Neste curso, vamos estudar algumas maneiras em que a matemática é usada para modelar processos dinâmicos em biologia.

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1 Introdução à Modelagem Matemática em Biologia Os sistemas biológicos são caracterizados por mudança e adaptação. Mesmo quando eles parecem ser constantes e estáveis, isso é o pelo resultado de um balanceamento de diversas tendências que tendem a levar os sistemas em direções diferentes. Como podemos tentar entender sistemas tão complicados como os biológicos, caracterizados por um grande número de elementos em interação e pela competição entre tendências opostas? O uso de modelos matemáticos pode ajudar em tal tarefa. Neste curso, vamos estudar algumas maneiras em que a matemática é usada para modelar processos dinâmicos em biologia. Vamos começar por uma das áreas em que tradicionalmente a matemática mais tem sido usada em biologia: a biologia de populações, de fundamental importância para o entendimento de grande parte da biologia evolucionária e da ecologia. A título de motivação e para provocar algumas reflexões, será apresentada a seguir uma tradução de trechos selecionados dos parágrafos iniciais do livro introdutório à biologia de populações escrito por Edward Wilson e William Bossert (ver referência nas notas da aula 0). A Necessidade de uma Abordagem Quantitativa No passado, o progresso [científico] em geral ocorria quando idéias eram abstraídas em conjuntos de parâmetros e relações que poderiam ser usados para se construir modelos. (...) Isso tem sido verdadeiro para a história da ciência em geral e não há razão para supor que qualquer parte da biologia prove ser uma exceção permanente. (...) A maioria dos professores de biologia encontra grande dificuldade para ensinar técnicas matemáticas aos estudantes de biologia (...). Temos observado que o problema reside não tanto na dificuldade intrínseca da matemática, mas na sua relevância. O estudante zeloso pode trilhar o seu caminho aprendendo cálculo avançado e estatística e ainda assim não ser capaz de pensar sensivelmente sobre os mais simples problemas em biologia de populações. De maneira simétrica, o estudante de matemática que deseja entrar na biologia de populações tem, em geral, grande dificuldade para visualizar problemas de maneiras que os tornem acessíveis às suas habilidades analíticas. A peça que falta,

2 acreditamos, é aquele primeiro passo do pensamento criativo a invenção de um modelo para descrever o problema biológico. Para entender um assunto de verdade, deve-se ter uma percepção sobre como os teóricos trabalham. Na verdade, a maioria dos biólogos teóricos utiliza apenas alguns poucos tipos de operações mentais bem diretas, que podem ser apreciadas e completamente compreendidas pela prática. A partir do momento em que o estudante começa a lidar com o assunto nesse nível, ele perde todo o medo dele. Os conceitos tornam-se agradáveis desafios capazes de resoluções lúcidas e a matemática pode até se tornar uma coisa gostosa. Um comentário que sempre deve ser feito sobre o uso de modelos quando se começa a falar sobre o assunto é o seguinte: a maioria dos modelos consiste de simplificações deliberadas. Poucos modelos podem ser usados para se fazer previsões exatas sobre fenômenos naturais. Mas é justamente na simplicidade dos modelos que reside a sua maior força. Na maioria dos casos, os modelos nos permitem obter um entendimento intuitivo dos fenômenos naturais, mostrando claramente as implicações das hipóteses feitas e permitindo que se façam estimativas razoavelmente precisas dos resultados observados ou medidos. A natureza de um modelo pode ser avaliada de acordo com algumas características: A complexidade do modelo, por exemplo: - O número e o tipo das hipóteses feitas; - O número de parâmetros livres (isto é, cujos valores não são especificados pelo modelo) que ele contém; - Um critério usualmente aceito para se decidir sobre qual modelo usar é o da Navalha de Ockham também conhecido como Princípio da Parcimônia, formulado pelo filósofo e monge inglês do Séc. XIV William de Ockham: se idéias diferentes podem explicar a mesma coisa, aceite a mais simples (cortando as demais com uma navalha imaginária). A possibilidade de simular o modelo em computador, ou mesmo de resolvê-lo analiticamente (isto é, à mão, com papel e caneta); A fidelidade de representação dos detalhes do sistema modelado; A gama de casos aos quais o modelo pode ser aplicado; A universalidade do modelo, isto é, a capacidade que um dado modelo matemático (portanto abstrato) tem de explicar fenômenos naturais diferentes. Por exemplo, modelos de osciladores (pêndulos) acoplados são usados para explicar a sincronia das piscadas de uma população

3 de vaga-lumes, a existência dos ritmos cerebrais, a sincronização dos períodos menstruais de mulheres que passam muito tempo juntas e muitos outros fenômenos em biologia, física, química etc. O seu poder preditivo: - O modelo só consegue reproduzir propriedades já conhecidas, ou consegue prever características novas? - Qual a precisão das previsões qualitativas e quantitativas? O nível de simplificação ou de abstração de um modelo depende: Dos objetivos do modelo, por exemplo, se queremos saber se vai chover amanhã ou se haverá um aquecimento global da Terra nas próximas décadas; Da existência de métodos matemáticos adequados e do poder das ferramentas computacionais disponíveis, por exemplo, podemos conseguir modelar um único neurônio com grande detalhe e fidedignidade, mas será que conseguimos modelar os cem bilhões de neurônios do cérebro? A modelagem é uma arte cujos elementos podem ser sintetizados em dois princípios: A arte de deixar de lado os detalhes irrelevantes para um entendimento do problema; A arte de manter as características necessárias para permitir um entendimento do sistema em estudo e a feitura de previsões sobre ele.

4 Pablo Picasso, O Touro I, 1945

5 Pablo Picasso, O Touro II, 1945

6 Pablo Picasso, O Touro III, 1945

7 Pablo Picasso, O Touro IV, 1945

8 Pablo Picasso, O Touro V, 1945

9 Pablo Picasso, O Touro VI, 1945

10 Pablo Picasso, O Touro VII, 1945

11 Pablo Picasso, O Touro VIII, 1946

12 Pablo Picasso, O Touro IX, 1946

13 Pablo Picasso, O Touro X, 1946

14 Pablo Picasso, O Touro XI, 1946 Albert Einstein: Um modelo deve ser tão simples quanto possível...

15 ... mas não mais simples. Antônio C. Roque, O Touro, 2006

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