ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS (2011) 1

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1 ATIVIDADES INVESTIGATIVAS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS CONCEITOS E PROPRIEDADES DE SUCESSÕES NUMÉRICAS (2011) 1 SARAIVA, Lucilene 2 ; BISOGNIN, Vanilde 3 1 Trabalho de Pesquisa _UNIFRA 2 Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil 3 Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil luc.saraiva@hotmail.com ; vanilde@unifra.br RESUMO Este trabalho descreve o resultado parcial de uma pesquisa, que faz parte de um projeto de dissertação de um curso de formação continuada de professores, cujo foco central é a metodologia da investigação matemática, para o estudo dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas. A pesquisa está sendo desenvolvida com alunos de um curso de Licenciatura em Matemática, de uma universidade da região oeste do Paraná. O objetivo é analisar as contribuições que a metodologia de investigação matemática pode oferecer para a compreensão dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas. Com os resultados desta pesquisa espera-se oferecer subsídios aos professores para que possam levar às salas de aula o trabalho com a metodologia de investigação. Palavras-chave: Investigação Matemática; Sucessões Numéricas; Ensino e Aprendizagem de Matemática; Formação de professores. 1. INTRODUÇÃO Os documentos oficiais que regem a educação no Brasil, Parâmetros Curriculares Nacionais e Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e Ensino Médio, enfatizam que o aprendizado deve acontecer com a interação entre professor e alunos e também com a interação entre alunos e alunos, levando-os a desenvolverem sua criatividade, espírito investigativo, entre outros. Porém, para que estas habilidades sejam desenvolvidas o professor precisa estar preparado para trabalhar com metodologias e materiais que estimulem o surgimento de tais competências e habilidades. Nos cursos de formação para professores de Matemática as disciplinas da área pedagógicas são vistas separadas das disciplinas especificas (cálculo, álgebra, geometria, 1

2 entre outras) sem que haja ligação (relação) entre as disciplinas. Assim, o aluno, futuro professor, conhece teoricamente várias metodologias e materiais para auxiliar sua prática profissional, porém não tem contato prático com estes métodos durante a graduação. O resultado disso é que os alunos, futuros professores, ao iniciarem a carreira do magistério, não possuem as competências e as habilidades mínimas para desempenharem bem sua função. Assim, é importante que durante a sua formação os alunos possam vivenciar experiências de ensino com a utilização de diferentes metodologias, no sentido de preparálos para o exercício do magistério. Considera-se fundamental que os alunos, durante sua formação inicial, além do conhecimento teórico sobre as diferentes metodologias de ensino possam vivenciar experiências de sala de aula com o uso destas. Neste sentido, concordase com Tardif (2002, p.23) quando afirma: Até agora, a formação para o magistério esteve dominada, sobretudo pelos conhecimentos disciplinares, conhecimentos esses produzidos geralmente numa redoma de vidro, sem nenhuma conexão com a ação profissional, devendo, em seguida, serem aplicados na prática por meio de estágios ou de outras atividades do gênero. Deste modo acreditamos que é fundamental repensar a formação para o magistério de modo a superar as práticas que levam em consideração apenas a memorização de fórmulas e regras para o ensino e aprendizagem dos conteúdos. Assim, nos cursos de formação de professores para a educação básica é necessário superar a ideia de que basta realizar pesquisas isoladas sem levar em consideração o contexto das escolas e depois aplicá-las aos professores da educação básica. Para que a melhoria do ensino aconteça é importante que, durante a sua formação, os alunos possam vivenciar experiências de ensino com a utilização de diferentes metodologias, no sentido de prepará-los para o exercício do magistério. Assim, este trabalho tem como objetivo analisar as contribuições que a metodologia da investigação matemática proporciona na descoberta e aprendizagem dos conceitos e propriedades de sucessões numéricas em uma turma do quarto ano de Licenciatura em Matemática de uma universidade da região oeste do Paraná. 2. FUNDAEMNTAÇÃO TEÓRICA 2

