Cintia Ayumi Kagueyama. Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado.

Transcrição

1 Cintia Ayumi Kagueyama Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado. Londrina, 2

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado. Trabalho de conclusão de curso submetido à Universidade Estadual de Londrina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista. Londrina, outubro de 2.

3 Cintia Ayumi Kagueyama Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado. Monografia apresentada ao curso de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina, como requisito parcial para a conclusão do curso de Engenharia Eletrica. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic Universidade Estadual de Londrina Prof. Dr. Leonimer Flávio de Melo Universidade Estadual de Londrina Prof. Dr. Ruberlei Gaino Universidade Estadual de Londrina Londrina, 28 de novembro de 2.

4 i Agradecimentos Agradeço a minha família pelo apoio incondicional e exagerado. Ao meu orientador pela cooperação e paciência. Aos professores pelo aprendizado. Aos meus amigos, pelos momentos inestimaveis.

5 ii O homem, porque não tem senão uma vida, não tem possibilidade de verificar a hipótese através de experimentos. Tudo é vivido pela primeira vez e sem preparação. Como se um ator entrasse em cena sem nunca ter ensaiado. Milan Kundera

6 iii KAGUEYAMA, Cintia Ayumi. Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Eletrica) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2. Resumo O controle Proporcional integral e derivativo é a estratégia de controle mais utilizada no mercado (Knospe, 26). O método de ajuste de Ziegler-Nichols é um método heurístico de sintonizar o controlador, e ainda é amplamente aplicado até hoje, em sua forma original, mas comumente em uma forma modificada. Este trabalho propõe estudar o método de ajuste de Ziegler Nichols modificado para controladores PID digitais, e seu desempenho, considerando também o ganho de malha. O algoritmo para se chegar aos parâmetros críticos substitui a etapa experimental, e são analisados os efeitos do método e a inferência da amostragem, no âmbito digital. Palavras-chave: CONTROLADOR PID. SINTONIA. DESEMPENHO. DIGITAL.

7 iv KAGUEYAMA, Cintia Ayumi. Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Eletrica) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2. Abstract The proportional integral and derivative control is the most widely used control strategy in the market (Knospe, 26). The setting method of Ziegler-Nichols is a heuristic method to tune the controller, and is still widely used today in its original form, but often in a modified form. This work proposes to study the method of Ziegler Nichols tuning PID controllers modified to digital, and its performance, considering also the loop gain. The algorithm to reach the critical parameters replaces the experimental stage, and we analyze the effects of the method of sampling and inference in the digital realm. Key words: PID CONTROL. TUNE. PERFORMANCE.DIGITAL.

8 v Conteúdo Lista de Figuras Notações Introdução.... Ajuste do controlador Setpoint (Valor de referência) Perturbação de carga Métodos de ajuste Objetivos e Justificativa Metodologia e disposição dos capítulos: Sistemas discretos Análise do sistema dinâmico Mapeamento entre o plano S e o plano Z: Estabilidade e análise transiente para sistemas discretos... 3 Discretização: Amostragem Sample & Hold Período de amostragem para controladores digitais Controlador PID Estrutura Ação proporcional Ação Integral Ação derivativa Controlador Controle PID digital Alocação dos pólos Método de Ziegler Nichols Modificado Sintonia experimental por Ziegler-Nichols de malha fechada Método de Ziegler Nichols Modificado... 3

9 vi 6.2. Atraso de tempo Cálculo do Ganho e Período Crítico Definição dos parâmetros do controlador: Para sistemas de segunda ordem: Resultados: Para o caso sub-amortecido: Variação de parâmetros Para a planta com fase não mínima: Variação de parâmetros Tempo de amostragem: Conclusões: Referências Apêndices Anexo A Simulação Planta Anexo B Verificação dos parâmetros... 59

10 vii Lista de figuras Figura 2.: Equivalência das raízes com parte real constante.(ogata,995)... 8 Figura 2.2: Equivalência das raízes com parte imaginária constante, do plano S para o plano Z. (OGATA,995)... 9 Figura 2.3: Equivalência das raízes com fator de amortecimento constante, do plano S para o plano Z. (OGATA,995)... Figura 2.4: Resposta transiente do sistema.... Figura 3. :Sistema em tempo Contínuo... 3 Figura 5.: Sistema em tempo discreto Figura 6.: Exemplo de Resposta de um sistema ao ganho crítico Figura 6.2: Sistema controlado por PID... 3 Figura 6.3: Par de pólos conjugados em z= Figura 6.4: Par de pólos conjugados em z= Figura 6.5: projeção de um ponto no círculo de raio Figura 7.: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado Figura 7.2: root-locus do sistema, com ganho Kc=,8 para o pólo em Figura 7.3: Resposta dos controladores (a) Proporcional (b) PD (c)pi Figura 7.4: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com o PID Figura 7.5: Resposta para valores diferentes de K Figura 7.6: Resposta do sistema para ganho K= Figura 7.7: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID Figura 7.8: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado Figura 7.9: root-locus do sistema, com ganho Kc=3,5 para o pólo em Figura 7.: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com PID Figura 7.: Resposta com os controladores (a) Proporcional (b) PD (c) PI Figura 7.2: Resposta do sistema a diferentes valores de ganho K Figura 7.3: Resposta para o ganho K= Figura 7.4: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID

11 viii Figura 7.5: Resposta do sistema para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=,5s Figura 7.6: Resposta do sistema para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=2s Figura 7.7: Resposta do sistema 2 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=,5s Figura 7.8: Resposta do sistema 2 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=2s

12 ix Notações Função com domínio em S Função com domínio em Z Raízes conjugadas de uma equação Valor absoluto de Função de transferência do amostrador de primeira ordem Transformada de Laplace inversa. Transformada Z.

