CENTRO TECNOLÓGICO MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO SILVIO FIGUEIREDO GOMES JÚNIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO SILVIO FIGUEIREDO GOMES JÚNIOR MÉTODOS NÃO CONVENCIONAIS DE RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA, APLICADOS AO CAMPEONATO MUNDIAL DE FÓRMULA NITERÓI 2006

2 SILVIO FIGUEIREDO GOMES JÚNIOR MÉTODOS NÃO CONVENCIONAIS DE RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA, APLICADOS AO CAMPEONATO MUNDIAL DE FÓRMULA Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de concentração: Sistemas, Apoio à Decisão e Logística. Orientador: Prof. Dr. JOÃO CARLOS CORREIA BAPTISTA SOARES DE MELLO Niterói 2006

3 SILVIO FIGUEIREDO GOMES JÚNIOR MÉTODOS NÃO CONVENCIONAIS DE RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA, APLICADOS AO CAMPEONATO MUNDIAL DE FÓRMULA Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de concentração: Sistemas, Apoio à Decisão e Logística. Aprovada em BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. João Carlos Correia Baptista Soares de Mello - Orientador Universidade Federal Fluminense Prof. PhD. Annibal Parracho Sant Anna Universidade Federal Fluminense Prof. Dr. Armando Zeferino Milioni Universidade Federal do ABC Niterói 2006

4 Este trabalho é dedicado à minha avó Elza Brandão Raeli, por sempre me fazer vislumbrar as belezas da vida através do seu carinho, afeto e dedicação ao longo de toda minha vida. Sua presença estará sempre presente em minha memória e no meu coração! Te amo muito!!!!!

5 AGRADECIMENTOS A Deus, pela força nos momentos difíceis! Ao meu orientador, Prof. João Carlos Correia Baptista Soares de Mello, pelos ensinamentos em DEA e também por todo o apoio, dedicação, confiança e palavras de estímulo ao longo desta caminhada. À Profª. Maria Helena Campos Soares de Mello por todo carinho e atenção de uma verdadeira mãe a mim dedicados. Aos meus filhos, Gabriel Raeli e Júlia Raeli, fonte de toda minha vontade de viver. Aos meus pais, Silvio e Cecília, pelo amor incondicional dedicado por toda uma vida. A meu irmão André por todo incentivo e ajuda. A todos os amigos que, direta ou indiretamente, me incentivaram à realização deste trabalho.

6 Só se tem saudade do que é bom, se chorei de saudade não foi por fraqueza, mas porque amei... Diácono Nelsinho Correia

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO, p. 3. MOTIVAÇÃO, p. 3.2 OBJETIVO, p. 5.3 ESTRUTURA DO TRABALHO, p. 6 2 ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS (DEA), p INTRODUÇÃO, p MODELAGEM DEA, p MODELOS DEA CLÁSSICOS, p Modelo CCR, p Modelo BCC, p PRINCIPAIS PROPRIEDADES, VANTAGENS E LIMITAÇÕES DOS MODELOS DEA, p Propriedades, p Vantagens, p Limitações, p RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA, p Restrições diretas aos pesos, p Método de Regiões de Segurança, p Restrições aos Inputs e Outputs virtuais, p MODELOS DEA COM INPUT UNITÁRIO, p O CAMPEONATO MUNDIAL DE FÓRMULA, p HISTÓRIA DA FÓRMULA, p MAIORES EVOLUÇÕES DOS CARROS NA FÓRMULA, p CRITÉRIOS DE PONTUAÇÃO NA FÓRMULA, p. 5 4 AVALIAÇÃO DA EFICIÊNCIA DOS PILOTOS NO CAMPEONATO MUNDIAL DE FÓRMULA UTILIZANDO DEA, p. 56

8 4. INTRODUÇÃO, p DEFINIÇÃO E SELEÇÃO DAS DMUs, p DEFINIÇÃO E SELEÇÃO DAS VARIÁVEIS, p DEFINIÇÃO E APLICAÇÃO DO MODELO DEA, p RESULTADOS, p CONSIDERAÇÕES FINAIS, p CONCLUSÕES, p SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS, p REFERÊNCIAS, p. 77

