PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

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1 PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática LUCILENE OENNING SARAIVA ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS Santa Maria, RS 2012

2 LUCILENE OENNING SARAIVA ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO EAPRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria como requisito parcial para obtenção do título de mestre em Ensino de Matemática. Orientador: VANILDE BISOGNIN Santa Maria, RS 2012

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4 Dedico este trabalho a meu marido, Walter, pela paciência, confiança, incentivo e apoio em todos os momentos.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, por me amparar nos momentos difíceis, mostrar os caminhos nas horas incertas e me suprir em todas as minhas necessidades dando força interior e coragem para concluir este trabalho. À minha orientadora, professora doutora Vanilde Bisognin, pelo compromisso, competência e dedicação durante todo o processo de desenvolvimento deste trabalho. Meu muitíssimo obrigado! Às professoras, Helena Noronha Cury e Maria Clara Rezende Frota pelas leituras cuidadosas, correções e sugestões. Aos professores do Mestrado profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática,os quais tive o privilégio de conhecer e com eles aprender. A Marivane, coordenadora do curso de Licenciatura em Matemática da UNIPAR, por disponibilizar uma turma para a aplicação das unidades de ensino deste trabalho. Aos alunos do quarto ano de 2011 do curso de licenciatura em matemática da UNIPAR que colaboraram diretamente com os resultados dessa pesquisa. À família que me orgulho de ter, pelo incentivo, compreensão e muitas orações. A meu marido, companheiro e amigo, pelo carinho e compreensão pelas ausências. Aos meus colegas do Mestrado de 2010, pelo convívio, estudos, risadas, alegrias e tristezas compartilhadas ao longo do curso. A minha amiga Marivane, pelo apoio e incentivo para que ingressasse no mestrado. Obrigada por suas caronas, amizade, paciência e carinho.

6 RESUMO O presente trabalho teve como objetivo analisar as possibilidades que a metodologia de investigação matemática pode proporcionar ao ensino e aprendizagem dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas. O trabalho foi desenvolvido com 28 estudantes do quarto ano de um curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade privada do oeste do Paraná. A revisão de literatura baseou-se em livros, artigos, dissertações e teses que tratam dos aspectos teóricos da investigação Matemática, do papel do professor e da investigação no currículo escolar. A pesquisa é de caráter qualitativo e nela empregaramse, como instrumentos, anotações de observações de sala de aula, os trabalhos realizados pelos alunos e um questionário aplicado ao final da experiência. O questionário forneceu dados das opiniões dos alunos sobre a experiência realizada. Os resultados obtidos permitiram constatar as dificuldades do grupo de formular hipóteses, argumentar e formalizar ideias matemáticas. Além disso, foi possível constatar que atividades investigativas desenvolvidas na etapa de formação inicial podem incentivar seu uso na futura prática docente e permitir uma mudança de concepção sobre o ensino de matemática e da postura do professor no trabalho de sala de aula. Palavras-chave: Educação Matemática. Metodologia de Investigação Matemática. Sucessões Numéricas. Ensino e Aprendizagem de Matemática.

7 ABSTRACT This study for to analyze the possibilities that the mathematical research methodology can provide the teaching and learning of concepts and properties of numerical sequences. The work was developed with 28 students in the fourth year of a Mathematics Teaching Course at a private university in western Paraná. The literature review was based on books, articles, dissertations and theses that deal with theoretical aspects of mathematical research, the role of teacher and the research the school curriculum. The research is qualitative, notes of classroom observations, work done by students and a questionnaire administered at the end of the experiment were used as research instruments. The questionnaire provided data on students' opinions about the experiment conducted. The results revealed the difficulties of the group to formulate hypotheses, argue and formalize mathematical ideas. Furthermore, it was found that investigative activities developed in the stage of initial training may encourage its use in future teaching practice and allow a change of design on the teaching of mathematics and on the posture of the teacher in classroom. Keywords: Mathematics Education. Mathematics Research Methodology.Numerical Sequences.Mathematics Teaching and Learning.

8 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO JUSTIFICATIVA REVISÃO DE LITERATURA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA PAPEL DO PROFESSOR INVESTIGAÇÃO NO CURRICULO ESCOLAR ENSINO DE SEQUÊNCIA E O LIVRO DIDÁTICO Matemática (BARRETO; BARRETO, 2000) Matemática (DANTE, 2005) O Cálculo com geometria Analítica (LEITHOLD, 1994) Cálculo (STEWART, 2001) Análise real (LIMA, 2001) Análise Matemática para Licenciatura (ÀVILA, 2006) METODOLOGIA DA PESQUISA PROBLEMA DE PESQUISA OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS CONCEPÇÕES E DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA UNIDADE DE ENSINO I: RECONHECENDO SEQUÊNCIAS E DESCOBRINDO CONCEITOS Atividades Análises dos dados coletados Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas UNIDADE DE ENSINO II: CONSTRUINDO O CONCEITO DE LIMITE DE SEQUÊNCIA Atividades Unidade II Análise dos dados coletados Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas UNIDADE DE ENSINO III: PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA Atividades Unidade III Análise dos dados coletados

9 5.3.3 Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas ANÁLISE DO QUESTINONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICES APÊNDICE A UNIDADE DE ENSINO I APÊNDICE B UNIDADE DE ENSINO II APÊNDICE C UNIDADE DE ENSINO III APÊNDICE D QUESTIONÁRIO... 93

10 1 INTRODUÇÃO A Matemática como ciência é formada por uma série de axiomas e definições que nos permitem enunciar proposições e demonstrar teoremas. Estes permitem a formulação de novos teoremas formando uma estrutura lógico-formal que tem grande valor como conhecimento, mas que também contribui para a compreensão de uma série de aplicações na vida cotidiana. Do ponto de vista da construção histórica do conhecimento matemático, esta estrutura lógica tem sentido, mas ao tratar este conhecimento na sala de aula observa-se que esta lógica não tem significado, em geral, para os alunos. Aqui, é preciso agregar outros conhecimentos quais sejam: as metodologias de ensino e de pesquisa, a Didática, a Psicologia, a Filosofia, a História da Ciência, da Informática, entre outros, para auxiliar o professor na sala de aula na busca de uma melhor forma de realizar a transposição didática deste conhecimento construído historicamente para o nível dos alunos. Devido à necessidade de transposição didática e contextualização dos conteúdos e da importância do uso de metodologias para o ensino e aprendizagem da Matemática, este trabalho foi desenvolvido com objetivo de proporcionar aos alunos, futuros professores, contato com a metodologia de investigação Matemática para que possam identificar as possibilidades que esta metodologia proporciona na descoberta e aprendizagem dos conceitos de Sucessões Numéricas. Esta dissertação está dividida em seções, sendo que na primeira apresenta-se a introdução do trabalho a ser desenvolvido. Na segunda, justifica-se o motivo pelo qual a pesquisa foi desenvolvida. A metodologia aplicada durante o desenvolvimento do trabalho, o papel do professor no decorrer das atividades de caráter investigativo e uma breve consideração sobre como os livros, tanto de graduação como do Ensino Médio, abordam o conteúdo de sequências numéricas são apresentados na terceira seção. A quarta seção é dedicada a expor a metodologia e problema da pesquisa, assim como seus objetivos. Os resultados da pesquisa são apresentados na quinta seção, as atividades aplicadas na sala de aula foram organizadas em unidades didáticas, apresentadas no Apêndice. A pesquisa foi desenvolvida com acadêmicos do quarto ano do curso de Licenciatura em Matemática, na disciplina de Análise na Reta de uma universidade privada

11 11 do estado do Paraná, durante duas semanas, com dois encontros semanais de duas horasaulas.

12 12 2 JUSTIFICATIVA Documentos oficiais que regem a educação no Brasil, Parâmetros Curriculares Nacionais e Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e Ensino Médio, enfatizam que o aprendizado deve acontecer com a interação entre professor e alunos e também com a interação entre alunos e alunos, levando-os a desenvolverem sua criatividade, espírito investigativo, entre outros. Porém, para que estas habilidades sejam desenvolvidas, o professor precisa estar preparado para trabalhar com metodologias e materiais que estimulem o surgimento de tais competências e habilidades. Nos cursos de formação para professores de Matemática, as disciplinas da área pedagógica são vistas separadas das disciplinas específicas (cálculo, álgebra, geometria, entre outras) sem que haja ligação (relação) entre as disciplinas. Assim, o aluno, futuro professor, conhece teoricamente várias metodologias e materiais para auxiliar sua prática profissional, porém não tem contato prático com estes métodos durante a graduação. O resultado disso é que esses alunos, ao iniciarem a carreira do magistério, em geral, não possuem as competências e as habilidades mínimas para desempenharem bem sua função. Em uma pesquisa realizada com professores das séries iniciais do Ensino Fundamental sobre investigação envolvendo números, os resultados apresentados por Frota (2005) mostram que a maioria dos professores que atuam nas escolas básicas não teve experiências com o fazer matemática tanto em sua formação inicial quanto em sua carreira profissional. Assim, é importante que, durante a sua formação, os alunos possam vivenciar experiências de ensino com a utilização de diferentes metodologias, no sentido de preparálos para o exercício do magistério. No entanto, é preciso atenção durante a escolha da metodologia a ser utilizada, pois cada conteúdo pode ser adequado a uma metodologia e não ser para outra. Assim, na preparação de uma aula, é conveniente levar em consideração a metodologia a ser seguida, o que permite adequar as tarefas às necessidades dos alunos, e aos objetivos que se quer alcançar. O desenvolvimento das atividades na sala de aula necessita levar em consideração, além da metodologia, a complexidade de cada conteúdo, para que os alunos não se sintam desmotivados para o seu estudo. Dessa forma, o ensino da Matemática nas escolas necessita considerar os seguintes aspectos: a complexidade dos conteúdos, uma adequada

13 13 metodologia de ensino, o fato de ser uma ciência rigorosa, as aplicações dos conteúdos à realidade do aluno, as experiências de vida que cada um possui, entre outros. A não observância desses aspectos pode trazer prejuízos para o ensino e a aprendizagem da Matemática e favorecer uma prática com base em conhecimentos prontos e sequenciados, em que os alunos sejam espectadores do trabalho da sala de aula em vez de participantes ativos. Segundo Giardinetto (1999): [...] o ensino de matemática tem sido desenvolvido de forma enfadonha, com ênfase numa memorização aleatória de resultados conceituais, apresentados sem nexo, como se fossem pré-determinados. Entre outras coisas, esse ensino não tem levado em consideração o conhecimento matemático adquirido pelos indivíduos nas atividades da vida cotidiana (p. 3). Esta pode ser uma das razões pelas quais a Matemática tem sido vista como uma disciplina difícil e cheia de regras. Em contrapartida, concordamos com Pereira (2004, p.19), quando considera que Todas as crianças chegam à escola com muitas experiências matemáticas já realizadas ainda que de forma inocente. A curiosidade em aprender, conhecer e experimentar são sentimentos naturais que não devem ser frustrados ou inibidos com aulas mortas nas quais se aplicam fórmulas e se treinam raciocínios e técnicas (sem grande utilidade, no entender dos mesmos). Durante a formação inicial, especialmente nas disciplinas da área da educação são trabalhadas teoricamente varias metodologias, porém, muitas vezes, não são oportunizadas experiências práticas com o seu uso. Em Matemática, consideramos fundamental que os alunos, além do conhecimento teórico sobre as diferentes metodologias de ensino, possam vivenciar experiências de sala de aula com o seu uso. Como afirma Tardif (2002): Até agora, a formação para o magistério esteve dominada, sobretudo pelos conhecimentos disciplinares, conhecimentos esses produzidos geralmente numa redoma de vidro, sem nenhuma conexão com a ação profissional, devendo, em seguida, serem aplicados na prática por meio de estágios ou de outras atividades do gênero. Essa visão disciplinar aplicacionista da formação profissional não tem mais sentido hoje em dia... (p. 23)

14 14 Portanto, é fundamental repensar a formação inicial do professor de Matemática de modo a superar as práticas que levam em consideração apenas o conteúdo pelo conteúdo, sem conexão com a realidade e o contexto dos alunos. Ainda de acordo com Tardif (2002, p. 235) os professores são vistos como aplicadores dos conhecimentos produzidos pela pesquisa universitária, pesquisa essa que se desenvolve, a maioria das vezes, fora da prática do ofício do professor. Para que ocorra uma melhoria no aprendizado da Matemática, consideramos necessário que, nos cursos de formação de professores, seja permitido aos alunos vivenciarem experiências de ensino e aprendizagem, para que possam aplicá-las com segurança com seus futuros alunos. Essas experiências devem levar em consideração os conteúdos a serem desenvolvidos e a forma como devem ser trabalhados na sala de aula. Assim, de acordo com as afirmações de Serrazina (2003, p. 68), não é a quantidade de conteúdo de matemática que deve interessar em primeiro lugar, mas sim a qualidade das atividades em que os futuros professores serão envolvidos. De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de professores para a Educação Básica (BRASIL, 2002b), a formação para a atividade docente deve proporcionar, entre outros aspectos, o aprimoramento em práticas investigativas (p.10). Além disso, na formulação do projeto pedagógico devem ser consideradas as competências referentes ao conhecimento de processos de investigação que possibilitem o aperfeiçoamento da prática pedagógica (Ibidem, p.2). Assim, esta pesquisa pretendeu proporcionar uma experiência de ensino com a aplicação de atividades investigativas em sala de aula, com futuros professores. Entendemos que o aluno deve ser instigado durante todo o processo de ensino para que a aprendizagem de fato aconteça e, nessa direção, a metodologia de investigação matemática é uma forma de colocar o aluno como partícipe deste processo. Para Braumann (2002): Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como querer aprender a conduzir um automóvel com um instrutor que apenas nos explica como se conduz e nos deixa olhar para ele enquanto conduz. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender a conduzir, é preciso pegar no volante e conduzir, fazendo erros e aprendendo com eles, de preferência com um instrutor ao lado para nos ajudar. (p. 4) Essa citação nos remete à possibilidade de concluir que é construindo os conceitos matemáticos que os alunos irão realmente compreender e entender a Matemática e as relações existentes entre os conteúdos e a realidade. E também, que é trabalhando com

15 15 atividades investigativas que os alunos, futuros professores, aprenderão a investigar. Sendo assim, esses professores, trabalhando com essa metodologia, terão autonomia para aplicála com seus alunos. De acordo com Goffree e Dolk, exatamente como a matemática na educação básica se aprende fazendo, também as competências profissionais do futuro professor de matemática são adquiridas através da realização de um grande número de atividades (apud SERRAZINA, 2003, p. 68). Ensinar por meio da investigação matemática é uma das tendências atuais em Educação Matemática, segundo a qual o ensino deve ser desenvolvido partindo de uma questão relevante, em que o aluno é chamado a utilizar os seus conhecimentos prévios e relacioná-los com esta nova experiência, descobrindo novos conceitos. A pesquisa foi desenvolvida com acadêmicos do quarto ano de um curso de Licenciatura em Matemática, com a preocupação de estudar o conteúdo de sequências numéricas.