13 Introdução O controlador PID (proporcional integral derivativo) é amplamente usado em processos industriais, pois possui uma estrutura relativamente simples, mas suficiente para o uso em inúmeros processos. Cerca de 98% dos sistemas de controle na indústria de celulose utilizam controladores PI (proporcional e integral) (SILVA et al., 22). A ação proporcional provoca uma reação do sistema proporcional ao erro presente, ou seja, em um controlador, cuja ação de controle é proporcional, a relação entre a saída do controlador e o sinal de erro atuante, que é a entrada do controlador, é dada por um ganho simples,, e funciona essencialmente como um amplificador com um ganho ajustável. Um aumento da ação proporcional geralmente ocasiona melhora na precisão do sistema em malha fechada. A ação integral proporciona melhoria na precisão do sistema em regime permanente, pois ela atua de acordo com uma taxa proporcional ao erro atuante, ou melhor, seu sinal de controle é um sinal proporcional à integral do erro. A ação derivativa consiste na aplicação de um sinal de controle proporcional à derivada do sinal de erro, é tida como antecipatória, podendo proporcionar melhora na velocidade do sistema em malha fechada, e só apresenta influência em condições transitórias: um sinal estabilizado em regime permanente possui erro constante cuja derivada não existe. A partir desse momento, só têm atuação a parcela proporcional do controle. O controle proporcional e integral já tinha sido usado por um longo tempo. A ação integral inicialmente veio para substituir um reset manual que era usado em controladores proporcionais, para chegar ao valor correto de regime permanente. O controlador com ação derivativa surgiu em 935 e o controlador PID se concretizou na primeira metade do século 2 (ASTROM,995). Os controladores PID foram originalmente implementados utilizandose de técnicas analógicas, como os relés pneumáticos (ASTRÖM et. al., 998). O uso de amplificadores operacionais veio posteriormente, e agora o uso de

14 2 microprocessadores na implementação de controladores é comum. A implementação digital é possível com a discretização e a amostragem no tempo.. Ajuste do controlador Para resolver um problema de controle, é preciso compreender qual o objetivo do controlador. Com o controlador PID, o sistema adquire três novos parâmetros que podem ser variados, em relação ao ganho proporcional, integral e derivativo. À escolha desses parâmetros se dá o nome de ajuste de sintonia. É bom lembrar que nos sistemas discretos, o período de amostragem também possui influencia sobre a resposta do sistema a uma excitação. A seleção dos parâmetros do PID, ou seja, a sintonia dos controladores PID é a questão crucial no projeto do controlador geral. Esta operação deve ser realizada de acordo com as especificações de controle. Geralmente, estão relacionados tanto com o set-point ou com a perturbação de carga (VISIOLI, 988)... Setpoint (Valor de referência) Várias variáveis podem medir a fidelidade da resposta do sistema a um valor de referência dado, como a precisão de tempo de estabilização, o overshoot, e o erro de estado estacionário. No controle de processos, os loops de controle possuem um ponto de ajuste constante. O valor de saída pode ser alterado temporariamente, para modificar outras condições de funcionamento, tais como taxas de velocidade. O valor de referência é o valor que o sistema se propõe a atingir, ou seja, o erro é a diferença entre esse valor e o sinal obtido de fato. Esse parâmetro tem grande influência justamente porque o valor do erro é dado em função dele. Em um sistema de controle on-off (que têm somente dois possíveis valores de controle), o setpoint é o único parâmetro que define qual será a saída do controlador: se o erro for negativo, ou seja, a saída for maior que o setpoint, o controlador envia seu sinal mínimo, e se a saída for menor que o controlador, causando um erro positivo, a saída do controlador é máxima. Da mesma forma que para o controlador on-off, o valor de referência têm sua relação com cada uma das ações dos controlador PID, e, ao invés de somente definir qual

15 3 será a saída entre duas opções, o valor de referência é usado de forma mais complexa, o que veremos mais adiante. Quando utilizamos uma função unitária na entrada (rampa, degrau, pulso unitário), ela está normalizada, para que o valor de referência seja sempre tomado como a unidade...2 Perturbação de carga A perturbação de carga é um distúrbio que se insere na malha de controle e pode afastar as variáveis do processo dos valores requeridos. Pode ser causada por diferentes fatores, como uma variação inesperada na alimentação do sistema, na qualidade do feedback, entre outros. Por isso, a atenuação desses distúrbios é de grande importância, principalmente para sistemas com problemas de regulação, cujo valor nominal se mantém constante. Pode ser representado por um sinal degrau unitário, pois geralmente tem caráter de baixa freqüência. Para essa análise, vamos assumir uma perturbação de carga na entrada do sistema..2 Métodos de ajuste Os métodos do ajuste de sintonia podem ser classificados em duas categorias: experimental e analítico. Os métodos analíticos partem do modelo da planta para calcular os parâmetros. Um controlador baseado na atribuição de pólos faz parte dessa segunda categoria. Os pólos são alocados de forma a responder adequadamente a um transiente (Kim e Schaefer, 25). Assim se determina o polinômio característico em malha fechada. Além da exigência de estabilidade, uma configuração correta de pólos pode obter os parâmetros desejados de resposta em malha fechada (como o overshoot e amortecimento). Os métodos experimentais, também chamados de práticos, como os de Ziegler-Nichols (OGATA,995), consistem em analisar o comportamento do processo e realizar o ajuste por meio de fórmulas pré-estabelecidas. Estes métodos são amplamente utilizados, tanto em sua forma original ou em alguma modificação, e muitas vezes formam a base para procedimentos de ajuste utilizado pelos fabricantes e da indústria controlador de

