Agrupamento de Escolas Piscinas Olivais

Transcrição

1 Agrupamento de Escolas Piscinas Olivais Margarida Oliveira

2 ÍNDICE Resumo INTRODUÇÃO Motivação O computador para ensinar matemática. Algumas questões OBJETIVOS Objetivos gerais Objetivos específicos METODOLOGIA Introdução Metodologia do trabalho Resultados esperados Participantes no projeto Concretização do trabalho Validade externa, interna e fiabilidade DESPESAS AFETAS AO PROJETO BIBLIOGRAFIA Anexo Histórico de experiência da instituição proponente em projetos do departamento de Matemática e Ciências Experimentais O Projeto "Matemática Dinâmica" O Projeto "Tópicos de Física em Experimentação Virtual" Projeto "CienTIC" Material publicado no portal Casa das Ciências Projetos Plano de ação da Matemática (PAM); Novos Programas Matemática do Ensino básico (NPMEB), Testes Intermédios (TI) Blog do Agrupamento de Escolas Piscinas-Olivais

3 Entidade proponente Agrupamento de Escolas Piscinas-Lisboa Rua Capitão Santiago de Carvalho Lisboa Telef: Fax: Direção Diretora: Maria Eduarda Magalhães Vice-diretor: Nuno Brito Adjuntos: Margarida Oliveira, Fernanda Candeias Coordenadora do Projeto Margarida Oliveira (Matemática) Professores Consultores Suzana Nápoles Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências de Lisboa Professores envolvidos Filipa Albuquerque (3º ciclo Matemática) Ag. de Escolas Piscinas-Lisboa Isilda Pedro (2º ciclo Matemática) Ag. de Escolas Piscinas-Lisboa Professores dos 4º anos de escolaridade das escolas do 1º ciclo EB 2,3 113; EB 2,3 nº 175; EB 2,3 nº 36 Adelaide Fonseca (3º ciclo TIC) Ag. de Escolas Piscinas-Lisboa Sandra Marina (3º ciclo FQ) Ag. de Escolas Piscinas-Lisboa 3

4 PROJETO ESPIRAL Entender, Simular, Provar, Inovar, Refletir, Analisar, Ligar DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE FENÓMENOS FÍSICOS À SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL. DO BÁSICO AO SUPERIOR. RESUMO Com o Projeto ESPIRAL pretende-se estimular o recurso à utilização dos computadores na aprendizagem da matemática, recorrendo a ambientes de desenvolvimento como as folhas de cálculo, com as quais professores e alunos podem desenvolver aplicações computacionais interativas com componentes gráficas e de animação. Com esta abordagem pretende-se ainda estimular os alunos a utilizarem os seus conhecimentos de matemática de forma criativa, ao mesmo tempo que desenvolvem competências ao nível da resolução de problemas, formulação de conjeturas, raciocínio matemático e comunicação de ideias matemáticas Pretende-se igualmente valorizar as ligações entre a matemática, a tecnologia e as outras ciências no sentido de realçar o poder da matemática para a simulação de fenómenos físicos. As relações entre a Matemática e os fenómenos físicos observáveis são aspetos fundamentais para a concretização de uma abordagem que privilegia a vertente laboratorial da matemática, acompanhada da validação das hipóteses e das técnicas de modelação matemática (modelos computacionais) utilizadas para simular os fenómenos observados. 4

5 1. INTRODUÇÃO 1.1 Motivação Hoje em dia as potencialidades dos meios computacionais disponíveis nas empresas, nos laboratórios de investigação e nas universidades, exigem aos profissionais que saem das nossas universidades uma preparação matemática mais completa do que exigida há algumas décadas. Por outro lado é hoje conhecido que muitos alunos têm dificuldades em aprender matemática, não apenas por se tratar de uma disciplina que exige alguma capacidade de abstração para compreender as suas principais ideias, mas também devido ao modo como os assuntos são muitas vezes abordados nas aulas. Fruto de conteúdos programáticos extenso, adota-se uma forma rotineira de introduzir os conceitos, sem tirar partido das conexões dentro e fora da matemática. Sacrifica-se assim a experimentação matemática baseada na utilização integrada desta ciência com conhecimentos interdisciplinares e tecnologia. Tendo em conta que o desenvolvimento tecnológico verificado tem dado origem ao aparecimento de novas áreas de aplicação da matemática e de novos campos de investigação em matemática torna-se evidente que também a comunicação da matemática não pode ficar indiferente a este rápido desenvolvimento devendo integrar novos modelos matemáticos e novos procedimentos. Nesta perspetiva é indispensável que os meios utilizados para ensinar matemática sejam continuamente atualizados, nomeadamente, recorrendo aos novos e exigentes meios computacionais no sentido de os usar para facilitar e tornar mais eficiente o processo de ensino/aprendizagem da matemática, começando com modelos clássicos e integrando novos modelos. 1.2 O computador para ensinar matemática. Algumas questões Os computadores são úteis na aprendizagem da matemática? Os computadores, quando usados apropriadamente nas aulas de matemática, proporcionam ambientes favoráveis ao estudo e exploração de conceitos matemáticos, criando oportunidades para os alunos se iniciarem no pensamento matemático. Em tais ambientes, é possível dar ênfase à matemática e aos processos de resolução dos problemas, e ainda aprofundar os conteúdos. Os computadores proporcionam ao aluno a possibilidade de generalizar, isto é de observar casos particulares para depois estabelecer generalizações (Mason, 2002). Quando os alunos estão inseridos num ambiente de sala de aula em que a interação com o computador é valorizada e incentivada, geram-se dinâmicas próprias de aprendizagem e de exploração resultantes do feed-back que recebem do computador. 5

