DISCIPLINA: Pesquisa Operacional PROFESSOR: Luis Antonio Ccopa Ybarra

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1 1 CONCEITOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES: INTRODUÇÃO O nome Pesquisa Operacional apareceu pela primeira vez durante a Segunda Grande Guerra Mundial, quando equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver determinados problemas de operações militares. Devido ao sucesso dessas operações, o mundo acadêmico e empresarial procurou utilizar as técnicas criadas em problemas de administração. A Pesquisa operacional é um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise de decisões. Assim sendo, uma DECISÃO é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema foi detectado, o que se percebe através da percepção de sintomas. Então, o processo de decisão empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está saindo do estado normal ou planejado. CARACTERÍSTICAS DA PESQUISA OPERACIONAL: Característica multidisciplinar das suas aplicações; Técnicas e métodos qualitativos por equipes interdisciplinares; Procura determinar uma melhor utilização de recursos e otimizar as operações empresariais Um novo enfoque sistêmico aos problemas de decisão das empresas ( ou seja), ultrapassa as fronteiras das especialidades, assim, um profissional especialista precisa evitar uma tendência natural de enquadrar todos os problemas dentro dos limites de sua cultura, mas sim, por outro lado, este profissional necessita de uma abordagem mais complexa e abrangente, porque a natureza e o ambiente dos negócios exigem além do raciocínio do especialista, uma visão mais aberta que reconheça os múltiplos aspectos envolvidos nos problemas da análise de decisão. Utilização de modelos que permitem a experimentação ou seja, uma decisão pode ser bem mais avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada. Vale-se identificar que, o imenso progresso da Pesquisa Operacional se deve também, ao desenvolvimento dos computadores digitais, devido à sua velocidade de processamento e capacidade de armazenamento e recuperação das informações.

2 2 1) o processo de decisão é seqüencial; 2) é um processo complexo; 3) é um processo que envolve valores subjetivos. 4) é um processo desenvolvido dentro de um ambiente institucional com regras mais ou menos definidas. SINTOMAS IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA PROCESSO DECISÓRIO PROCESSO SEQÜENCIAL O processo decisório seqüencial é conseqüência de uma série de fatos anteriores que criaram as bases para se chegar à decisão. Esta decisão resulta de várias decisões que carregam diversos aspectos do problema. A decisão é tomada a partir de discussões na forma de consenso. PROCESSO INCLUI VALORES SUBJETIVOS É enorme o número de fatores intuitivos, provenientes de experiência pessoal e personalidade, envolvidos no processo decisório. Esses fatores influenciam a qualidade da decisão tomada, diferenciando assim, o bom do mau administrador. PROCESSO COMPLEXO O processo decisório consiste em um interrelacionamento entre pessoas, responsabilidades pelo serviço, comunicação e sistemas de informações, código de ética moral e, às vezes, interesses e objetivos diferentes dos participantes.. PROCESSO EM AMBIENTE INSITUCIONAL Todas companhias têm uma estrutura organizacional própria que influencia e muitas vezes condiciona o processo decisório. Utiliza-se nas organizações técnicas modernas de gerência: qualidade total, empowerment, planejamento estratégico, etc. com o objetivo de que a tomada de decisão seja um ponto forte na avaliação da competitividade da organização no mercado.

3 3 CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES De uma maneira geral as Decisões são classificadas em relação ao nível em que ocorrem dentro da empresa e pelo grau de complexidade apresentado. Apresenta-se abaixo dois critérios : 1) NÍVEL ESTRATÉGICO : Nível estratégico de uma decisão refere-se à sua importância e abrangência com relação à organização. 2) GRAU DE ESTRUTURAÇÃO: grau de estruturação refere-se à possibilidade de uma decisão ser acompanhada em seu processo de preparação e de conclusão, ou mesmo de ser reproduzida, por outras pessoas, em outras ocasiões, com os mesmos resultados. GRAU DE ESTRUTURAÇÃO DA DECISÃO: 1) ALTO 2) MÉDIO 3) BAIXO 1) ADMINISTRAÇÃO DE ESTOQUES 1) FINANCIAMENTO DO CAPITAL DE GIRO 2) ESCOLHA DE CAPA DE REVISTA 1) PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO 2) PROGRAMAÇÃO ORÇAMENTÁRIA 3) CONTRATAÇÃO DE UM DIRETOR 1) LOCALIZAÇÃO DE UMA NOVA FÁBRICA. 2) DIVERSIFICAÇÃO POR AQUISIÇÃO DE EMPRESA 3) PROGRAMA DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO NÍVEL OPERACIONAL NÍVEL GERENCIAL NÍVEL CORPORATIVO NÍVEL ESTRATÉGICO DA DECISÃO

4 4 QUALIDADE DA DECISÃO: Uma decisão apresenta elevada qualidade quando, de forma eficaz e efetiva, garante a realização dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e os recursos foram reservados. Essa definição permite distinguir três características principais que possibilitam a avaliação da qualidade de uma decisão: 1) satisfação dos interesses envolvidos; 2) adaptação dos meios necessários aos objetivos procurados; 3) consistência do curso da ação. Assim sendo, poderíamos dizer que a qualidade de uma decisão é tão mais elevada quanto maior for o grau de participação dessas três características no processo. O ENFOQUE GERENCIAL DA PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional tem sido vista pelos gerentes e praticantes sob dois enfoques: 1) Enfoque clássico ou tradicional é derivado do conceito quantitativo clássico da Pesquisa Operacional, aplica técnicas de modelagem a problemas de decisão e resolve modelos obtidos através da utilização de métodos matemáticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução ótima, de uma maneira sistêmica. Entretanto, as soluções ótimas podem não ser totalmente adequadas em todas as situações práticas, devido à sua pouca flexibilidade. 2) Enfoque atual segue o conceito qualitativo da Pesquisa Operacional. Centraliza-se para o diagnóstico do problema, valoriza-se o espírito crítico, a sensibilidade para descobrir o problema correto e analisar quais informações são fundamentais para a decisão e quais são acessórias, que complementam, sem afetar os resultados. A finalidade de toda informação é reduzir o grau de incerteza envolvido na decisão. Assim, a informação só tem valor no contexto de uma situação específica.

