DISTRIBUIÇÃO NORMAL: UMA INTRODUÇÃO VOLTADA AO ENSINO MÉDIO POR SIMULAÇÕES VIA PLANILHA ELETRÔNICA E EXERCÍCIOS INTERATIVOS

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1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL: UMA INTRODUÇÃO VOLTADA AO ENSINO MÉDIO POR SIMULAÇÕES VIA PLANILHA ELETRÔNICA E EXERCÍCIOS INTERATIVOS Osmar Antonio de Lima Secretaria Estadual de Educação-SP/ Faculdade Pitágoras-SP osmaralim@ig.com.br Resumo: O objetivo deste minicurso é introduzir a noção da Distribuição Normal para os participantes, sendo proposta uma abordagem que busca a interação entre dois ambientes, atividade com lápis e papel (sala de aula) e laboratório de informática. O referencial teórico apoia-se na Teoria Antropológica do Didático TAD para alcançar o objetivo pretendido, que se resume em compreender os conceitos estocásticos que envolvem a Distribuição Normal, por meio de simulação de experimentos, utilizando a planilha eletrônica (Excel) e, também, exercícios interativos. Com essa proposta, temos como intuito que os participantes do minicurso passem a reconhecer as características e a representação gráfica de uma Distribuição Normal, e a partir das análises de exercícios propostos realizadas em conjunto (professor e alunos), verifiquem que é possível relacionar os conteúdos da estatística descritiva com os de probabilidade e, dessa forma, passem a ter uma noção da relação entre estatística descritiva e probabilidade denominada por estocástica. Em síntese, o uso de uma planilha eletrônica (Excel), em conjunto com exercícios interativos poderão possibilitar aos participantes a identificação dos conceitos envolvendo a Distribuição Normal, facilitando sua interação com o objeto de estudo. Palavras-chave: Distribuição Normal. Formação de conceitos. Informática na Educação Estatística. Exercícios Interativos. Ensino Médio. Justificativa Nas últimas décadas, o ensino da Estatística tem sido alvo de diversas investigações, como as de: Cohen e Chechile (1997); Tauber (2001); Souza (2002) entre outros. Na reflexão abrangente sobre o ensino da Estatística e da Matemática, podemos atentar para o fato de que a educação atravessa uma fase de mudanças históricas que requer novos métodos de ensino que conciliem as necessidades e os interesses reais verificados em sala de aula. Em todas as etapas da História da Humanidade, os avanços que foram responsáveis pela alteração nos processos nos mais diversos campos da atividade humana, trouxeram sempre consigo mudanças nas atitudes socioculturais dos povos. Na área da Educação, a Anais do 1

2 introdução das tecnologias da comunicação é um desses marcos e tem sido objeto de vários estudos. A informática passa a ser inserida no contexto educacional como um elemento a mais para contribuir na construção do conhecimento, objetivando a promoção da autonomia humana. Nesse sentido, podemos afirmar que o computador deve ser usado na sala de aula, como um instrumento potencializador do desenvolvimento humano. Neste contexto, procuramos fundamentar nosso minicurso em trabalhos que visaram à inserção das novas tecnologias no ensino da análise exploratória dos dados, no ensino da distribuição de probabilidade, assim como nas orientações inseridas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998). Este minicurso tem como objetivo: Introduzir os primeiros conceitos relativos à Distribuição Normal no EM ainda de forma intuitiva, utilizando como recurso didático uma planilha eletrônica (Excel). A planilha permite a realização de simulações experimentais cuja variável aleatória associada pode ser representada e explicada por esse modelo. O reconhecimento, por parte dos alunos, da representação de uma Distribuição Normal, como uma curva em forma de sino, assintótica ao eixo horizontal; a compreensão dos alunos sobre o conceito de simetria da curva normal em relação aos valores médios; o entendimento dos alunos sobre a leitura do gráfico, de modo que fique claro que a área abaixo da curva refere-se à probabilidade de ocorrer um determinado evento; e o entendimento dos alunos de que dentro do intervalo de [ μ 3σ; μ 3σ] está a quase totalidade dos dados. A hipótese é que o uso da planilha eletrônica (Excel) na abordagem da Distribuição Normal de Probabilidade permite o dinamismo no tratamento dos dados, mantendo o foco na análise e modelagem, facilitando para que os alunos compreendam esse conteúdo. Referencial teórico Anais do 2

