UMA HEURÍSTICA HÍBRIDA PARA O PROBLEMA DE ESCALONAMENTO DE TAREFAS PERIÓDICO EM MÁQUINAS PARALELAS

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1 UMA HEURÍSTICA HÍBRIDA PARA O PROBLEMA DE ESCALONAMENTO DE TAREFAS PERIÓDICO EM MÁQUINAS PARALELAS VICTOR VIANA E SILVA (UCAM-Campos) horusviana@hotmail.com GABRIELA MOÇO DO ESÍRITO SANTO (UCAM-Campos) gabriela_mes@hotmail.com DALESSANDRO SOARES VIANNA1 (UCAM-Campos) dalessandro@ucam-campos.br HÉLDER GOMES DA COSTA3 (UFF) hgc@latec.uff.br O Problema de Escalonamento de Tarefas em Máquinas Paralelas (PETMP) é um problema de otimização onde um conjunto de tarefas, cada uma com um tempo de processamento próprio, deve ser organizado e executado em um conjunto de máquinas idênticcas de forma que o tempo total de execução seja minimizado. O presente trabalho propõe uma heurística GRASP híbrida para resolver de forma aproximada o Problema de Escalonamento de Tarefas Periódico em Máquinas Paralelas, uma variante do PETMP original, empregando na etapa de busca local a técnica VND, que explora quatro estruturas de vizinhança. A heurística GRASP híbrida proposta é testada para problemas com 100 n 500 tarefas e 4 m 10 máquinas. Palavras-chaves: Problema de Escalonamento de Tarefas em Máquinas Paralelas, GRASP, VND, Heurísticas

2 1. Introdução Com o advento da globalização e dos mercados unificados, as empresas, principalmente as indústrias, têm sido obrigadas a desenvolver novas técnicas de administração da produção com o intuito de encontrar não só a eficiência em suas operações, mas também a eficácia. Dentre esses desenvolvimentos, pode-se citar as técnicas de Just-in-Time e Teoria das Restrições, no que diz respeito à redução de estoques em processo e como conseqüência a redução do dispêndio financeiro para manter esse estoque. Outra técnica de otimização dos recursos da produção vem do campo da Pesquisa Operacional, principalmente da otimização no seqüenciamento das tarefas no ambiente de chão-de-fábrica. O problema de otimização de seqüência das tarefas correspondem a determinar a seqüência na qual as tarefas devem ser executadas com o intuito de otimizar um ou mais objetivos. É uma extensa área de pesquisa que tem merecido grande atenção devido a sua relevância na otimização dos processos produtivos. Os Problemas de Escalonamento de Tarefas (PET), como são conhecidos os problemas de seqüenciamento de tarefas, além de importantes para a indústria no que diz respeito em otimizar os recurso de produção (Homens e Máquinas), são matematicamente desafiadores devido a grande explosão combinatória, muita vezes de ordem exponencial. A resolução de variantes do problema de escalonamento de tarefas (PET) é muito útil para o setor de produção. Diversos problemas deste setor podem ser modelados como variantes do PET. No entanto, tanto o PET como suas variantes são problemas NP-difícil, tornando inviável a resolução por métodos exatos. Neste artigo aborda-se o Problema de Escalonamento de Tarefas Periódico em Máquinas Paralelas, variante do Problema de Escalonamento de Tarefas em Máquinas Paralelas (PETMP) original. De acordo com Mendes et al. (2002), o PETMP pode ser descrito da seguinte forma: um conjunto de n tarefas deve ser organizado em m máquinas paralelas idênticas com o objetivo de minimizar o makespan tempo necessário para que as n tarefas tenham sua execução completada. Cada máquina possui tempos de preparação entre duas tarefas i e j, denominado setup S ij, dependente e assimétrico em relação à seqüência de i e j, isto é, S ij S ji. Na