5 5 A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo de um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo de leva-lo a apresentar o desempenho que se deseja. O sistema real é um conjunto complexo de variáveis, de forma não muito definida. O sistema real reduzido é o núcleo do sistema existente que, primordialmente, dita o comportamento deste e que pode ser modelado, para efeito de análise, por uma estrutura simplificada. SISTEMA REAL EXISTENTE SISTEMA REDUZIDO ÀS VARIÁVEIS PRINCIPAIS MODELO

6 6 Um trabalho de Pesquisa Operacional deve desenvolver-se segundo as fases indicadas no fluxograma abaixo: PERCEPÇÃO OU DEMANDA POR SOLUÇÃO DEFINIÇÃO DO PROBLEMA SOLUÇÃO DO MODELO CONSTRUÇÃO DO MODELO AVALIAÇÃO VALIDAÇÃO DO MODELO EXPERIÊNCIA IMPLEMENTAÇÃO DOS RESULTADOS

7 7 FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL A seqüência do fluxograma não é rígida, todavia indica as principais etapas que devem ser vencidas. Exceto a fase de Solução do Modelo, que se baseia em métodos e técnicas bem desenvolvidas, as demais não seguem regras fixas e definidas. Os procedimentos necessários para essas fases dependem do tipo do problema em análise e do ambiente que o envolve. Apesar das dificuldades aparentes de fixação de regras para a execução dessas fases, é conveniente que seja feita alguma discussão sobre elas de forma a servir de guia geral de procedimentos. Os retornos de informação são as revisões. Estas trocas de informações ocorrem entre as diferentes etapas, devido às considerações que surgem da análise de uma etapa, sendo que estas revisões continuam nas etapas que se seguem. A primeira fase, DEFINIÇÃO DO PROBLEMA, do ponto de vista da Pesquisa Operacional, baseia-se em três aspectos principais: 1) descrição exata dos objetivos do estudo; 2) identificação das alternativas de decisão existentes; 3) reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do estudo, devido que a partir dela é que o modelo é concebido. A equipe encarregada do estudo deve captar e refletir, na formulação do problema, nos desejos e necessidades dos executivos com relação ao problema de decisão. Como também, é muito importante que as alternativas de decisão e as limitações sejam todas explicitadas, muito bem analisadas, com o intuito de que as soluções que resultarão no final do processo sejam válidas e aceitáveis. A segunda fase, CONSTRUÇÃO DO MODELO, trata-se de uma fase em que o analista deve usar toda sua criatividade, tendo em vista que a qualidade de todo o processo seguinte será conseqüência do grau de representação da realidade que o modelo venha a apresentar. Vários tipos de modelos podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais, desde um simples modelo conceitual que apenas apresenta inter-relação entre as informações, até modelos matemáticos, complexos que exigem uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação. A terceira fase, SOLUÇÃO DO MODELO, tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído.

8 8 Se o modelo for matemático, a solução será obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão de resposta. Exigindo do analista, uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação. Na quarta fase, VALIDAÇÃO DO MODELO, acontece porque no processo de solução do problema, torna-se necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada. É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema. A quinta fase, IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO, ocorre após a avaliação das vantagens e a validade da solução obtida, esta solução deve ser convertida em regras operacionais. A implementação, pode ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do estudo. Sendo conveniente que seja acompanhada pela equipe responsável, tendo em vista que, quando colocadas em prática, podem levar a possível reformulação do modelo em alguma de suas partes. A presença da equipe permite, também, superar mais facilmente as resistências e oposições às alterações propostas na sistemática das operações e que, normalmente, aparecem nessa fase de trabalho. A fase final, AVALIAÇÃO FINAL, nesta avaliação, um fator que tem papel primordial é a experiência do pessoal envolvido no estudo. Não se deve esquecer que o modelo é apenas uma representação simplificada, não conseguindo por isso captar todas as características e detalhes da realidade. Assim sendo, será com a experiência e uma visão crítica que se poderá avaliar e determinar a aplicabilidade da decisão.

9 9 TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA DECISÕES EM FACE DA CERTEZA, RISCO E INCERTEZA. CONJUNTO DE FERRAMENTAS QUANTITATIVAS O QUE É A TEORIA DA DECISÃO? A Teoria da Decisão pode ser conceituada como um conjunto específico de técnicas que auxiliam o tomador de decisão a reconhecer as particularidades do seu problema e a estruturá-lo. Além disso, a Teoria da Decisão sugere soluções segundo alguns critérios preestabelecidos. O tomador de decisão pode ser uma pessoa ou, mais abstratamente, uma instituição. O ponto de partida para a Teoria da Decisão é a identificação dos elementos comuns que existem nos problemas de decisão. Uma DECISÃO é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema foi detectado, o que se percebe através da percepção de sintomas. Então, o processo de decisão empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está saindo do estado normal ou planejado. CONCEITOS: ESTRATÉGIAS = as estratégias são as possíveis soluções para o problema. RESULTADOS = cada alternativa de solução leva a um ou mais resultados, que são as conseqüências das alternativas. ESTADOS DA NATUREZA = são as ocorrências futuras que podem influir sobre as alternativas, fazendo com que elas possam apresentar mais de um resultado. VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA = (VEA) é a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles associados. VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA = ( VEIP) é o ganho excedente sobre a decisão tomada com o mero conhecimento das probabilidades de ocorrência dos estados da natureza futuros. DTSC = problemas de decisão tomada sob certeza DTSR = problemas de decisão tomada sob risco DTSI = problemas de decisão tomada sob incerteza

10 10 A MATRIZ DE DECISÃO A matriz de decisão é um auxílio visual a um problema de decisão, que permite juntar elementos comuns do problema. A matriz é geralmente constituída: - nas linhas listam-se as alternativas possíveis; - nas colunas listam-se os estados da natureza; - em cada cruzamento linha/coluna coloca-se o resultado correspondente. A tabela abaixo mostra o aspecto de qualquer matriz de decisão com p alternativas e k estados da natureza: TABELA MATRIZ DE DECISÃO ESTADOS DA NATUREZA ALTERNATIVAS EN 1 EN 2 EN 3... EN K A 1 R 11 R 12 R R 1 K A 2 R 21 R 22 R R 2 K A 3 R 31 R 32 R R 3 K A P R P 1 R P 2 R P 3... R PK OBSERVAÇÃO: A i representa a i ésima alternativa, EN j o j ésimo estado da natureza e R i j o resultado associado entre eles. (DTSR) DECISÃO TOMADA SOB RISCO : Nos problemas de decisão tomada sob risco, conhecemos as probabilidades de ocorrência de cada um dos estados da natureza. A decisão é tomada com base no resultado médio ou resultado esperado de cada alternativa. VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA O valor esperado da alternativa (VEA) é a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles associados. Assim, o VEA nada mais é do que a média ponderada dos resultados possíveis para a alternativa, tomando as probabilidades dos estados da natureza com pesos de ponderação. Uma vez calculado o VEA para cada alternativa, a sua comparação pura e simples permite escolher a melhor das alternativas.