3 Almouloud (2007) aborda a Didática da Matemática e seus fundamentos, tendo como foco a ênfase na compreensão de fenômenos que interferem no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Segundo o autor: A didática da matemática é vista como uma ciência que tem por objeto investigar fatores que influenciam o ensino e a aprendizagem da matemática e o estudo de condições que favorecem a sua aquisição pelos alunos. (ALMOULOUD, 2007, p. 17) Almouloud (2007) dedica o capítulo VII da obra supracitada à abordagem da Teoria Antropológica do Didático (Chevallard, 1999), que estuda as condições das possibilidades e o funcionamento dos sistemas didáticos, compreendidos como relações sujeitoinstituição-saber. A Teoria Antropológica do Didático permite a interpretação da transposição didática baseada no desenvolvimento de uma tripla ruptura epistemológica provocada pela teoria das situações, em que o saber matemático situa-se no centro de toda problematização didática. Para a didática da Matemática, sob o enfoque da Antropologia do Didático, tudo é objeto, fazendo a distinção dos tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as posições que estes ocupam nas instituições, tomando-os como sujeitos. A Teoria Antropológica do Didático possibilita a modelagem de práticas sociais, em geral, e, em particular, a atividade matemática fundamentada em três postulados: Toda prática institucional pode ser analisada, sob diferentes pontos de vista e de distintas maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem delineadas; O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica; e A ecologia das tarefas e técnicas são as condições e necessidades que permitem a produção e a utilização destas nas instituições, ou seja, as condições e restrições que permitem sua produção e seu uso nas instituições, supondo que, para existir uma instituição, a técnica deve ser compreensível, legível e justificada. O discurso descritivo sobre a tarefa e a técnica é denominado discurso teórico-tecnológico. Anais do 3

4 O significado da palavra tarefa engloba atividades gerais como fechar uma porta, entre outras. Em nosso caso, calcular a média e o desvio-padrão de um conjunto de valores, bem como analisar os dados obtidos é um tipo de tarefa. Na prática institucional, a delimitação de tarefas depende do ponto de vista em que essa prática se desenvolve. A palavra técnica terá uma dimensão maior que a usual, ou seja, será usada como uma maneira de fazer particular e não sendo um procedimento estruturado e metódico, ou algoritmo, caso particular de uma técnica. Uma técnica pode ser apropriada para a resolução de determinadas tarefas, mas não para todas, o que lhe confere a chamada capacidade intelectual da técnica. A partir das noções de tarefa e técnica, cria-se um bloco técnico-prático associado a um saber-fazer, no qual a vida das instituições é feita das escolhas de tarefas e técnicas, e uma pessoa pode realizar várias tarefas em instituições distintas, a que ela está sujeita, concomitante ou sucessivamente, mostrando sua relação pessoal com os objetos com os quais mantêm contato. No campo da tecnologia, estão os conceitos e as noções que permitem controlar e compreender a atividade humana. A teoria trata da especulação abstrata da tecnologia; e, no plano teórico, estão as definições, os teoremas, as demonstrações que servem para dar sustentação às técnicas e produzir tecnologias. Dessa forma, cria-se um bloco teóricotecnológico associado ao saber. Portanto, podemos entender a Noção de Praxeologia como um conjunto de Técnicas, de Tecnologia e de Teorias organizadas para uma determinada tarefa. No que se refere à natureza dos objetos matemáticos, estes podem se apresentar de duas formas: ostensivos e não ostensivos: Objetos ostensivos: se referem a todo objeto que, tendo uma natureza sensível e certa materialidade, tem, para o sujeito, uma realidade perceptível. Pode-se dizer, dessa forma, que os ostensivos são os objetos manipuláveis na realização da atividade matemática. Objetos não-ostensivos: são todos os objetos que, como as ideias, as instituições ou os conceitos, existem institucionalmente sem que, no entanto, sejam vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por conta própria. Assim, esses objetos somente podem ser evocados ou Anais do 4

5 invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são associados, tais como uma palavra, uma frase, um gráfico, uma escrita, um gesto ou todo um discurso. (ALMOULOUD, 2007, p. 119) Conforme refere Almouloud (2007), na Teoria Antropológica do Didático, o cumprimento de toda tarefa compreende necessariamente a manipulação de objetos ostensivos regulados pelos não ostensivos, tornando os objetos ostensivos parte perceptível da atividade. Atividades do minicurso Este minicurso se dará por meio de cinco atividades a seguir: 1. Resolução das medidas resumo de um conjunto de dados trazidos pelo palestrante; 2. Simulação de uma Curva Normal com os dados encontrados (média e desvio padrão) em um arquivo pronto; 3. Esboço de uma curva normal por meio de papel quadriculado; 4. Resolução de exercícios interativos; 5. Questionário final. Para a realização do minicurso, além dos materiais básicos como, lápis, borracha e papel (atividade 1), necessitamos de computadores para que os participantes possam fazer suas simulações no programa Excel por meio de um arquivo criado pelo professor. Disponibilizaremos aos participantes: uma folha de papel quadriculado para que realizem o esboço de uma curva normal (atividade 3); uma folha contendo os exercícios interativos e o questionário final. ATIVIDADE 1: Coleta de dados e análise exploratória O objetivo dessa etapa é mostrar aos participantes como podem ser realizadas a coleta e a análise dos dados, bem como a elaboração de uma planilha a partir dos dados coletados (construção de um banco de dados). Anais do 5