16 3 REVISÃO DE LITERATURA 3.1 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA O termo investigar de acordo com o dicionário significa Indagar; pesquisar; fazer diligências para achar; inquirir; descobrir. (BUENO, 2000, p.357). No entanto, a investigação em Matemática apresenta um significado muito particular, pois exige envolvimento e criatividade dos alunos. Para Ponte Na verdade, na sua essência investigar consiste em procurar compreender algo de modo aprofundado, tentar encontrar soluções adequadas para os problemas com que nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos, que deve permear todo o trabalho da escola, tanto dos alunos como dos professores. (2010, p.15) O sentido de investigar tem um significado profundo, pois envolve não apenas o conteúdo em si, mas a relação professor aluno, em que os sujeitos interagem numa troca de experiências, construindo conceitos e transformando a sala de aula em um espaço de aprendizagem prazeroso. O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito de atividade genuína, constituindo por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentos com os seus colegas e o professor. (PONTE, BROCARDO; OLIVEIRA 2009, p.23). A importância do trabalho com investigação matemática está centrada no trabalho coletivo, que valoriza a participação ativa dos alunos de forma a torná-los corresponsáveis pelo trabalho em sala de aula. Dessa forma, o professor deixa de ser o único detentor de conhecimento. Assim, os alunos passam a construir o conhecimento, internalizando-o e podendo fazer ligações com outros conhecimentos (conteúdos). Segundo Frota (2006, p.6) a sala de aula passa a ser pensada como formada de pequenas salas, os grupos de alunos,

17 17 que podem apresentar diferentes níveis de desempenho e/ou conhecimentos matemáticos como uma multi-sala. A realização de uma atividade envolvendo investigação matemática segundo Ponte, Brocado e Oliveira (2009), estrutura-se em quatro momentos principais. O primeiro abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E finalmente, o último diz respeito à argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado. Esses momentos surgem, muitas vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste, etc.(p. 20) O processo envolvido em uma investigação se assemelha à resolução de problemas. De acordo com Ponte (2003b), devido ao fato de existirem problemas de vários tipos, constatou-se que muitos estavam longe de atender a um único interesse, sendo assim, os mais abertos apresentavam um caráter de investigação sobre Matemática. Além disso, o surgimento de tecnologias como calculadoras e computadores propiciou uma abordagem experimental, favorecendo a perspectiva de investigação no currículo de Matemática. Portanto, investigações e problemas, bem como atividades investigativas e resolução de problemas são termos que, muitas vezes, aparecem na literatura com significados semelhantes, mas eles possuem características distintas. Essa semelhança está relacionada com o fato de que ambos os processos estão associados com a inquirição matemática, conforme Ernest (1996). As fronteiras entre a metodologia de investigação e resolução de problemas são muito tênues, mas pode-se dizer que a resolução de problemas, de acordo com Oliveira, Segurado e Ponte (1996), consiste em um processo que possui metas mais bem definidas à priori se comparado com a investigação matemática. A investigação tal como sucede na resolução de problemas, de um modo geral, implica processos complexos de pensamento e requer a criatividade dos alunos (PEREIRA, 2004, p. 2). Porém os objetivos destas se diferenciam como citam Fonseca, Brunheira e Ponte (1999): [...] na resolução de problemas, o objetivo é encontrar um caminho para atingir um ponto não imediatamente acessível; portanto, é um processo convergente. Numa investigação matemática, o objetivo é explorar todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É um processo divergente. (p.5)

18 18 O ensino e aprendizagem de conteúdos com uma metodologia com base na inquirição, ou seja, com base na interrogação e na busca de informação e solução para questões, tanto na investigação matemática, quanto na resolução de problemas, proporciona um grande envolvimento dos alunos no trabalho de sala de aula e permite que se explore um conjunto de possibilidades de soluções para determinada situação e a interação entre professor e alunos. Ernest (1996) apresenta uma discussão sobre a semelhança entre investigação e resolução de problemas, já que ambos os processos estão relacionados à inquirição, procurando destacar algumas distinções: Objeto ou foco da inquirição é o problema em si ou o ponto de partida da investigação. (p.29) Em contraste com objeto da inquirição está o processo de inquirição, embora não possam ser separados inteiramente, como vimos no caso das investigações. Se um problema é identificado com uma questão, o processo de resolução de problemas em Matemática é a actividade de procura de um caminho para a resposta, contudo este processo não pode pressupor uma resposta única, pois uma questão pode ter múltiplas soluções, ou nenhuma, e demonstrar este facto representa um nível mais elaborado de resolução de problemas. (p. 30) Um terceiro sentido da resolução de problemas e investigação matemática é como abordagem pedagógica matemática. [...] o percurso desde a descoberta guiada até a abordagem investigativa, passando pela resolução de problemas envolve mais do que processos matemáticos. Envolve também uma mudança no poder do professor que deixa de ter controle sobre as respostas, sobre os métodos aplicados e sobre a escolha dos conteúdos da cada aula. Os alunos ganham controle sobre os métodos de solução que aplicam e finalmente sobre o próprio conteúdo. (p. 31) Para uma melhor compreensão dos métodos de inquirição, Ernest (1996, p. 32) apresenta ainda o seguinte quadro (1) para comparar estes métodos para o ensino de Matemática. Método Papel do professor Papel do Aluno Descoberta guiada Formula o problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz Segue a orientação.

19 19 o aluno para a solução ou objetivo. Resolução de problemas Formula o problema. Encontra o seu próprio Deixa o método de solução em aberto. caminho para resolver o problema Abordagem Investigativa Escolhe uma situação de Define os seus próprios partida (ou aprova a escolha problemas dentro da do aluno) situação. Tenta resolver pelo seu próprio caminho. Quadro 1: Uma comparação de Métodos Baseados na Inquirição para o Ensino da Matemática Ao observarmos o quadro, percebemos que na abordagem investigativa ocorre um processo de transformação, em que o aluno passa a controlar as respostas encontradas, os métodos usados para chegar à solução e o conteúdo estudado em cada aula, pois segue o caminho que achar conveniente. Esse processo consiste em desenvolver a capacidade dos alunos utilizarem os processos próprios da investigação de um matemático, ou seja, generalizar, estudar casos particulares, modelar, simbolizar, comunicar, analisar, explorar, conjecturar e provar suas hipóteses; a fim de valorizar a aquisição de conhecimentos, aptidões, atitudes e valores. (GOMES; NACARATO, 2006, p.5) Entretanto, os bons resultados de uma investigação dependem, em grande parte, do papel do professor dentro da sala de aula, na condução dos trabalhos, e fora dela, no desenvolvimento e organização das atividades. Ponte (2003a, p.27) apresenta distinções entre as atividades matemáticas. Segundo o autor, a atividade do tipo simplifique: 6 se caracteriza como um exercício, pois nesta 12 o aluno apenas usa o artifício do cálculo para sua solução, sem a necessidade de elaborar uma resposta. Um problema pode ser apresentado da seguinte maneira Qual o menor número inteiro que dividido por 5, 6 e 7 dá sempre resto 3?, sendo que neste há a necessidade de se pensar e elaborar estratégias para a solução da atividade. Já a atividade de investigação se apresenta da seguinte maneira: 1) Escreva a tabuada do 1 ao 12.

20 20 Observe os algarismos das diversas colunas. Encontre regularidades. 2) Veja se encontra regularidade na tabuada de outros números. Apesar de não estarem relacionadas, ao observar as atividades, é fácil perceber a diferença entre elas, pois fica claro que as atividades de investigação têm caráter mais aberto. Assim, para se trabalhar com a metodologia de investigação Matemática, não são necessários problemas ou questões difíceis, mas questões mais abertas e interessantes para os alunos, provocando-os a procurar a solução. É de notar que as tarefas, embora sejam importantes, não determinam por si só o que acontece na sala de aula. Uma mesma tarefa pode dar origem a situações de aprendizagem muito diversas, dependendo do modo como é apresentada aos alunos, do modo como estes aceitam o desafio que lhes é proposto e, muito em especial, do modo como evolui a situação de trabalho na sala de aula. (PONTE, 2010, p.22) Dessa forma, percebemos que, apesar de os alunos passarem a desempenhar um papel de maior destaque durante o desenvolvimento de atividades de caráter investigativo, o professor não deixa de executar um papel de grande importância em sala de aula para o bom desenvolvimento das tarefas de caráter investigativo. 3.2 PAPEL DO PROFESSOR No exercício das atividades profissionais é preciso aprender a lidar com as mais variadas situações para enfrentar e resolver os problemas que surgem no dia-a-dia. Para os professores, ter a capacidade de interagir com os alunos e com as situações improvisadas que surgem durante a aula é importante para o bom desempenho da docência. Essa capacidade é desenvolvida por meio da prática, ou seja, da ação para resolver os problemas que surgem durante a atividade profissional. A utilização da metodologia de investigação exige do professor a capacidade de lidar com situações improvisadas e de interação com os alunos e entre os alunos. Numa aula de investigação, o professor tem vários papéis para desempenhar: desafiar os alunos; avaliar o progresso dos alunos; raciocinar matematicamente; apoiar o trabalho dos alunos; fornecer e recordar informações; e promover a reflexão dos alunos.

21 21 (PONTE et al. 1998). Deste modo, percebemos a fundamental importância do professor em uma aula com a utilização desta metodologia. Integrar e implementar investigações matemática no currículo da disciplina requer por parte do professor, a criação e a adaptação de tarefas que proporcionem ao aluno o desenvolvimento de capacidades/aptidões de valores/atitudes, bem como a aquisição de técnicas e conhecimentos imprescindíveis a sua formação. Essa tarefa não é fácil para o professor, pois, requer o reequacionamento das suas próprias concepções sobre o assunto que ensina e sobre o próprio currículo (PEREIRA, 2004, p.2). Sendo assim, percebe-se que durante uma aula com esta metodologia há uma alteração substancial tanto do papel do professor como do aluno. Segundo Bisognin, Bisognin e Buriol (2009), esta metodologia exige do professor, Uma capacidade de interagir em situações improvisadas nas quais ele deixa de ter o controle dos métodos e processos que os alunos utilizam, ou seja, não tem um caminho pré-determinado; em consequência, professor e alunos se transformam, interagindo entre si (p.191). Ao iniciar uma atividade de caráter investigativo, o professor deve fazer uma breve exposição, deixando claro quais os passos a serem seguidos e o objetivo da atividade, para que os alunos não se sintam perdidos e se desmotivem para desenvolver a tarefa. Para esta fase, pode-se optar por várias maneiras de apresentar a atividade, como por exemplo, entregar a tarefa por escrito e em seguida fazer a leitura em voz alta, para esclarecimento de dúvidas. Na fase de exploração da situação e formulação das questões, os alunos precisam de um pouco mais de tempo para que se familiarizem com o novo jeito de estudar. Às vezes, devido ao fato de os alunos não saberem qual o destino certo da atividade, surgem questões que podem levar a impasses desnecessários. Nesse caso, é muito importante a intervenção do professor. Ao formularem e testarem as conjecturas, os alunos tendem a elaborar testes para um número limitado de casos. O professor precisa estar atento a todo o processo para garantir que os alunos evoluam em suas investigações e estar sempre propondo questões que estimulem o olhar dos alunos para outras direções (PONTE, BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p.36).