6 Neste sentido, os alunos têm oportunidade de verificar resultados e efetuar alterações. (Abelson, et al., 1985). O presente projeto assenta na ideia defendida por Papert (1991) que considerava que a aprendizagem efetiva não vem de encontrar o melhor caminho para o professor ensinar, mas sim a de dar ao aluno a melhor oportunidade para construir a sua aprendizagem (Papert, 1991). Porque razão as tecnologias não estão a ser usadas com sucesso no ensino da Matemática? Nos últimos anos tem-se verificado que os professores estão a usar cada vez mais os computadores e outras ferramentas digitais no ensino da matemática. Os manuais escolares disponibilizam Cd's contendo aplicações educacionais, os quadros interativos dispõem de software cada vez mais especializado e as escolas em geral já dispõem de ligações à internet permitindo o acesso a uma grande diversidade de materiais e recursos. No entanto constata-se que existem ainda dificuldades na utilização dos computadores nas aulas de matemática havendo normalmente uma utilização apenas pontual e marginal. Existem alguns estudos feitos sobre este assunto e surgem algumas razões que justificam a ineficiência na utilização dos computadores nas aulas de matemática: A não existência de orientações claras sobre a utilização dos computadores nos currículos nacionais de matemática; As atuais práticas de avaliação não contemplam o uso das tecnologias; A perceção que os professores têm de que as tecnologias podem ser utilizadas no apoio a aulas expositivas, em que os alunos assumem um papel passivo (por exemplo só aparentemente se pode considerar benéfico dispor de uma apresentação em PowerPoint para ensinar um tópico de matemática). Com esta forma de utilizar as tecnologias o aluno é remetido para um papel ainda mais passivo do que com outras metodologias talvez mais convencionais (MST, 2006). A falta de preparação profissional dos professores na área da utilização das tecnologias. Esta falta de preparação dos professores resulta em parte da não adequabilidade dos currículos dos atuais cursos do ensino superior no que diz respeito à integração das tecnologias no ensino da matemática (Joubert). Apesar dos grandes melhoramentos que se têm verificado ultimamente com vista a dotar as escolas com todos os meios informáticos necessários, algumas ainda não estão devidamente apetrechadas, ou nos casos em que estão, não é raro surgirem problemas de natureza logística muitas vezes incontornáveis em tempo útil (tempo em que decorre uma aula). Estas dificuldades desmobilizam os professores para futuras utilizações. (Hoyles, et al., 2010) 6

7 É urgente reverter esta situação, sendo importante refletir sobre propostas para o futuro, eliminando tanto quanto possível os constrangimentos que todos sabemos existirem. Considera-se que o desenvolvimento de projetos na área da utilização das tecnologias no ensino da matemática, com propostas concretas e linhas de orientação bem definidas, poderão constituir uma mais-valia para progredir na reflexão e análise desta questão que está na ordem do dia em quase todos os países do mundo (Artigue, 2010) No próximo ponto apresentam-se alguns projetos desenvolvidos ou em fase de desenvolvimento na área da utilização das tecnologias, em vários países do mundo. Existirão com certeza muitos outros trabalhos nesta área, no entanto dada a evidente limitação da escrita apresentam-se apenas alguns que se consideram representativos. 1.3 Os computadores no ensino da Matemática em vários países. Investigação recente. O projeto M@t.abel, desenvolvido em Itália destina-se a alunos da faixa etária 6-10 anos. Envolve o desenvolvimento de materiais de ensino e aprendizagem, e talvez mais importante a formação de professores para o uso destes materiais. São usados vários tipos de software matemático, incluindo o Excel e programas de geometria dinâmica. Os programas desenvolvidos destinam-se a apoiar as atividades de exploração e a estabelecer uma mediação entre os significados concretos que os alunos naturalmente trazem consigo, e os significados científicos mais abstratos. O projeto centra-se em quatro áreas temáticas: números e algoritmos, geometria, relações e funções e processamento de dados. Existem ainda três temas transversais: medida, conjetura e resolução de problemas. Outro projeto destinado ao ensino primário (3-8 anos) é o Sketchpad for young learners (SYL) nos Estados Unidos da América. Uma vez que não existe um currículo nacional (o currículo é estabelecido pelos estados membros ou pelas escolas distritais) o projeto SYL foi implementado com os currículos que sofreram reformas e desenvolvem-se materiais que se adequem a estes currículos. O objetivo principal do projeto é desenvolver sketchs e atividades que usem as capacidades de visualização dinâmica do sketchpad para ajudar os alunos a explorar e compreender conceitos matemáticos e a resolver problemas. Cada atividade é acompanhada de um guião de utilização pormenorizado, com sugestões para o professor adaptar. A maior parte das atividade são destinadas a uma situação de laboratório embora algumas estejam concebidas para usar com o grupo turma. ( ctivities_for_young_learners/sketchpad_for_grades_3-5/activities.html). 7

8 O projeto TELMA ( é um projeto europeu de investigação na área da tecnologia avançada de aprendizagem em matemática, apoiado pelo Network of Excellence Kaleidoscope. O projeto reúne seis equipas com um histórico de pesquisas relacionadas com o uso da tecnologia no ensino e aprendizagem da matemática. O objetivo do projeto é promover a integração de equipas participantes com diferentes experiências na utilização das tecnologias no ensino/aprendizagem da matemática. Estas diferentes visões poderão ser de grande valor didático e científico dentro e forma do Kaleidoscope bem como para a preparação de jovens investigadores. Na dissertação de mestrado intitulada "A aprendizagem da trigonometria num contexto de Aplicações e Modelação com recurso à folha de Cálculo." (Susana Carreira FCUL 1992) é apresentado um estudo sobre a introdução de aplicações e modelação no ensino da matemática utilizando a folha de cálculo, sem recurso à programação em visual basic. Em "From Programming to Visualization and Experimentation: A First University Experience" (Artigue 2007) salienta-se a importância da programação na aprendizagem de conceitos matemáticos e termina afirmando a insuficiência de investigação nesta área. Em "Mathematical Modeling with Microsoft Excel" (Neuwirth and Arganbright 2004) apresentam-se diversos problemas onde se usa a folha de cálculo Excel para construir modelos que permitam facilmente visualizar as relações entre determinado problema e o respetivo modelo no computador. No relatório "The Final Report of the National Mathematcis Advisory Panel" (SD- USA 2008), pode ler-se a seguinte recomendação "O Painel recomenda que a programação seja considerada como uma ferramenta efetiva, para os alunos do ensino básico, no desenvolvimento de conceitos específicos de Matemática e aplicações e para desenvolver a capacidade de resolver problemas. O relatório refere ainda que ainda não existem estudos rigorosos sobre outras categorias de software para fazer recomendações sobre a sua utilização. 2. OBJETIVOS 2.1 Objetivos gerais Com este projeto pretende-se estimular a melhoria das aprendizagens ao nível da matemática, das ciências experimentais e da tecnologia dos alunos e professores, do ensino básico ao superior. Em particular pretende-se: 8