literatura relacionada ao PETMP encontra-se: um modelo de programação linear inteira, proposto por Dearing e Henderson (1984), para a alocação do tear em uma tecelagem; um método heurístico, proposto por Sumicharst e Baker (1987), baseado na solução de uma série de subproblemas de programação inteira 0-1 que melhora dois resultados de Dearing e Henderson (1984); uma heurística busca tabu é proposta por França et al. (1996); Arroyo e Ribeiro (2004) propõem um algoritmo genético para o PETMP com múltiplos objetivos; uma heurística busca tabu, proposta por Mendes et al. (2002), para o PETMP não preemptivo; e Vianna et al.(2006) utilizam uma metaheurística GRASP associada à técnica VND na solução do PETMP na alocação de barcos em píeres (embarque/desembarque) no porto de Imbetiba (Macaé-RJ, Brasil), da Petrobras. O Problema de Escalonamento de Tarefas Periódico em Máquinas Paralelas (PETPMP), abordado neste trabalho, é definido como se segue: um conjunto de n tarefas deve ser disposto em m máquinas não idênticas divididas em tu turnos de trabalho, assumindo-se que estes turnos têm a mesma duração para todas as máquinas. O tempo de setup S ij entre duas tarefas i 2

3 e j é dependente e assimétrico, logo, S ij S ji. Cada tarefa tem um subconjunto de máquinas capazes de atendê-la e um tempo para sua execução completa. O objetivo nesta variante também é minimizar o makespan. O PETPMP é aplicável em escalonamentos que envolvem a divisão das tarefas em diferentes dias, períodos ou turnos de trabalho visando o seu aproveitamento máximo. Esta é a realidade de muitos setores produtivos onde a otimização se faz necessária para reduzir o tempo ocioso ou sub-utilizado durante os turnos de produção, ao mesmo tempo em que é preciso otimizar o tempo total de processamento. O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um algoritmo baseado na metaheurística GRASP, que utiliza em sua etapa de busca local um procedimento VND, para o PETPMP. O restante do trabalho está organizado da seguinte maneira: na Seção 2 é apresentada a heurística GRASP híbrida proposta, que utiliza a técnica VND na etapa de busca local. Os experimentos computacionais são apresentados na Seção 3. Por fim, são apresentadas as conclusões e as referências bibliográficas. 2. Heurística GRASP+VND proposta GRASP- Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (FEO & RESENDE, 1995; RESENDE & RIBEIRO, 2003) é uma heurística de múltiplas partidas, na qual cada iteração consiste de duas fases: construção e busca local. Na fase construtiva cria-se uma solução viável utilizando um algoritmo guloso aleatorizado, cuja vizinhança é explorada até um ótimo local ser encontrado na etapa de busca local. A melhor entre todas as soluções é retornada como resultado. Neste trabalho é proposto um algoritmo GRASP híbrido que utiliza a técnica VND Variable Neighborhood Descent (MLADENOVIC & HANSEN, 1997) na etapa de busca local. O que difere a técnica VND do método de busca local tradicional é que ao invés de utilizar uma única estrutura de vizinhança, várias estruturas de vizinhança são utilizadas. Estas vizinhanças estendidas procuram por soluções aprimorantes que estão mais distantes da solução atual, assim permitindo ao método escapar de ótimos locais com respeito a uma vizinhança menor. A Figura 1 ilustra o pseudocódigo da metaheurística GRASP proposta. Procedimento GRASP(α, N_Iter) α define o grau de aleatoriedade do algoritmo; N_Iter número de iterações GRASP. s melhor solução encontrada. Início 01. Para i de 1 até N_Iter faça 02. s' Construção(α); 03. s VND(s); 04. Se s for a melhor solução até o momento então 05. s s ; 06. Fim-para 07. Retorne s; Fim-GRASP Figura 1 Algoritmo GRASP. 3