22 22 Quando os alunos justificam suas conjecturas, tendem a chamá-las de conclusões. Porém, é fundamental que o professor leve os alunos a compreender o caráter provisório das conjecturas. É nessa fase que ocorre a discussão da investigação, a qual é fundamental para que os alunos entendam melhor o que significa investigar, mas também desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre seu trabalho e poder de argumentação (PONTE, BROCARDO; OLIVEIRA 2009, p.41). Com base nestas considerações, percebe-se que uma atividade de caráter investigativo apresenta um contexto desafiador para o professor, por este motivo é de extrema importância que este esteja preparado para lidar com as situações novas que podem surgir no desenvolvimento do trabalho. 3.3 INVESTIGAÇÃO NO CURRICULO ESCOLAR Para um ensino de Matemática com qualidade e maior aprendizado dos alunos, têm sido propostas várias maneiras de se trabalhar com esta disciplina, não só no Brasil, mas também no currículo de numerosos países. Ponte (2003b) apresenta em seu trabalho uma breve exposição de como o conceito e a realização de atividades de investigação matemática é apresentado nos documentos oficiais sobre literatura curricular dos Estados Unidos da América, Inglaterra, França e Portugal. A partir do trabalho de Ponte, analisouse como a realização de atividades de investigação são propostas pelos documentos oficiais no Brasil para o Ensino Fundamental e Médio. Para esta análise, tomamos os Parâmetros Curriculares Nacionais e as Diretrizes Curriculares Nacionais, relacionados à Matemática, para o Ensino Fundamental e Médio, como referenciais. Na perspectiva das Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (BRASIL, 1998b) e para o Ensino Médio (BRASIL, 1998c) o ensino deve levar em consideração a valorização do diálogo em sala de aula; as situações de ensino padronizadas e repetitivas devem ser substituídas por situações que estimulem o raciocínio, a criatividade e que facilitem o convívio com o incerto e imprevisível. Deste modo, percebemos que a utilização da metodologia de investigação vem ao encontro do que é proposto pelos documentos, pois esta coloca os alunos frente a situações abertas deixando-

23 23 os livres para pensar, interagir e seguir seus próprios caminhos, porém sempre tendo a necessidade de confirmar seus resultados. Um dos objetivos gerais para o ensino de Matemática nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental é o de levar o aluno a estimular [...] o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas (BRASIL, 1998a, p.15). Já nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, as competências e habilidades a serem adquiridas na disciplina de Matemática pelos alunos estão subagrupados, sendo que as competências de caráter específico são denominadas: Investigação e compreensão. Neste subgrupo é explicitada a relação com as atividades de investigação matemática quando apresenta que os alunos devem: Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc). Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. Formular hipóteses e prever resultados. Selecionar estratégias de resolução de problemas. Interpretar e criticar resultados numa situação concreta. Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades. Discutir idéias e produzir argumentos convincentes. (BRASIL, 1998d, p.46) Apesar da metodologia de investigação matemática não ser identificada nos documentos, os objetivos e passos propostos para o ensino e aprendizagem estão intimamente ligados aos momentos apresentados por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), para o desenvolvimento de atividades deste caráter; em todo o documento é explicitada a importância da interpretação e da investigação durante o processo de aprendizagem. As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002a) ainda apresentam que: A aprendizagem não se dá com o individuo isolado, sem possibilidade de interagir com seus colegas e com o professor, mas em uma vivência coletiva de modo a explicitar para si e para os outros o que pensa e as dificuldade que enfrenta. Alunos que não falam sobre matemática e não tem oportunidade de produzir seus próprios textos nesta linguagem dificilmente serão autônomos para se comunicarem nesta área. (p. 120) Sendo assim, conclui-se que está presente nos documentos oficiais do Brasil a perspectiva de investigação matemática no currículo das escolas e, em alguns casos, a proposta se apresenta de modo explícito, já em outros, mais superficialmente. Assim, é

24 24 importante que os professores aprendam a lidar com esta forma de ensinar, para que as orientações sejam seguidas e se consiga uma melhoria na qualidade de ensino. 3.4 ENSINO DE SEQUÊNCIA E O LIVRO DIDÁTICO Em nosso cotidiano, deparamo-nos com várias situações em que o conceito de sequência está presente, por exemplo, os dias da semana, os meses do ano, os dias do mês, a lista de chamada dos alunos de uma classe, entre outros, sendo que este também está intimamente ligado ao conceito de função. Porém, nem sempre os professores fazem a ligação entre o que está sendo estudado e a realidade do aluno ou entre conteúdos já vistos anteriormente. As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002a) apresentam que o ensino de sequências, Deve se ater à lei de formação dessas sequências e a mostrar aos alunos quais propriedades decorrem delas. Associar às sequências seus gráficos e relacionar os conceitos de sequência crescente e decrescente aos correspondentes gráficos permite ao aluno aprender melhor as idéias envolvidas, ao mesmo tempo em que dá a ele a possibilidade de acompanhar o comportamento de uma sequência sem precisar decorar informações (p. 121). Porém, nos livros didáticos de Cálculo e Análise, utilizados nos cursos de graduação da área de Ciências Exatas, nem sempre são levados em consideração estes aspectos. Por vezes, os conceitos não se apresentam relacionados e, talvez por esta razão, durante as suas aulas o professor também não estabelece essas relações; assim, os conteúdos, de modo geral, são vistos de forma fragmentada, o que dificulta o aprendizado. Em um de seus trabalhos sobre investigação, Frota apresenta que talvez um dos grandes problemas do ensino de cálculo tenha suas raízes no tipo de aula de matemática e no tipo de matemática que o aluno vivência na escola básica [...] (2006, p. 5). Na maioria das vezes esse ensino é pouco diversificado e não estimula a criatividade dos alunos, além do fato de a Matemática ser apresentada como uma ciência pronta sem que se possa argumentar e questionar.

25 25 Assim, esta forma de expor a Matemática aos alunos pode estar relacionada ao modo como os livros didáticos a apresentam. Lopes (2000), em sua tese de doutorado, a respeito do livro didático, afirma que: Ele sempre representou e continua representando para o professor, o complemento de sua formação acadêmica e o apoio na prática escolar, principalmente pelas condições de trabalho, não tão favoráveis, que o professor enfrenta. Representa - e continua representando para o aluno, o reforço para a aprendizagem, e, com frequência, o recurso para enfrentar o processo de avaliação (p.224). Deste modo, devido ao livro didático ser um instrumento fundamental de referência para o professor e muitas vezes o delineador dos conteúdos e conceitos que são estudados em sala de aula, torna-se importante fazer uma análise sobre como são estruturados os conceitos relacionados a sequências numéricas nos textos, tanto do ensino médio quanto nos textos para formação de professores. Neste ponto, apresentamos análise de duas obras relacionadas ao cálculo (STEWART, 2001 e LEITHOLD, 1994) e duas obras relacionadas à Análise na Reta (ÁVILA, 2006 e LIMA, 2001). Além disso, foram analisados dois livros do Ensino Médio (DANTE, 2005 e BARRETO; BARRETO, 2000). A escolha dessas obras se deve ao fato de que duas delas são utilizadas na instituição onde foram aplicadas as unidades de ensino (LEITHOLD, 1994; ÁVILA, 2006) e as outras quatro escolhidas pela pesquisadora por serem bibliografias que foram usadas durante o período de graduação. O objetivo desta análise é ter um panorama de como é proposto, nos livros didáticos, o conteúdo de sequências numéricas, tanto no ensino médio quanto nos cursos de formação de professores. A análise dos livros didáticos foi direcionada no sentido de responder algumas questões: como, nos livros didáticos, é introduzido o conceito de sequências? Os conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? A linguagem utilizada é compreensível para aluno? O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? Com estas questões procuramos observar como os livros abordam o conteúdo, se estes levam o aluno a compreender e a construir seus conhecimentos, buscando

26 26 informações e fazendo relação entre o conteúdo que está sendo estudado no momento e conteúdos estudados anteriormente. Procuramos também analisar se os autores têm a preocupação em apresentar questões abertas que caracterizam o fazer investigativo Matemática (BARRETO; BARRETO, 2000) O nono capítulo desta obra, de volume único, dedica-se ao estudo de progressões aritméticas e geométricas. Questão a ser analisada Como é introduzido o conceito Sequências? Os conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? A linguagem utilizada é compreensível para o aluno? Análise do livro O capítulo se inicia com a noção de sequência sendo apresentada com uma tabela, mostrando a variação de temperatura durante um período do dia. Por meio deste exemplo, o autor define uma sequência como o conjunto de números formado por elementos considerados numa determinada ordem. Parcialmente. Em alguns exemplos e exercícios são abordados conteúdos já estudados. No item dedicado à soma dos termos de uma Progressão Geométrica, por exemplo, na introdução o autor considera uma dízima periódica, mostrando a adição de infinitas parcelas. Porém, deixa de apresentar relação com outros conteúdos como, por exemplo, o de função. Em nenhum momento no decorrer do capítulo o autor apresenta menção histórica sobre o conteúdo. Sim.

27 27 O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? Não. São apresentados exemplos numéricos ou algébricos e em seguida são apresentados exercícios resolvidos e exercícios propostos para que os alunos resolvam. Dentre as 26 páginas que compõem o capítulo, em nenhuma delas são apresentadas imagens como, por exemplo, gráficos para ilustração dos conceitos Matemática (DANTE, 2005) Este texto de volume único apresenta, no capítulo oito, intitulado Progressões, o conceito de sequência numérica. Questão a ser analisada Análise do livro Como é introduzido o conceito Sequências? Na introdução do conceito, o autor expõe situações da vida diária em que a ideia de sequência está presente, em seguida, define sequência como uma função f com domínio * e contradomínio {. a1, a2..., a n,...} Os conhecimentos, adquiridos Sim. Logo de início, após a anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? apresentação de duas situações problemas, o autor faz um resumo do que será trabalhado no capítulo e lembra que o conteúdo de sequências já foi mencionado no capítulo dois, de funções, da mesma obra. O autor define sequência como uma função, fazendo

28 28 Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? A linguagem utilizada é compreensível para o aluno? O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? com que esta relação seja levada em consideração. Além disso, faz menção a progressão aritmética ser uma função afim, com restrição aos números Naturais e a progressão geométrica ser uma função exponencial, com restrição aos números naturais. Sim. Para generalizar e mostrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética finita, o autor usa a história de Karl Friedrich Gauss e a soma dos números de 1 até 100. Além disso, ao final do capítulo no item leitura apresenta um texto sobre a Sequência de Fibonacci. Sim. O autor usa uma linguagem acessível ao nível de ensino. Sim. Logo no início, como introdução, são apresentadas duas situaçõesproblema para expor o conteúdo que será tratado nas páginas seguintes. Além disso, tanto para expor o conceito de progressão aritmética quanto geométrica são utilizadas situações-problema para iniciar o assunto. Tanto no item progressão aritmética quanto no de progressão geométrica há o subitem interpretação geométrica, em que é apresentado o gráfico da progressão para ilustrar o conceito O Cálculo com geometria Analítica (LEITHOLD, 1994)

29 29 O capítulo doze, intitulado: Sequências e Séries Infinitas de Termos Constantes (p.687), encontra-se no volume II desta obra. Nesta análise, iremos nos ater ao que se refere apenas a Sequências, conteúdo de estudo deste trabalho. Questão a ser analisada Análise do livro Como é introduzido o conceito Sequências? Exemplos numéricos são usados para introduzir o conceito de sequência, em seguida, esta é definida como uma função cujo domínio é o conjunto de todos os números inteiros positivos. Os conhecimentos, adquiridos Sim. Todo o item relacionado à anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? sequência menciona o conteúdo de função. Além disso, o autor pede ao leitor que faça a comparação da definição de limite apresentada no capítulo e a definição apresentada no capitulo doze do volume I da obra, estabelecendo relação entre o limite de uma função e limite de uma sequência. Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? Não. No decorrer do capítulo não é apresentada qualquer menção as ideias fundamentais presentes na história. A linguagem utilizada é Sim. O texto possui uma linguagem compreensível para o aluno? acessível e de fácil compreensão. O autor inicia o estudo do conteúdo Não. O autor inicia o estudo do com problemas e questões motivadoras? conteúdo com exemplos numéricos, passando logo em seguida a resolvê-los e generalizá-los. O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? Sim. O autor apresenta o item chamado ilustração, que aparecem várias vezes no decorrer do capítulo; neste, apresenta exemplos que são resolvidos e

30 30 ilustrados por meio de gráficos Cálculo (STEWART, 2001) Sequências e Séries Infinitas é o título do capítulo onze, que está presente no segundo volume II da obra. Assim como na análise anterior será considerado apenas o conteúdo de sequências. Questão a ser analisada Análise do livro Como é introduzido o conceito Sequências? O autor inicia o capítulo com a ilustração generalizada de sequência. Em seguida define uma sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. Os conhecimentos, adquiridos Sim. Pois, apresenta relação entre o anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? conteúdo de função e sequência. Ao mostrar a definição de limite de uma sequência, expõe que esta é semelhante a definição de limite de uma função no infinito, que segundo o autor está presente no volume I da obra. Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? Não. No decorrer do capítulo, o autor apresenta como exemplo, a sequência de Fibonacci e comenta em poucas palavras a história de seu surgimento. Porém é a única menção histórica apresentada na parte analisada. A linguagem utilizada é Sim. O autor usa uma linguagem compreensível para o aluno? acessível e vários exemplos que ajudam na compreensão do conteúdo.