16 4 processo. Os parâmetros do controlador são então expressos em termos das características de fórmulas simples (ASTRÖM e HAGGLUND, 995) Os procedimentos de ajuste de Ziegler-Nichols apresentam, algumas limitações, como proporcionar um sistema com boa rejeição a perturbações, mas com ganho relativamente alto, e sem grande margem de estabilidade. No ambiente digital, uma variação utilizada deste método é o método de Ziegler-Nichols modificado, que se assemelha a alocação de pólos por usar cálculos analíticos para determinar os parâmetros do controlador..3 Objetivos e Justificativa O controlador digital traz vantagens que fazem seu uso cada vez mais freqüente, como a fácil implementação das leis de controle, e a menor sensibilidade a ruídos e desgaste de componentes. As leis formuladas por Zielgler e Nichols para o PID são hoje consideradas clássicas, e deram origem a diferentes formas modificadas. Este trabalho tem como objetivo principal analisar o método de Ziegler Nichols (chamado de método do período critico ou método da oscilação sustentada ) modificado por uma aproximação algébrica, e a influência da amostragem na resposta do controlador. Os objetivos específicos do trabalho consistem em primeiramente analisar a aproximação do PID clássico para sua forma digital e a tradução dos elementos da análise de controle contínuo para o discreto, com os parâmetros que serão utilizados para descrever a resposta do sistema. Depois, será demonstrada a alocação dos pólos na região desejada para um sistema discreto de segundo grau, incorporando o conceito na análise do método propriamente. Tendo uma análise satisfatória é possível verificar se a aplicação do método modificado corresponde aos parâmetros esperados para o PID que Ziegler e Nichols definiram, e quais são as prerrogativas de sua resposta no domínio discreto. Essa parametrização pode posteriormente ser analisada também para controladores digitais auto-ajustáveis. Um controlador digital trabalha com um período de amostragem fixo, e transforma os sinais em dados numéricos singulares, o que permite o auto-ajuste por meio de um algoritmo recursivo.

17 5.4 Metodologia e disposição dos capítulos: Para avaliar a reposta do controlador, será utilizado um algoritmo no programa, que converte as variáveis do sistema (analógico para digital) e calcula os parâmetros para a oscilação critica e do controlador PID. Uma entrada degrau aplicada permite verificar a reposta transiente, quanto ao setpoint e à perturbação de carga. No capítulo dois será dada uma introdução teórica sobre sistemas discretos, a equivalência do plano S para o plano Z, e a análise de estabilidade para sistemas discretos. No capitulo três é exposto o processo de discretização e o ZOH, que foi o bloco utilizado na simulação dos sistemas. O quarto capítulo é dedicado ao controlador PID, analisando cada uma de suas ações, e a alteração para o sistema digital. O capitulo 5 aborda como os pólos são colocados algebricamente no sistema, e no capitulo 6, o Método de Zielger Nichols modificado é explanado, utilizando as definições introduzidas nos capítulos anteriores, de estabilidade crítica no plano discreto, colocação dos pólos e a definição do controlador PID digital. A análise dos resultados obtidos para um controlador definido pelos métodos é apresentada no capitulo sete, e por fim, o capitulo 8 apresenta uma conclusão geral sobre o trabalho.

18 6 2 Sistemas discretos 2. Análise do sistema dinâmico Em um sistema de controle, um modelo dinâmico demonstra a relação entre a entrada e o sinal de saída, o que é muito significativo quando se trata de um problema de controle. Para um sistema linear invariante no tempo- que respeita o princípio da superposição e cujo comportamento não varia com o tempoexiste uma classe de modelos que podem ser usados. Em um sistema de controle, geralmente temos que lidar com dois sinais: o sinal de controle e a variável medida, onde a variável medida é vinculada com a variável do processo físico que queremos melhorar (tensão, temperatura, ruídos de medição). A dinâmica do processo trata da relação entre esses sinais. Podemos analisar um sistema por meio de sua resposta transitória ou também por sua resposta em freqüência. Na análise de resposta transitória, caracteriza-se a dinâmica do sistema observando sua resposta a um sinal que possa ser gerado experimentalmente, como o degrau, pulso e rampa. O uso da rampa é mais raro, enquanto a análise da resposta ao degrau é mais comum, e a análise de resposta ao pulso é mais voltada aplicações médicas e biológicas (KNOSPE, 26). Sabemos que a resposta transitória de um sistema de segunda ordem sob um degrau pode ser aproximada pelo seguinte modelo de três parâmetros: (2.) Os parâmetros são: o ganho estático, o coeficiente de amortecimento e a freqüência natural. Para valores de na faixa, sabemos que a resposta transitória é oscilatória, e o sistema é denominado subamortecido. Ele passa a ser criticamente amortecido quando e superamortecido quando. Os valores de e determinam as características do sistema como os tempos de subida acomodação, atraso e o sobre-sinal, que serão mencionados na seção 2.3.

19 7 2.2 Mapeamento entre o plano S e o plano Z: Para sistemas de controle com realimentação, a estabilidade dos sistemas lineares com parâmetros invariantes no tempo é determinada pelos pólos em malha fechada. Se tomarmos o modelo da equação (2.) sabemos que esses pólos são (2.2) Onde. Existe uma relação entre os elementos no plano Z e no plano S. A transformada Z de um sinal amostrado é a transformada de Laplace de uma seqüência discreta (Assunção).Sabemos que a relação de transformação de um ponto no plano S para o Z é dada por: ( 2. ) Sendo s uma raiz com parte real e imaginária : ( 2.2 ) Distribuindo a exponencial vemos que ela é composta pelo termo termo é na verdade:, e que este ( 2.3 ) Vemos que esta parte se repete a cada período com kϵz, e que todas as freqüências múltiplas inteiras da freqüência de amostragem ocupam a mesma região do plano z. Se o ângulo de z é igual a, z varia de acordo com. A circunferência unitária pode ser traçado uma vez pelos pontos do plano s no eixo imaginário, de a, para, onde o módulo de z é um, e o seu ângulo varia na faixa de a. Quando um ponto percorre o eixo imaginário de a, a circunferência unitária no plano Z é cursada um número infinito de vezes. Um ponto

20 8 no plano Z não equivale a somente um ponto no plano S, mas sim a um infinito número de pontos. A metade esquerda do plano S é toda contida dentro do círculo unitário no plano Z, pois a parte real dos pólos correspondente é negativa, levando o módulo da circunferência traçada por uma variação na fase ser menor que um, ou simplesmente, porque o ponto z equivalente é menor que a unidade. Observa-se então que as raízes com a mesma parte real localizamse no plano Z um círculo o que significa que a o raio da circunferência é definida pela parte real. Portanto a metade direita, cuja parte real é positiva, é distribuída fora do círculo unitário, pois os pontos de mesmo valor de formam circunferências de raio maior que um, ou seja, de Figura 2.: Equivalência das raízes com parte real constante do plano S (à esquerda) ao plano Z (à direita).(ogata,995) As raízes complexas com a mesma parte imaginária formam retas, de inclinação.