9 LISTA DE FIGURAS Figura 2. Curva de um Processo Genérico de Produção, p. 9 Figura 2.2 Produtividade x Eficiência, p. 20 Figura 2.3 Fronteira de eficiência DEA, p. 22 Figura 2.4 Fronteira CCR Orientação a Input, p. 26 Figura 2.5 Fronteira CCR Orientação a Output, p. 28 Figura 2.6 Projeções das Orientações na Fronteira VRS, p. 29 Figura 2.7 Representação das fronteiras BCC e CCR, p. 3 Figura 3. Fangio/Maserati, GP da Alemanha 957, p. 44 Figura 3.2 Evolução da Lotus 25 modelo de 962 com o modelo utilizado no fim de 963, p. 44 Figura 3.3 A Fórmula pára em luto pela morte do seu campeão Jochen Rindt, p. 45 Figura 3.4 Lotus 49 primeiro carro a utilizar as cores do patrocinador, p. 45 Figura 3.5 Lotus 72D pilotado por Émerson Fittipaldi em 972, p. 46 Figura 3.6 Senna e Prost venceram 5 das 6 provas disputadas na temporada de 986, p. 47 Figura 3.7 Ferrari, McLaren, Benetton e Williams da temporada de 993, p. 48 Figura 3.8 Acidente fatal de Ayrton Senna no GP de San Marino em 0/05/994, p. 48 Figura 3.9 Senna e Mansell na disputa pela vitória do GP da Espanha de 986, p. 54 Figura 3.0 Chegada do GP da Áustria de 2002 Schumacher e Barrichello, p. 55

10 LISTA DE TABELAS Tabela 3. Pontuação da Fórmula a partir de 2003, p. 53 Tabela 4. Dados do modelo I, p. 59 Tabela 4.2 Eficiência e pesos (até a 0ª posição) calculados pelo modelo I DEA, p. 60 Tabela 4.3 Comparação entre as classificações DEA modelo I e a Oficial, p. 6 Tabela 4.4 Eficiência e pesos (até a 0ª posição) calculados pelo modelo II DEA, p. 64 Tabela 4.5 Comparação entre as classificações DEA modelo II e a Oficial, p. 65 Tabela 4.6 Dados do modelo DEA para esporte olímpico, p. 66 Tabela 4.7 Resultados do modelo DEA para esporte olímpico, p. 67 Tabela 4.8 Resultados do modelo DEA com apenas 8 outputs, p. 68 Tabela 4.9 Comparação entre as classificações DEA com 8 outputs e a Oficial, p. 69 Tabela 4.0 Dados e resultado do modelo auxiliar (equipes), p. 7 Tabela 4. Dados do modelo III, p. 7 Tabela 4.2 Eficiência e pesos (até a 0ª posição) calculados pelo modelo III DEA, p. 72 Tabela 4.3 Comparação entre as classificações DEA (final) e Oficial, p. 73

11 RESUMO Este trabalho analisa os resultados obtidos pelos pilotos no ano de 2005 no Campeonato Mundial de Fórmula, segundo a metodologia multicritério Data Envelopment Analysis DEA, que é uma técnica de programação matemática para avaliação de eficiência produtiva entre diversas unidades, denominadas unidades tomadoras de decisão (DMU), segundo os recursos utilizados na obtenção de seus produtos, diferentemente dos métodos multicritério adotados atualmente para estabelecer a classificação da competição, que permite manipulações e distorções nos resultados. Introduz-se um modelo não-arquimediano de restrições aos pesos capaz de distinguir DMUs aparentemente eficientes quando na verdade são ineficientes, que possibilita uma classificação dos pilotos mais justa para o campeonato. Palavras-chave: DEA. Restrições aos Pesos. Fórmula.