9 A - Fortalecer as ligações Matemática Ciências Experimentais - Tecnologia na educação matemática desde o 1º ciclo ao superior; B - Melhorar a qualificação e a formação dos professores no estabelecimento destas ligações; C - Tirar partido do triângulo Matemática Ciências Experimentais Tecnologia para melhorar a comunicação da matemática ao público em geral (criação de sites). Elon Lages Lima matemático brasileiro reconhecido amplamente pelos contributos que tem dado na área do ensino da matemática defende que existem três componentes fundamentais para garantir uma aprendizagem efetiva da matemática, a saber conceptualização, manipulação e aplicações. Ele considera que é no equilíbrio destas três componentes que se poderá melhorar o processo ensino-aprendizagem da matemática em todas as suas dimensões. O desafio que se coloca com o desenvolvimento deste projeto é incluir em cada uma das componentes propostas por Elon Lages Lima a componente tecnologia (Figura 1). Não se pretende eliminar nenhuma componente, mas sim acrescentar uma nova vertente, a vertente computacional que irá proporcionar aos alunos oportunidades de estabelecer ligações que antes não eram fáceis de fazer, nomeadamente ao nível da compreensão dos conceitos matemáticos: por exemplo, quando os alunos desenvolvem uma aplicação para estudar a função derivada, quando criam uma aplicação para resolução de equações do segundo grau e, no estudo das aplicações da matemática, quando criam um programa (em Excel) para estudar o comportamento de uma mola sob a ação de um determinado peso. Conceptualização Manipulação Conceitos matemáticos/ formulações Representação de ideias/ gráficos Cálculo aritmético Cálculo algébrico/ simbólico Tecnologia Tecnologia Aplicações Matemática Ciências modelação Tecnologia Figura 1 - A tecnologia para o desenvolvimento da conceptualização, manipulação e aplicações. 9

10 Em suma o objetivo principal deste projeto consiste essencialmente em proporcionar aos alunos situações em que, partindo da observação de fenómenos, se possa criar um modelo matemático, simulá-lo computacionalmente e em seguida verificar a validade do modelo comparando os resultados obtidos através do modelo com os observados na realidade. Estas fases, observação, modelação simulação, verificação constituem o motor para o fortalecimento das ligações entre a matemática as ciências e a tecnologia. Pretende-se promover o desenvolvimento e utilização de aplicações em Excel, com módulos computacionais em Visual Basic, que permitam aos alunos estruturar o seu pensamento matemático e aprofundar os conhecimentos em diferentes temas do currículo nacional da disciplina de Matemática: Funções, geometria, números, álgebra e estatística (Kofler, 2003) As aplicações computacionais propostas, desenvolvidas pelos alunos e professores, incluem componentes de animação e interatividade cuja dinâmica facilita a compreensão e aprofundamento dos conceitos matemáticos envolvidos. Algumas delas permitem evidenciar as conexões entre vários tópicos da matemática, outras evidenciam as ligações entre a matemática e as outras ciências (Miller, et al., 2009) Como consequência deste trabalho com os alunos, surge naturalmente a necessidade de melhorar a qualificação dos professores (realização de ações de formação) bem como a necessidade de divulgar para o exterior os resultados do projeto (criação de sites). Tendo em conta que os professores, na sua grande maioria usam os manuais escolares quer na preparação das aulas, quer na sua realização, deverá haver um contributo nesta área. Assim, será criado um manual interativo (já em desenvolvimento) que incorpore as principais ideias do projeto nomeadamente no que diz respeito à apresentação dos textos que deverão conter ligações para aplicações computacionais. Neste manual será dada ênfase à realização de trabalhos interdisciplinares apresentando algumas ideias para possíveis concretizações. Uma vez que a principal ferramenta utilizada é a folha de cálculo, haverá também um espaço, no manual, para apresentação de conceitos básicos de Excel dando assim a possibilidade aos professores para desenvolverem aplicações de uma forma autónoma. 2.2 Objetivos específicos Pretende-se: Envolver os alunos na construção de aplicações computacionais com objetivos concretos para que eles clarifiquem e aprofundem conceitos matemáticos, desenvolvam o hábito de pensar de forma organizada e apliquem 10

11 os seus conhecimentos e os mobilizem no sentido de resolverem novas situações; Implementar com os alunos, uma estrutura de trabalho em rede (utilizando a plataforma Moodle) para partilha de materiais, discussão de tópicos de matemática abrindo assim novas possibilidades de comunicação entre os professores e os alunos; Desenvolver com os alunos trabalhos de natureza interdisciplinar, realçando as aplicações da matemática num contexto experimental e computacional; Estimular os professores a utilizarem os computadores nas aulas de matemática, de uma forma criativa e adequada à abordagem de cada conteúdo matemático, tentando ir ao encontro das dificuldades de cada aluno, bem como dos seus interesses e motivações. Para isso deverão ficar aptos para elaborarem instrumentos computacionais em Excel e/ou Geogebra, suscetíveis de criar abordagens inovadoras de temas curriculares; Desenvolver ações de formação para professores, com o objetivo de os dotar dos conhecimentos técnico/científicos e didáticos para posteriormente desenvolverem um processo de interação com os alunos através da referida forma de utilização conjunta da matemática, ciências e tecnologia; Criar páginas web (em português e em inglês) contendo todos os materiais desenvolvidos, descrição das atividades e aplicações computacionais criadas pelos professores e/ou pelos alunos. Continuar a elaboração do manual interativo "Estudar Matemática com a folha de cálculo", e alargar o projeto aos restantes níveis de ensino. 3. METODOLOGIA 3.1 Introdução Na sequência do desenvolvimento e implementação do Projeto Matemática Dinâmica no ano letivo 2008/2009, no nosso Agrupamento de Escolas, estabeleceu-se como prioridade, dar continuidade à metodologia adotada, mas agora de uma forma mais alargada aos restantes níveis de ensino. Considera-se importante a criação de oportunidades para que outros professores, com outras turmas, e em diferentes níveis de ensino, possam efetivamente utilizar os computadores, nas aulas de matemática em contexto curricular. Finalizado o projeto Matemática Dinâmica, novas perspetivas de trabalho ficaram abertas. Por um lado a experiência adquirida permite agora desenvolver as atividades de uma forma mais consistente rigorosa e alargada. Por outro lado, foi possível durante o 11