3 O ensino e aprendizagem por meio da investigação matemática proporciona aos alunos um envolvimento amplo e complexo de pensamento, permite que se explore um conjunto de possibilidades de soluções para determinada situação, além de proporcionar a interação entre professor e alunos. Na verdade, na sua essência investigar consiste em procurar compreender algo de modo aprofundado, tentar encontrar soluções adequadas para os problemas com que nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos, que deve permear todo o trabalho da escola, tanto dos alunos como dos professores (PONTE, 2010, p. 15). A realização de uma atividade envolvendo investigação matemática segundo Ponte, Brocado e Oliveira (2009, p. 20), estrutura-se em quatro momentos principais. O primeiro abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E finalmente, o último diz respeito a argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado. Esses momentos surgem, muitas vezes, em simultâneo: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste, etc. Estes momentos não são estanques, mas podem acontecer de forma simultânea. A investigação matemática está centrada no trabalho coletivo que valoriza a participação ativa dos alunos de forma a torná-los co-responsáveis pelo trabalho em sala de aula. Dessa forma o professor deixa de ser o único detentor de conhecimento apresentando os conhecimentos como verdades absolutas, assim os alunos passam a construir o conhecimento internalizando-os podendo fazer ligações com outros conhecimentos (conteúdos). Segundo Frota (2006, p.6),... a sala de aula passa a ser pensada como formada de pequenas salas, os grupos de alunos, que podem apresentar diferentes níveis de desempenho e/ou conhecimentos matemáticos como uma multi-sala. Durante o processo de investigação, o professor possui um papel fundamental para o bom desenvolvimento das atividades desafiando, avaliando o progresso e apoiando o trabalho dos seus alunos. 3

4 Integrar e implementar investigações matemática no currículo da disciplina requer por parte do professor, a criação e a adaptação de tarefas que proporcionem ao aluno o desenvolvimento de capacidades/aptidões de valores/atitudes, bem como a aquisição de técnicas e conhecimentos imprescindíveis a sua formação. Essa tarefa não é fácil para o professor, pois, requer o reequacionamento das suas próprias concepções sobre o assunto que ensina e sobre o próprio currículo (PEREIRA, 2004, p.2). Sendo assim percebe-se que há uma alteração substancial em sala de aula tanto do papel do professor como do aluno. Segundo Bisognin, Bisognin e Buriol (2009, p.191), esta metodologia exige do professor... uma capacidade de interagir em situações improvisadas nas quais ele deixa de ter o controle dos métodos e processos que os alunos utilizam, ou seja, não tem um caminho pré-determinado; em consequência, professor e alunos se transformam, interagindo entre si. Com base nestas considerações percebe-se que uma atividade de caráter investigativo apresenta um contexto desafiador para o professor e por este motivo é de extrema importância que este esteja preparado para lidar com as situações que podem surgir no desenvolvimento do trabalho. 3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Este trabalho, de caráter qualitativo, é uma pesquisa de campo que tem como objeto principal interpretar o fenômeno que será observado. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 71),... esta é uma modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste, entre outros. A coleta de dados está sendo realizada com a utilização de um questionário, observação participante e diário de campo do pesquisador, bem como a análise da produção dos alunos ao realizarem as atividades. 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 4