4 Na Subseção 2.1 será visto com detalhes o algoritmo de construção proposto. A técnica VND será abordada na Subseção 2.2, bem como as estruturas de vizinhança empregadas. 2.1 Heurística Construtiva A heurística de construção proposta neste trabalho considera, primeiramente, a quantidade de máquinas m que podem executar determinada tarefa, ordenando estas tarefas em uma lista de candidatos LC; as tarefas são classificadas em ordem crescente pelo número de máquinas que as atendem. O propósito desta estratégia é diminuir o tempo total de espera, pois tarefas que possuírem menor número de máquinas associadas deverão ser atendidas em primeiro lugar. Para que o algoritmo GRASP forneça uma solução inicial diferente a cada iteração, em vez de sempre escolher a primeira tarefa de LC, define-se um subconjunto restrito, cujo tamanho é definido pela expressão máximo(1, α*tamanho_lc), denominado lista restrita de candidatos (LRC LC), a qual armazena as tarefas ainda não inseridas na solução inicial parcial; da lista LRC toma-se aleatoriamente uma tarefa por vez para que seja inserida na solução, até que todas as tarefas estejam alocadas. Procedimento Construção(α); α porcentagem sobre as n tarefas restantes a ser feita a aleatoriedade. s solução construída. Início 01. Ordene crescentemente a lista LC de tarefas pela quantidade de máquinas que pode atender cada tarefa; 02. Para i 1 até n faça 03. C y ; 04. tamanho_lrc máximo(1, α*tamanho_lc); 05. x escolha, aleatória, entre as tarefas classificadas em LRC. 06. Para cada máquina j que pode atender a tarefa x faça 07. Para cada turno tu programado na máquina j faça 08. C y custo de inserção da tarefa x na posição y do turno tu da máquina j, ou seja, a posição onde o setup seja mínimo. 09. Se y <melhor_pos então 10. melhor_pos y; 11. melhor_turno tu; 12. melhor_maq j; 13. Fim-se 14. Fim-para 15. Se não há turnos disponíveis então 16. Adicione um novo turno à máquina j menos ocupada. 17. melhor_pos 1; 18. melhor_turno tu; 19. melhor_maq j; 20. Fim-se 21. Fim-para 22. Insira a tarefa x na posição melhor_pos do turno melhor_turno da máquina j da solução s; 4

5 23. Remova x de LRC; 24. Fim-para 25. Retorne s; Fim-Construção Figura 2 Algoritmo Construção. Ao inserir uma tarefa i na máquina, deve-se escolher a melhor posição dentre todas as disponíveis na máquina, em todos os turnos, respeitando-se a sua duração máxima dos turnos. Deve-se igualmente observar onde haverá o menor tempo de setup, bem como evitar o aumento do número de turnos necessários para o atendimento. Quando nenhum dos turnos pré-configurados puder atender a tarefa em questão, será criado um novo turno na máquina em que houver menor número de turnos para que a tarefa seja alocada. Para a inserção de cada tarefa considera-se que a tarefa que ocupava a posição tomada como ótima para uma nova inserção pode ser reacomodada para uma posição à frente, respeitando a duração do turno. A Figura 2 apresenta o algoritmo Construção, que recebe como parâmetro de entrada o grau de aleatoriedade, α, e retorna como saída a solução s construída. Na linha 1, a lista LC com todas as tarefas é ordenada crescentemente segundo o número de máquinas que podem atendê-las. O laço nas linhas 2-21 garante que todas as tarefas i sejam inseridas na solução s. Na linha 5, uma tarefa x é escolhida aleatoriamente de LRC. O laço entre as linhas 6-14 explora as máquinas que podem atender a tarefa, em todas as posições de todos os turnos. A inserção é realizada na linha 22. Na linha 25, a solução s é retornada. 