11 11 EXEMPLO: Uma empresa que deseja lançar um novo produto, pode ver-se a braços com as alternativas de construir uma nova fábrica, especialmente para o produto, ou aproveitar as instalações existentes. Uma nova fábrica possibilitará maior flexibilidade para acomodar as alterações na demanda e no projeto do produto, mas levará também a maiores custos de implantação. Por outro lado, a empresa pode considerar três estados futuros da demanda: alta, média e baixa. A matriz de decisão, já com as probabilidades associadas aos estados de natureza, está dada na tabela abaixo: ESTADOS DA NATUREZA ALTERNATIVAS BAIXA DEMANDA P = 0,2 MÉDIA DEMANADA P = 0,3 ALTA DEMANDA P = 0,5 USAR INSTALAÇÕES EXISTENTES CONSTRUIR NOVAS INSTALAÇÕES SOLUÇÃO: A matriz nos mostra que, se forem usadas as instalações existentes, as perdas serão menores se a demanda for baixa. Em compensação, os lucros serão maiores se forem construídas novas instalações e a demanda for alta (haverá maior capacidade de produção para aproveitar a alta demanda). As probabilidades de 0,2; 0,3 e 0,5 representam as expectativas adotadas pelo tomador de decisão sobre a ocorrência futura dos estados de natureza, ou seja, neste caso, das características da demanda. CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS Alternativa: usar instalações existentes Alternativa: construir novas instalações VEA = (-100) (0,2) + (100) (0,3) + (200) (0,5) =110 VEA = (-300) (0,2) + (0) (0,3) + (400) (0,5) = 140 Espera-se, portanto, que a construção de novas instalações para a fabricação do produto possa levar a um lucro maior de R$ 140 milhões, contra R$ 110 milhões caso sejam aproveitadas as instalações existentes. Logo, opta-se pela construção dessas novas instalações. VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA Até que ponto devemos empenhar esforços e consumir recursos para obter informações sobre o futuro? Uma informação perfeita traz um benefício e custa alguma coisa.

12 12 Nosso empenho pelas informações sobre o futuro, chega no ponto em que custe a perda do lucro similar ao que estamos perdendo por não- tê-las. Se estamos ganhando a quantia X com a informação perfeita, em relação ao que ganharíamos sem ela, fica claro que não podemos pagar mais do que X pela informação. Essa quantia X é aquilo que chamamos de valor esperado da informação perfeita (VEIP). Valor esperado da informação perfeita (VEIP) é o ganho excedente sobre a decisão tomada com mero conhecimento das probabilidades de ocorrência dos estados da natureza futuros. EXEMPLO: Suponhamos um feirante que trabalha com melões. Estes melões são comprados no sábado e revendidos na feira de domingo. O feirante paga R$ 2,00 por melão que compra e revende-os a R$ 4,00 a unidade. Para facilitar o exemplo, vamos admitir que a demanda para os melões só assuma os valores de 50, 100 ou 150 unidades. O feirante poderá comprar qualquer uma dessas mesmas quantidades, mas não sabe de antemão qual será a sua demanda, conhecendo tão somente suas probabilidades. Vamos também admitir para simplificar que, se por acaso o feirante comprar mais melões do que vende no domingo, ele perde completamente os melões não vendidos. Sabe-se que o feirante estima em 0,35; 0,45 e 0,20 respectivamente, a probabilidade de que a demanda seja de 50, 100 ou 150 unidades. Dentro dessa situação pede-se: a) a melhor decisão a tomar sob risco b) o valor esperado da informação perfeita SOLUÇÃO: a) melhor decisão a tomar sob risco: O primeiro passo é montar a matriz. ALTERNATIVAS VENDER 50 MELÕES p = 0,35 ESTADOS DA NATUREZA VENDER 100 MELÕES p = 0,45 Comprar 50 melões Comprar 100 melões Comprar 150 melões VENDER 150 MELÕES p = 0,20 Vamos observar que o feirante ganha (R$ 4,00 R$ 2,00) = R$ 2,00 de lucro a cada melão vendido. Para encontrar a melhor opção de compra sob risco basta calcularmos os valores de lucro esperados a cada opção. Comprar 50 melões: VEA = (100 ) (0,35) + (100) (0,45) + ( 100) ( 0,20 ) = 100 Comprar 100 melões VEA = (0) (0,35) + ( 200) (O,45) + ( 200) ( 0,20) = 130 Comprar 150 melões VEA = ( -100) (0,35) + ( 100) ( 0,45) + ( 300 ) ( 0,20 ) = 70