21 9 Figura 2.2: Equivalência das raízes com parte imaginária constante, do plano S (à esquerda) para o plano Z (à direita). (OGATA,995) Podemos também avaliar como será a variação do plano em relação a um fator de amortecimento constante. Se no plano S esse fator é representado por uma linha radial, no plano z, é mapeado em uma espiral que termina na origem. ( 2.4 ) No plano Z: ( 2.5 ) Com o aumento de, o módulo de decresce e sua fase aumenta. O mapeamento final forma a espiral logarítmica.

22 Figura 2.3: Equivalência das raízes com fator de amortecimento constante, do plano S (à esquerda) para o plano Z (à direita). (OGATA,995) Para valores constantes de amortecimento localizados à esquerda do eixo imaginário no plano S, a espiral decresce para dentro do círculo de raio unitário no plano Z, e para os valores localizados à direita do mesmo eixo, a espiral cresce para fora do círculo. Então, para uma região desejada de pólos dominantes de malha fechada em S há uma região correspondente dentro do plano Z, e o sistema discreto deve respeitar essa equivalência na localização das suas raízes. 2.3 Estabilidade e análise transiente para sistemas discretos Para analisar a estabilidade no plano Z, analisamos, da mesma forma que para os sistemas em tempo contínuo, a localização dos pólos de malha fechada, nesse caso de sua posição em relação à circunferência de raio unitário. Para que um sistema seja criticamente estável como será requerido posteriormente, um dos pólos deverá obrigatoriamente possuir a parte real negativa, o que significa no plano Z estar localizado diretamente na circunferência de raio unitário. Analisando as três possibilidades: Para um sistema estável, a região de equivalência no plano Z é no interior do círculo unitário, que, como visto, corresponde no plano S aos pólos com a parte real negativa. Para um sistema criticamente estável, a região do limiar no

23 plano S é o eixo imaginário, que corresponde aos infinitos valores alocados na circunferência unitária, e pelo menos um pólo deve estar localizado nesta, com todos os outros no seu interior. Já um sistema instável possuirá um pólo ou mais fora do círculo unitário, o que significa que o valor de sua parte real é maior que zero. Quanto à resposta transiente, pode-se dizer que sua análise traz os mesmo parâmetros que pra um sistema linear invariante no tempo contínuo. A resposta transitória é a reação do sistema a uma troca de excitação e comumente analisa os critérios mostrados na figura: Figura 2.4: Resposta transiente do sistema. O Tempo de atraso, o tempo para que a resposta do sistema alcance metade da resposta em regime permanente, e Tempo de subida, que traduz o tempo que o sistema leva para subir de 5% a 95% da resposta em regime permanente (OGATA, 995). Tempo de estabilização, é o tempo para que a resposta do sistema alcance e permaneça dentro de uma percentagem de ultrapassagem em relação à resposta requerida em regime permanente (o valor de setpoint). O tempo de estabilização está diretamente ligado com o coeficiente real do pólo ou par de pólos dominantes de malha fechada. Isto é definido pela constante de tempo do sistema (o tempo que o sistema leva para que alcance pela primeira vez o valor de referência), que é:. A parte real da raiz é, então podemos

24 2 estabelecer a seguinte relação para o sistema discreto: o aumento de aproxima o pólo da origem e diminui. Semelhantemente, se o pólo se afasta da origem, o tempo de estabilização acresce. E por fim, o Máximo sobre-sinal, que se refere ao valor máximo de sinal acima da referência a ser atingida, dado pela diferença percentual entre o valor do pico e o valor em regime permanente. A porcentagem máxima de sobresinal pode ser expressa por (Lázaro,28), e à medida que a relação entre a parte real e imaginária do pólo for maior, esse valor é menor. Mas a relação entre essas partes é tal que. Observamos que à medida que à medida que cresce, o valor do sobre-sinal diminui. Assim, essa relação pode ser vista similarmente à relação das retas de amortecimento constante quando passadas para o plano Z.

25 3 3 Discretização: A figura 3. representa um sistema de controle em tempo contínuo com realimentação, em que todos os sinais são contínuos com todos os valores no domínio do tempo, e os elementos podem ser representados no domínio de Laplace. Figura 3. :Sistema em tempo Contínuo Os sistemas de controle digitais diferem dos analógicos no fato de que o sinal se apresenta de forma não-contínua, em trens de impulso. Um sistema em tempo discreto envolve a discretização das variáveis a serem utilizadas no processo de controle. A discretização transforma um sinal analógico em amostras sucessivas, espaçadas no tempo por um período de amostragem. Em outras palavras, a resposta do sinal é definida apenas nos instantes de amostragem. Tomando o sinal, como mostrado na figura Figura 3. : Sinal senoidal em tempo contínuo. A amostragem de um sinal analógico é feita seguindo o tempo de amostragem, em segundos, ou uma freqüência de amostragem,. Um sistema com amostragem de um processo de controle em malha fechada é exemplificado na figura 3.3:

26 amplitude 4 Figura 3. 2: Exemplo de sistema de controle em tempo discreto. Temos um trem de implusos, : ( 3. ) Multiplicando trem de impulsos pelo sinal, obtemos o sinal discretizado. Um sinal discretizado assume o valor do sinal contínuo em instantes determinados de tempo tempo Figura 3. 3: Sinal senoidal e equivalente discretizado. Já um sinal quantizado atribui valores discretos para um sinal contínuo de valores que variam infinitamente.