12 desenvolvimento deste projeto observar as reações dos alunos e a forma como eles encararam as propostas apresentadas que incluíam a utilização dos computadores. Considera-se que estão reunidas as condições para implementar uma metodologia assente no desenvolvimento das ligações Matemática - Ciências Experimentais - Tecnologia, em todos os níveis de ensino e com diferentes professores. 3.2 Metodologia do trabalho Apresentam-se em seguida algumas opções relativas a aspetos inerentes ao desenvolvimento do projeto, nomeadamente o software escolhido, a forma como se irá organizar o trabalho e planificar as atividades e as modalidades de formação a desenvolver. É de salientar ainda que, ao longo do seu desenvolvimento, opta-se frequentemente pela exploração de aplicações da matemática, nomeadamente ao nível da modelação de fenómenos naturais, o que implica ter em conta os quatro passos seguintes: 1. Observação/compreensão de fenómenos (Física e Astronomia) e estabelecimento de hipóteses simplificativas; 2. Desenvolvimento de modelos matemáticos adequados à descrição dos fenómenos em análise e definição de métodos matemáticos para obtenção das soluções; 3. Implementação computacional dos métodos adotados, tendo em conta os modelos escolhidos; 4. Exploração dos modelos computacionais desenvolvidos (estudando a influência dos vários parâmetros do modelo) e comparação dos resultados obtidos numericamente com os dados da observação. Escolha do software Para os alunos Deverão ser usadas ferramentas tecnológicas de simples utilização e acessíveis na generalidade dos computadores disponíveis na escola. Nesta ótica considera-se que as folhas de cálculo têm enormes potencialidades e, quando devidamente exploradas, proporcionam ambiente de aprendizagem muito ricos. A grande vantagem da utilização desta ferramenta tecnológica, em contraponto com outras, porventura com melhores características gráficas, prende-se com a possibilidade do desenvolvimento de aplicações com alguma sofisticação através de uma programação simples, o que as torna passíveis de um trabalho conjunto entre alunos e professores. Também o fato de a folha de cálculo não ter botões disponíveis para automatizarem os procedimentos torna a sua utilização dependente de uma correta formulação matemática do que se pretende implementar. É possível desenvolver aplicações computacionais de grande interesse para a aprendizagem da matemática recorrendo apenas a algumas funções básicas de 12

13 uma folha de cálculo como o Excel. Embora este programa esteja amplamente divulgado nas escolas, é de referir que existe uma versão de acesso livre (OpenOffice.org - Calc) que contem, no geral, as mesmas funcionalidades. Atualmente existe um tipo de programas de computador que denominamos por software de geometria dinâmica, cujos principais representantes são por ordem cronológica do seu aparecimento, o Cabri-Géomètre, o Geometer's Skecthpad e o Geogebra. O Geogebra é de acesso livro bastando fazer o seu download na página oficial. O recurso a programas computacionais de geometria dinâmica, de acordo com o Programa de Matemática do Ensino Básico (ME-DGIDC, 2007), favorece a compreensão dos conceitos e relações geométricas (2.º ciclo) e deve ser utilizado em tarefas exploratórias e de investigação (3.º ciclo). Relativamente ao 1.º ciclo este documento, embora não faça referência à utilização destes programas, menciona a importância da utilização do computador em sala de aula de modo a possibilitar explorações que podem enriquecer as aprendizagens realizadas no âmbito da Geometria. Por estas razões será também utilizado o Geogebra para o desenvolvimento de atividades com os alunos. Para os professores No que diz respeito aos professores considera-se fundamental que estes atualizem frequentemente a sua formação científica. Pretende-se com o desenvolvimento deste projeto fornecer aos professores uma formação complementar em áreas da Matemática fundamentais para o ensino desta disciplina, fazendo uso dos conhecimentos adquiridos e complementando-os de modo integrado, abordando problemas internos à Matemática ou oriundos de outras ciências, que reforcem a interdisciplinaridade e a ligação entre diferentes áreas da própria Matemática. Assim irá recorrer-se ao MatLab, que é um ambiente de programação para o desenvolvimento de algoritmos, análise de dados, visualização e cálculo numérico. Um bom exemplo para utilização do MatLab consiste em desenvolver modelos tridimensionais de conchas usando os conhecimentos de geometria (Figura 2) Figura 2 - Programa desenvolvido em MatLab inspirado no artigo "Aprendendo geometria com os moluscos: a forma necessária das conchas" (Picado, 2007) 13

14 Organização do trabalho na aula com os alunos O trabalho será desenvolvido ao longo do ano letivo 2012/2013, com duas turmas de 6º ano e duas turmas do 3º ciclo em ambiente de sala de aula (contexto curricular) com uma periodicidade semanal ou quinzenal conforme se justifique. Irá envolver também as turmas do 4º ano também em contexto de sala de aula. Uma componente importante do projeto consiste em desenvolver um trabalho continuado e sistemático logo desde o início do ano, para que os procedimentos básicos (informáticos) inerentes aos programas e indispensáveis para desenvolver as aplicações, sejam rapidamente interiorizados pelos alunos. Os professores envolvidos são professores do ensino regular do agrupamento. Existirá um computador portátil disponível para cada grupo de dois alunos (nos 1º 2º e 3º ciclos). Deverá existir ligação à internet e um quadro interativo nas salas de aula. O papel do professor é determinante para o sucesso do desenvolvimento das atividades. Assim, o professor deve estabelecer um equilíbrio entre aquilo que constitui o trabalho autónomo dos alunos e as sugestões que fornece ao aluno para que ela possa progredir no trabalho. Se estas sugestões forem excessivas a resposta do aluno será ilusória. É necessário dar tempo suficiente aos alunos e oportunidade para assumir a sua própria responsabilidade pelo desenvolvimento da tarefa. Existirá um acompanhamento do trabalho dos alunos, por parte dos professores com recurso ao correio eletrónico por forma a garantir que seja fornecido aos alunos todo o apoio necessário para dar continuidade ao trabalho dos alunos. Planificação das atividades Os professores da equipa do projeto reunirão semanalmente para planificarem as atividades, criarem materiais, fichas, guiões e aplicações computacionais. Existirão ainda reuniões intercalares para proceder a avaliações intermédias do projeto. Ações de formação A par do desenvolvimento das atividades referidas anteriormente com os alunos, considera-se de importância crucial, proporcionar aos professores um maior conhecimento ao nível das ferramentas tecnológicas que têm ao seu dispor. Os professores precisam de adquirir um maior à vontade na utilização dos computadores com os alunos em contextos curriculares, bem como adquirir sensibilidade para escolherem o software que melhor se adequa às suas necessidades. Neste contexto desenvolver-se-ão ações de formação dirigidas para docentes do ensino básico e secundário no sentido de contribuir para o desenvolvimento de uma nova forma de olhar a Matemática, realçando as suas aplicações e a sua vertente experimental e computacional. As ações têm como objetivo a criação de instrumentos computacionais e 14

