Didactique des Mathématiques, 12/1, CHEVALLARD Y. (1996), La fonction professorale : esquisse d un modèle didactique. Dans : Noirfalise R. et Perrin-Glorian M.J., Actes de la VIII e Ecole d été de didactique des mathématiques, Clermont-Ferrand: IREM de Clermont-Fd., CHEVALLARD Y., BOSCH M., GASCON J. (1997), Estudiar matemáticas. El eslabón 14

15 15 perdido entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona: ICE-Horsori. 15