2.2 Busca Local usando VND Procedimento VND (s o,n 1,N 2,N 3,N 4 ) s o uma solução viável para o problema, N 1 estrutura de vizinhança TrocaSimples, N 2 estrutura de vizinhança Reinserção, N 3 estrutura de vizinhança Intercâmbio, N 4 estrutura de vizinhança Realocação. s melhor solução encontrada. Inicio 01. s s o; 02. k 1; 03. Enquanto k 4 faça 04. Aplique uma busca local em s usando a vizinhança N k. Seja s o ótimo local; 05. Se f(s )<f(s) então 06. s s ; 07. k 1; 08. Senão 09. k k+1; 10. Fim-se 11. Fim-Enquanto 5

6 12. Retorne s; Fim-VND. Figura 3 Algoritmo VND. O algoritmo da Figura 3 apresenta o pseudocódigo do algoritmo VND elaborado que utiliza quatro estruturas de vizinhança: TrocaSimples, Reinserção, Intercâmbio e Realocação, que serão exibidos nas Subseções 2.2.1, 2.2.2, e 2.2.4, respectivamente. Estas estruturas fazem busca em vizinhanças valendo-se da estratégia primeiro-aprimorante, com a finalidade de evitar convergências prematuras para um mínimo não-global como também reduzir o tempo computacional (PRAIS & RIBEIRO, 2000; RESENDE, 2003). Este algoritmo recebe como entrada, além das quatro vizinhanças, uma solução viável s o a ser refinada. A primeira estrutura de vizinhança analisada é a N 1 (linha 2). O laço nas linhas 3-11 garante que todas as estruturas de vizinhança serão analisadas. Se após a aplicação de uma busca local na vizinhança N k, a solução encontrada for melhor que a original, a busca reinicia (linha 7) com a vizinhança N 1, do contrário a busca prossegue na próxima vizinhança (linha 9). Na linha 12 a solução s refinada é retornada Vizinhança TrocaSimples Neste procedimento de busca local, a partir de uma solução inicial, considera-se a troca de posições de duas tarefas quaisquer x e y alocadas em uma mesma máquina. Procedimento BL_TrocaSimples(s) s solução viável s solução refinada. Início 01. Terminou false; 02. Enquanto não terminou faça 03. Melhor_troca 0; 04. Para cada turno tu x da máquina i faça 05. Para cada tarefa x do turno tu x faça 06. Para cada turno tu y da mesma máquina de x faça 07. Para cada tarefa y (y x) to turno tu y faça 08. c alteração de custo na troca de posições das tarefas x e y. 09. Se c<0 então 10. Melhor_troca c; 11. Realize a troca das tarefas x e y; 12. Avalie a solução s após a troca; 13. Fim-se 14. Fim-para 15. Fim-para 16. Fim-para 17. Fim-para 18. Se Melhor_troca = 0 então 19. Terminou true; 20. Fim-se 21. Fim-enquanto 6

7 22. Retorne s; Fim-BL_TrocaSimples. Figura 4 Algoritmo BL_TrocaSimples A Figura 4 apresenta o pseudocódigo do procedimento de busca local BL_TrocaSimples analisando esta vizinhança, que recebe como parâmetro de entrada a solução s a ser refinada. O laço nas linhas 2-21 faz com que a busca continue enquanto houver um vizinho melhor que a solução corrente s. Os laços internos permitem encontrar as trocas aprimorantes entre todas as tarefas x e y de quaisquer turnos tu x e tu y de uma mesma máquina. O custo c é definido como a diferença entre os tempos de setup originais e os tempos de setup calculados se houvesse a troca, realizando-a sempre que for possível (linha 10). No entanto, considera-se como uma redução no custo c a redução imediata do tempo total de operação da maquina i nos algoritmos BL_TrocaSimples e BL_Reinserção (a ser apresentada na Subseção 2.2.2), ou da função objetivo makespan nos algoritmos BL_Intercâmbio (a ser apresentada na