15 a exemplificação de como eles podem ser utilizados em sala de aula no tratamento de conceitos e na resolução de problemas nesta área. Colaboração com o Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Serão realizadas visitas de estudo com os alunos do 3º ciclo ao laboratório de Estruturas do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa para que eles se familiarizem com os equipamentos de medidas de diversas grandezas existentes no laboratório, e constatem o interesse da comparação dos resultados de modelos com os resultados experimentais para análise de diversas estruturas. Estas visitas têm carácter predominantemente prático e têm como objetivo principal sensibilizar os alunos para a importância da matemática na engenharia. 3.3 Resultados esperados O presente projeto assenta numa abordagem em que a resolução de problemas, as relações entre a matemática e as outras ciências, a realização de projetos e a integração das tecnologias são fundamentais. Espera-se que os alunos desenvolvam competências ao nível da resolução de problemas, que desenvolvam capacidades para utilizar a matemática (de forma autónoma) para modelar fenómenos observáveis recorrendo a modelos computacionais (numéricos), e que utilizem sempre que necessário as tecnologias para o desenvolvimento de projetos e para solucionar problemas matemáticos. Neste contexto, a evolução dos alunos ao longo do ano constitui um fator importante de verificação sobre se os resultados esperados estão ou não a ser alcançados. A análise da evolução dos alunos será feita com base em observações, entrevistas periódicas e documentos escritos tais como trabalhos, testes e relatórios produzidos pelos próprios alunos bem como das aplicações computacionais. 3.4 Participantes no projeto O projeto decorrerá no Agrupamento de Escolas Piscinas-Olivais. Os participantes serão essencialmente os alunos e os professores (1º, 2º e 3º ciclos). As escolas onde irão decorrer este estudo são estabelecimentos do ensino público situadas no concelho de Lisboa. Prevê-se ainda solicitar a colaboração dos encarregados de educação, dando a conhecer o projeto logo no início do ano letivo, para que eles incentivem e apoiem os alunos no desenvolvimento dos trabalhos que vierem a ocorrer, nomeadamente ao nível da disponibilização de internet em casa. 15

16 O projeto terá uma consultora, a professora Suzana Nápoles do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, que reunirá com a coordenadora do projeto para avaliar o seu desenvolvimento. 3.5 Concretização do trabalho Para se alcançar os objetivos anteriormente referidos, um conjunto de tarefas e métodos de trabalho são absolutamente fundamentais: 1. Caracterização do perfil dos alunos das turmas em estudo. 2. Seleção dos conteúdos programáticos em cada um dos níveis de ensino: 3. Criação de materiais (fichas de trabalho e/ou aplicações computacionais) a disponibilizar aos professores envolvidos. As fichas de trabalho deverão fazer-se acompanhar por um guião para o professor. Será dada continuidade ao desenvolvimento do manual interativo intitulado "Estudar Matemática com a folha de cálculo. Atividades para o 3º ciclo e secundário". 4. Implementação efetiva em sala de aula por parte dos professores aplicadores. 5. Recolha de dados que possibilite a análise de resultados, através da observação de factos, registos, realização de entrevistas e questionários. Evidenciar aspetos únicos e verdadeiramente essenciais nos casos em estudo. Confrontar com outras situações. 6. Avaliação do trabalho. Na tabela seguinte exemplifica-se a articulação entre as atividades propostas e algumas das competências enunciadas no Programa Nacional de Matemática do Ensino Básico para um tópico do currículo de matemática do 3º ciclo. Na coluna da direita indica-se o tipo de atividade que se prevê desenvolver com os alunos por forma a desenvolver as competências descritas (na coluna da esquerda) Números Esta unidade assenta em atividade/problemas que, aproveitando aspetos lúdicos da Matemática levem o aluno a conhecer melhor os números Brincando, experimentando, explorando e exercitando o cálculo mental, ir-se-ão descobrindo propriedades e relações começando a sistematizar algumas delas. Apesar dos alunos já conhecerem números negativos, vai trabalhar-se com números positivos fundamentalmente com números naturais. A calculadora utilizada de forma racional e criativa, tirando partido das suas potencialidades, será um bom auxiliar deste tipo de trabalho. A generalização de alguns problemas tornará mais claro para o aluno a noção de variável, já 16

17 presente no 2º ciclo em fórmulas de áreas e volumes. Programa Matemática Plano de organização do Ensino-Aprendizagem Volume II Ensino Básico 3º ciclo DO PROGRAMA: ACTIVIDADES JÁ DESENVOLVIDAS...descobrindo propriedades e relações... Utilizando o Excel os alunos constroem tabelas de múltiplos e de divisores. Para isso deverá fazer-se uma reflexão sobre como construir tais tabelas. Em seguida utilizando as tabelas feitas pelos próprios alunos -Descobrem propriedades e regularidades e fazem sistematizações. -Resolvem problemas...aproveitando aspectos lúdicos da Matemática... Utilizando o software educacional disponibilizado pelo Ministério da Educação ClicMat, os alunos jogam o jogo Trinca-Espinhas. Inicialmente para conhecer o jogo, os alunos brincam, experimentam e exploram. Seguidamente desenvolvem uma estratégia que lhes permita ganhar. Faz-se uma discussão com o grupo turma aproveitando cada sugestão para elaborar um relatório final. Nesse relatório realçam-se os aspetos matemáticos do jogo....a generalização de alguns problemas tornará mais claro para o aluno a noção de variável... Utilizando o Excel e perante uma determinada proposta de trabalho apresentada pela professora, os alunos descobrem uma regra. Testam a regra para vários casos e tentam descobrir se existirá algum caso que a contrarie. Em seguida faz-se a demonstração e generaliza-se. Este trabalho é bastante facilitado com a utilização de uma folha de cálculo, utilizando módulos computacionais desenvolvidos para apoio às atividades ou criando os alunos os seus próprios módulos. 17