27 Amplitude Amplitude 5.4 Impulso em tempo Continuo Time (sec).8 Impulso em tempo Discreto Time (sec) Figura 3. 4: Impulso em tempo contínuo e quantizado. Um sistema de amostragem geralmente envolve os dois processos, discretização e quantização. Existem, como podemos observar, erros entre a passagem do sinal em tempo contínuo para o discreto. Neste trabalho, as figuras referentes aos sinais discretizados são representadas como a figura 2.4, representando também a discretização no tempo. 3. Amostragem A amostragem ou discretização de um sinal analógico é feita seguindo a relação: ( 3.2) Onde. O período de amostragem deve obrigatoriamente seguir o teorema de Nyquist, que estabelece que a freqüência de amostragem de um sinal analógico deve ser pelo menos o dobro da maior freqüência do espectro desse sinal, representada por B:

28 6 Então, para que o sinal contínuo possa ser corretamente discretizado, a maior freqüência contida no sinal a ser amostrado deve ser menor que metade da freqüência de amostragem. Podemos interpretar de tal forma: o sinal modula o trem de impulsos, formando o sinal amostrado na Figura A saída de um amostrador é um trem de impulsos modulado, mas isso pode não ser desejado, na realidade, o que se procura é um sinal mais próximo do contínuo. Isso é obtido com o processo de Sample &Hold, que abstrai um sinal contínuo de uma seqüência discreta. 3.. Sample & Hold Na prática, a conversão entre um sinal analógico e um digital é feito por um bloco de sample & hold. O circuito amostra e retém um nível de tensão durante o intervalo, que é o período de amostragem. Sample se refere à amostragem do sinal, e hold, ao fato de que aquele valor de sinal é mantido até o período seguinte, quando é feita uma nova amostra. Figura 3. 5: Sistema com Sample & Hold. (SCHNITER, 2). Isso pode ser feito com um circuito data hold, que faz a interpolação do sinal. A interpolação é responsável por manter o valor do sinal entre um intervalo de pulsos, e para um sinal de entrada, dá a saída: ( 3.3 )

29 7 O valor de n define a ordem do data hold. Um segurador de ordem zero se demonstra muitas vezes o mais adequado e suficiente para as aplicações de controle. Este possui a saída: ( 3.4 ) Ou seja, a saída do circuito é mantida igual ao valor de entrada até o próximo pulso, quando o valor da entrada atualiza. A função de transferência do amostrador de ordem zero (chamado de ) é: ( 3.5 ) Para o plano discreto, Lazaro(28) sugere que se faça antes a a convolução de com, lembrando que ele se posiciona antes da planta, então, e aplicamos a transformada Z para se obter a relação discreta dessa planta: ( 3.6 ) No domínio do tempo: ( 3.7 ) Aplicando ao teorema da convolução, onde a transformada de Laplace do produto de convolução entre duas funções, é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções, e chamando o termo, temos que a segunda parcela do lado direito da equação é: ( 3.8 ) Aplicando as propriedades da transformada Z, temos que:

30 8 ( 3.9 ) E para o sinal total: ( 3.9 ) Então a relação no plano z de uma planta com o segurador de ordem zero é então definida como: ( 3. ) 3.2 Período de amostragem para controladores digitais O tempo de amostragem para controladores digitais quase sempre varia entre centésimos de segundos até a unidade. Muitas vezes um período pequeno é usado para que o controle digital possa ser considerado como de tempo contínuo. Mas a escolha do período de amostragem influencia não somente na qualidade de resolução do sinal. Aumentá-lo pode retardar a velocidade do processo de controle. Diminuir esse período melhora a reação a perturbações, mas aumenta o consumo de energia do sistema. Se a escolha de for muito pequena, o controle pode ser levado à instabilidade. A escolha do período de amostragem pode ser afetada por vários fatores, entre os quais os mais relevantes são: o critério de controle, pelos valores exigidos da variável controlada e mudanças nessa variável; a dinâmica do sistema controlado, caracterizado, por exemplo, pelo valor do tempo de atraso; e exigências sobre a intervenção do operador, limitando o seu período máximo.

31 9 4 Controlador PID Estima-se que mais de 9% de malhas de controle empregam controle PID (KNOSPE,26), muitas vezes com o ganho derivativo definido a zero. O controlador PID se baseia em três ações de controle: a ação proporcional, a ação integral e por fim, a derivativa. 4. Estrutura Os três termos de um controlador PID cumprem três requisitos comuns da maioria dos problemas de controle. A ação integral rende um erro de estado estacionário zero em um rastreamento de setpoint constante (...) por outro lado, o termo proporcional responde imediatamente ao erro, mas normalmente não atinge a precisão desejada. Em algumas plantas esses efeitos não se traduzem bem ao erro, e esta situação pode levar a grandes erros transitórios quando o controle PI é usado. A ação derivativa combate esse problema (Knospe, 26) Sabemos um controlador proporcional nem sempre é o suficiente para obter a saída desejada para o sistema, e o controlador PID tem em sua estrutura três parâmetros que podem ser ajustados para esse fim. 4.. Ação proporcional A ação proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir o tempo de subida (t r ) reduzindo também o erro de regime permanente. Assumindo um controlador cujo sinal de controle seja, essa ação aplica um sinal de controle, proporcional à amplitude do sinal de erro : ( 4. ) Um controlador proporcional trabalha sob os limites e, que são respectivamente, o valor máximo e mínimo da variável de controle Ação Integral