31 31 O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? Não. Há apenas o uso de exercícios para o estudo do conteúdo. Sim. Vários exemplos e definições são representados graficamente para ilustração do conceito Análise real (LIMA, 2001) Volume I da Coletânea Matemática Universitária, o texto expõe o conteúdo de Sequências de Números Reais no capítulo três. Questão a ser analisada Análise do livro Como é introduzido o conceito Sequências? O capítulo dedicado ao estudo de sequências se inicia com a secção limite de uma sequência, sendo apresentada a definição de sequência como uma função que associa um número Natural a um número Real e, em seguida, a definição de sequência limitada. Os conhecimentos, adquiridos Não. Apesar do conteúdo de função anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? ser apresentado na definição, em nenhum momento é feita menção, pelo autor, ao fato de o conteúdo já ter sido estudado. Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? Não. No decorrer do capítulo não são apresentadas as origens das ideias fundamentais presentes na história. A linguagem utilizada é Não. O texto, que é destinado ao compreensível para o aluno? nível superior de ensino, possui um grau de formalização bastante elevado e de difícil compreensão

32 32 O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? Não. Não. No decorrer do capítulo não é apresentada qualquer imagem que possa auxiliar na compreensão do conteúdo Análise Matemática para Licenciatura (ÀVILA, 2006) Questão a ser analisada Como é introduzido o conceito Sequências? Os conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos, são levados em consideração? Há uma preocupação, por parte do autor, em apresentar a origem das ideias fundamentais presentes na história? A linguagem utilizada é compreensível para o aluno? Análise do livro O autor introduz o conceito de sequência definindo-a como uma função definida no conjunto dos números naturais. : f : n f ( n) an Sim. Ao introduzir o capítulo, o autor lembra que o leitor já deve ter adquirido alguma familiaridade com o conteúdo de sequência, enfatizando que o conteúdo será retomado, revisando alguns resultados e acrescentando outros. Ainda, propõe ao leitor consultar qualquer texto de cálculo para rever estudos anteriores de sequência. Sim. Porém essas ideias são apresentadas no final do capítulo no item intitulado Notas históricas e complementares. Sim. O texto apresenta um nível médio de formalismo que é compreensível

33 33 O autor inicia o estudo do conteúdo com problemas e questões motivadoras? O autor utiliza imagens visuais para ilustrar os conceitos? para o nível de ensino proposto. Não. Não. No decorrer do capítulo não é apresentada qualquer imagem que possa contribuir para a compreensão do conceito. Da análise das categorias propostas, é possível concluir que os livros analisados, apresentam o conteúdo de sequências numéricas centrado no formalismo. Nos livros mais recentes, como o de Dante (2005) para o ensino médio e Stewart (2001) para o ensino superior, há uma maior preocupação com a visualização e o uso de ferramentas computacionais para ilustrar os conceitos envolvidos. Devido ao grande número de livros que se encontram disponíveis nos dias atuais, é possível, para o professor, fazer uma escolha das principais ideias que cada um apresenta e encontrar um alicerce teórico de acordo com os objetivos de cada aula. A escolha de um livro revela a compatibilidade de ideias e é importante salientar que o professor pode sempre complementar as atividades. Neste sentido, não é possível pensar que o livro didático deve ser rigorosamente seguido. Levando em consideração a análise dos livros didáticos descritos e as dificuldades que, em geral, o conteúdo de sucessões numéricas apresenta, propomos e aplicamos uma sequência de atividades considerando a metodologia de investigação matemática. Os resultados estão descritos na seção cinco deste trabalho.

34 34 4 METODOLOGIA DA PESQUISA Para responder à questão de pesquisa e contemplar os objetivos geral e específicos, indicados mais adiante, neste capítulo, tornou-se necessário recorrer a uma fonte natural de dados. Desta forma, esta investigação, de caráter qualitativo, é uma pesquisa de campo que tem como objeto principal interpretar o fenômeno observado. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 71), [...] esta é uma modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste, entre outros. Para a obtenção de dados para análise posterior, foi aplicado um questionário para os alunos ao término do trabalho, bem como foram recolhidos os cadernos usados durante o desenvolvimento das unidades de ensino, além das anotações e observações realizadas pelo pesquisador no diário de campo. O questionário constituiu-se de cinco perguntas abertas que foram respondidas individualmente pelos alunos após a realização da terceira e última unidade de ensino. Segundo Michel (2009, p. 72) a utilização desse instrumento de coletas de dados oferece algumas vantagens [...] obtém respostas mais rápidas (anonimato), há mais segurança (anonimato), há menos risco de distorção, pela não influência do entrevistador [...]. O objetivo da utilização deste instrumento ao término da pesquisa foi a obtenção da opinião dos alunos sobre o trabalho desenvolvido. De acordo com Lüdke e André (1986), a observação ocupa um lugar privilegiado na pesquisa educacional, pois possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com a situação pesquisada. A observação participante, método usado neste trabalho, de acordo com Michel (2009, p. 67) é o tipo de observação em que o pesquisador participa com a comunidade ou grupo ou realidade estudada e incorpora-se ao grupo, confunde-se com ele. Desta forma o pesquisador pôde interagir com os sujeitos, vivenciando e participando de sua realidade. Uma forma de tornar a observação participante mais eficiente é por meio do recurso do diário de campo.

35 35 A elaboração do diário de campo foi fundamental para que, durante o desenvolvimento do trabalho, fossem registradas observações do fenômeno estudado, assim houve menor chance de que informações importantes se perdessem. Como citam Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 119): Quanto mais próximo do momento da observação for feito o registro, maior será a acuidade da informação. Sendo assim, o diário de campo serviu como complemento para obtenção de informação, junto ao questionário respondido pelos alunos. Além disso, como comenta Santos (2005), por meio do diário Podemos identificar as dificuldades encontradas, os procedimentos utilizados, os sentimentos envolvidos, as situações coincidentes, as inéditas e, do ponto de vista pessoal, como se enfrentou o processo, quais foram os bons e os maus momentos pelos quais se passou que tipos de impressões e de sentimentos apareceram ao longo da atividade ou ação desenvolvida. (p.70) Sendo assim, o diário de campo foi de extrema importância para a maior aquisição de dados e ainda permitiu à pesquisadora analisar as decisões tomadas e os caminhos seguidos pelos alunos. Para obtenção dos registros escritos dos alunos, para análise posterior,foi distribuído um caderno para cada aluno, destinado a ser seu diário de campo em que poderiam registrar as soluções e os procedimentos usados para se chegar a elas. Este caderno era recolhido no final de cada aula pela professora e entregue no início da aula seguinte, assim não havia a possibilidade de esquecerem o material e ainda teriam acesso ao que havia sido estudado na aula anterior. Para o trabalho de sala de aula, foram elaboradas unidades didáticas, levando em conta a faixa etária dos alunos, o nível de escolaridade e a sua familiaridade com a metodologia de investigação. Durante o desenvolvimento do trabalho procurou-se seguir os momentos (pois estes podem ocorrer de forma simultânea), propostos por Ponte, Brocado e Oliveira (2009) para a investigação matemática em sala de aula. 1º)Exploração e formulação de questões - Neste momento, procura-se reconhecer uma situação problemática, explorar esta situação e formular questões a seu respeito; 2º)Conjecturas - Este período caracteriza-se pela organização dos dados e formulação das conjecturas;

36 36 3º)Testes e reformulações - Esta é a fase importante em que são realizados os testes e refinadas as conjecturas; 4º)Justificação e avaliação - Este momento diz respeito à argumentação, à demonstração e à avaliação do trabalho realizado. Na sala de aula, onde as atividades foram aplicadas, estavam matriculados vinte e oito alunos, porém nem todos compareceram em todos os encontros, devido ao fato de a maioria trabalhar durante o dia e de residirem em outra cidade. As atividades foram desenvolvidas em grupos de quatro ou cinco alunos (grupos não-fixos), o número de grupos em cada aula variava de acordo com a quantidade de alunos presentes. Ao ser concluída a resolução das unidades de ensino, foram analisados: os registros do pesquisador com relação à observação e realização do trabalho em sala de aula; o diário de campo de cada aluno e as respostas do questionário. Essa análise consistiu em: verificar de que maneira foram resolvidas as atividades; quais estratégias e caminhos foram seguidos na resolução; quais conhecimentos prévios foram necessários e utilizados para a solução das questões; as facilidades e dificuldades encontradas para trabalhar com a metodologia de investigação matemática. Por meio desta analise, pretendeu-se responder às questões e ao problema da pesquisa. 4.2 PROBLEMA DE PESQUISA De que forma a metodologia da investigação matemática pode contribuir para o ensino e aprendizagem dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas? 4.3 OBJETIVO GERAL Analisar as possibilidades que a metodologia da investigação matemática proporciona na descoberta e aprendizagem dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas em uma turma do quarto ano de um curso de Licenciatura em Matemática.

37 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Desenvolver um conjunto de atividades visando à construção dos conceitos e propriedades de sucessões, mediados pela investigação matemática. Verificar como os alunos envolvem-se com atividades que privilegiam a construção de conceitos de sequências numéricas por meio da metodologia de investigação matemática. Verificar as dificuldades encontradas pelos alunos acerca das atividades e de que maneira lidam com essas dificuldades.

38 5 CONCEPÇÕES E DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA Neste capítulo, apresentamos os resultados do desenvolvimento e aplicação da sequência didática e as análises dos dados obtidos por meio dos diários de campo (do professor e dos alunos) e do questionário aplicado ao final do desenvolvimento das atividades. Nesta pesquisa, como mencionamos anteriormente, o trabalho foi desenvolvido com vinte e oito alunos do curso de Licenciatura plena em Matemática de uma universidade privada do oeste do Paraná. Para a realização do trabalho em sala de aula, os alunos foram divididos em grupos de quatro ou cinco elementos, formados de acordo com suas preferências pessoais. As atividades foram aplicadas no mês de abril de 2011, com quatro encontros de duas horas aula cada, sendo duas aulas destinadas à primeira unidade, uma aula para a segunda unidade e uma para a unidade três. Essas oito aulas foram disponibilizadas pelo professor regente da turma para a realização da pesquisa. As três unidades de ensino trabalhadas nos quatro encontros continham atividades complementares como trabalho extraclasse, para serem resolvidos pelos alunos individualmente. Estas atividades serviram também para analisar o desempenho de cada aluno sobre o trabalho que estava sendo realizado. É importante ressaltar que os alunos sabiam desde o início que este trabalho se tratava de uma pesquisa e que o conteúdo que seria estudado durante o trabalho era o de sequência numérica. A avaliação do trabalho foi realizada continuamente, observando-se o envolvimento e a participação dos alunos nas atividades, a análise dos trabalhos realizados e as estratégias encontradas para a solução das questões, pois o professor regente da turma disponibilizou um ponto da nota para a professora atribuir aos alunos. A seguir, apresentamos as unidades de ensino, algumas considerações a respeito dos objetivos que pretendíamos alcançar com o desenvolvimento de cada uma delas e as análises realizadas após sua aplicação. Em seguida, analisamos as soluções apresentadas pelos alunos nos cadernos (diários de campo).

39 UNIDADE DE ENSINO I: RECONHECENDO SEQUÊNCIAS E DESCOBRINDO CONCEITOS Esta unidade de ensino teve como objetivos: - compreender o conceito de sequência; - identificar regularidades e compreender a noção de termo geral de uma sequência numérica; - desenvolver a capacidade de trabalhar com vários tipos de representações; - traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos. A unidade foi desenvolvida em dois encontros sendo as atividades um, dois, três e quatro resolvidas no primeiro encontro, com a presença de quatorze alunos, e as atividades cinco e seis resolvidas no segundo encontro com a presença de dezesseis alunos. Baseados no quadro proposto por Ernest (1996, p. 32) as atividades (1), (2) e (5), desta unidade se caracterizam como tarefas de investigação por serem mais abertas e darem a oportunidade aos alunos de explorar, de conjecturar, de argumentar e descrever o processo de construção. Já as atividades (3) e (6) se caracterizam como descoberta guiada, pois tem objetivos definidos Atividades As situações a seguir podem ser construídas utilizando-se palitos de fósforo. 1) Defina matematicamente essas construções e elabore um relatório, com o seu grupo de trabalho, no qual constem os passos de cada uma das investigações. Não esqueça, é a quantidade de palitos que importa!!! a)

40 40 b) c) d) Uma sequência pode ter um número finito de termos? Argumente. 2) Tente encontrar uma expressão para representar: a) Os números naturais; b) Os números pares; c) Os números ímpares; d) Os múltiplos de três; e) 1,,,,, f) 2,0,2,0,2, g) 2,,,,, ) Represente graficamente as sucessões (a), (e), (f) e (g). Que considerações podem ser feitas com relação a elas? 4) Que conjuntos de números estão representados no eixo do x e do y? Fazendo uma analogia à definição de função, como vocês definem uma sequência? 5) Considere as sequências: a) 5,10,15,20,25,... b) 1,1,2,2,3,3,... c) 1,0,1,0,1,... d) 4,4,4,4,...