13 13 A melhor opção para o feirante é comprar 100 melões, o que conduzirá a um lucro médio de R$ 130, 00. c) valor esperado da informação perfeita Vamos admitir agora que alguém ofereça ao feirante a informação perfeita de antemão. Todo sábado, esse alguém diz ao feirante qual será a demanda por melões no domingo. O feirante não pode alterar a demanda, mas pode tirar o melhor proveito possível da situação. Por exemplo, se ele sabe que num particular domingo a demanda será apenas de 50 melões, essa é a quantia que ele irá comprar. Aliás, ele sempre comprará exatamente o que ele irá vender. Repare que quando a demanda for de 50 melões, o feirante lucrará R$ 100,00. quando a demanda for de 100 melões ele lucrará R$ 200,00 e, finalmente, quando a demanda for de 150 melões, ele lucrará R$ 300,00. Ocorre que: - o feirante lucrará R$ 100,00 em 35% das oportunidades; - lucrará R$ 200,00 em 45% das oportunidades; - lucrará R$ 300,00 em 20% das oportunidades. Pois estas são as chances das demandas de 50, 100 e 150 melões. O feirante não pode interferir nos estados da natureza, ele apenas os conhece de antemão. De posse da informação perfeita, o lucro médio do feirante será: (100) (0.35) + (200) (0.45) + (300) (0.20) = 185 o feirante ganha agora R$ 185,00 contra R$ 130,00 que ganhava quando não havia a informação perfeita. Pela definição, o valor esperado da informação perfeita é: VEIP= = 55 (DTSI) DECISÃO TOMADA SOB INCERTEZA Na decisão tomada sob incerteza, não são conhecidas as probabilidades de ocorrência dos estados de natureza. Existem diversos critérios disponíveis para a tomada de decisão, cada qual com sua lógica subjacente. Não há critério único para problemas de decisão tomada sob incerteza. Apresenta-se a seguir alguns dos os critérios mais conhecidos: 1) CRITÉRIO MAXIMIN sua principal característica é ser bastante conservador, devido escolher a alternativa como o menos ruim dos resultados; 2) CRITÉRIO MAXIMAX sua principal característica é ser fundamentalmente otimista, pois escolhe com o melhor dos resultados; 3) CRITÉRIO DE LAPLACE que se destaca por atribuir probabilidades idênticas aos resultados da natureza e toma a decisão como se fosse agora o problema do tipo DTSR (problemas de decisão tomada sob risco)

14 14 CRITÉRIO MAXIMIN A palavra maximin quer dizer o máximo entre os mínimos. Para cada alternativa, anotamos o pior resultado, comparando todas as alternativas entre si, e depois escolhemos deles aquela que conduz ao menos ruim dos piores. É preciso tomar algum cuidado, pois o que é mínimo ou máximo depende de como foi construída a matriz de decisão. Se os resultados estão expressos em lucro ou ganho de qualquer espécie, então o pior resultado será o menor valor numérico. O contrário acontecerá se os resultados expressarem despesa ou perda de qualquer espécie. EXEMPLO: Retornemos ao exemplo do feirante de melões, sendo que desta vez, não serão conhecidas as probabilidades dos estados de natureza, com a finalidade de aplicarmos o critério maximin: SOLUÇÃO: A tabela abaixo transcreve a matriz de decisão do problema do feirante, com uma coluna adicional que aponta, para cada alternativa, o pior resultado de cada alternativa: ESTADOS DA NATUREZA ALTERNATIVAS Vender 50 Vender 100 Vender 150 melões melões melões Piores resultados Comprar 50 melões Comprar 100 melões Comprar 150 melões Como a matriz de decisão é expressa em termos de lucro associado a cada opção de compra de certa quantidade de melões, os piores resultados são expressos pelos números mais baixos de cada alternativa. A alternativa escolhida é a de compra de 50 melões de cada vez, que conduz ao lucro de R$100,00. o critério envolve um comportamento pessimista ou, pelo menos bastante conservador. CRITÉRIO MAXIMAX Neste critério, identifica-se em cada alternativa o seu melhor resultado. A palavra maximax indica o máximo dos máximos. Dados os melhores resultados de cada alternativa, escolhe-se aquela com o melhor entre os melhores: EXEMPLO: Novamente, retornemos ao problema dos melões. A matriz de decisão aparece na tabela abaixo, agora com uma coluna apontando os melhores resultados ( os de maior valor, neste caso) de cada alternativa. Utilizemos o critério maximax para tomarmos a decisão:

15 15 ALTERNATIVAS Vender 50 melões ESTADOS DA NATUREZA Vender 100 melões Vender 150 melões Melhores resultados Comprar 50 melões Comprar 100 melões Comprar 150 melões A melhor alternativa é agora a opção de comprar 150 melões, conduzindo ao máximo lucro possível, de R$300,00. esse método é claramente a maneira de pensar otimista incorrigível, que encara o futuro como totalmente favorável a seus planos. CRITÉRIO DE LAPLACE O critério de Laplace usa todos os dados da matriz de decisão. Como não são conhecidas as probabilidades dos estados da natureza, elas são suposta iguais, por falta de razão para supô-las diferentes. Por esse motivo, o critério de Laplace é algumas vezes referido como critério ou método da razão insuficiente. A probabilidade associada a cada estado da natureza é sempre igual à unidade dividida pelo número de estados da natureza. Após assumir probabilidades iguais, calcula-se o valor esperado para cada alternativa, escolhendo-se a que conduzir ao melhor valor esperado. EXEMPLO: No caso do feirante com seus melões, a probabilidade que o critério de Laplace atribui a cada estado da natureza é de 1/3, tendo em vista que existem 3 estados da natureza. Os valores esperados são: Comprar 50 melões VEA = (100) (1/3) + (100) (1/3) + (100) (1/3) = R$ 100,00 Comprar 100 melões VEA = (O) (1/3) + (200) (1/3) + (200) (1/3) = R$ Comprar 150 melões VEA = (-100) (1/3) + (100) (1/3) + (300) (1/3) = R$ A melhor alternativa é aquela com a maior VEA (VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA), ou seja, a alternativa de se comprar 100 melões, conduzindo a um lucro esperado de R$