32 2 O controlador integral é ligado à melhoria da precisão da resposta em relação ao erro de regime permanente, mas pode agravar a resposta transitória do sistema. A ação integral pode ser vista como um recurso que reseta o termo imposto pelo controlador proporcional. Essa ação é a aplicação de um sinal de controle, proporcional à integral do sinal de erro, onde o tempo é o tempo integral: ( 4.2 ) Se a partir de um determinado tempo, o erro é igual a zero, o sinal de controle é mantido em um valor constante. No sistema em malha fechada, isso significa a obtenção de uma referência constante com erro nulo em regime permanente (AGUIRRE, 27, p. 263). Esse fato pode ser mais facilmente constatado observando que a função de transferência dessa ação: ( 4.3 ) Observa-se que a ação integral adiciona um pólo na função de transferência de malha aberta do sistema, localizado na origem, o que afeta a estabilidade e a velocidade de resposta do sistema, por isso não se usa o controle puramente integral, mas sim combinado com uma ação proporcional. A função principal do controle integral é assegurar que a saída do processo tenha o valor requerido, de referência. O ganho proporcional geralmente provoca um sinal de erro. Com uma ação integral, um erro positivo vai levar a um aumento do sinal de controle, e um erro negativo leva a uma diminuição do sinal de controle independente do tamanho do erro (ASTROM; HAGGLUND, 995) 4..3 Ação derivativa

33 2 O propósito da ação derivativa é melhorar a estabilidade em malha fechada. Pode-se dizer que essa ação tem característica antecipativa, ou preditiva. O sinal de controle é dado por: ( 4.4 ) Essa implementação não é possível, o que pode ser melhor observado por sua função de transferência: ( 4.5 ) Como no caso do controlador integral, ele é implementado junto à ação proporcional, o que torna também o sistema mais viável visto que, se mantido puramente derivativo, seria muito sensível a ruídos de alta freqüência. O mecanismo de instabilidade pode ser descrito de tal forma: devido à dinâmica do processo, demora algum tempo até que uma mudança na variável de controle seja notável na saída do processo. Logo, o sistema de controle atrasará na correção do erro. A ação de um controle proporcional e derivativo pode ser interpretada como um controle proporcional à saída prevista do sistema (OGATA, 995, p.84) 4..4 Controlador Então a resposta do PID no domínio do tempo se torna: ( 4.6 ) E finalmente, sua função de transferência: ( 4.7 )

34 22 Este controlador adiciona um pólo na origem e um par de zeros, que podem ser reais ou complexos conjugados. No controle de malha fechada, tanto os pólos como os zeros farão parte da equação característica, o que será demonstrado no capítulo Controle PID digital O controlador PID digital pode ser obtido por meio da discretização da sua saída u(t) no tempo. Assumindo os parâmetros: Para o termo proporcional, podemos utilizar sua variável amostrada no lugar da contínua. Assim, a equação ( 4. ) fica: ( 4.8 ) Para o termo integral, a aproximação pode ser feita pelo método dos trapézios. Sabemos que a integral definida é o limite das somas de Riemann. A aproximação por extremo esquerdo para a equação ( 4.2 ) resultaria em: ( 4.9 ) A aproximação por extremo direito nos daria a equação: A aproximação pela regra do trapézio é a média entre as aproximações por extremo esquerdo e direito: ( 4. ) Para o termo derivativo, podemos fazer a aproximação por interpolação em dois pontos, e o sinal de controle u(t) fica: ( 4. )

35 23 Por fim, temos a saída do controlador PID digital: ( 4.2 ) Onde é o sinal de saída do controlador. Para utilizar esse equacionamento na forma da função transferência do controlador, é aplicada a transformada z em ambos os lados: Na primeira parte do lado direito da equação, que corresponde ao termo proporcional, temos: (4.3) Para a parte integral, considerando as seguintes relações da transformada Z: E assumindo que o sistema respeita o princípio da causalidade (para o tempo t= não há resposta do erro, então, e tem-se que:

36 24 ( 4.4 ) Para o último termo, o que concerne a parte derivativa: ( 4.5 ) A função de transferência do controlador PID digital é obtida unindo as equações (4.3, ( 4.4 ) e ( 4.5 ), e isolando o erro E(z): ( 4.6 ) Ou na forma mais comum: ( 4.7 ) Essa função de transferência também pode ser desenvolvida até a forma de equações polinomiais, o que é mais interessante para quando for usada a alocação de pólos direta. Desenvolvendo a equação ( 4.6 ) fazendo o termo o denominador: (4.8) Substituindo os coeficientes do polinômio superior por e. ( 4.9 )

37 Sendo os termos e os coeficientes do controlador, com, e. 25

38 26 5 Alocação dos pólos Considerando o sistema da figura 5.: Figura 5.: Sistema em tempo discreto O processo de discretização envolve também a transformação dos parâmetros (amortecimento, sobre sinal) de resposta de um sistema. Para isso vamos analisar os pólos de malha fechada do sistema discreto e a alocação desses no plano z, de acordo com a escolha dos parâmetros no plano S. Para alocar os pólos devem-se encontrar os parâmetros para satisfazer uma equação característica desejada. Assumindo que a planta do sistema tenha a função de transferência: ( 5. ) O polinômio no denominador é dado por: E o numerador: E que o controlador PID tenha a função: ( 5.2 )

39 27 característica, respectivamente: Desse modelo, obtemos a equação de malha fechada e a equação ( 5.3 ) contínuo obedece à equação: Tomando como base um sistema de segunda ordem que em tempo ( 5.4 ) No plano Z, segundo Bobal(25) é adequado que a equação característica tome a forma: ( 5.5 ) Usando a relação de transformação de z para s: E considerando e as raízes da equação característica, podemos obter um sistema de equações substituindo essas raízes em : ( 5.6 ) Sabendo que as raízes e são dadas por: obtemos as seguintes relações:

40 28 ( 5.7 ) Os polinômios do sistema são: e E para o controlador, e. Desenvolvendo em termos dos polinômios considerando um sistema de ordem n=2, temos que D(z) é: ( 5.8 ) Distribuindo-se os polinômios do lado direito, e igualando os coeficientes de igual potência aos do polinômio obtêm-se as seguintes relações: Isolando em função dos termos do controlador, obtemos um sistema de equações que pode ser traduzido na forma matricial: ( 5.9) Para o caso específico do controlador ter somente o ganho proporcional, o que acontecerá para o cálculo do ganho crítico no capítulo 6, então não é necessário a resolução de um sistema linear. Nesse caso, o controlador tem a função ( 4.7 ) transformada em:

41 29 E novamente, desenvolvendo considerando um sistema de ordem n=2, temos que D(z) é: em termos dos polinômios ( 5. ) produto das raízes: E o mesmo denominador pode ser também expressado pelo ( 5. ) temos a igualdade: Igualando as duas equações e obtendo ambos os termos por ( 5.2) Com essa relação é possível encontrar o ganho ou o coeficiente, e ela será usada para calcular o ganho crítico no próximo capítulo.