5 Uma das dificuldades dos alunos em compreender os conceitos relacionados com sucessões numéricas pode estar relacionada ao modo como os livros didáticos apresentam este conteúdo. Nos livros de Cálculo, como os utilizados pelo curso de matemática da maioria das universidades o conteúdo de sucessões numéricas é apresentado por meio de uma sequência lógica, encadeada, formada por definições seguidas de demonstrações de teoremas e de uma listagem de exercícios de fixação. Uma forma de quebrar esta sequência lógica é por meio da utilização de uma metodologia que permite que o aluno passe de uma atitude passiva para ativa. Os resultados parciais do trabalho até aqui realizado nos permite afirmar que trabalhar os conceitos e propriedades das sucessões numéricas através da metodologia de investigação matemática favoreceu a aprendizagem desse conteúdo. Para o alcance desses resultados organizou-se o trabalho de sala de aula por meio de unidades de ensino. Descrevem-se neste trabalho alguns resultados obtidos na aplicação da primeira unidade que teve como objetivo a construção do conceito de sucessão numérica. A aplicação da pesquisa teve início com a utilização dos materiais manipuláveis e a sistematização dos conceitos deu-se após a compreensão dos mesmos pelos alunos. São participantes da pesquisa acadêmicos de uma turma de Licenciatura em Matemática, composta por vinte e oito alunos. Para a realização da tarefa a turma foi dividida em grupos de quatro alunos e participaram do trabalho vinte alunos. Cada grupo recebeu a tarefa de modo escrito que foi lida e explicada pela professora antes do inicio do trabalho. Os alunos foram incentivados a trabalhar em conjunto, sendo que o diálogo é muito importante para a construção do conhecimento pretendido. Esta unidade de ensino intitulada reconhecendo sequências e descobrindo conceitos tinha como objetivo a construção do conceito de sequência bem como identificar uma sequência como crescente, decrescente ou constante e generalizar estas classificações. Além disso, pretendia-se que os alunos encontrassem o termo geral de cada uma das situações propostas e as representasse graficamente. As atividades propostas na unidade foram às seguintes: 1) As situações a seguir podem ser construídas utilizando-se palitos de fósforo. Defina matematicamente essas construções e elabore um relatório, com o seu grupo de trabalho, onde constem os passos de cada uma das investigações. 5

6 Não esqueça, é a quantidade de palitos que importa!!! a) b) c) 2) Tente encontrar uma expressão para representar: a) Os números naturais; b) Os números pares; c) Os números impares; d) Os múltiplos de três; e) 1,,,,, f) 2,0,2,0,2, g) 2,,,,, ) Represente graficamente as sucessões (a), (e), (f) e (g). Quais considerações podem ser feitas com relação a eles? 4) Que conjuntos de números estão representados no eixo do x e do y? Fazendo uma analogia à definição de função, como vocês definem um sequência? 5) Considere as sequências: a) 5,10,15,20,25,... b) 1,1,2,2,3,3,... c) 1,0,1,0,1,... 6

7 d) 4,4,4,4,4, e),,,,, Comparando os termos de cada uma das sequências anteriores, isto é, 1º termo com o 2º termo; o 2º termo com o 3º termo e assim por diante, o que se pode concluir em relação a cada sequência? 6) A sequência a n 3 n 5 é decrescente ou crescente? Prove. Com relação à atividade quatro os alunos não tiveram dificuldade em concluir que os números representados no eixo x são os números naturais, porém alguns tiveram dúvida com relação aos números representados no eixo y e perguntaram se estavam representados os números racionais ao invés dos números reais. Talvez, esta dúvida tenha surgido devido ao fato de nos exercícios aparecerem apenas termos que levam números naturais em racionais. Então perguntei a todos os alunos: P: No caso do termo geral a 2n 1 Alunos: 1, 3, 5, 7,... n qual a sequência formada? P: A qual conjunto numérico pertence estes números. Alunos: Aos inteiros. P: O termo geral an n 2 Alunos: 1 2, 2 2,... gera que sequência? P: A qual conjunto numérico pertence estes números? Para esta pergunta não houve nenhuma resposta. P: A que conjunto numérico pertence 2? Alunos: Irracionais P: A soma de um número irracional com um número racional gera um número que pertence a que conjunto? Alunos: Irracional P: Logo a que conjunto pertence estes números? Alunos: Ao conjunto dos números irracionais. P: Então qual conjunto numérico pode ser representado no eixo y? A4: O conjunto dos números reais. P: Por quê? 7