41 e),,,, Comparando os termos de cada uma das sequências anteriores, isto é, 1º termo com o 2º termo; o 2º termo com o 3º termo e assim por diante, o que se pode concluir em relação a cada sequência? 6) A sequência cujo termo geral é: a n 3 n 5 é decrescente ou crescente? Prove Análises dos dados coletados Primeiramente foi solicitado aos alunos que se organizassem em grupos e, como havia quatorze alunos presentes, foram formados dois grupos de cinco alunos e um com quatro integrantes. Neste ponto é importante ressaltar que, como cada aluno tinha seu caderno (diário de campo) para desenvolver as atividades, as análises do desenvolvimento das atividades foram feitas individualmente e a formação dos grupos foi realizada apenas para a discussão e troca de ideias. Em seguida, foram entregues para cada aluno as atividades da unidade I, por escrito, juntamente com o caderno, diário do aluno, e recomendado que todo o material deveria ser entregue para a professora no final da aula.para dar início à atividade, optou-se por fazer a leitura em voz alta das questões para esclarecimento do procedimento da atividade, porém, sem informações adicionais. A primeira atividade continha figuras construídas com palitos de fósforo, em que os alunos deveriam encontrar um termo geral de cada uma das sequências, porém levando em consideração a quantidade de palitos necessária para formar cada termo e não a quantidade de triângulos ou quadrados formados. Além disso, os alunos poderiam fazer as considerações que acreditassem ser relevantes. Esta atividade foi considerada pela professora de fácil resolução, uma vez que o professor da disciplina já havia trabalhado com a turma as atividades envolvendo progressões aritméticas e geométricas. O fato de os alunos terem conhecimento de progressões aritméticas e geométricas levou-os, logo no início da atividade, a estabelecerem a associação com os conceitos a elas relacionados. Esta associação pode ser vista no trabalho do aluno A2 referente às questões

42 42 1a, 1b e 1c, mas é importante salientar que a apenas quatro alunos apresentaram este raciocínio. Figura 1 Resposta para a atividade 1a, do aluno A2 Figura 2 Resposta para a atividade 1b, do aluno A2.

43 43 Figura 3 Resposta para a atividade 1c, do aluno A2. Apesar de ter sido feita a leitura das atividades, antes de dar início ao trabalho, alguns alunos não entenderam a tarefa. Um dos alunos do grupo dois questionou: A1: Não entendi o que é para fazer! P: Leia novamente o enunciado da questão! Percebendo que o aluno não havia compreendido a questão e face à dispersão do grupo, a professora fez o seguinte questionamento: P: Tome a sequência 1a. Qual é o primeiro termo, considerando o número de palitos e não as figuras formadas por eles? A1: Um. P: Porque se o que interessa é o número de palitos? Pense bem e a partir do primeiro termo, qual é o segundo? E o terceiro? A1: (1, 2, 3, 4...) Mesmo com a professora direcionando a pergunta, o aluno teve dificuldade em compreender a questão, o que nos remete à ideia de que os alunos, ao longo de sua formação inicial, não adquiriram a habilidade de ler, interpretar e argumentar.

44 44 Por outro lado, é importante salientar que o conceito de sequência numérica era conhecido pelos alunos, uma vez que este tópico já havia sido estudado no Ensino Médio por meio de PA e PG e na disciplina de cálculo. Observando a dificuldade do aluno a professora pesquisadora questionou: P: Tem certeza? Leia o enunciado. A2: Não, não. É (3, 5, 7, 9...) por que são os palitos que importam. P: E o que cada número representa? A1: Um valor. A2: Um valor que é um elemento da sequência? A1: Tá, mas e daí? P: Se eu lhe perguntasse, por exemplo, qual o centésimo elemento da sequência o que você diria? Somaria os palitos até encontrar a resposta? A1: Seria mais fácil se encontrássemos uma fórmula. P: E como seria o nome dessa fórmula? A3: O termo geral, com ele a gente pode encontrar qualquer termo da sequência. Do trabalho na sala de aula, durante a realização das atividades, foi possível observar que os alunos associaram o conceito de sucessão numérica com o conceito de PA e PG. Este fato já havia sido observado por Nunes (2001), quando da realização de sua pesquisa, em que afirma que os alunos associavam sequências numéricas apenas aos exemplos de PA e PG. Abaixo segue a resolução da aluna A8 referente à primeira atividade, que é semelhante à resposta dada pelos demais alunos.

45 45 Figura 4 Resposta para a atividade 1a, da aluna A8 Figura 5 Resposta para a atividade 1b, da aluna A8 Figura 6 Resposta para a atividade 1c, da aluna A8

46 46 Como em todos os grupos, as discussões se concentraram em torno do conceito de PA e PG, a professora aproveitou o momento e questionou sobre o que eles entendiam por uma PA e PG,tendo como resposta: A7: É uma sequência formada pelo termo anterior mais a razão. P: Melhorando esta fala poderíamos definir uma progressão aritmética como: toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética (PAIVA, 1995, p. 10). Os alunos não responderam nada e a maioria apenas movimentou a cabeça como sinal de concordância com o que havia sido dito e escrito na lousa. P: e uma progressão geométrica como seria? A2 e A9: toda sequência em que cada termo a partir do segundo, é igual à multiplicação do termo precedente com uma constante q, chamada de razão da progressão geométrica. P: todos concordam, discordam ou tem algum comentário a fazer? Silêncio absoluto. O fato de os alunos omitirem a opinião pode estar relacionado com o tipo de trabalho a que foram submetidos na maioria das disciplinas cursadas, ou seja, os alunos não foram estimulados a questionarem e indagarem. Neste sentido, as palavras dos professores foram sempre verdadeiras e inquestionáveis. Em relação à alternativa (d) da primeira atividade, todos os alunos responderam afirmativamente que existem sequências de números finitas. A conclusão dos alunos teve como base o fato de terem trabalhado, em momentos anteriores, progressões aritméticas e geométricas finitas. Este erro também foi constatado por Nunes (2001). Os alunos apresentaram dificuldades de leitura, interpretação de texto e também de habilidade de trabalhar em grupo, pois, no início da atividade houve pouca participação e interação com os colegas. A tendência foi trabalhar individualmente dirigindo-se mais ao professor do que aos colegas. Com a segunda atividade, pretendia-se que os alunos conseguissem encontrar o termo geral de cada sequência. No desenvolvimento da atividade, observou-se que os alunos não encontraram dificuldades nas sequências (a), (b), (c), (d) e (g) e apenas na sequência de letra (f). Quando questionados pela professora sobre o porquê da dificuldade, os alunos responderam que os termos não seguiam uma sequência crescente ou

47 47 decrescente. Após discussão e sugestões da professora para que tentassem pensar em potências que alternam o sinal, na medida em que n varia, a aluna A13 apresentou a solução constante no quadro a seguir. Figura 7 Resposta para a atividade 2, da aluna A13 Do mesmo modo o aluno A10 apresentou a seguinte solução: Figura 8 Resposta para a atividade 2, do aluno A10

48 48 Na resolução desta atividade os alunos apresentaram poucas dificuldades e observou-se que, aos poucos, estavam discutindo entre eles, propondo soluções e refutando as ideias dos colegas com mais propriedade; como apresentado por Frota (2006), a sala de aula foi se transformando em uma multi-sala. A atividade de número três teve como objetivo analisar o comportamento dos termos da sequência por meio da representação gráfica. Também, com esta atividade, pretendeu-se explorar o tipo de variável, continua e discreta. Inicialmente, a tendência dos alunos foi marcar os pontos nos eixos cartesianos e ligá-los por uma linha continua. Quando questionados do porquê de unir os pontos com linha contínua ficaram surpresos e não imaginavam que poderia ser de outro modo. P: Qual é o conjunto de números que está representado no eixo x? A7: É a reta real professora. P: Vocês concordam? Alunos: Silêncio absoluto. Após algum tempo um aluno mais atento observou o seguinte: A5: Não, pois não são todos os pontos da reta que tem uma imagem no eixo y. No eixo dos x temos representado o conjunto dos números naturais. Neste momento a professora, em plenária, estabeleceu a diferença entre variável continua e discreta. Observou-se que os alunos ficaram surpresos, pois, até este momento do curso, eles não tinham conhecimento, ou não lembraram essa diferença de variáveis. Esse fato esta de acordo com a afirmação de Friedmann e Lozano (2007, p. 133) a capacidade que nós, professores temos para ler` e para entender os modelos contínuos deve-se, em parte, ao extenso treinamento efetuado ao longo de nossa vida escolar e profissional nesse sentido. Após a apresentação da professora, os alunos retomaram a atividade e conseguiram, na sua maioria, representar corretamente os gráficos. Abaixo se encontra a resposta apresentada pela aluna A13.

49 49 Figura 9 Representação gráfica da questão 3, da aluna A13 Mesmo após a explicação da professora alguns alunos ainda continuaram representando o gráfico com uma linha continua. Na figura 9, a seguir, é mostrada a representação do aluno A6 que apresenta um gráfico como se a variável fosse continua. Figura 10 Representação gráfica da atividade 3e, do aluno A6 Observando o trabalho da aluna A13 é possível perceber que ela analisou o comportamento dos termos da sequência, na medida em que n cresce, e conjecturou um possível valor limite. Em sua representação, percebemos que a aluna apresenta o conceito de limite, mesmo intuitivamente, embora não haja a formalização deste conceito. Assim a

50 50 aluna formulou uma conjectura, porém não apresentou uma prova para mesma, mostrando que os alunos têm a tendência de considerar suas conjecturas como conclusão, fato apresentado em Ponte, Brocardo e Oliveira (2009). zero. As considerações feitas pelos alunos em relação às sequências foram às seguintes: A8: as primeiras sequências crescem indefinidamente; A3: a sequência (e) decresce e acredito que ela vai para zero quando n cresce. A11: não sei o que dizer da sequência (f), pois ela altera de valor ora é 2 e ora é Na atividade quatro, pretendia-se que os alunos definissem, a partir da associação com o conceito de função, o que é uma sequência numérica. Ao iniciar a atividade, os alunos passaram a formular suas conjecturas e refutá-las de acordo com seus conhecimentos prévios. No grupo três, o aluno A11 iniciou a seguinte discussão: A11: 2,4,6,8,... é uma sequência, mas 1,3,8,... não é, pois, no primeiro a razão é 2 e na segunda não tem razão. A12: Não, uma sequência é uma sequência não precisa ter razão. Dessa discussão pode-se concluir que os alunos tinham a tendência de associar o conceito de sucessão com progressão geométrica e aritmética, que era um conhecimento que já possuíam desde o Ensino Médio. Por outro lado, apesar de os alunos já terem trabalhado as atividades 1,2 e 3 desta unidade, eles ainda não conseguiram se libertar dessa associação. Acompanhando esta discussão, a professora indagou: P: É possível encontrar uma razão entre os números primos? A12: Não tem! P: Qual o termo geral para a sequência destes números? Alguém o encontrou? A10: Erastóstenes encontrou o crivo. P: Mas o que é o Crivo? A10: É apenas uma forma de encontrar os números primos. P: Pense na tua resposta. Ela não tem nada a ver com a pergunta. A10: Tem razão professora o que precisamos encontrar é o termo geral da sequência de números e não os números primos. Com o questionamento, a professora procurou induzir os alunos a pensarem em sequência de maneira geral e não apenas em progressões, para que pudessem ter uma ideia

51 51 mais ampla do assunto e então pudessem estabelecer a relação entre o conceito de sequência e função. P: como vocês definiriam uma sequência numérica?tentem pensar no conceito de função. Vocês lembram? Ao passar pelos grupos, a professora observou que os alunos tinham dificuldades em estabelecer a definição de sequência, pois o conceito de função não estava claro para a maioria da turma. Após discussões nos grupos, os alunos apresentaram as seguintes respostas, conforme a apresentada pelos alunos A4, A9 e A12 dos grupos 1, 2 e 3 respectivamente. Figura 11 Resposta para a atividade 4, do aluno A4, do grupo 1 Analisando-se a resposta do aluno, que representa o trabalho de todo o grupo, observa-se que os alunos não têm a compreensão do conceito de função e como consequência não conseguiram formular corretamente a definição de sequência.