16 16 O CRITÉRIO DO MÍNIMO ARREPENDIMENTO Esse critério, mais sofisticado que os anteriores, procura minimizar o arrependimento por se escolher uma alternativa errada. É conveniente antes de tudo definir o que se entende por arrependimento. Dado um estado de natureza, chama-se arrependimento associado a uma certa alternativa aquilo que se perde, em termos relativos, por não se ter escolhido a melhor alternativa, quando considerado esse estado de natureza. Explica-se: Dado um estado de natureza, haverá uma melhor alternativa que lhe é associada. No problema dos melões, por exemplo, se considerarmos o estado de natureza Vender 100 melões, os resultados são: ALTERNATIVAS RESULTADO Comprar 50 melões Comprar 100 melões Comprar 150 melões A melhor alternativa, nesse caso, teria sido que o feirante tivesse comprado 100 melões que lhe daria um lucro de R$20.000,00. Se ele tivesse escolhido justamente essa alternativa, fica claro que não há arrependimento algum ou, por outras palavras, o arrependimento é zero. Se porém, ele escolheu comprar 50 melões, o lucro será apenas de R$10.000,00, ele terá deixado de ganhar R$10.000,00 (R$20.000,00 R$10.000,00). Este é o seu arrependimento por não ter escolhido a melhor alternativa. Se ele comprasse 150 melões o seu arrependimento teria sido também de R$10.000,00. Para se calcular os arrependimentos sob um dado estado de natureza, basta portanto: a) Identificar a alternativa com o melhor resultado b) Para cada alternativa, o arrependimento é calculado subtraindo-se o seu resultado do melhor resultado identificado em a) A Matriz de Decisão original transforma-se numa Matriz de Arrependimentos, com o mesmo número de linhas e colunas da original. Vamos calcular os arrependimentos: ESTADO DE NATUREZA VENDER 50 MELÕES ALTERNATIVAS RESULTADO ARREPENDIMENTO Comprar 50 melões (o melhor) = 0 Comprar 100 melões = Comprar 150 melões ( )= ESTADO DE NATUREZA VENDER 150 MELÕES ALTERNATIVAS RESULTADO ARREPENDIMENTO Comprar 50 melões = Comprar 100 melões = Comprar 150 melões (o melhor) = 0

17 17 MATRIZ DE ARREPENDIMENTO PARA O PROBLEMA DOS MELÕES ESTADOS DA NATUREZA ALTERNATIVAS Vender 50 melões Vender 100 melões Vender 150 melões Comprar 50 melões Comprar 100 melões Comprar 150 melões Observe que os arrependimentos são sempre positivos, o que é possível devido à forma como são definidos, sempre pela diferença entre o melhor resultado e os demais. Se o resultados forem expressos como despesas, bastará tomar-se a diferença ( que é originalmente negativa, já que o melhor resultado é o menor número) em valor absoluto. Ainda neste caso, pode-se, de forma equivalente, subtrair o melhor resultado (menor número) de todos os demais. Voltemos ao critério de decisão do mínimo arrependimento. Uma vez transformada a matriz de decisão em matriz de arrependimentos, procede-se como no critério maximin: - aponta-se em cada alternativa o seu pior arrependimento; - escolhe-se a alternativa com o menos ruim dos arrependimentos, ou seja, com o mínimo entre os arrependimentos. No caso dos melões, temos: ALTERNATIVAS PIOR ARREPENDIMENTO COMPRAR 50 MELÕES COMPRAR 100 MELÕES COMPRAR 150 MELÕES O mínimo entre os piores arrependimentos fica com a opção de comprar 100 melões, que é então a alternativa escolhida.

18 18 Exercícios 1. Dados a matriz de decisão de lucros a seguir (valores em milhões de reais), determinar a melhor alternativa usando o valor esperado da alternativa. Estados da Natureza Alternativas EN1 (P=0,20) EN2 (P=0,50) EN3 (P=0,30) A A A Computar, no exercício anterior, o valor do lucro médio com a informação perfeita e também o VEIP (Valor Esperado da Informação Perfeita). 3. Dada a matriz de decisão a seguir, expressa em milhares de reais representando despesas, determinar a melhoraalternativa usando o valor Esperado da Alternativa. Estados da Natureza Alternativas EN1 (P=0,15) EN2 (P=0,35) EN3 (P=0,40) EN4 (P= 0,10) A A Computar a despesa média esperada com a informação perfeita, bem como o VEIP (Valor Esperado da Informação Perfeita), para o exercício A matriz de decisão a seguir mostra três alternativas e quatro quatro estados da natureza, dos quais não são conhecidas as probabilidades (a matriz é fornecida em lucros). Estados da Natureza Alternativas EN1 EN2 EN3 EN4 A A A Encontrar a melhor alternativa, de acordo com os seguintes critérios: a) Maximax; b) Maximin; c) Laplace; d) Mínimo arrependimento.

19 19 6. Retomar o exercício 5 e encontrar a melhor decisão pelos mesmos critérios, mas supondo agora que os números da matriz representam despesas. 7. Em um dado processo produtivo, a máquina MX210 pode ser corretamente ajustada ou não. A probabilidade de que ela esteja corretamente ajustada é 0,80. Se ela estiver corretamente ajustada 90% das peças produzidas serão aceitáveis. Por outro lado, se ela estiver incorretamente ajustada, esse porcentual baixa a 40%. É retirada uma amostra de 20 itens produzidos na máquina, e 15 deles revelam-se aceitáveis. Revisar a probabilidade de que a máquina MX210 esteja corretamente ajustada. 8. A companhia Editora Urano planeja lançar uma nova revista para homens. Pela experiência anterior dos editores, a revista tem uma chance de 80% de ser um sucesso. Para uma melhor estimativa (revisão) dessa probabilidade, entretanto, a editora decide empreender uma pesquisa de mercado. Uma amostra ao acaso de 100 leitores potenciais da revista é escolhida. se 40% dos entrevistados responderem que comprariam a revista, então a revista está destinada ao sucesso. se esse porcentual for de 25%, então a revista será um fracasso. Ao final das entrevistas, 35 leitores declaram que comprariam a revista. Determinar a probabilidade de sucesso da revista à luz dessa nova informação.