Subseção 2.2.3) e BL_Realocação (a ser apresentada na Subseção 2.2.4), ainda que a troca analisada não conduza propriamente a uma redução do setup na vizinhança de x e de y. Se a troca proporciona melhora na solução corrente, esta troca é realizada na linha 11. Caso contrário, o procedimento é encerrado. A solução s é retornada na linha Vizinhança Reinserção Neste procedimento de busca local, a partir de uma solução inicial, considera-se a retirada de uma tarefa x de sua posição original e sua inserção em uma nova posição p da mesma máquina. Procedimento BL_Reinserção(s) s solução viável. s solução refinada. Início 01. Terminou false; 02. Enquanto não terminou faça 03. Melhor_reinserção 0; 04. Para cada turno tu x da máquina i faça 05. Para cada tarefa x do turno tu x faça 06. Para cada turno tu y (tu y tu x ) da mesma máquina de x faça 07. Para cada posição p do turno tu y faça c alteração de custo na reinserção da tarefa x na melhor posição p do turno tu y. 08. Se c<0 então 09. Melhor_reinserção c; 10. Remova a tarefa x de sua posição original e reinsira na posição p do turno tu y da máquina i; 11. Avalie a solução s após a troca; 12. Fim-se 13. Fim-para 14. Fim-para 7

8 15. Fim-para 16. Fim-para 17. Se Melhor_reinserção = 0 então 18. Terminou true; 19. Fim-se 20. Fim-enquanto 21. Retorne s; Fim-BL_Reinserção. Figura 5 Algoritmo BL_Reinserção. A Figura 5 apresenta o pseudocódigo do procedimento de busca local BL_Reinserção utilizando esta vizinhança, que recebe como parâmetro de entrada a solução s a ser refinada. O laço nas linhas 2-20 garante que a busca continuará enquanto houver um vizinho melhor que a solução corrente s. Os laços internos procuram a melhor troca de uma tarefa x para uma posição diferente da original, em um turno diferente da mesma máquina. Caso a melhor troca leve a uma melhora na solução corrente, esta troca é realizada na linha 10. Do contrário, o procedimento é encerrado. A solução s refinada é retornada na linha Vizinhança Intercâmbio Neste procedimento de busca local, a partir de uma solução inicial, considera-se a troca de duas tarefas x e y alocadas em máquinas diferentes. Procedimento BL_Intercâmbio(s) s solução viável. s solução refinada. Início 01. Terminou false; 02. Enquanto não terminou faça 03. Melhor_troca 0; 04. Para cada tarefa x faça 05. Para cada tarefa y de turno tu y de outra máquina maq y que atenda a tarefa x faça 06. c alteração de custo na troca de posições das tarefas x e y entre seus respectivos turnos tu x e tu y e máquinas maq x e maq y. 07. Se c<0 então 08. Melhor_troca c; 09. Realize a troca das tarefas x e y entre seus respectivos turnos tu x e tu y das máquinas maq x e maq y. 10. Avalie a solução após a troca; 11. Fim-se 12. Fim-para 13. Fim-para 14. Se Melhor_troca = 0 então 15. Terminou true; 16. Fim-se 8

9 17. Fim-enquanto 18. Retorne s; Fim-BL_Intercâmbio. Figura 6 Algoritmo BL_Intercâmbio. A Figura 6 apresenta pseudocódigo do procedimento de busca local BL_Intercâmbio utilizando esta vizinhança, que recebe como parâmetro de entrada a solução s a ser refinada. O laço nas linhas 2-17 garante que a busca continuará enquanto existir um vizinho melhor que a solução corrente s. O laço nas linhas 4-13 procura a melhor troca entre tarefas de máquinas diferentes que pode ser realizada. Se esta troca levar a uma melhora na solução corrente, esta troca é realizada na linha 9. Caso contrário o procedimento é encerrado. A solução s refinada é retornada na linha Vizinhança Realocação Neste procedimento de busca local, a partir de