52 52 Figura 12 Resposta para a atividade 4daaluna A9, do grupo 2 No grupo 2 o problema é semelhante ao do grupo 1, ou seja, os alunos não tem claro o conceito de função. Figura 13 Resposta para a atividade 4, da aluna A12, do grupo 3 Para esta questão, era esperado que os alunos, com os conhecimentos prévios advindos do Ensino Médio e das outras disciplinas do curso, conseguissem escrever uma definição correta. Das definições apresentadas pelos grupos, observa-se que os alunos não têm clareza sobre o conceito de sucessão numérica e não conseguiram estabelecer uma definição coerente. Esta dificuldade pode estar relacionada com a compreensão do conceito de função. A dificuldade de compreensão, que aqui apareceu, está de acordo com o

53 53 resultado de pesquisa desenvolvido por Bisognin, Bisognin e Cury (2010). As autoras, nesta pesquisa, aplicaram um teste para alunos do ensino fundamental, médio e superior envolvendo o conceito de função e observaram que em todos os níveis os alunos apresentaram dificuldades na compreensão do conceito. Por outro lado, a partir das análises dos livros didáticos, percebemos que alguns deles, ao tratarem do tema sucessões numéricas, não fazem associação com o conceito de função e este é o caso do livro Barreto e Barreto (2000), que apresenta a definição de sucessão numérica de maneira análoga à apresentada pela aluna A12 do grupo 3.Esta definição, que consta no livro citado, é de difícil compreensão para os alunos de todos os níveis de ensino. Esperava-se que os alunos definissem sequência numérica como uma função: S: N R que a cada n associa S n, isto é, n S n = S n, com domínio no conjunto dos números naturais e contradomínio no conjunto dos números reais sendo S n o termo geral da sequência. Observando as dificuldades dos alunos em definir o que era uma sequência numérica, no encontro seguinte, a professora realizou uma plenária em que recordou a definição de função e construiu a definição de sequência numérica fazendo a associação com esta definição. Deste modo foi possível apresentar aos alunos a definição correta de sequência, dando-lhes a oportunidade de verificar os erros cometidos com relação as definições apresentadas por eles. Com a atividade cinco, pretendia-se que os alunos definissem uma sequência crescente, decrescente, não-crescente, não-decrescente e a partir disso compreendessem a monotocidade das sequências. Nesta atividade, os alunos não apresentaram dificuldades, no entanto em relação a alternativa (b), que tratava de uma sequência não-decrescente, os alunos não conseguiram classificá-la, pois esta foi a primeira vez em que a maioria dos estudantes se deparou com este tipo de sequência que envolve o sinal de desigualdade menor ou igual. Outra dificuldade encontrada pelos alunos está relacionada com generalizações, isto é, os alunos concluíam a classificação da sequência observando apenas os primeiros termos, mas não foram capazes de trabalhar com o termo geral. Observando os alunos a professora fez o seguinte questionamento: P: O que acontece com os termos da sequência da letra a?

54 54 A14: O primeiro termo é menor que o segundo, que é menor que o terceiro, isto é, a a, a a, P: Ótimo. Continuando a tua ideia como seria a representação dos termos de ordem n e n+1?observe os índices de cada termo. A14: Analisando bem deveria ser an an 1. P:Correto. Portanto podemos dizer que uma sequência a é crescente quando a,. n an 1 n delas. P: Agora comparem os termos das outras sequências e tentem classificar cada uma Ao dar continuidade à atividade, os alunos apresentaram uma postura mais autônoma. Uma aluna fez o seguinte questionamento relacionado à letra b do exercício: A15: Professora, pensamos no seguinte, o primeiro termo é igual ao segundo; o segundo é menor que o terceiro; o terceiro igual ao quarto; o quarto é menor que o quinto; e assim por diante. Pensando somente nos que são diferentes, a sequência é crescente igual a letra (a), mas como tem os iguais no meio não pode ser crescente. P: E então, o que se conclui? A15: Não sei. P: Existe algum símbolo matemático que pode representar o crescimento e a igualdade ao mesmo tempo? A15: Ham!O símbolo. E como seria o nome desta sequência? P: Não-decrescente, pois o termo cresce ou é igual ao anterior, mas nunca decresce. Agora escrevam a definição deste tipo de sequência. n

55 55 Figura 14 Resposta para a atividade 5b, da alunaa15 No entanto, apesar das discussões em grande grupo, ainda alguns alunos não conseguiam compreender este tipo de sequência, consideramos que isto está relacionado à falta de compreensão do significado do símbolo de menor ou igual. Do trabalho em sala de aula foi possível observar que os alunos passaram a ter mais autonomia sobre suas respostas, não apresentando a necessidade de confirmar suas hipóteses a todo instante com a professora. Comparando a postura dos alunos com o primeiro encontro, observou-se que estavam mais autônomos e participativos e conseguiam trabalhar, tanto com a professora quanto com os demais colegas. Como fechamento da atividade, a professora apresentou a definição e alguns outros exemplos de sequências monótonas e não-monótonas. Com a sexta e última atividade desta unidade, pretendia-se que os alunos classificassem e provassem se a sequência era crescente ou decrescente. Nesta atividade os alunos conseguiram responder com propriedade todos os itens, porém a linguagem matemática por eles usada surpreendeu a professora, o que está especificado no trabalho da aluna A12, a seguir.

56 56 Figura 15 Resposta para a atividade 6, daaluna A12. A dificuldade de expressar-se matematicamente, por escrito e também oralmente, está de acordo com as preocupações advindas das Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002a) quando apresenta que, se os alunos não tiverem a oportunidade de escrever sobre Matemática, dificilmente terão autonomia para se comunicar nesta área. Por outro lado, apesar de alguns alunos apresentarem dificuldades de escrita e de formalização matemática, observou-se que alguns já conseguiam escrever e provar de forma coerente, conforme o trabalho do aluno A7, a seguir. Figura 16 Resposta para a atividade 6, do aluno A7

57 57 Dos trabalhos produzidos pelos alunos, nesta atividade e nas anteriores, é possível concluir que os alunos, aos poucos foram ganhando autonomia, tornaram-se colaborativos e participativos e estavam motivados com o trabalho. Para avaliação do trabalho, foram distribuídas algumas atividades complementares que os alunos deveriam realizar em suas casas e entregar no próximo encontro. Estas atividades encontram-se no Apêndice A Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas No desenvolvimento das atividades, de modo geral, observou-se um processo lento dos alunos para realizar o trabalho em grupo, pela dificuldade de se adequarem ao novo modo de ensino e aprendizagem, permeado pela metodologia de investigação matemática. Acreditamos que isso se deva ao fato de os alunos não estarem habituados ao tipo de aulas em que eles passam a ser também os responsáveis pela construção do conhecimento. Esta situação é confirmada por Castro (2004), quando afirma que os alunos vivem a maioria do tempo numa cultura escolar na qual, depois de propor uma situação-problema, apresenta a resposta correta e os passos que devem ser seguidos a fim de que se chegue a ela (2004, p.163). Outra dificuldade encontrada refere-se à comunicação escrita e oral. Neste sentido observou-se que os alunos não estavam acostumados a escrever e formalizar conceitos matematicamente. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), a escrita dos registros dos alunos permite ao professor analisar o desempenho destes, garantindo sucesso no momento da discussão dos resultados. Além disso, possibilita aos alunos trabalharem de forma espontânea e genuína a capacidade de se comunicarem matematicamente e clarificarem suas ideias. Percebeu-se também que a maioria dos alunos apresentou dificuldade quanto à compreensão e formalização do conceito de sequência numérica, de fazer e trabalhar com generalizações. Uma possível explicação para esta dificuldade pode estar relacionada com o que consta nos livros didáticos analisados. Da análise realizada nas sessões anteriores, os livros que são usados durante a formação apresentam o conteúdo de sequência de maneira sucinta e com linguagem formal e sem aplicações.

58 58 Ao final do desenvolvimento da unidade, consideramos que esta possibilitou que os alunos trabalhassem de forma colaborativa, expondo suas próprias ideias, fazendo conjecturas e estivessem motivados com a forma de trabalho proposta. Ou seja, a metodologia utilizada e as atividades propostas criaram um ambiente favorável ao ensino e aprendizagem de um conteúdo que, em geral, é considerado difícil por parte dos alunos. 5.2 UNIDADE DE ENSINO II: CONSTRUINDO O CONCEITO DE LIMITE DE SEQUÊNCIA A segunda unidade de ensino teve por objetivos: - determinar se uma sequência é limitada; - identificar o limite inferior e o limite superior das sequências; - construir o conceito de limite de uma sequência; - compreender a convergência e divergência de uma sequência; - traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos. Devido à complexidade do conteúdo nesta unidade tornou-se necessária a formulação de questões mais fechadas, ou seja, com objetivos mais bem definidos. Assim as atividades (1) e (2) se caracterizam como atividades de investigação por se apresentarem de forma mais aberta permitindo maior exploração pelos alunos. Já as demais atividades se caracterizam como de descoberta guiada Atividades Unidade II 1) Considerando as sequências cujos termos gerais são: a n 15 n n bn Escrevam em seu caderno os dez primeiros termos, o 20º, 40º, 100º termo. Construam os gráficos, observem estas sequências e escrevam suas considerações sobre o comportamento dos termos, na medida em que n cresce. c n 6 n

59 59 - Entre quais valores do eixo y parecem estar os termos de cada sequência? Existe um valor limite inferior ou superior? 2) Fazendo associação com o limite de uma função em um ponto, como vocês representariam este valor limite de cada sequência? O que se pode concluir sobre a convergência ou divergência de cada uma delas? Justifique. Dê exemplos de sequências que são convergentes e outras que são divergentes. 3) Leia com atenção o texto a seguir e após, com base nas afirmações, tente responder a questão apresentando uma justificativa 1. n Se uma sequência a tem um limite L quando n então podemos representar geometricamente, sobre uma reta, esta situação organizando os termos N N 1 a, a, a,..., a, a,... sobre a mesma da seguinte forma: tome 0, pequeno, então existe N tal que para n N os termos, a partir de N ficam todos no intervalo L, L. Fazendo esta representação temos, Ou poderia ser esta no plano cartesiano. Observe o exemplo: Seja a sequência a n 1 n 2, tem-se que 1 lim 0 n n 2 1 Adaptado de: STEWART, J. Cálculo. 4 ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, v. 2.

60 60 Assim, 0 devemos achar N tal que 1 0, n N. Ou seja, n 2 1 n 2 devemos mostrar que existe N tal que n N 1 1. n 2 N,. 1 * Para provar isso observe que como n N segue que n 2 n N e assim Comparando com (1)*, segue que conclui a prova. 1 desde que n 2 1 ou seja, N 1 N.Isto Agora considere a sequência cujo termo geral é an 1, n 1. Qual é o limite da n sequência? Determine N e faça uma representação geométrica sobre a reta real ou no plano cartesiano. 4)Considere a sequência cujo termo geral é a n 1 n. Escreva os primeiros termos da sequência, represente graficamente os termos e analise se a sequência converge ou diverge. Argumente. Ela é limitada? 5)Escreva o que você entende por lim a n e escreva em linguagem simbólica esta representação. n Análise dos dados coletados Para o desenvolvimento desta unidade, contamos com a participação de dezesseis alunos, sendo que quatro deles não haviam participado das duas aulas anteriores. Com a primeira atividade desta unidade, pretendia-se que os alunos analisassem o comportamento dos termos da sequência por meio da representação gráfica e

61 61 identificassem o limite superior e o limite inferior de cada uma delas. Concluíssem também se elas são limitadas ou não e se são convergentes ou divergentes. Esta atividade envolveu a construção do conceito de limite, que é um conceito de difícil compreensão para os alunos iniciantes e também para os concluintes, de acordo com pesquisas de Pinto (2007). Optou-se por apresentar atividades que envolvessem tanto o aspecto algébrico quanto o gráfico, para que os alunos conseguissem compreender o conceito por meio da visualização. Na resolução desta atividade, os alunos, que já estavam mais participativos e integrados com a forma de trabalhar, não apresentaram dificuldades na resolução da primeira questão, porém ainda não conseguiram se expressar de forma clara e responder o que, de fato, foi solicitado. Para representar entre quais valores do eixo y encontravam-se os termos da sequência, a maioria dos alunos usou o conceito de intervalos, mas nada argumentaram sobre a existência de um valor limite inferior ou superior ou ambos. Isto pode ser analisado na resolução da aluna A12, a seguir. Figura 17 Reposta para a atividade 1a,da aluna A12

62 62 Figura 18 Reposta para atividade 1b, da aluna A12 Figura 19 Reposta para atividade 1c, da aluna A12

63 63 A partir das análises dos trabalhos realizados pelos grupos pode-se concluir que os alunos tiveram dificuldade de tratar com a noção de limite. Assim, a partir dos trabalhos de cada grupo, a professora aproveitou o momento da apresentação oral e construiu os conceitos de sequência limitada, não-limitada, de limite inferior e superior. Os exemplos particulares e a visualização gráfica do comportamento dos termos da sequência foram essenciais para que os alunos compreendessem os conceitos. Com a atividade dois, pretendia-se que os alunos, além de encontrar o valor limite de cada sequência, concluíssem se elas eram convergentes ou divergentes. Nesse momento, observou-se que os alunos tinham pouco conhecimento do conceito de limite de função. Todos foram unânimes em afirmar que sabiam bem a manipulação de fórmulas para o cálculo de limites, mas que nunca haviam trabalhado o conceito dessa forma. Para a maioria dos alunos esta era a primeira vez que estavam construindo e compreendendo o conceito de limite. Neste momento, o papel da professora foi fundamental no sentido de apresentar outros exemplos de sequências que eram limitadas inferiormente e/ou superiormente. Trabalhou-se o aspecto visual, analisando o comportamento dos termos das sequências, para que eles concluíssem se existia um valor limite inferior ou superior e qual o tipo de limitação. Após a intervenção da professora, observou-se que os alunos passaram a discutir em seus grupos com mais propriedade fazendo gráficos, conjecturando e refutando as conjecturas dos colegas e tirando conclusões a partir das diferentes ideias dos participantes. Percebeu-se que os alunos sempre retomavam a representação gráfica para verificar suas hipóteses e isso mostra a importância deste tipo de representação para a compreensão do conceito. Nesse momento, os alunos já estavam escrevendo suas considerações, mesmo sem formalismo. Este fato vai ao encontro do que é apresentado por Cristovão (2006, p.129) Um aluno que só fez cálculos em matemática, certamente terá dificuldades em expressar por escrito o que está pensando. Mas, se dermos oportunidade, ele vai aprender!. Apresenta-se a seguir a resposta do aluno A9 à questão dois desta unidade, que é também semelhante à dada pela maioria dos alunos presentes em sala de aula.