20 20 A PROGRAMAÇÃO LINEAR E O PROCESSO DE DECISÃO INTRODUÇÃO: A programação linear é uma das muitas técnicas analíticas recentemente desenvolvidas que se têm mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas empresariais. Esses métodos quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicados na pesquisa operacional, são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos. Considerando que a programação linear seja um modelo, um método apropriado de estudo seria estrutura-la dentro da estrutura mais extensa do processo de tomada de decisão administrativa. Objetivos para o estudo da programação linear : a) reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo; b) auxiliar o analista no estágio inicial da investigação; c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; d) aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos problemas e dos resultados envolvidos. Áreas de aplicação da programação linear: a) problemas de alocação, ou seja, problemas envolvidos na alocação de recursos escassos entre fins alternativos, de acordo com algum critério. b) Problemas complexos de alocação que não podem ser resolvidos satisfatoriamente com as técnicas analíticas convencionais. Alguns exemplos de problemas de alocação: a) determinação dos produtos a serem fabricados, a composição da produção, planejada levando em consideração a demanda esperada, a adequabilidade e as capacidades da produção e facilidades de distribuição, as diretrizes administrativas, tais como a política sobre os produtos levados até o término da linha de produção. Com o objetivo de maximizar os lucros. b) Problemas de mistura ou combinação de ingredientes utilizados na fabricação dos produtos, tendo em vista a disponibilidade e os custos relativos dos ingredientes, qual a combinação que resultará no custo mínimo de material por unidade do produto final? c) Programação da produção e planejamento de estoque, procura-se qual o programa de produção e quais os níveis planejados de estoque durante o próximo período planejado que satisfarão à demanda esperada e também resultarão em custo mínimo? d) Alimentação das máquinas, pergunta-se quais alocações de capacidade da máquina disponível às séries de ordens que resultarão no custo mínimo? e) Problemas de transporte e distribuição física, pergunta-se qual o plano físico de distribuição que estará tanto dentro das restrições de capacidade como da demanda e que ao mesmo tempo minimize os custos de produção e de distribuição durante o período de planejamento.

21 21 MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Os procedimentos de cálculo matemático de programação linear dependem em parte de vários métodos de programação adotados em determinado problema. O caso básico, ou geral, é chamado MÉTODO SIMPLEX, porque é baseado no algoritmo simplex. Certos tipos de problemas de alocação podem ser resolvidos pelas versões especiais, menos complexas, do método Simplex, conhecidas como métodos Gráficos e de Transporte. FORMULAÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Quando da análise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de programação linear é fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as variáveis fora do controle do analista, ou parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas cujo valor se quer conhecer. A solução de um modelo dará exatamente o valor dessas variáveis de decisão. As variáveis de decisão compõem tanto a função objetivo como as restrições e são em geral designadas por letras como x, y, z, etc., ou por uma letra indexada como x 1, x 2, etc. A função objetivo é uma expressão onde cada variável de decisão é ponderada por algum parâmetro ( como por exemplo lucro unitário). EXEMPLO DE FORMULAÇÃO : MAXIMIZAÇÃO Consideremos o caso da indústria de móveis Fresão, que ilustra um problema de composição de produto. A Fresão produz, entre outros artigos, dois tipos de conjunto para sala de jantar: o conjunto Beatrice e o conjunto Anamaria. A Fresão está preparando sua programação semanal de produção para os dois conjuntos. Sabe-se que, embora não haja restrições no tocante à demanda do conjunto Beatrice (dentro das limitações de produção atuais) para o conjunto Anamaria dificilmente a demanda semanal ultrapassará 8 unidades. A fabricação dos dois conjuntos é dividida em dois grandes blocos de operações: Preparação( consistindo do corte da madeira e preparação para montagem) e Acabamento ( consistindo da montagem dos conjuntos e acabamento final). Em face dos outros produtos existentes, a Fresão não poderá alocar mais de 100 horas para a preparação e 108 horas para o acabamento durante a semana. O conjunto Beatrice exige 5 horas para a preparação e 9 horas para o acabamento, enquanto que para o conjunto Anamaria esses números são de 10 e 6 horas respectivamente. A Fresão deve decidir quantas unidades de cada conjunto devem ser fabricadas, levando em conta que o conjunto Beatrice fornece um lucro unitário de R$ 4000,00 enquanto que para o conjunto Anamaria o lucro unitário é de R$ 5000,00.

22 22 SOLUÇÃO Na formulação de modelos de programação linear, é bastante útil reunirmos os dados em uma tabela, de modo que se recorra a todo momento ao enunciado do problema, no caso da Fresão, a maioria dos dados relevantes estão na tabela abaixo: conjunto Horas preparação Horas acabamento Demanda máxima Lucro unitário Beatrice 5 9 Não há R$ 4000,00 Anamaria R$ 5000,00 As variáveis de decisão estão claras no enunciado. Deseja-se saber quantas unidades de cada conjunto devem ser produzidas. Chamemos de: X = número de unidades do conjunto Beatrice Y = número de unidades do conjunto Anamaria O estabelecimento da função objetivo vem a seguir. Como cada unidade de conjunto Anamaria contribui com R$ 4000,00 de lucro, contra R$ 5000,00 de cada conjunto Anamaria, o lucro total derivado de X unidades do primeiro conjunto e Y unidades do segundo conjunto será dado por: 4000x y Expressão esta que desejamos maximizar Seguindo este raciocínio semelhante, podemos montar as restrições. O número total de horas de preparação que se gastará para os dois conjuntos é 5x + 10 y que não pode ser maior que o máximo de 100 horas que estão disponíveis para a preparação logo, a primeira restrição fica 5x + 10y < 100 para o acabamento, a restrição será escrita como 9x + 6y < 108 a última restrição diz respeito à demanda máxima dos conjuntos Anamaria, que não pode ultrapassar a 8 unidades semanais y < 8 finalmente, todo problema de programação linear possui as chamadas condições de não negatividade, segundo as quais as variáveis de decisão só podem assumir valores positivos ou nulos: x > 0 y > 0

23 23 repare que não teria sentido algum em se pensar num número negativo de qualquer um dos dois conjuntos em questão. Aliás, a maioria dos programas de computador disponíveis para a programação linear assume automaticamente as condições de não negatividade, não havendo necessidade de incorpora-las aos dados de entrada na máquina. Resumindo, o problema da indústria de móveis Fresão, formulado completamente segundo um modelo de programação linear é o seguinte; Maximizar 4000x y Sujeito a 5x + 10y <100 (preparação) 9x + 6y < 108 (acabamento) 1y < 8 (demanda de conjuntos) x > 0 y > 0 o problema da indústria Fresão admite como solução x = 8 e y = 6, levando a um valor máximo da função objetivo de 4000 (8) (6) = R$ ,00 se os valores x = 8 e y = 6 forem substituídos nas restrições, veremos que as horas de preparação e acabamento são totalmente esgotadas pela produção. Ao se tentar outros valores de x e y verifica-se que sempre conduzem a uma valor da função objetivo menor que R$ ,00. OBSERVAÇÃO: Embora pareça desnecessário escrever 1y < 8 e não simplesmente y < 8, que também está correto, é conveniente que acostumemos a colocar coeficiente 1 ou mesmo 0 (zero, correspondente a uma variável que não compareça numa expressão) dado que isso será de muita utilidade quando da solução dos problemas pelo algoritmo simplex, que será visto brevemente.