8 A4: Porque colocando na fórmula um número natural o resultado pode ser um número que pertence a qualquer subconjunto numérico dos reais. Em seguida iniciou a segunda parte do exercício, em que é solicitada uma analogia a definição de função, para se definir uma sequência. Logo no inicio houve uma grande discussão no grupo três sobre o que seria uma sequência? Um dos alunos fez a seguinte afirmação: A11: 2,4,6,8,... é uma sequência, mas 1,3,8,... não é, pois, no primeiro a razão é 2, mas na segunda não é possível determinar uma razão. A12: Não, uma sequência é uma sequência não precisa ter razão. Os demais integrantes do grupo pareciam não saber com qual colega concordar, pois, tanto A11 quanto A12 estavam com convicção de suas afirmações. Ao ouvir a discussão e anotando toda a discussão aproximei-me do grupo e então perguntaram-me sobre quem estava certo, então fiz o seguinte questionamento. P: Qual a razão entre os números primos? A12: Não tem! P: Qual o termo geral para se encontrar estes números? Alguém o encontrou? A6: Erastóstenes encontrou o crivo. P: Mas o que é o Crivo? A6: É apenas uma forma de encontrá-los. P: Todos concordam? Grupo: Sim P: Agora discutam novamente. Então deixei o grupo para que continuassem a discussão. Este fato foi bastante interessante pois, mostra que os alunos, que já atuam como professores, apresentam dúvidas ou conceitos errados sobre conteúdos que ensinam em sala de aula. Com o uso da metodologia os alunos puderam relembrar e elaborar conceitos novamente, o que não seria possivel em uma aula em que o professor apresenta o conteúdo e os alunos apenas copiam sem precisar pensar sobre o que estão escrevendo. Após concluírem as discussões cada grupo organizou uma definição de Sequência: Grupo 1: 8

9 Grupo 2: Grupo 3: Dos trabalhos dos grupos observa-se que os alunos, embora tenham claro o conceito de sucessão numérica, apresentam dificuldades em relação a formalização matemática deste conceito.a definição de sucessão requer a compreensão do conceito de função e isto requer clareza em relação ao tipo de variável, se contínua ou discreta, e a noção de relação entre as variáveis. 5. CONCLUSÃO Os resultados parciais do desenvolvimento desta pesquisa permitem concluir que a utilização da metodologia de investigação matemática, para a introdução do estudo de sucessões numéricas, proporcionou aos alunos a compreensão deste conteúdo mas que ainda requer, por parte dos alunos, um trabalho profundo em relação a formalização do conceito. Durante o desenvolvimento das atividades investigativas os alunos encontraram diferentes respostas, com diferentes estratégias, e isto contribuiu para a criação de um ambiente de sala de aula motivador com discussões, proposição de conjecturas e justificativas que possibilitaram a aprendizagem. 9

10 Por outro lado, ao serem questionados pela pesquisadora se utilizariam a metodologia em suas aulas, uma aluna afirmou: Aluno C: Sim, pois incentiva o aluno a descobrir o método de resolver os problemas e não é um conhecimento pronto e sim o aluno vai construindo. É possível afirmar que esta pesquisa embora em andamento proporcionou, aos alunos, vivenciarem a aplicação de atividades de caráter investigativo como metodologia de trabalho em sala de aula. Desta forma, os alunos do curso de Licenciatura em Matemática tiveram oportunidade de trabalhar de forma autônoma, articulando e interagindo com suas idéias matemáticas, com os colegas e a professora-pesquisadora que possibilitou a compreensão e a aprendizagem do conteúdo de sucessões numéricas. REFERÊNCIAS BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; BURIOL, C.; Atividades de investigação como alternativa metodológica para o ensino de matemática. In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Org.). Educação Matemática no Ensino Superior: Pesquisa e debates. Recife: SBEM, 2009, p FIORENTINI, D.; LORENZATO, S.; Investigação em Educação Matemática: Percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, FROTA, M. C. R. Investigações na sala de aula de cálculo. 29º Reunião anual da Anped, GT- 19, Caxambu- MG, Disponível em: < Acesso em: 22 nov PEREIRA, M. C. N. As investigações matemáticas no ensino-aprendizagem das sucessões: ma experiência com alunos do 11 ano de escolaridade issertação ( estrado em ensino da Matemática) - Universidade da Beira Interior. Lisboa PONTE, J. P; Explorar e investigar em matemática: Uma actividade no ensino e na aprendizagem. UNIÓN: Revista Iberoamericana de Educación Matemática, n. 21, p , marzo, PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, TARDIF, M. Saberes docentes e formação profissional, 5 ed. Petrópolis, RJ: Vozes,