64 64 Figura 20 Reposta para atividade 2a, do aluno A9 Figura 21 Reposta para atividade 2b, do aluno A9

65 65 Figura 22 Reposta para atividade 2c, do aluno A9 Todos os grupos conseguiram escrever exemplos de sequências convergentes e divergentes. Alguns exemplos apresentados pelos alunos: convergente. A7: (1;1/2; 1/3;...) é uma sequência convergente e (1; 5;10;15;...) é divergente. A17: A sequência (1;0;1;0;1;0...) é limitada e divergente e (1;1;1;1;...) é A atividade três desta unidade exigia dos alunos a habilidade de escrever o que eles tinham estudado nos itens anteriores de maneira formal. Este foi o ponto de maior dificuldade, mas ela foi, passo a passo, sendo superada na medida em que os alunos conseguiam fazer a representação gráfica para analisar o comportamento dos termos das sequências. A dificuldade centrou-se na compreensão do erro 0 e sua relação com N. Após várias intervenções da professora nos grupos, os alunos conseguiram concluir que a sequência era convergente e que seu limite era zero.

66 66 Nesse item, os alunos não tiveram dúvidas para encontrar o valor limite da sequência, porém para expressarem isto do ponto de vista formal, com a manipulação de 0 e de N ainda perduraram algumas dificuldades. Este fato também foi observado por Nunes (2001). Há muitos anos vimos lecionandos diversas disciplinas em um curso noturno de licenciatura em matemática. Sempre verificamos que os alunos preferem os cálculos matemáticos aos estudos teóricos, e que têm grande dificuldade em dar significado aos conceitos. Trabalhando com Análise Matemática no 4º ano, essas dificuldades tornam-se mais evidentes. Esses estudantes empenham-se em aprender definições em demonstrar teoremas, mas não são muito bem sucedidos na aplicação da teoria: ao tentar resolver uma situação-problema, não sabem quais propriedades utilizar, ou utilizam-nas de forma inadequada. (p.11) Referente ao aspecto geométrico, alguns alunos fizeram a representação sobre a reta e outros,no plano cartesiano. Ao tratar a questão, reportando-se ao aspecto geométrico, os alunos conseguiram visualizar e perceber o comportamento dos termos da sequência na vizinhança do ponto limite, na medida em que n cresce e isto os ajudou a compreender o conceito de limite. Analisando a solução apresentada pelo aluno A6, Figura 23, a seguir, vemos que ele apresenta uma boa representação do comportamento dos termos da sequência e a relação entre 0 alunos presentes na sala de aula. e N. O conceito de limite ficou claro para a maioria dos Figura 23 Representação para a atividade 3, do aluno A6

67 67 A quarta atividade teve como objetivo trabalhar o conceito de sequência limitada, mas que é divergente. De acordo com o que tinham discutido anteriormente, os alunos não encontraram dificuldade em concluir que a sequência era divergente, conforme o argumento do aluno A15. A15: Diverge porque, os valores ora é 1 e depois passa para -1 e assim sucessivamente Nesse momento, observou-se que, para responder a questão, os alunos sempre tentavam visualizar geometricamente, conforme a Figura 23, a seguir, que é representativa das soluções dos demais participantes. Figura 24 Resposta para a atividade 4, da aluna A15.

68 68 A questão de número cinco não foi trabalhada neste encontro, pois se esgotou o tempo da aula e, assim, foi deixada como tarefa de casa. No encontro seguinte, ela foi retomada e quando os alunos foram questionados sobre o significado de lim a n a maioria respondeu: Alunos: na medida em que o valor de n cresce para o infinito, os valores da sequência vão para o infinito também sem chegar próximo de nenhum outro número. P: De maneira formal como isto poderia ser escrito? A10: Eu tentei usando épslon e N, mas não consegui. P: Qual foi a dificuldade que vocês encontraram? A10:Como não há um valor conhecido não consegui escrever e nem representar na reta. Os alunos estavam condicionados a pensarem sempre em épsilon e N, como haviam trabalhado anteriormente. Assim, neste momento a professora retomou o conceito de sequência divergente e junto com os alunos formalizou este conceito partindo de exemplos particulares para depois concluir a atividade. Após a discussão de alguns exemplos particulares de sequências divergentes, como as do item 1 desta unidade, em seus registros eles conseguiram formalizar o conceito de sequência divergente. n Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas Analisando o desenvolvimento dessa unidade, pode-se inferir que houve mudanças significativas dos alunos em relação ao trabalho de sala de aula. Eles se mostraram mais desprendidos da opinião da professora e formulavam suas hipóteses e as refutavam com confiança e autonomia. Aqui, salienta-se que a forma de trabalhar a sala de aula foi fundamental, especialmente no trabalho em grupo e nas atividades propostas em que, em todo momento, os alunos eram convidados a pensar e tinham que propor uma solução. Neste sentido, concorda-se com Castro (2004), quando afirma que a compreensão do que são tarefas investigativas e atividades investigativas só ocorre quando aliamos a teoria e a prática.

69 69 A representação gráfica dos elementos das sequências é outro ponto a ser salientado, pois, embora isto não fosse uma rotina nas aulas da maioria das disciplinas, e também não fosse um foco do trabalho, sua utilização foi de extrema importância para a compreensão dos conceitos envolvidos. O aspecto da visualização é importante, não apenas no estudo da Geometria, mas também na Análise Real. 5.3 UNIDADE DE ENSINO III: PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA A terceira e última unidade de ensino teve como objetivo estudar a propriedade: Toda sequência monótona e limitada é convergente. Para esta unidade foram desenvolvidas duas atividades de descoberta guiada (1) e (2) e três atividades de investigação (3), (4) e (5). Com o intuito de que os alunos além de construir e compreender a propriedade pudesse estabelecer relação entre a monotonia, limitação e convergência Atividades Unidade III 1) Investigue se a sequência cujo termo geral é 1 an n 5 limitada. A sequência é convergente? Se sim, qual é o limite? 2) Repita o mesmo para a sequência cujo termo geral é b n é monótona e verifique se é 1 1. n 3) Escreva um exemplo de uma sequência de termos positivos que não é monótona mas é convergente. 4)Leia com atenção o texto que segue e tente, com base no que já estudou anteriormente, responder as questões. - Considere a n uma sequência crescente e limitada. Sendo an limitada o conjunto S a / n 1 n crescente e tem um supremo L? Para responder esta pergunta

70 70 consulte no livro didático indicado pelo professor responsável pela disciplina, o conceito de supremo (e também de ínfimo) de um conjunto limitado. - De acordo com a definição de supremo tem-se que se L sup sdado, 0, o elemento L não é uma cota superior para S e, portanto existe algum N tal que an L para algum inteiro N? - Sendo n a crescente é possível afirmar que an an para cada n N. Se isto é verdade então an an L e assim pode-se afirmar que 0 L an? - Além disso, pode-se afirmar que Lan sempre que n N? - Se isto é verdadeiro o que se pode concluir sobre a convergência da sequência n a e de seu limite? - Se considerarmos an conclusão? Argumente. decrescente e limitada pode-se chegar à mesma 5) Toda sequência que tem limite é limitada? E a recíproca é verdadeira? Justifique Análise dos dados coletados. Neste encontro, primeiramente, retomamos a discussão da última atividade da unidade II, e em seguida foi dado início à resolução das atividades da unidade III. Neste encontro estavam presentes vinte alunos, sendo que um deles não havia comparecido nas aulas anteriores e outros quatros haviam participado de apenas uma das aulas anteriores. As atividades desta unidade exigiam dos alunos a habilidade de escrever o que eles tinham estudado nas aulas anteriores de maneira formal, além da capacidade de interpretação e compreensão dos conceitos apresentados, especialmente de monotonia e limitação de sequências. A primeira questão não apresentou dificuldade por parte dos alunos, pois a maioria conseguiu usar os conceitos de sequências limitadas e monótonas e manipular o cálculo do limite e a formalização do conceito. Para isso, usaram sempre a representação gráfica para visualizar.

71 71 Após alguns questionamentos e intervenções da professora nos grupos, os alunos conseguiram concluir que a sequência era convergente e que seu limite era zero, fazendo o uso do formalismo matemático. A seguir apresentamos a solução do aluno A7 para a questão. Figura 25 Resposta para a atividade 1, do aluno A7. Da resposta para a primeira questão, é possível concluir que os alunos tinham, de fato, compreendido o conceito de limite e conseguiam expressar-se de modo escrito e formal, que era também um dos objetivos desta pesquisa. Na segunda questão, a maioria dos alunos seguiu o raciocínio da questão anterior e conseguiu usar com propriedade os conceitos estudados. A questão três tem relação com as questões anteriores e teve como objetivo analisar se os alunos conseguiriam fazer a relação entre monotonia, limitação e convergência. A questão permitiu a proposição de muitas conjecturas e tentativas. A questão foi um bom desafio proposto aos alunos, pois se envolveram em animada discussão entre todos os

72 72 elementos dos grupos, tentando compreender ou refutar a ideia do colega.após discussões os grupos 1 e 2 propuseram como exemplos : Grupo 1: (1 ; 0; ½ ; 0 ; 1/3; 0 ;...) que é convergente para zero mas não é monótona. Grupo 2: ( 1; 1+1/2 ; 1+ 1/3 ; 1+1/4 ;...) que é convergente para um e não é monótona. Os demais grupos apresentaram exemplos semelhantes com pequenas variações. A atividade quatro tratava da demonstração da propriedade toda sequência monótona e limitada é convergente. A busca de resposta para a questão foi feita passo a passo e foi necessária a ajuda da professora, pois envolvia muitos conceitos trabalhados anteriormente. No primeiro item, os alunos observaram, inicialmente, que por esta sequência ser crescente ela seria monótona. A seguir passaram a analisar a limitação do conjunto Se questionaram: A12: Professora, se esta é uma sequência limitada ela vai ter limite inferior e limite superior? P: O que você acha?observem os termos da sequência. A10: O conjunto S deve ter supremo e ínfimo porque é dito que a sequência é limitada. P: Ótimo. A12: Então o conjunto tem ínfimo e supremo. Desse diálogo, pode-se perceber que o grupo compreendeu e associou o fato da sequência ser limitada com a existência do limite inferior e superior. Para o item seguinte os alunos, novamente, fizeram uso da representação gráfica para visualizar o que estava sendo afirmado, conforme pode ser visto na resposta do aluno A13.

73 73 Figura 26 Resposta para o segundo item da atividade 4, do aluno A13. A partir da visualização gráfica conseguiram responder ao terceiro e ao quarto questionamento da atividade e estabelecer a conclusão da demonstração da propriedade. Todos os participantes estavam familiarizados com a manipulação, em termos de épsilons e N, e conseguiram concluir que a sequência era convergente. A última pergunta da questão quatro, isto é, se a sequência é decrescente e limitada, exigiu um pouco mais de trabalho dos alunos. Nos grupos, as discussões foram animadas, pois, para este caso, a construção da demonstração teve que ser refeita passo a passo e isto exigiu dos grupos a reescrita de todo o texto com a mudança das hipóteses anteriores. Os alunos conseguiram perceber as mudanças que ocorreram com a troca da sequência de crescente para decrescente e também usaram a representação gráfica para confirmar e refutar as conjecturas dos colegas.

74 74 A atividade cinco teve por objetivo verificar se os alunos conseguiram compreender, de fato, o resultado da propriedade provada na questão quatro. A primeira pergunta não apresentou dificuldade e a maioria respondeu sim e deram vários exemplos. Para a segunda pergunta a professora instigou: P: O que significa a recíproca? Escrevam. A7: Significa que toda sequência limitada é convergente. P: Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifiquem provando ou apresentando um contraexemplo. A maioria dos alunos respondeu que se faltasse uma hipótese então o resultado não poderia ser verdadeiro Reflexão da pesquisadora sobre as atividades desenvolvidas Analisando o trabalho dos alunos nesta unidade, percebeu-se que, apesar da maioria não ter sido assídua, estes com a ajuda dos colegas conseguiram trabalhar e desenvolver as atividades com êxito. A pouca assiduidade dos alunos deve-se ao fato de que a maioria trabalha durante o dia e reside distante da universidade. A partir das resoluções das atividades desta unidade, é possível afirmar que, apesar de serem questões de difícil compreensão para a maioria dos alunos das disciplinas de análise real, eles conseguiram provar um teorema central para o estudo de sucessões numéricas, pois fornece um critério de análise da convergência ou divergência. É importante salientar também que o uso da representação gráfica foi fundamental para a compreensão dos conceitos apresentados, não só nesta unidade como também nas duas anteriores.