42 Imaginary Axis Amplitude 3 6 Método de Ziegler Nichols Modificado 6. Sintonia experimental por Ziegler-Nichols de malha fechada. O ganho crítico é o ganho necessário e suficiente para o processo entrar em uma oscilação periódica. A sintonia experimental de parâmetros para um controlador PID em tempo contínuo esquematizado por Ziegler e Nichols ainda é usado hoje, na prática industrial. Nesta abordagem, os parâmetros do controlador são calculados a partir do ganho crítico do sistema, e seu respectivo período de oscilação critica. Estes parâmetros críticos são obtidos gradualmente aumentando o ganho do controlador proporcional, até a saída do circuito fechado oscilar a amplitude constante, ou seja, a malha de controle está no limite da estabilidade. Neste caso os pólos da malha fechada são colocados no eixo imaginário do plano complexo. Em seguida, o ganho e o período crítico de oscilações são gravados. Os parâmetros do PID controlador são determinados por relações pré determinadas. Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico Time (sec) Figura 6.: Exemplo de Resposta de um sistema ao ganho critico..5 Root Locus Mas existe uma desvantagem em determinar os parâmetros críticos Real Axis dessa forma. O sistema pode ser levado a um estado de instabilidade, e encontrar esse limite de estabilidade pode ser muito demorado (BOBAL et. al.,25). O método modificado para ajustar um controlador PID digital evita esse problema. 6.2 Método de Ziegler Nichols Modificado

43 3 No método de Ziegler Nichols modificado, os parâmetros do controlador são também calculados de acordo com o ganho crítico do processo, obtido pelo cálculo da com a inserção do controlador na malha fechada do sistema, e considerando o atraso de tempo inserido com o discretização do sistema. Os pólos de malha fechada são colocados no eixo imaginário. No caso do controlador digital, um pólo ou um par de pólos complexos conjugados é colocado na circunferência unitária. No caso digital, os valores críticos dependem também do período de amostragem escolhido, variando com um atraso de tempo acrescentado, como visto na próxima seção Atraso de tempo Quando um sistema é discretizado, a ele se inclui um atraso de tempo, ou seja, metade do período de amostragem. Esse atraso de tempo acrescenta uma mudança de fase, que varia proporcionalmente ao aumento da freqüência. Tal variação afeta indiretamente o ganho crítico, porque altera a freqüência crítica do sistema. Conclui-se então que os valores do ganho e do período crítico são afetados pelo período de amostragem. O atraso de tempo pode ser representado por um acréscimo da expressão, na função e transferência do processo, que no domínio z é representada por, e d representa o numero de intervalos de atraso de tempo Cálculo do Ganho e Período Crítico Para um sistema genérico representado pela figura 6.2: Figura 6.2: Sistema controlado por PID

44 32 Vamos utilizar o controlador proporcional caracterizado por: ( 6. ) Tendo a função de transferência do processo digital: ( 6.2 ) A esta função é acrescentada o atraso de tempo. Então fica: ( 6.3 ) O polinômio no numerador é dado por: ( 6.4 ) E o denominador, ( 6.5 ) Para calcular o ganho crítico, precisamos da função de transferência de malha fechada do sistema, que será: ( 6.6 ) Desenvolvendo:

45 33 ( 6.7 ) polinômio característico: A partir da função de transferência de malha fechada, temos o ( 6.8 ) Como dito anteriormente, para garantir a estabilidade do sistema, os pólos devem estar localizados dentro do círculo unitário no plano z, não importando seu posicionamento. Para satisfazer o critério de estabilidade crítica, um dos pólos deve se localizar sobre a circunferência unitária. Para que um sistema seja marginalmente estável no plano complexo S, o sistema em malha fechada deverá possuir pelo menos pólo com a parte real nula e os demais possuírem parte real negativa, logo, para cumprir este critério no plano Z, pelo menos pólo em e os demais com (ASTROM; HAGGLUND, 995, p.79). O sistema também se torna marginalmente estável se um par de pólos complexos conjugados for alocado diretamente no círculo unitário. Existem dois casos possíveis para a alocação dos pólos do polinômio característico. - Se o polinômio característico tiver um par de pólos complexos conjugados que podem ser expressos por:

46 Imaginary Axis Imaginary Axis Amplitude 2 Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico Time (sec) ( 6.9 ) Pole-Zero Map Real Axis Figura 6.3: Par de pólos complexos conjugados em 2- Se o polinômio característico tiver um ou mais pólos reais que podem ser expressos na forma Pole-Zero Map relação da transformada z: Real Axis Figura 6.4: : Pólo em Para calcular o ganho crítico do controlador, podemos deduzi-la da ( 6. ) No tempo discreto, uma oscilação pode ser causada devida ao elemento O termo correspondente no domínio do tempo é a função cos. A frequência crítica dada por essa relação é:. Usando essa frequência na relação, temos que: ( 6. ) : ( 6.2 )

47 Como o ganho pode ser calculado pela relação dada por Ogata(23):, substituindo pelo resultado obtido; 35 ( 6.3 ) Figura 6.5: projeção de um ponto no círculo de raio, com coeficientes real e imaginário diferentes de zero. Olhando para o círculo traçado no plano complexo, observa-se que a freqüência crítica pode ser medida para um ponto distante do eixo imaginário em e pode ser deduzida como. Então, o período crítico é dado por: ( 6.4 ) 6.3 Definição dos parâmetros do controlador: dada por: Lembrando que a função de transferência do PID discreto pode ser