uma solução inicial, considera-se a migração de uma tarefa x da máquina onde estava alocada para outra máquina capaz de atendê-la. A Figura 7 apresenta o pseudocódigo do procedimento de busca local BL_Realocação usando esta vizinhança, que recebe como parâmetro a solução s a ser refinada. O laço nas linhas 2-17 garante que a busca prosseguirá enquanto houver um vizinho melhor que a solução corrente s. O laço nas linhas 4-13 procura a melhor realocação para tarefas de máquinas diferentes. Se a melhor troca levar a uma solução melhor que a solução corrente, esta troca é realizada na linha 9. A solução s refinada é retornada na linha 18. Procedimento BL_Realocação(s) s solução viável. s solução refinada. Início 01. Terminou false; 02. Enquanto não terminou faça 03. Melhor_troca 0; 04. Para cada tarefa x faça 05. Para cada tarefa y de turno tu y de outra máquina maq y que atenda a tarefa x faça 06. c alteração de custo na realocação da tarefa x na posição pos y no turno tu y da máquina maq y ; 07. Se c<0 então 08. Melhor_troca c; 09. Remova a tarefa x de sua posição original e reinsira na posição pos y do turno tu y da máquina maq y ; 10. Avalie a solução s após a troca; 11. Fim-se 12. Fim-para 13. Fim-para 14. Se Melhor_troca = 0 então 15. Terminou true; 9

10 16. Fim-se 17. Fim-enquanto 18. Retorne s; Fim-BL_Realocação. 3. Resultados computacionais Figura 7 Algoritmo BL_Realocação. Todos os experimentos computacionais deste trabalho foram realizados em um microcomputador equipado com processador AMD Sempron e 1GB de memória RAM sob a plataforma Windows XP. Os algoritmos propostos foram implementados utilizando a linguagem de programação Object Pascal e compilados no ambiente Borland Delphi 7.0 Professional Edition. Os problemas testes utilizados nos experimentos serão apresentados na Subsecção 3.1. Na Subsecção 3.2 serão mostrados os resultados dos experimentos realizados. 3.1 Problemas testes Para avaliar a eficiência do algoritmo GRASP+VND proposta foram criados, neste trabalho, problemas testes gerados por um algoritmo desenvolvido para este fim; o número de tarefas n varia de 100 n 500, com tempo de execução t n tomado aleatoriamente entre 1,00 hora e 2,00 horas e o número total de máquinas entre 4 m 10. O tempo de setup entre cada par de tarefas (i,j) foi definido, aleatoriamente, no intervalo de 0 S ij 1,00 hora. A duração máxima dos turnos é de 8,00 horas. A Tabela 1 mostra o número de tarefas e máquinas para cada um dos 20 problemas testes gerados para este trabalho. Problema Teste Número de Tarefas (n) Número de máquinas (m) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Tabela 1 Problemas Testes. 10

11 3.2. Experimentos realizados No intuito de avaliar o emprego da heurística GRASP associado à técnica VND na resolução do PETPMP implementou-se cinco algoritmos GRASP que empregam o algoritmo Construção (Figura 2) na fase construtiva e diferenciam-se nas estratégias de busca local. Os cinco algoritmos GRASP implementados são: GRASP+TS, que utiliza o procedimento BL_TrocaSimples (Figura 4) na etapa de busca local; GRASP+ReIn, que utiliza o procedimento BL_Reinserção (Figura 5) na etapa de busca local; GRASP+Inter, que utiliza o procedimento BL_Intercâmbio (Figura 6) na etapa de busca local; GRASP+ReLo, que utiliza o procedimento BL_Realocação (Figura 7) na etapa de busca local; GRASP+VND, que utiliza o procedimento VND (Figura 3) na etapa de busca local; Os algoritmos foram executados em N_Iter=100 iterações para cada problema descrito na Tabela 1. O percentual α foi