75 75 6 ANÁLISE DO QUESTINONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS Ao término das três unidades foi aplicado um questionário com cinco questões abertas, com o objetivo de coletar as opiniões dos alunos sobre o trabalho realizado. Neste momento estavam presentes 19 alunos, que foram os respondentes. Para a primeira questão, o que você achou das atividades e do desenvolvimento das aulas e descreva uma situação positiva e uma negativa, 15 afirmaram que o trabalho foi ótimo e enumeraram como ponto positivo o envolvimento de todos nas atividades e como ponto negativo o fato de que o professor deve estar bem preparado e conhecer bem a metodologia. Dos demais alunos, um não entregou as respostas e os outros três afirmaram que preferiam uma aula em que o professor explicasse o conteúdo. A segunda pergunta questionou se os alunos já conheciam esta metodologia de ensino e todos responderam que era a primeira vez que tiveram contato com ela. A terceira questão referia-se às dificuldades de trabalhar o conteúdo de sucessões, usando-se a metodologia de investigação matemática. Dos dezoito alunos que entregaram as respostas, todos afirmaram que já tinham tido contato com este conteúdo, mas pouco aprenderam, pois não lembravam de quase nada. Um aluno afirmou que: foi mais fácil porque todos trabalharam juntos, mas o conteúdo é difícil. A quarta questão tinha por finalidade saber se eles usariam esta metodologia na sala de aula, quando formados. Dos dezoitos alunos, treze responderam que a experiência permitiu, não apenas a construção dos conhecimentos relacionados com sequências numéricas, mas também o conhecimento da metodologia de trabalho, e assim, usariam nas suas aulas.estes alunos argumentaram: Sim. Por que seria um novo método de trabalho; Sim. É uma forma de analisar e pesquisar as dificuldades dos alunos, fazendo com que eles busquem suas próprias respostas. Utilizaria, pois acho que os alunos são levados a compreender melhor o problema, são instigados a encontrar a solução desse problema da maneira que acharem melhor. Os cinco alunos restantes responderam que não usariam a metodologia e enumeraram as seguintes razões:

76 76 1º ) O professor deve estar bem preparado; 2º ) Depende da turma em que estarão trabalhando, em algumas é impossível; 3º )Há necessidade de mais tempo para o desenvolvimento do conteúdo ; 4º )Preocupação com situações novas que podem ocorrer na sala de aula e que podem fugir ao controle do professor. Em relação à variável tempo nos deparamos com o que Ponte, Brocardo e Oliveira(2009,p.141) afirma: A realização de uma investigação requer sempre certo tempo, mas o que se gasta nas primeiras experiências de investigação e nas primeiras ocasiões em que se procura discutir os resultados obtidos, pode ser recuperado mais tarde, por que os alunos já estão mais a vontade com esse tipo de atividade, sabendo aquilo que se espera deles. Além disso, o trabalho efetuado no âmbito de uma investigação, em torno de determinado conteúdo matemático, pode revelar-se de tal forma produtivo que o professor já não vê a necessidade de voltar a trabalhá-lo, ganhando assim tempo para dedicar a outro assunto. Na quinta questão, os alunos tinham a liberdade de fazer as considerações que quisessem sobre o trabalho realizado. A maioria acrescentou que o trabalho foi válido e gostariam que, ao longo do curso, ainda pudessem ter a oportunidade de vivenciar uma nova experiência com esta metodologia. Sobre este desejo da maioria dos alunos, é importante registrar que o professor responsável pela disciplina não acompanhou o trabalho proposto e, portanto, nada se pode afirmar sobre o uso desta metodologia, na continuidade do desenvolvimento da disciplina. Com este questionário, pretendeu-se dar voz aos alunos para que se manifestassem sobre o trabalho realizado. Após a análise das respostas dos alunos, pode-se afirmar que o trabalho foi gratificante não apenas para eles, mas também para a professora, uma vez que esta foi a primeira experiência em que trabalhou com esta metodologia em uma turma de alunos.

77 77 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Por meio da realização desta pesquisa, que teve como foco a exploração dos conceitos e propriedades de sequências numéricas por meio da metodologia de investigação matemática, percebeu-se que as atividades propostas durante os encontros, propiciaram aos alunos um espaço de discussões, de manifestações de entendimentos e de criatividade, em um ambiente de interação entre os elementos dos grupos, entre os grupos e com a professora. Sobre o conteúdo de sequências numéricas encontrado nos livros didáticos, especialmente os analisados neste trabalho, é importante destacar que a forma como é apresentado dificulta a sua compreensão. A preocupação central dos autores é o desenvolvimento do conteúdo organizado em forma de definição e propriedade, seguindo com a demonstração dos principais resultados, feita de forma abstrata e formal. Para quebrar este formalismo, pouco é sugerido ao professor sobre como fazê-lo, isto é, não são descritas as possibilidades que o professor tem para trabalhar este conteúdo. Ao longo do desenvolvimento da pesquisa foi possível verificar, nas três unidades desenvolvidas, que os alunos apresentaram dificuldades, especialmente relacionadas com a noção de limite e com o uso do formalismo matemático. Também, no início do trabalho, alguns alunos rejeitaram a forma de trabalho, pois esta exigia que tivessem que pensar e raciocinar constantemente para encontrar a solução. Isto está de acordo com o que afirma Nunes (2001), pois deste modo tanto os alunos como a pesquisadora, tiveram que mudar sua postura em sala. Em nossa prática tradicional, os conceitos são trabalhados geralmente na seguinte ordem: definições, exemplos, propriedades, teoremas, exercícios de aplicação. Na experiência que realizamos essa ordem foi totalmente invertida: as definições (institucionalizações) só eram apresentadas no final do trabalho. (p.96) A metodologia de trabalho usada na sala de aula quebrou totalmente a passividade dos alunos e isto fez com que muitos reagissem de forma contrária. Esta também foi uma dificuldade inicial que a professora teve que superar. No entanto, embora tenha havido uma rejeição inicial ao trabalho proposto, ao analisar as respostas dos alunos do questionário percebeu-se que esta foi uma experiência positiva.

78 78 Acreditamos que o processo de ensino-aprendizagem de Matemática foi favorecido pelo trabalho em grupo, pois, ao buscarem as soluções almejadas para as atividades, os alunos interagiram entre si e com a pesquisadora, buscando sempre interpretar e compreender as situações descritas nos enunciados e,além disso, tiveram que relacionar conteúdos que já haviam visto anteriormente para encontrar as soluções. Isto está de acordo com Paraná (2003): [...] aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. (p. 58) Sobre o trabalho de sala de aula com o uso da Investigação Matemática concordase com Gomes (2007): Trabalhar na perspectiva da investigação matemática é evidenciar um processo no qual se possa identificar as diferentes formas de interações sociais e relações que se estabelecem entre os tipos de conhecimento matemático presentes nas argumentações, nas discussões e nos registros dos pequenos grupos e/ou no coletivo da sala de aula.(gomes, 2007, p 91) Além disso, uma análise cuidadosa da pesquisa realizada neste estudo revela também algumas outras potencialidades didático-pedagógicas que a experiência proporcionou, tais como: a oportunidade que os alunos tiveram para refletirem a respeito dos raciocínios implícitos na descrição de suas estratégias de resolução das tarefas, além de argumentarem para defenderem esses raciocínios;o trabalho em grupo proporcionou momentos de interação e interlocuções entre os alunos nos grupos e também entre os alunos e a professora-pesquisadora; a oportunidade de expressarem-se de forma oral possibilitou aos alunos se expressarem e comunicarem suas ideias e conjecturas para os outros alunos a respeito dos conceitos e propriedades de sequências numéricas. No entanto, esta pesquisa também teve algumas limitações como:pouco conhecimento dos alunos referente aos conceitos de sucessões numéricas, especialmente em relação a noção de limite de sequência e de suas propriedades; pouca habilidade de manipulação da simbologia matemática relacionada com os conceitos e cálculo do limite de sucessões; dificuldade de trabalhar os conceitos e de interpretá-los geometricamente; o

79 79 pouco número de aulas disponibilizadas para o desenvolvimento da pesquisa; a pouca assiduidade dos alunos nos encontros, pois dos vinte e oito alunos matriculados na disciplina apenas doze compareceram em todos os encontros; além da pouca experiência em sala de aula da professora-pesquisadora; Apesar das limitações, a forma de trabalho proposto possibilitou o desenvolvimento de algumas habilidades e capacidades dos alunos, tais como: capacidade de argumentações sobre as suas explorações, justificativas e sobre as suas conjecturas; ouvir as opiniões dos outros; capacidade de investigar, pois eles passaram a formular de maneira mais autônoma suas conjecturas, validando-as, criando assim, uma cultura diferenciada em sala de aula. Desta maneira, defendemos que experiências de trabalho de sala de aula com o uso desta metodologia devem ser incentivadas. Essa experiência nos possibilitou a compreensão sobre a importância do uso de uma metodologia diferenciada para o estudo de conteúdos que,em geral, são considerados difíceis por parte dos alunos, como é o caso de sequências numéricas. Assim, entendemos que a metodologia de investigação matemática pode ser uma alternativa metodológica que os professores, dos diferentes níveis de ensino, podem utilizar para ensinar Matemática.

80 80 REFERÊNCIAS ÁVILA, G. S. de S. Análise matemática para licenciatura. 3 ed. São Paulo: Blucher, BARRETO, B. F.; BARRETO, C. X. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, Volume único. BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; BURIOL, C.; Atividades de investigação como alternativa metodológica para o ensino de matemática. In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Org.). Educação Matemática no Ensino Superior: Pesquisa e debates. Recife: SBEM, p BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; CURY, H. N..Conhecimentos de professores da Educação Básica sobre o conceito de função. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, Salvador: SBEM, BUENO, S. Minidicionário da língua portuguesa. São Paulo: FTD, BRASIL.Ministério da Educação. Secretária de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - Ciências Humanas e suas Tecnologias. Brasília/D.F, 2002a.. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, Brasília/D.F, 1998a.. Ministério da Educação e do Desporto. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Brasília/D.F, 1998b.. Ministério da Educação e do Desporto. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília/D.F, 1998c.. Ministério da Educação. Secretária de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília/D.F, 1998d.. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica. Brasília/D.F, 2002b. BRAUMANN, C. Divagações sobre Investigação Matemática e o seu papel na aprendizagem da Matemática. ENCONTRO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11, 2002, Coimbra. Anais. Disponível em: < Acesso em 20 mai CASTRO, J. F. Um estudo sobre a própria prática em um contexto de aulas de investigativas de Matemática Dissertação (Mestrado Educação Matemática) Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, 2004.

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84 APÊNDICES 84

85 85 APÊNDICE A UNIDADE DE ENSINO I Unidade de Ensino I: Reconhecendo sequências e descobrindo conceitos. Objetivos - compreender o conceito de sequência; - identificar regularidades e compreender a noção de termo geral de uma sequência numérica; - desenvolver a capacidade de trabalhar com vários tipos de representações; - traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos; Atividades As situações a seguir podem ser construídas utilizando-se palitos de fósforo. 1) Defina matematicamente essas construções e elabore um relatório, com o seu grupo de trabalho, no qual constem os passos de cada uma das investigações. Não esqueça, é a quantidade de palitos que importa!!! 2 a) b) 2 Atividade baseada em: PEREIRA, M.; SARAIVA, M. J. Tarefas de investigação sobre sucessões. In: Seminário Luso-Brasileiro: Investigações matemáticas no currículo e na formação de professores. Lisboa, Disponível em: < Acesso em: 11, set., 2011.

86 86 c) d) Uma sequência pode ter um número finito de termos? Argumente. 2) Tente encontrar uma expressão para representar: a) Os números naturais; b) Os números pares; c) Os números ímpares; d) Os múltiplos de três; e) 1,,,,, f) 2,0,2,0,2, g) 2,,,,, ) Represente graficamente as sucessões (a), (e), (f) e (g). Que considerações podem ser feitas com relação a elas? 4) Que conjuntos de números estão representados no eixo do x e do y? Fazendo uma analogia à definição de função, como vocês definem uma sequência? 5) Considere as sequências: a) 5,10,15,20,25,... b) 1,1,2,2,3,3,... c) 1,0,1,0,1,... d) 4,4,4,4, e),,,, Comparando os termos de cada uma das sequências anteriores, isto é, 1º termo com o 2º termo; o 2º termo com o 3º termo e assim por diante, o que se pode concluir em relação a cada sequência? 6) A sequência cujo termo geral é: a n 3 n 5 é decrescente ou crescente? Prove.

87 87 ATIVIDADES COMPLEMENTARES sua resposta. 1) Verifique dentre os seguintes exemplos, quais representam sequências. Justifique c) f: d) n f ( n) 2n 5 3,0, 3,0, 3,0, 3,... e) 1,3,5,7,9 2) De quantas maneiras podemos dividir um polígono de n lados em triângulos?