24 24 EXEMPLO DE FORMULAÇÃO: MINIMIZAÇÃO A ABORDAGEM é essencialmente a mesma que em problemas de maximização, pelo que aproveitaremos a oportunidade para apresentar um problema de formulação um pouco mais complexa. Consideremos o caso do Senferro A e do Senferro Extra, que são os nomes comerciais de dois líquidos antiferruginosos produzidos pela ABC Química Industrial Ltda. Os dois líquidos são obtidos pela adição, em proporções diferentes, de dois líquidos denominados de HPO 33 e B 45 que são adquiridos de outros fornecedores pela ABC. As proporções, todas em volume, são as seguintes: Senferro A : 7 partes de HPO 33 para 5 partes do B 45 Senferro Extra: 4 partes de HPO 33 para 8 partes do B45 A ABC deseja programar a sua produção para o mês seguinte. como os dois produtos Senferro A e Senferro Extra têm encontrado uma excelente aceitação no mercado servido pela ABC, esta espera que deverá vender pelo menos 7000 litros do Senferro A e 3200 litros do Senferro Extra. Como estes produtos são colocados no mercado juntamente com outros da ABC, considera-se importante para a imagem da empresa que a demanda seja atendida tão bem quanto possível. Por outro lado, a aquisição dos componentes BPO 33 e B45 acostuma gerar alguns problemas de caixa para a ABC, dado que os fornecedores exigem pagamento à vista, enquanto que a ABC costuma dar 10 dias para os clientes. A alternativa para a ABC é então a de minimizar o investimento feito na compra do HPO 33 e do B45, que custam respectivamente R$ 400,00 e R$ 200,00 o litro. Existe uma cláusula adicional com o fornecedor do HPO 33, segundo a qual a abc não pode adquirir menos que 200 litros desse componente a cada compra. SOLUÇÃO Organização dos dados do problema Proporções Componente Senferro A Senferro Extra Compra mínima Custo unitário HPO R$ 400 B Não há R$ 200 É claro que as quantidades a adquirir dos componentes HPO 33 e B 45 são variáveis de decisão, não menos importante, de se observar que, como esses componentes entram com proporções diferentes nos dois produtos Senferro A e Senferro Extra.

25 25 Assim, teremos que trabalhar com 4 variáveis para efeito de elaboração do modelo: x 1 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro A x 2 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro Extra y 1 = quantidade de B 45 a ser usada no Senferro A y 2 = quantidade de B 45 a ser usada no Senferro Extra fica claro que, se determinados os valores das variáveis acima, basta tomar (x 1 + x 2 ) como a quantidade de HPO 33 a comprar enquanto que, (y 1 + y 2 ) será a quantidade de B 45. Como cada unidade de HPO 33 contribui com R$ 400 para o custo Enquanto que cada unidade de B 45 contribui com R$ 200 para o custo Independentemente de serem usadas em um ou outro produto, A função objetivo fica: Minimizar 400 x x y y 2 A primeira restrição a considerar é o atendimento da demanda mínima da Senferro A, que é de 7000 litros. Supondo que as condições de linearidade prevaleçam, quando se misturam os dois componentes a quantidade final de Senferro A é simplesmente a soma das quantidades isoladas dos componentes. A primeira restrição fica: x 1 + y 1 > 7000 o mesmo raciocínio vale para a restrição referente ao Senferro Extra, cuja demanda mínima é de 3200 litros : A segunda restrição fica: x 2 + y 2 > 3200

26 26 A terceira restrição diz respeito à compra mínima do componente HPO 33, que deve ser de 200 litros x 1 + x 2 > 200 há ainda duas restrições, que dizem respeito às proporções que devem manter entre si os dois componentes na composição dos dois produtos. Na mistura para a obtenção do Senferro A, a proporção entre o HPO 33 e o B 45 deve ser 7:5 x 1 = 7 y 1 5 como é de costume que todas as variáveis estejam alinhadas, e que o lado direito das restrições seja sempre um número, pode-se reescrever a restrição como 5 x 1-7 y 1 = 0 na obtenção do Senferro Extra, as proporções são de 4:8 para HPO 33 e B 45 x 2 = 4 y x 2-4 y 2 = 0 sem esquecer as condições de não negatividade, finalmente: x 1 > 0, x 2 > 0, y 1 > 0, y 2 > 0 resumindo, o modelo completo (colocando coeficientes iguais a 1 e zero para que todas as restrições contenham todas as variáveis) temos: minimizar 400 x x y y 2 sujeito a 1 x x y y 2 > x x y y 2 > 3200

27 27 1 x x y y 2 > x x 2-7 y y 2 > 0 0 x x y 1-4 y 2 > 0 x 1 > 0 x 2 > 0 y 1 > 0 y 2 > 0 o problema completo tem, portanto 4 variáveis e 5 restrições. Não há a necessidade de se colocar os coeficientes das variáveis nas condições de não negatividade, pois não comporão no alogaritmo de solução, embora sejam condição obrigatória. Novamente para não se deixar em aberto quaisquer dúvidas, segue a solução: x 1 = 4.983,3 litros x 2 = 1.066,7 litros total HPO 33 = x 1 + x 2 = litros y 1 = 2.916,7 litros y 2 = litros total B 45 = y 1 + y 2 = litros o investimento mínimo será nesse caso de R$ ,00. Todas as restrições são rigorosamente obedecidas.