18 ...vai trabalhar-se com números positivos fundamentalmente com números naturais. Uma aplicação da Matemática: Segredos escondidos no número do teu bilhete de identidade Número de controle é o dígito que surge a seguir ao número do bilhete de identidade de cada cidadão. Os alunos tentam descobrir o seu significado. Descobrem uma regra que lhes permita descobrir o número de controle. Desenvolvem um módulo computacional em Excel para verificar se o número que consta num bilhete de identidade é ou não válido....levem o aluno a conhecer melhor os números. Uma aplicação da Matemática: No jardim-de-infância Este problema retirado do Projeto 1000 itens permite aos alunos estudar as propriedades dos números bem como estabelecer generalizações num contexto de uma situação concreta. Nesta forma de trabalho, os alunos trabalham em grupos de dois tendo como proposta de trabalho, resolver o problema em causa e desenvolver uma apresentação para a turma. O recurso à folha de cálculo Excel surge de uma forma natural sem ter sido proposto pela professora. No entanto os alunos dispõem dos computadores portáteis. Nesta fase, os alunos já estão familiarizados com o trabalho com recurso ao computador e optam por resolver o problema utilizando o Excel elaborando em seguida uma apresentação em Power Point. 18

19 Propõe-se ainda neste trabalho, a realização de trabalhos de projeto nos três níveis de ensino privilegiando as relações entre a Matemática e a Astronomia e entre a Matemática e a Física: Matemática e Astronomia Será dada ênfase à observação de fenómenos naturais relacionados com a Astronomia. A observação do movimento aparente do Sol, a constatação de que o comprimento da sombra de uma vara ao longo de um dia varia, bem como ao longo de um ano, o reconhecimento da importância dos instrumentos de navegação para a orientação no mar, são tarefas que os alunos poderão realizar e em seguida confrontar os resultados obtidos com os resultantes da modelação. Serão desenvolvidas as seguintes aplicações computacionais que simulam fenómenos astronómicos: visualização do movimento aparente do Sol ao longo de um dia e variação da sombra de uma vara (gnómon), para diferentes latitudes. graduação de um mostrador de um relógio de sol para diferentes latitudes. Recriação da experiência realizada por Eratóstenes para medir o perímetro da Terra e da medição de distâncias inacessíveis realizada por Tales. simulação do funcionamento do astrolábio, um instrumento fundamental para a navegação na época dos descobrimentos O recurso à contextualização histórica dos conceitos matemáticos e a análise da sua evolução ao longo dos tempos proporciona, desde abordagens simples próximas da génese dos conceitos suscetíveis de serem recriadas virtualmente [tais como a determinação de distâncias inacessíveis], até abordagens mais complexas que conduzem à modelação de problemas cujas origens se perdem no tempo [tais como a construção de relógios de Sol e de instrumentos de navegação], ou associadas a problemas bem conhecidos [tais como ascensão e queda de corpos, movimentos vibratórios, leis de Kepler]. Apresenta-se em seguida um exemplo de parte de uma atividade que poderá ser desenvolvida num contexto de trabalho de projeto, recorrendo à aplicação relógios-desol.xls (Figura 3). 19

20 O que as sombras nos contam... Movimento aparente do Sol O ciclo celeste fundamental observado da Terra é, naturalmente, o da sucessão dos dias e das noites. Em cada dia, o Sol levanta se no horizonte local do lado Este e põe se do lado Oeste. O Sol descreve um arco através do céu. Ao meio dia, a meio caminho entre o nascer e o pôr do Sol, este está na sua posição mais alta relativamente ao horizonte. À medida que as estações vão passando vão se alternando os pormenores da trajectória do Sol através do céu. Durante o Inverno, no hemisfério norte, o Sol nasce e põe se mais a sul, a sua altura ao meio dia é mais baixa e, portanto a sua passagem no céu diurno leva menos tempo. No Verão o Sol nasce e põe se mais a norte, a sua altura ao meio dia é superior e a sua passagem no céu leva mais tempo. Se fixarmos uma estaca no chão que faça um ângulo com o solo igual à latitude do lugar onde nos encontramos, e em seguida marcarmos a extremidade da sombra projectada no chão pela estaca, observamos diferentes formas ao longo do ano! Com auxílio da seguinte aplicação computacional realiza várias experiências. Podes fazer variar a latitude do lugar bem como a época do ano! Figura 3 Relogios de Sol.xls 20

21 Matemática e Física Serão desenvolvidas aplicações destinadas a ilustrar os fenómenos físicos seguintes: Estudo do comportamento de uma mola (Figura 4). Este exemplo poderá ser abordado de diferentes formas, consoante o nível de ensino a que se destina. Seguidamente apresentam-se aplicações computacionais que simulam o movimento de uma mola (Oliveira, et al., 2010) Figura 4 - Interface da aplicação computacional mola.xls Com auxílio das barras de deslocamento pode-se fazer variar a rigidez da mola e o peso suspenso. 21