fixado em 20%. Este procedimento foi repetido cinco vezes, sendo os valores de makespan e tempo de processamento a média dos valores tomados das cinco soluções obtidas. O cálculo do makespan é obtido assumindo que todos os turnos, exceto o último, são contados em seu tempo integral, incluindo o tempo não trabalhado. Neste trabalho abordam-se turnos com duração de 8,00 horas. A Tabela 2 apresenta os valores obtidos de tempo (T) em segundos e o makespan (MAK) em horas para cada problema teste por cada algoritmo GRASP implementado. Em negrito estão destacados os melhores valores médios de makespan obtidos. Problema GRASP+TS GRASP+ReIn GRASP+Inter GRASP+ReLo GRASP+VND teste MAK T MAK T MAK T MAK T MAK T I ,65 0,84 45,48 1,01 45,72 1,10 43,02 2,25 41,80 2,35 I ,09 0,82 30,92 0,84 30,30 1,26 27,93 3,09 27,42 2,88 I ,93 0,82 23,15 0,82 22,86 1,21 21,29 2,72 21,07 2,73 I ,81 0,83 22,20 0,83 21,36 1,32 17,96 2,44 17,68 2,86 I ,22 6,12 86,45 13,09 89,17 8,53 83,96 27,87 82,66 21,29 I ,53 5,96 60,02 7,59 61,61 9,33 54,93 30,39 54,20 23,19 I ,08 5,93 46,84 6,34 45,99 10,53 41,53 37,70 40,70 28,87 I ,21 5,91 38,95 5,93 38,27 11,24 33,85 39,38 33,55 31,67 I ,09 18,64 124,59 57,21 133,30 33,81 123,14 154,80 120,99 77,89 I ,43 18,46 88,01 33,32 91,06 34,48 83,81 163,28 83,00 101,25 I ,46 17,87 68,26 23,86 69,17 35,19 61,50 173,65 60,92 122,07 I ,24 17,68 54,94 20,65 54,42 36,31 49,87 175,33 49,68 119,60 I ,18 35,84 162,01 129,26 173,56 74,08 162,07 422,35 158,09 161,50 I ,45 35,42 111,70 81,56 117,71 75,88 108,06 441,12 106,87 199,42 I ,10 34,67 86,86 59,51 86,31 89,54 81,58 577,59 81,13 255,70 I ,10 34,21 70,98 46,01 70,35 91,35 65,47 571,59 65,27 318,47 I ,95 57,94 203,63 259,70 219,66 113,91 206,16 722,70 199,55 281,03 I ,77 56,62 138,82 156,26 143,80 141,12 135,31 961,79 132,64 364,88 I ,87 55,64 110,25 110,39 110,40 154,42 102, ,14 101,13 460,21 I ,32 55,49 87,07 87,22 86,79 151,96 82, ,84 81,74 570,36 11

12 85,32 23,29 83,06 55,07 85,59 53,83 79,30 336,00 78,00 157,41 Tabela 2 Resultados dos experimentos realizados para N_Iter=100. Problema teste GRASP+TS GRASP+ReIn GRASP+Inter GRASP+ReLo GRASP+VND MAK MAK MAK MAK MAK I ,52 45,02 45,67 43,20 41,80 I ,16 30,56 30,15 27,93 27,42 I ,79 23,08 22,78 21,23 21,07 I ,49 22,16 21,28 17,99 17,68 I ,89 86,40 87,86 84,03 82,66 I ,44 59,77 61,62 55,00 54,20 I ,88 46,48 45,91 41,63 40,70 I ,11 38,81 37,97 33,85 33,55 I ,73 124,00 133,02 123,72 120,99 I ,10 87,03 89,84 84,13 83,00 I ,16 67,06 69,00 61,47 60,92 I ,11 54,86 54,22 49,93 49,68 I ,98 162,37 173,47 162,38 158,09 I ,32 110,76 117,70 108,59 106,87 I ,00 86,77 86,37 81,71 81,13 I ,97 70,81 70,20 65,74 65,27 I ,60 203,81 218,74 206,54 199,55 I ,49 138,91 142,82 136,18 132,64 I ,72 108,59 110,19 102,77 101,13 I ,18 86,98 86,66 82,37 81,74 85,03 82,71 85,27 79,52 78,00 Tabela 3 Resultados dos testes realizados em tempos iguais. Os resultados apresentados na Tabela 2 demonstram que o algoritmo GRASP+VND supera os demais em todos os problemas testes. Isto mostra a eficiência da técnica VND aplicada ao PETPMP na convergência para ótimos locais em relação a todas as vizinhanças analisadas. Em relação aos tempos computacionais o algoritmo GRASP+VND exige 34% a mais que o tempo médio das algoritmos convencionais; no entanto é duas vezes mais rápido na convergência às melhores soluções que o algoritmo GRASP+ReLo, que exige maior tempo entre todos. Como o tempo computacional do algoritmo GRASP+VND é em geral superior ao comportamento médio dos outros algoritmos, uma segunda bateria de testes foi executada para avaliar como estes se comportariam caso consumissem o mesmo tempo que o algoritmo GRASP+VND. Assim a condição de parada para os algoritmos é o tempo T gasto pelo algoritmo GRASP+VND. As soluções obtidas estão dispostas na Tabela 3. Nestas condições, o algoritmo GRASP+VND mantém a superioridade observada em relação aos algoritmos GRASP usuais, obtendo os melhores resultados de makespan em todos os problemas teste. 