28 28 SOLUÇÃO GRÁFICA: PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO Retornemos ao problema da Indústria de Móveis Fresão, que consistia em determinar quantas unidades dos conjuntos Beatrice e Anamaria deveriam ser programadas de forma a maximizar o lucro. Como se recorda, a formulação completa era a seguinte: Maxinizar 4000 x y Sujeito a 5x + 10 y < x + 6 y < y < 8 x > 0, y > 0 a solução gráfica exige que tomemos dois eixos ortogonais, cada um dos quais irá representar os valores de uma das variáveis, no caso tomaremos o eixo horizontal para a variável x e o eixo vertical para a variável y. a seguir todas as restrições devem ser representadas no plano xy. Vejamos a primeira restrição A expressão 5 x + 10 y representa o número total de horas de preparação que os dois conjuntos irão ocupar. É obrigatório que essa não ultrapasse a 100 horas, que é o máximo disponível. Suponha por um momento que a soma 5 x + 10 y ocupasse exatamente as 100 horas disponíveis, ou seja, 5 x + 10 y = 100 essa igualdade é apenas a equação de uma reta, que pode ser determinada no plano se soubermos as coordenadas de dois dos seus pontos. Tradicionalmente, escolhem-se os pontos (0,y) e (0,x) ou seja, os pontos onde a reta encontra os eixos x e y. Se x = 0 então 5 (0) + 10 y = 100 e y = 10. Se y = o então 5 x + 10 (0) = 100 e x = 20. A reta resultante encontra-se na figura abaixo: ( restrição de horas de preparação ) número de conjuntos Anamaria (y) zona permissível

29 29 Número de conjuntos Beatrice (x) Ao longo da reta, teremos todas as combinações possíveis de valores de x e de y tal que 5 x + 10 y = 100 assim, por exemplo se x = 6 teremos 5 (6) + 10 y = 100 ou y = 7. A região compreendida entre a reta e os eixos também obedece à restrição 5 x + 10 y < 100, logo a restrição pode ser representada pela área compreendida entre a reta e os eixos, incluída a própria reta para o caso de igualdade 5 x + 10 y = 100. A essa área que aparece no gráfico, denominamos de zona permissível pela restrição do número de horas disponíveis de preparação. A área é limitada pelos eixos porque valem as condições de não negatividade. Qualquer ponto fora da zona permissível ( como por exemplo o ponto onde x = 10 e y = 14 ) não será uma solução possível para o problema. A restrição seguinte diz respeito ao número máximo disponível de horas para acabamento 9 x + 6 y < 108 tomando novamente a igualdade, a reta resultante cortará os eixos nos pontos (0,8) e (12,0) como é mostrado no gráfico. a região admissível novamente está compreendida entre a reta e os dois eixos, sendo a própria reta o limite, valendo pela igualdade citada. ( Restrição de horas de acabamento ) número de conjuntos Anamaria (y) Número de conjuntos Beatrice (x) Finalmente a última restrição estabelece que o número máximo de conjuntos Anamaria que pode ser fabricado é igual a 8, ou seja: 1 y < zona permissível

30 30 O gráfico a seguir mostrará a reta que responde pela igualdade. Ela é paralela ao eixo, delimitando uma região permissível que não tem limites para a direita, indicando que para qualquer número de conjuntos Beatrice que se queira, o número de conjuntos Anamaria jamais ultrapassa a 8. (Restrição : conjuntos Anamaria) número de conjuntos Anamaria (y) zona permissível Número de conjuntos Beatrice (x) Os pontos A, B, C, e D são chamados PONTOS EXTREMOS da região possível, que nesse caso é finita e delimitada pelas arestas do polígono ABCDE. Não é difícil determinar as coordenas desses pontos extremos. Os pontos A, B, e E, por sua localização especial, têm coordenadas imediatas.

31 31 A ( x = 0, y = 0 ) ( origem dos eixos ) B ( x = 12, y = 0 ) E ( x = 0,y = 8 ) Os pontos C e D podem ser determinados diretamente por inspeção visual no gráfico, se ele estiver suficientemente claro, no caso em pauta, distingue-se que as coordenadas desses pontos são: C = ( X = 8,Y = 6 ) D ( X = 4, Y = 8 ) Se o gráfico não estiver traçado em perfeita escala ou se a leitura indica números fracionários, é conveniente determinar-se as coordenadas por meio analíticos. Vejamos como isso é feito com os pontos C e D. Para determinar o ponto C, nota-se que ele é o ponto de intersecção das retas limite das restrições referentes às horas de preparação e de acabamento, ou seja, é a intersecção de 5 x + 10 y = 100 (I) 9 x + 6 y = 108 (II) Uma combinação linear adequada entre as duas equações permitirá obter uma das variáveis, cujo valor poderá ser então, substituído em qualquer uma das equações originais para dar o valor da outra variável restante. Multiplicando-se a equação (I) por 3, a equação (II) pó 5 e subtraindo a (II) da (I) vem que 15 x + 30 y = 300 ( - ) 45 x + 30 y = x + 0 = de onde se conclui que x =8 que substituído na equação (I) fornece 5 (8) + 10 y = y = = 60 y = 6 semelhantemente, o ponto D é o encontro das retas limite das restrições do número máximo de horas disponíveis de preparação e do número máximo de conjuntos Anamaria. 5 x + 10 y = y = 8 o que fornece imediatamente x = 4

32 32 embora tenhamos no momento uma região permissível para a solução do problema e conheçamos as coordenadas dos pontos limites dessa região, ainda não temos a solução propriamente dita. Acontece que os pontos extremos da região permissível guardam uma importantíssima propriedade: A solução ótima encontra-se em um dos pontos extremos para descobrir qual é o ponto que nos fornece a solução ótima, basta substituirmos as coordenadas de todos os pontos extremos na função objetivo, como mostrado em seguida: PONTO x y 4000 x 5000 y Função objetivo ( 4000 x y) A B C D E A solução ótima encontra-se, portanto, no ponto C, fornecendo um valor de R$ ,00 para a FUNÇÃO OBJETIVO. Corresponde a fabricar 8 conjuntos Beatrice e 6 conjuntos Anamaria. Há uma outra forma de se determinar o ponto C como SOLUÇÃO ÓTIMA. A função objetivo 4000 x y define uma família de retas no plano xy. Atribuindo um valor arbitrário à função poderemos encontrar a reta correspondente, analogamente ao que fizemos com as restrições. Atribuindo a 4000 x y, por exemplo, o valor ( múltiplo de 4000 e 5000, para facilitar os cálculos) define-se a reta que passa pelos pontos ( 0,4) e (5,0), como se mostra no gráfico: