MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQÜÊNCIA DE ESTRUTURAS COM CAMADAS VISCOELÁSTICAS

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1 MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQÜÊNCIA DE ESTRUTURAS COM CAMADAS VISCOELÁSTICAS BARBOSA, Fláio de Soua, D.Sc., Pesuisador, PEC-COPPE/UFRJ barbosa@labest.coc.ufrj.br BATTISTA, Ronaldo Caralho, Ph.D., Professor Titular, PEC-COPPE/UFRJ battista@labest.coc.ufrj.br ABSTRACT Among the systems used for attenuating ibrations in structures, those that use iscoelastic materials as a damping core, as for example in the sandwich systems, are focused herein. This work presents briefly a time domain formulation which has been proposed in the literature for numerical modeling of iscoelastic materials. This theoretical formulation and the implemented computational solution method are assessed by means of comparisons between the numerical results obtained from a model of a sandwich beam in bending ibrations and their experimental counterpart, demonstrating the faorable performance of the proposed mathematical-numerical model.

2 1. Introdução Sistemas passios de controle para a atenuação de ibrações em estruturas apresentam grande diersidade de concepções pois resultam de projetos criatios oltados para cada problema específico. Em geral, são mecanicamente robustos e se mostram como alternatias mais eficientes, sob o ponto de ista dinâmico estrutural, do ue as técnicas usuais e conseradoras de enrijecimento da estrutura. Dentre estes sistemas destacam-se aui aueles ue utiliam materiais iscoelásticos como núcleo amortecedor, como por exemplo os sistemas tipo sanduíche. Estes materiais têm propriedades mecânicas dependentes da temperatura e, principalmente, da freüência de ibração, traendo dificuldades adicionais às já complexas formulações teóricas do problema dinâmico no domínio do tempo. O presente trabalho apresenta de uma maneira sucinta uma formulação no domínio do tempo e da freüência proposta na literatura para a modelagem numérica dos materiais iscoelásticos. O método de solução implementado é aaliado por meio de comparações entre resultados numérico-computacionais e experimentais, demonstrando o bom desempenho do modelo matemático-numérico proposto.. Formulação de Materiais Viscoelásticos Utiliando o MEF A representação das propriedades dependentes da freüência de Materiais Viscoelásticos MVE é difícil de ser feita, especialmente no domínio do tempo. O Método de Golla-Hughes GHM [1] apresenta uma solução para este problema atraés de um modelo para módulos complexos no domínio de Laplace. Este método é bastante adeuado a formulações de elementos finitos, pois suas euações de moimento de segunda ordem têm coeficientes constantes e geram matries simétricas. O sistema de euações de moimento resultante da aplicação do MEF no GHM pode ser resolido tanto no domínio do tempo uanto no domínio da freüência. O método consiste na determinação de um sistema dinâmico, expresso no domínio do tempo euialente a um problema enolendo materiais iscoelásticos modelados no domínio de Laplace. Neste sistema euialente as matries de massa, rigide e amortecimento são aumentadas por alguns Graus de Liberdade GL adicionais, chamados de GLs de dissipação. Partindo da euação de moimento no domínio de Laplace para 1 Grau de Liberdade GL: {s M [E hs] }s fs 1 tem-se por objetio determinar sua transformada inersa e expressá-la no domínio do tempo, sendo: M a massa do sistema; a rigide do sistema normaliada com relação ao módulo de elasticidade; fs a excitação, s o GL do sistema e [E hs] o módulo de elasticidade expresso no domínio de Laplace, sendo hs uma função de dissipação escolhida. Adotando para função de dissipação a representação de Biot [1,]de maneira ue: s βs h s s βs δ onde, β e δ são constantes extraídas atraés de dados experimentais relatios ao MVE. 1

3 O GHM demonstra ue a euação de moimento no domínio de Laplace pode ser escrita no domínio do tempo na forma: / / f E M δ β δ!! 3 onde são chamadas de ariáeis de dissipação. De maneira análoga, o GHM determina às euações matriciais de moimento para um elemento finito com n GLs: f C M!! 4 onde: I M M / δ e 5 I C / δ β 6 I R R e E 7 onde: M, C e são, respectiamente, as matries de massa, amortecimento e rigide iscoelásticas do elemento analisado; o etor contendo os GLs físicos do elemento; o etor ue contém os GLs de dissipação; f o etor de forças; M e é a matri de massa do elemento finito, e a matri de rigide elástica do elemento finito normaliada com relação ao módulo de elasticidade; I é uma matri identidade e R R f L f 1/, sendo R f a matri de autoetores de e relatios aos modos de deformação do elemento exclui modos relatios a moimentos de corpo rígido e L f a matri diagonal contendo os autoalores relatios aos modos de deformação. A generaliação para uma malha de elementos finitos baseada no método GHM é imediata. Para tal basta obter as matries elásticas M e e e enolidas no problema em uestão estas matries elásticas podem ser extraídas de textos da literatura [3] e as iscoelásticas M, C e euações 5, 6 e 7, respectiamente. Em seguida, fa-se a montagem clássica dos elementos finitos, gerando as matries globais do sistema: M, e C matries de massa, amortecimento e rigide, respectiamente. Após obtidas as matries globais do sistema, a solução do problema dinâmico no domínio do tempo ou da freüência passa agora pela solução da euação: M f C!! 8

4 3. Aplicação: Viga Sanduíche A comparação dos resultados numéricos com os experimentais na dinâmica estrutural nem sempre é uma tarefa fácil, uer seja pela escasse de artigos ue relatem de maneira completa os resultados dos ensaios, uer seja pela falta de detalhes ue deixem claro uais as reais condições de contorno e ambientes dos ensaios, da instrumentação e das propriedades dos materiais, dentre outros dados releantes. Este exemplo é releante pois tem como principal objetio a comparação dos resultados numéricos obtidos atraés de simulações computacionais com as respostas experimentais obtidas em laboratório de modelos de igas sanduíche [4], o ue enriuece a análise e dá maior confiabilidade aos resultados numéricos. Cabe destacar ue as respostas experimentais usadas para comparações foram tomadas na forma de sinais já filtrados e digitaliados do registro analógico dos sensores, permitindo comparações diretas e facilitando as análises, pois são eliminados erros relatios a procedimentos extras de digitaliação dos sinais. 3.1 Descrição do Problema Trata-se da análise comparatia das respostas dinâmicas numéricas e experimentais de duas igas biapoiadas sujeitas a carga de impacto. A figura 1, mostra uma destas igas ensaiadas. Figura 1: Foto da Viga Sanduíche As igas analisadas estão mostradas na figura e descritas a seguir: - Viga 1 ou Viga Elástica - Viga biapoiada constituída de uma única lâmina de alumínio material elástico - Viga ou Viga Sanduíche - Viga biapoiada sanduíche constituída por duas lâminas de alumínio e uma película de material iscoelástico 3

5 147 mm Seção AA' Rótula Mecânica Rótula Mecânica Viga 1: Seção AA' alumínio 6,35 mm MVE Viga : Seção AA' sanduíche alumínio/mve 3,18 mm 6,35 mm,3 mm 76, mm 76, mm Figura : Detalhamento das Vigas Analisadas [4] As características físicas dos materiais enolidos no problema são: Material Alumínio: Módulo de Elasticidade: 687 Mpa Taxa de Amortecimento: 1,5 % Coeficiente de Poisson:,33 Massa específica: 69 kg/m 3 Material Viscoelástico MVE: Módulo de Elasticidade e Taxa de Amortecimento: Valores dependentes da freüência ue para a função de dissipação adotada er euação e os dados experimentais extraídos da referência [4] obtee-se: 3. Análise Experimental E 3,3 MPa, 7,6 MPa, β 4,7 x 1 7 s -1 e δ 1,6 x 1 9 s -. Coeficiente de Poisson:,5 Massa específica: 795 kg/m 3 Este item apresenta uma síntese dos procedimentos dos ensaios experimentais realiados [4], sem entrar em detalhes não pertinentes ao objetio do presente trabalho. As igas ensaiadas foram instrumentadas com três acelerômetros, conforme mostra a figura 3, sendo ue as respostas apresentadas foram relatias às acelerações erticais do acelerômetro ac. O esuema de auisição dos dados utiliado é apresentado na figura 4. As respostas foram obtidas com acelerômetros resistios e filtradas em 1 H,eliminando as freüências mais altas. 4

6 As estruturas foram excitadas atraés de impactos erticais de um martelo nas superfícies superiores de cada iga, sobre o acelerômetro ac como sugere a figura 4. Nenhum sinal temporal típico da força de excitação foi apresentado na citada referência [4] A temperatura durante os ensaios ficou entre e 5 o C, não implicando desta forma em ariações significatias das características do MVE. O MVE utiliado na estrutura sanduíche da figura 1 foi o VHB Very-High-Bond, fabricado pela empresa 3M do Brasil. 18 mm 54 mm 36 mm 147 mm ac1 ac ac3 ac1 - Acelerômetro 1 ac - Acelerômetro ac3 - Acelerômetro 3 Figura 3: Esuema de Sensoriamento da Viga martelo condicionador/ filtro acelerômetros analisador de espectros Microcomputador condicionador/ filtro Figura 4: Esuema de Auisição de Sinais 3.3 Modelagem Computacional As igas ensaiadas foram modeladas computacionalmente atraés de elementos uadriláteros de estado plano de tensão ue cujas matries iscoelásticas foram deduidas conforme euações 5, 6 e 7 As malhas de elementos finitos usadas nas modelagens computacionais estão ilustradas na figura 5. 5

7 Viga Elástica 147 mm 735 diisões... 6,35 mm 4 diisões Alumínio Viga Sanduíche 147 mm 735 diisões... 3,18 mm diisões,3 mm uma diisão Alumínio VHB 6,35 mm 4 diisões Alumínio Figura 5: Detalhes da Discretiação das Vigas As características gerais das malhas de elementos finitos são: Viga1: Elástica 368 nós, 94 elementos, 7357 GLs Viga: Sanduíche 663 nós, 5145 elementos, GLs O GL ertical escolhido para obserar as respostas coincide obiamente com a posição do acelerômetro ac, assim como o GL associado à direção da força de excitação coincide com a posição e direção dos impactos do martelo er figuras 3 e 4. A modelagem da força de excitação impacto do martelo foi feita atraés da função no tempo descrita na figura 6, isto não ter sido apresentado em [4] o sinal experimental correspondente a esta força. O alor de P max 3 N, bem como o seu tempo de aplicação igual a,1 s, ambos indicados na figura 6, foram calibrados de maneira a aproximar ao máximo a resposta numérica no domínio da freüência da iga 1 iga elástica da sua respectia resposta experimental. Este carregamento foi então mantido na análise numérica da iga iga sanduíche. f orça N P 3 N max,1 s tempo s Figura 6: Descrição da Força de Impacto Aplicada às Vigas 1 e 6

8 3.4 Respostas no Domínio da Freüência As respostas no domínio da freüência obtidas para a iga elástica e a iga sanduíche estão apresentadas nas figuras 7 e 8, respectiamente. 6 5 experimental numérico FRF [mm/s /N] Freüência rad/s Figura 7: Respostas no Domínio da Freüência para a Viga 1 Elástica 6 5 experimental numérico FRF [mm/s /N] Freüência rad/s Figura 8: Respostas no Domínio da Freüência para a Viga Sanduíche 7

9 3.5 Respostas no Domínio do Tempo As respostas no domínio do tempo obtidas para a iga elástica e a iga sanduíche estão apresentadas nas figuras 9 e 1, respectiamente. 6 4 experimental numérico Aceleração mm/s ,1,,3,4,5 Tempo s Figura 9: Respostas no Domínio do tempo para a Viga 1 Elástica 6 4 experimental numérico Aceleração mm/s ,1,,3,4,5 Tempo s Figura 1: Respostas no Domínio do tempo para a Viga Sanduíche 8

10 3.6 Análises dos Resultados Todas as conclusões relatias aos resultados das análises do exemplo da iga sanduíche são muito importantes pois este exemplo põe frente a frente resultados numéricos e experimentais. Ressalta-se a importância de comparar tais resultados, principalmente uando se objetia alidar um tipo de modelagem, como é o caso do GHM. Este exemplo mostrou ue a modelagem da iga elástica fornece uma resposta no domínio da freüências figura 7 semelhantes à obtida experimentalmente. As diferenças podem ser atribuídas aos desios dos parâmetros geométricos e físicos relatios à iga dimensões, massa específica, etc. Um outro fator ue muito contribui para as diferenças numéricas/experimentais encontradas neste exemplo é o aparelho de apoio usado no ensaio. Conforme pode ser obserado nas figuras 1 e, a iga ensaiada é acoplada a um eixo em cada uma das suas extremidades ue fixado em rolamentos fa o papel de apoio rotulado. Estes eixos possuem massa não despreíel, já ue a iga não é muito espessa, o ue redu as freüências naturais da iga, principalmente as mais altas, correspondentes aos modos com maior rotação nas extremidades. Estas peuenas diferenças entre as respostas numéricas/experimentais também se erificam uando se obsera a figura 8. As respostas numéricas e experimentais no domínio do tempo para a iga elástica figura 9 apresentam amplitudes bastante semelhantes, porém um pouco defasadas em irtude das diferenças já obseradas nas respectias respostas em freüência. As defasagens obseradas na figura 9 não se apresentaram tão significatias na figura 1. Isto se dee principalmente ao menor número de oscilações presentes na resposta dinâmica no domínio do tempo da iga sanduíche figura 1 uando comparado ao da iga elástica figura Conclusões Dependendo do grau de precisão reuerido para os resultados, pode-se dier ue houe uma boa concordância entre as respostas dinâmicas obtidas numericamente com as respectias respostas experimentais para o exemplo da iga sanduíche. Isso é um indicatio de ue a modelagem dinâmica de MVE ia GHM é eficiente e fornece bons resultados. A precisão do GHM está diretamente ligada com uma boa representação do módulo de elasticidade, isto é, dee-se ter um conjunto de parâmetros E, β e δ er euação 4 associados de forma precisa ao MVE em uestão. A determinação destes parâmetros é feito atraés de ajustes de curas experimentais []. Comparando as respostas obtidas nas figuras 7, 8, 9 e 1, fica claro o caráter amortecedor dos MVEs, o ue incentia a continuidade dos estudos sobre estruturas amortecidas por materiais iscoelásticos [5]. 6 Agradecimentos Os autores agradecem sinceramente à engenheira Renata Faísca por fornecer os registros digitaliados dos sinais dinâmicos obtidos dos ensaios experimentais realiados durante seu trabalho de mestrado [4] sob a orientação dos Prof. Ney Roitman e Carlos Magluta, dentro uma das linhas de pesuisa lideradas pelo segundo autor deste trabalho. 9

11 5 Referências Bibliográficas: [1] Golla, D. F. and Hughes, P. C.; Dynamics of Viscoelastic Structures - A Time-Domain, Finite Element Formulation ; Journal of Applied Mechanics, ol. 5, pp , [] Barbosa, F. S.; Modelagem Computacional de Estruturas com Camadas Viscoelásticas Amortecedoras ; Tese de Doutorado PEC-COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. [3] Zienkiewic, O. C.; The Finite Element Method ; Jonh Willey & Sons, New York, 1969 [4] Faisca, R. G.; Caracteriação de Materiais Viscoelásticos como Amortecedores Estruturais ; Tese de Mestrado PEC-COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. [5] Battista, R. C. and Pfeil, M. S.; Enhancing the Fatigue Life of Rio-Niterói Bridge s Orthotropic Steel Deck ; Proc. of IABSE 99, pp , Assoc. for Bridge and Structural Engineering, Rio de Janeiro,