48 36 ( 6.5 ) Uma vez que foram encontrados os valores de ganho e período crítico, os parâmetros do PID são calculados pelas relações originalmente dadas por Ziegler -Nichols: ( 6.6 ) ( 6.7 ) ( 6.8 ) 6.4 Para sistemas de segunda ordem: Em um sistema de segunda ordem, temos que o polinômio característico da equação 5.8 tem a forma: ( 6.9 ) Considerando que o polinômio respeite o primeiro caso (eq. 5.), sua equação característica corresponderá à forma: ( 6.2 ) Comparando os coeficientes de igual potência dos dois lados da relação temos que o ganho crítico é:

49 37 ( 6.2 ) ( 6.22 ) O valor de pode ser obtido substituindo o valor de encontrado anteriormente, na relação: ( 6.23 ) Temos: ( 6.24 ) Substituindo o valor encontrado de oscilação (eq. 3.2), temos que: na equação do período de ( 6.25 ) Os parâmetros do PID para um sistema de segundo grau são então encontrados de acordo com as relações em ( 6.6 ), ( 6.7 ) e ( 6. ). Esse é o algoritmo para o método de Ziegler Nichols modificado, com parâmetros de tempo discreto.

50 Eixo Imaginario Imaginary Axis Amplitude 38 7 Resultados: Observaremos os resultados do efeito do controlador em dois casos diferentes: 7. Para o caso sub-amortecido: Primeiramente, será analisada a aplicação para um sistema sub-amortecido da forma: Que é obtido pela convolução do sistema aplicando a transformada Z, onde é: com o segurador de ordem zero e Para esse sistema sub-amortecido, o máximo sobre sinal na saída é de 66% e o tempo de acomodação é de 2s. O ganho crítico obtido pelos cálculos é de. A Figura 7. mostra o sistema sob esse ganho, em oscilação crítica. E a Figura 7.2, o pólo em -, que é o pólo sobre a circunferência unitária que irá levar o sistema à oscilação crítica. Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico Time (sec) Figura 7.: Resposta do sistema para Root o Locus ganho Kc calculado. (Apêndice )..5 Root Locus Real Axis Eixo Real Figura 7.2: root-locus do sistema, com ganho Kc=,8 para o pólo em -. (Apêndice 2).

51 Amplitude Amplitude Amplitude 39 A resposta para o ganho crítico é confirmada encontrando-se no lugar das raízes o ganho crítico para o pólo em -. Os parâmetros finais obtidos do controlador são: e A Figura 7.3 mostra a resposta da planta às três variantes possíveis do controle PID. 2 Resposta ao degrau da planta com o controlador proporcional Resposta ao degrau da planta com o controlador PD Resposta ao degrau da planta com o controlador PI Figura 7.3: Resposta dos controladores (a) Proporcional (b) PD (c)pi. (Apêndice ). Observa-se o atraso de velocidade da resposta com o controle PD e o acréscimo de oscilação ocasionado pelo controle integral. A Figura 7.4 mostra a resposta final do sistema à entrada degrau, com o controlador PID, em comparação à resposta original da planta:

52 Amplitude Amplitude 4 2 Resposta ao degrau da planta Resposta ao degrau da planta com o controlador PID Figura 7.4: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com o PID. (Apêndice ). 7.. Variação de parâmetros O controlador PID em decorrência três parâmetros adicionará um par de zeros conjugados em. Tomando o controlador da equação ( 4.7 ) com os parâmetros finais em relação ao ganho resposta em função da variação deste ganho., verificamos a

53 Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude 4 2 Resposta ao degrau da planta para oganho K= Resposta ao degrau da planta para oganho K= Resposta ao degrau da planta para oganho K= Figura 7.5: Resposta para valores diferentes de K. (Apêndice ). Com essa configuração, um aumento no ganho diminui o tempo de acomodação ( ), com o erro de regime permanente, mas aumenta instabilidade e o valor máximo do sobre-sinal. Com um ganho, atinge-se a configuração da Figura 7.6. Com a configuração final obtêm-se o sistema na com máximo sobre sinal de 9% e tempo de acomodação de 6 segundos. A Figura 7.7 compara o resultado final das raízes com o controlador com o da planta. 2 Resposta ao degrau da planta Resposta ao degrau da planta com o controlador PID.5 Figura Figura 7.6: Resposta do sistema para ganho K=.5. (Apêndice ).

54 Eixo Imaginario Eixo Imaginario 42 Root Locus Eixo Real Root Locus Eixo Real Figura 7.7: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID. (Apêndice 2). 7.2 Para a planta com fase não mínima: Em seguida, analisa-se da mesma forma um sistema não mínima cuja função de transferência é: com fase O sistema discreto, obtido da mesma forma do caso anterior é: Um sistema de fase não mínima é um sistema que possui um zero ou mais fora da região de estabilidade, é causal e estável, mas sua inversa é causal e instável. Esse sistema possui tempo de acomodação. Obtém-se pelos o ganho crítico. A figura 7.8 mostra o sistema sob esse ganho, em oscilação crítica, e a figura 7.9, o par de pólos conjugados em,

55 Amplitude Amplitude Eixo Imaginario Imaginary Axis Amplitude Amplitude 43 Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico 2 Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico Time (sec) - Figura 7.8: Resposta do 2 sistema 3 4 para Pole-Zero 5 o ganho Map6 Kc 7 calculado. 8 9 (Apêndice ) Time (sec) Root Locus Real Axis Eixo Real Figura 7.9: : root-locus do sistema, com ganho Kc=3,5 para o pólo em -. (Apêndice 2). Analisando o lugar das raízes esses parâmetros são confirmados. Os parâmetros finais obtidos do controlador são: e. Assim, obtém-se a resposta, como visto na figura seguinte: Resposta ao degrau da planta Resposta ao degrau da planta com o controlador PID Figura 7.: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com PID. (Apêndice ).