6 Para a coleta de dados e análise exploratória, vamos empregar uma tabela com dados relativos à medida de 40 palmos que variavam de 15 cm (mínimo) a 21,5 cm (máximo). Estes dados serão apresentados em uma tabela elaborada pelo pesquisador (professor) para a realização do estudo. Após os cálculos descritivos dos dados da tabela, preparamos um questionário específico para a atividade, que visa encaminhar os alunos para uma pré-interpretação dos intervalos de normalidade, levando-os a uma reflexão da concentração dos dados em torno da média a partir dos parâmetros média e desvio-padrão, elementos necessários para a apreensão da Distribuição Normal. ATIVIDADE 2: Simulações de uma Distribuição Normal O objetivo desta etapa é mostrar aos alunos como devem ser realizadas as simulações e sua aplicação. Desse modo, será possível que os alunos conheçam a respeito das simulações na planilha eletrônica, utilizando-se dos valores da média e desvio-padrão calculados na etapa 1. Nessa fase (etapa 2), os alunos passam a realizar simulações por meio de um arquivo elaborado pelo pesquisador (professor). ATIVIDADE 3: Atividade em papel quadriculado O objetivo dessa etapa é estudar com os participantes como elaborar gráficos. Nesse momento do minicurso, solicitaremos que esbocem o gráfico de uma Distribuição Normal de probabilidades, apenas de posse dos parâmetros média e desviopadrão. Essa etapa será realizada em papel quadriculado. Iremos propor que façam o esboço da representação de uma Distribuição Normal, cujos parâmetros seja média igual a 2 e desvio-padrão igual a 1. O intuito da realização desse esboço é o de verificar se os participantes farão a ligação com a atividade anterior, pois ao realizarem as simulações na planilha eletrônica será possível a visualização da representação gráfica de uma distribuição normal com sua característica em forma de sino e, então, buscaremos verificar se os alunos conseguem, de Anais do 6

7 posse apenas dos parâmetros média e desvio-padrão, interpretar e desenhar uma curva normal, segundo as visualizações possibilitadas pela planilha eletrônica. ATIVIDADE 4: Resolução de exercícios Essa etapa tem como objetivo mostrar aos alunos como analisar um gráfico de uma Distribuição Normal no contexto de uma situação que acontece diariamente na cidade de São Paulo. Nessa etapa da pesquisa os alunos passarão a analisar o gráfico de uma Distribuição Normal que representa o horário de pico no trânsito da cidade. O tema escolhido deve-se ao fato de ser bem atual para todos que precisam se deslocar em um grande centro. A situação tem por objetivo propiciar aos participantes uma reflexão sobre o horário de pico no trânsito da cidade de São Paulo, abordando o congestionamento no trânsito, com ponto de máximo em torno das 18 horas, ou seja, a média do horário é de 18h. Essa análise tem como objetivo levar os alunos a refletir sobre o tema e, em seguida, propor questões para que se inicie a apreensão do conceito da Distribuição Normal por meio das observações dos intervalos de normalidade, sua representação gráfica, a simulação em uma planilha eletrônica e a resolução dos exercícios interativos. ATIVIDADE 5: Questionário avaliativo O objetivo desta etapa foi conhecer a opinião dos alunos sobre a sequência didática e avaliar seu desempenho em situações que envolvessem os conceitos estudados. A última etapa da sequência didática, ocorreu por meio de um questionário adaptado da tese de doutorado intitulada La construcción del significado de la distribución normal a partir de actividades de análisis de datos 1, defendida por Liliana M. Tauber, em 2001, na Universidad de Sevilla, tendo como orientadora a Prof.ª Dr.ª Camem Batanero. O questionário foi atrelado às atividades anteriores, no qual buscamos aferir os conceitos da Distribuição Normal de Probabilidades que os alunos participantes construíram durante a realização das atividades propostas. Com isso, comparamos as 1 Disponível em < Acesso em 25/01/2009. Anais do 7

8 atividades propostas com as questões respondidas, estando cada questão relacionada a um determinado conceito. Referências ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: UFPR, BRASIL, SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio. Brasília. MEC/SEMTEC, COHEN, S.; CHECHILE, R. A. Probability Distributions, Assessment and Instructional Software: Lessons Learned from an Evaluation of Curricular Software. In: GAL, I.; GARFIELD, J. B. The Assessment Challenge in Statistics Education. Minnesota. IOS Press p Disponível em: < Acesso em: 18/abr/2008. CHEVALLARD, Y. L analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. Researches em Didactiques des Mathématiques, La Pensée sauvage, v. 19, n.2, p , HOCHSZTAIN, E.; RAMIREZ, R.; ALVAREZ, R. La computadora en la enseñanza de la estadística. In: Atas da Conferência Internacional "Experiências e Expectativas do Ensino de Estatística - Desafios para o Século XXI" Santa Catarina. Anais... Santa Catarina: UFSC, Disponível em: < Acesso em: 18/abr/2008. SOUZA, C. A. A distribuição binomial no ensino superior Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) PUC. São Paulo TAUBER, L. M. La construcción del significado de la distribución normal a partir de actividade de análisis de datos Tese (Doutorado em Didática da Matemática) Universidad de Sevilla. Sevilla Disponível em: < Acesso em 28/ago/2007. Anais do 8