22 Na tabela seguinte apresenta-se um tópico do currículo de matemática do 3º ciclo e algumas das competências enunciadas no Programa Nacional de Matemática do Ensino Básico. Na coluna da direita indica-se o tipo de atividade que se prevê desenvolver com os alunos por forma a desenvolver as competências descritas (na coluna da esquerda). Números Esta unidade assenta em atividade/problemas que, aproveitando aspetos lúdicos da Matemática levem o aluno a conhecer melhor os números Brincando, experimentando, explorando e exercitando o cálculo mental, ir-se-ão descobrindo propriedades e relações começando a sistematizar algumas delas.. Apesar dos alunos já conhecerem números negativos, vai trabalhar-se com números positivos fundamentalmente com números naturais. A calculadora utilizada de forma racional e criativa, tirando partido das suas potencialidades, será um bom auxiliar deste tipo de trabalho. A generalização de alguns problemas tornará mais claro para o aluno a noção de variável, já presente no 2º ciclo em fórmulas de áreas e volumes. Programa Matemática Plano de organização do Ensino-Aprendizagem Volume II Ensino Básico 3º ciclo DO PROGRAMA: ACTIVIDADES JÁ DESENVOLVIDAS...descobrindo propriedades e relações... Utilizando o Excel os alunos constroem tabelas de múltiplos e de divisores. Para isso deverá fazer-se uma reflexão sobre como construir tais tabelas. Em seguida utilizando as tabelas feitas pelos próprios alunos -Descobrem propriedades e regularidades e fazem sistematizações. -Resolvem problemas...aproveitando aspectos lúdicos da Matemática... Utilizando o software educacional disponibilizado pelo Ministério da Educação ClicMat, os alunos jogam o jogo Trinca-Espinhas. Inicialmente para conhecer o jogo, os alunos brincam, experimentam e exploram. 22

23 Seguidamente desenvolvem uma estratégia que lhes permita ganhar. Faz-se uma discussão com o grupo turma aproveitando cada sugestão para elaborar um relatório final. Nesse relatório realçam-se os aspectos matemáticos do jogo....a generalização de alguns problemas tornará mais claro para o aluno a noção de variável... Utilizando o Excel e perante uma determinada proposta de trabalho apresentada pela professora, os alunos descobrem uma regra. Testam a regra para vários casos e tentam descobrir se existirá algum caso que a contrarie. Em seguida faz-se a demonstração e generaliza-se. Este trabalho é bastante facilitado com a utilização de uma folha de cálculo, utilizando módulos computacionais desenvolvidos para apoio às actividades ou criando os alunos os seus próprios módulos....vai trabalhar-se com números positivos fundamentalmente com números naturais. Uma aplicação da Matemática: Segredos escondidos no número do teu bilhete de identidade Número de controle é o dígito que surge a seguir ao número do bilhete de identidade de cada cidadão. Os alunos tentam descobrir o seu significado. Descobrem uma regra que lhes permita descobrir o número de controle. Desenvolvem um módulo computacional em Excel para verificar se o número que consta num bilhte de identidade é ou não válido....levem o aluno a conhecer melhor os números. Uma aplicação da Matemática: No jardim de infância Este problema retirado do Projecto 1000 itens permite aos alunos estudar as propriedades dos números bem como estabelecer generalizações num contexto de uma situação concreta. 23

24 Nesta forma de trabalho, os alunos trabalham em grupos de dois tendo como proposta de trabalho, resolver o problema em causa e desenvolver uma apresentação para a turma. O recurso à folha de cálculo Excel surge de uma forma natural sem ter sido proposto pela professora. No entanto os alunos dispõem dos computadores portáteis. Nesta fase, os alunos já estão familiarizados com o trabalho com recurso ao computador e optam por resolver o problema utilizando o Excel elaborando em seguida uma apresentação em Power Point. 24

25 3.6 Cronograma das atividades Aquisição de computadores. Verificação das condições materiais existentes Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ag Set Out Nov Dez Planificação anual Planificação do trabalho a desenvolver com os alunos no 1º período Planificação do trabalho a desenvolver com os alunos no 2º período Planificação do trabalho a desenvolver com os alunos no 3º período Implementação das atividades com os alunos Definição do Layout da página web Preparação dos textos, aplicações computacionais e trabalhos realizados pelos alunos e sua inserção na página Tradução da páginaweb para inglês Continuação do desenvolvimento do manual interativo "Estudar matemática com a folha de cálculo" Ações/oficinas de formação Análise dos trabalhos realizados pelos professores Balanço Intermédio do projeto Avaliação final do projeto Sessões de divulgação no agrupamento 25

26 3.7 Validade externa, interna e fiabilidade É natural que, ao longo do desenvolvimento do projeto se questione sobre se existe ou não a possibilidade de estabelecer conclusões gerais quando se envolvem no projeto apenas algumas turmas. O projeto que se pretende desenvolver deverá assumir um "caráter" crítico, na medida em que irá permitir confirmar, alterar ou ampliar o conhecimento sobre o objeto em estudo, neste caso a utilização dos computadores no ensino da matemática. No decorrer do desenvolvimento das atividades haverá a preocupação de interpretar os dados, no sentido de obter explicações para aspetos particulares do caso que se pretende analisar. No entanto, e apesar de não se poder falar em generalização dos resultados no sentido tradicional do termo, espera-se que os resultados alcançados, possam ser devidamente analisadas por outros professores e incorporados nas suas práticas letivas em contextos semelhantes. A fiabilidade de um estudo científico relaciona-se com a possibilidade de diferentes investigadores, utilizando os mesmos instrumentos, poderem chegar a resultados idênticos (Schofield, 1993). Neste projeto, esta questão da fiabilidade encontra alguns obstáculos pois efetivamente as situações são irrepetíveis e nada poderá ser reconstruído. As turmas têm cada uma as suas características, e os professores têm estilos próprios e motivações diferentes. No entanto, para que o projeto tenha pertinência e validade, a questão da fiabilidade deve ser colocada. Yin aborda esta questão da fiabilidade e incentiva os intervenientes do projeto a realizarem descrições pormenorizadas de todos os fatores envolvidos e a "conduzir os trabalhos como se alguém estivesse sempre a espreitar por cima do seu ombro" (Yin, 1994). Assim, é importante descrever nos relatórios (intermédios e final) todos os aspetos que se considerem relevantes de uma forma bastante pormenorizada para que o desenvolvimento deste projeto possa sugerir pistas para investigações futuras. A validade interna de um estudo relaciona-se com o rigor ou precisão dos resultados obtidos. É importante reduzir ao mínimo a influência da subjetividade inerente à pessoa que idealiza o projeto. É importante garantir que "as interpretações que os professores fazem, não são fragmentos da sua imaginação" e que não existe falta de objetividade nas conclusões obtidas. Considera-se importante para o desenvolvimento do presente projeto recorrer a uma consultadoria externa. Terá como função, acompanhar o projeto, sugerir alterações quando necessárias e ajudar na redefinição de estratégias de atuação. O consultor será um professor de Matemática do Ensino Superior. Pontualmente existiram pequenas reuniões internas de divulgação do projeto, dirigidas essencialmente para os professores de grupo de matemática. Alguns destes 26