4. Conclusão O Problema de Escalonamento Periódico em Máquinas Paralelas (PETPMP), além das restrições do PETMP, abordam restrições de periodicidade e heterogeneidade de máquinas. Isto torna o problema abordado bastante difícil de ser resolvido por métodos exatos, o que 12

13 justifica a necessidade do estudo de algoritmos eficientes para sua resolução. Neste trabalho apresenta-se um algoritmo híbrido GRASP associado à técnica VND na investigação de soluções para o PETPMP e avalia-se o seu desempenho quando comparado à investigação de uma única estrutura de vizinhança. Na sua avaliação, diferentes problemas testes foram propostos para comparar o comportamento dos algoritmos desenvolvidos. Os resultados alcançados com o algoritmo híbrido GRASP+VND proposto superam em todos os problemas testes os algoritmos GRASP tradicionais também implementados com relação à qualidade das soluções e dentro de um tempo computacional plausível, o que demonstra a viabilidade das técnicas propostas na resolução do PETPMP. Agradecimentos Este trabalho foi financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ), pelo Parque de Alta Tecnologia do Norte Fluminense (TECNORTE) e pela Fundação Estadual do Norte Fluminense (FENORTE). Referências ARROYO, J. E. C., RIBEIRO, R. L. P. Algoritmo Genético para o Problema de Escalonamento de Tarefas em Máquinas Paralelas com Múltiplos Objetivos. In: XXXVI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, v.1, p. 1-11, DEARING, P. M., HENDERSON, R. A. Assigning looms in a textile weaving operation with changeover limitations. Production and Inventory Management 25, 23-31, FEO, T.A., RESENDE, M.G.C. Greedy Randomized Adaptive Search Procedure. Journal of Global Optimization, v. 6, p , FRANÇA, P. M., GENDREAU, M., LAPORT, G., MULLER, F. A tabu search heuristic for the multiprocessor scheduling problem with sequence dependent setup times. International Journal of Production Economics 43, 79-89, MENDES, A., MÜLLER, F. M., FRANÇA, P. M., MOSCATO, P. Comparing Meta-Heuristic Approaches for Parallel Machine Scheduling Problems. Production Planning & Control 13(2), , MLADENOVIC, N.; HANSEN, P. Variable Neighborhood Search. Computer and Operations Research 24, , PRAIS, M., RIBEIRO, C.C. Reactive GRASP: An Application to a Matrix Decomposition Problem in TDMA Traffic Assignment. INFORMS Journal on Computing 12, , RESENDE, M. G. C., RIBEIRO, C. C. Greedy randomized adaptive search procedures. In F. Glover e G. Kochenberger (eds.), Handbook of metaheuristics. Kluwer, , SUMICHARST, R., BAKER, J. R. Scheduling parallel processors: an integer linear programming based heuristic for minimizing setup time, International Journal of Production Research 25(5), , VIANNA, D. S.; COELHO, S. R. Otimização do Tempo de Espera das Embarcações no Porto de Imbetiba Petrobrás In: XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Goiânia, , VIANNA, D. S., ROBL, S. R. C., RANGEL, J. J. A. An Hybrid GRASP Algorithm for a Class of Job Scheduling Problem in Parallel Machines. Proceedings of VI International Conference on Operational Research for Development, 2007, Fortaleza. 13