27 professores poderão voluntariamente participar em aulas ou nas suas planificações, como observadores externos, dando assim o seu contributo para uma maior objetividade do trabalho. 27

28 4. DESPESAS AFETAS AO PROJETO Material e recursos Preço estimado (euros) 39 Computadores: 15 para a Escola E.B. 2,3 Piscinas Olivais para a Escola EB1 nº para a Escola EB1 nº impressoras 800 Serviços de uma tradutora para tradução da página web 3000 Serviços de web designer Conceção da página e atualização Formação em Joomla 475 Material bibliográfico Total

29 BIBLIOGRAFIA Abelson, G., Sussman e J., Sussman Structure and interpretation of computer programs. Cambridge, Mass. : MIT press, Artigue, M The Future of Teaching and Learning Mathematics with digital technologies. Paris : Springer, Bogdan, R e Taylor, S Introduction to Qualitative Research Methods. s.l. : Willey, Bogdan, S. e Biklen, S Investigação Qualitativa em Educação. Porto : Porto Editora, Gomez, G., Lecompte, M. e Jimenez, E Metodologia de la investigacion cualitativa. Malaga : Ediciones Aljibe, Hoyles, C e Lagrange, J.B Mathematics Education and Technology - Rethinking the terrain. s.l. : Springer, Hoyles, C. e Noss, R Synthesising mathematical conceptions and their formalisation through the construction of a LOGO-based school mathematics curriculum. s.l. : International Journal of Mathematics Education and Science and Technology, [Online] [Citação: 2 de Abril de 2012.] Joubert, Marie Classroom Mathematical Learning with Computers: the computer, the teacher and the task. Bristol : University of Bristol, Kissane, B Learning mathematics on the internet. Bangkok, Thailand : Murdoch University, Kofler, M Definitive Guide to Excel VBA. s.l. : Springer-Verlag, Mason, J Generalisation and algebra: exploiting children's powers. London : L. Haggarty, Merriam, S Qualitative Research and Case Studies Applications in Education: Revised and Expanded from Case Study Research in Education. San Francisco : Jossey- Bass Publishers, Miller, D e Sugden, J Insight into the Fractional Calculus via a Spreadsheet. s.l. : ejsie, MST A Joint Promotion of Mathematics, Science and Technology (MST). s.l. : A Joint Promotion of Mathematics, Science and Technology (MST), Oliveira, M e Nápoles, S Using a Spreadsheet to Study the Oscillatory Movement of a Mass-Spring System. s.l. : ejsie, Papert, S Situating Constructionism.In I. Harel & S. Papert (eds) Constructionism. New Jersey : Ablex Publisshing Corporation., Picado, J Aprendendo geometria com os moluscos. s.l. : Univ. Coimbra,

30 Schofield, J Increasing the geberalizability of qualitative research. London : The Open University Press, Sinclair, N Mathematics on the internet. Berkshire, UK : Open University Press, Vale, I Didática da Matemática e Formação Inicial de Professores num Contexto de Resolução de Problemas e de Materiais Manipuláveis. Aveiro : Universidade de Aveiro, Yin, R Case Study Research: Design and Methods. Oaks : CA: SAGE Publications,

31 ANEXO HISTÓRICO DE EXPERIÊNCIA DA INSTITUIÇÃO PROPONENTE EM PROJETOS DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS 31

32 O PROJETO "MATEMÁTICA DINÂMICA" Projeto submetido ao concurso da Fundação Ilídio Pinho "Ciência na Escola" ano letivo 2008/2009 Coordenadora: Margarida Oliveira (Matemática) O projeto Matemática Dinâmica foi desenvolvido ao longo do ano letivo 2008/2009 na Escola EB 2,3 Piscinas-Lisboa e consistiu na utilização de diferentes ferramentas tecnológicas para ajudar os alunos a compreender melhor alguns conceitos matemáticos, que constam do currículo nacional da disciplina de Matemática. Estiveram envolvidas duas turmas do 7º ano de escolaridade que ao longo do ano, e com atividades desenvolvidas dentro da sala de aula se familiarizaram com dois importantes programas, nomeadamente o Excel que se pode encontrar em qualquer computador pessoal e o Geogebra que é um programa de acesso livre de apoio ao estudo da geometria. Houve também a preocupação de desenvolver atividades de carácter interdisciplinar por forma a sensibilizar os alunos para as aplicações da Matemática. Por isso foram estudados temas como o significado do número de controlo dos nossos bilhetes de identidade, a evolução dos calendários desde os egípcios até aos atuais, a medição do perímetro da Terra pelos antigos e a observação dos comprimentos das sombras para medir distâncias incessíveis, entre outros. Todos estes assuntos foram abordados recorrendo a programas computacionais desenvolvidos para ilustrar melhor os conceitos matemáticos envolvidos. Outra vertente especialmente relevante neste projeto consistiu também no desenvolvimento pelos próprios alunos de pequenos módulos computacionais, atividade que lhes permitiu estruturar o pensamento matemático e aprofundar os seus conhecimentos em diferentes temas de Matemática. De referir ainda que a utilização e/ou construção destes módulos é fundamental pois a sua vertente dinâmica em contraposição à apresentação estática dos manuais, abre novas perspetivas e permite olhar para o mesmo tema de diferentes pontos de vista. No sentido de alargar esta experiência a toda a comunidade educativa foi desenvolvido uma página web (Figura 5) onde se pode consultar e utilizar os materiais desenvolvidos e ainda observar os trabalhos realizados pelos alunos ao longo do ano. No referido site, os professores podem ainda fazer o download dos programas existentes e utilizá-los com os seus próprios alunos. Têm também ao seu dispor algumas orientações para adquirirem os conhecimentos básicos de Excel, permitindo-lhes assim desenvolver outras aplicações computacionais. A página apresenta ainda fotos ilustrativas do trabalho desenvolvido com os alunos, bem como os comentários dos alunos sobre o projeto, uma galeria de posters da exposição realizada na escola e links considerados úteis. 32