12 ABSTRACT This paper analyzes using Data Envelopment Analysis - DEA the outcomes obtained by the pilots in the Formula One World Championship in the year Differently of the multicritéria ordinal method currently used to establish the classification of the competition, the method considered here takes to account all the results gotten for each pilot in a way benevolent, in such a way as to reduce inevitable distortions. A new non-archimedian model of weights restrictions makes possible to distinguish the apparently efficient DMUs that they are in the truth inefficient, making possible a fairer classification of the pilots for the championship. Key-words: DEA. Weights restrictions. Formula One.

13 INTRODUÇÃO. MOTIVAÇÃO A Pesquisa Operacional (PO) lida com problemas de como conduzir e coordenar certas operações em uma organização, e tem sido aplicada a diversas áreas, tais como indústria, transportes, telecomunicações, finanças, saúde, serviços públicos, operações militares etc. A PO baseia-se, principalmente, no método científico para tratar de seus problemas. A observação inicial e a formulação do problema estão entre os mais importantes passos da solução de um problema por PO. O sucesso e credibilidade ganhos durante a 2ª Guerra Mundial, período em que a PO teve início, foram tão grandes que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade. Face ao seu caráter multidisciplinar, a PO é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial. Atualmente, encontra-se grande aplicabilidade da PO em esportes, buscando estabelecer classificações mais justas para os mais diversos tipos de campeonatos, organizar tabelas, interpretar resultados, fazer previsões, etc. Hoje a PO é aplicada para análise de competições de futebol, basquetebol, golfe, tênis, corridas de cavalo, etc. Como atualmente o mercado de apostas movimenta um grande volume de dinheiro nos esportes, vários estudos podem ser encontrados utilizando diversos métodos que associam a

14 4 PO e a Estatística para indicar possíveis resultados e fornecer as melhores opções para os apostadores. Barnett e Clarke (2005) utilizam métodos estatísticos para analisar e prever possíveis resultados de jogos de tênis utilizando os resultados prévios fornecidos pela ATP. Mchale e Forrest (2005) também analisam os resultados recentes em jogos de tênis nos Estados Unidos para estabelecer possíveis resultados futuros. No futebol, diversas aplicações podem ser encontradas. Dixon e Coles (997) utilizam a PO para estabelecer comparações entre equipes inglesas de futebol entre 992 e 995. Dixon e Robinson (998) descrevem a importância do futebol para a Inglaterra e criam um modelo para analisar resultados de jogos e estabelecer critérios para apostas no mercado. Koning (2000) compara os resultados dos jogos do futebol holandês desde a década de 70. Held e Vollnhals (2005) utilizam PO para estabelecer comparações entre equipes participantes nos maiores campeonatos de futebol da Europa e propõe uma nova forma de estabelecer pesos para determinar o número de equipes participantes de uma das ligas européias estudadas. Além de aplicações no futebol, Pollard (2002) verifica a alteração ocorrida no público dos jogos de baseball e hockey no gelo, nos Estados Unidos, quando a equipe troca do seu estádio antigo para um estádio novo. Holder e Nevill (997) comparam o desempenho dos jogadores de tênis quando disputam partidas dentro e fora do seu país. A utilização de DEA para avaliar competições esportivas pode ser encontrada nos trabalhos de Barros e Leach (2006) que aplica às competições da Liga Inglesa de Futebol. Estellita Lins et al. (2003) e Churilov e Flitman (2006) utilizaram DEA para fazer um estudo do ranking olímpico das Olimpíadas de Sydney Lozano et al. (2002) utiliza DEA com restrições aos pesos para estabelecer uma classificação dos países participantes dos Jogos Olímpicos de Verão. Em relação à utilização de PO para avaliar as competições de Fórmula, Kladroba (2000) discute critérios para estabelecimentos de rankings e utiliza como exemplo os resultados do campeonato de 998. Soares de Mello et al. (2005) utiliza métodos multicritério para estabelecer uma classificação dos pilotos no campeonato de Além de não se encontrar na bibliografia trabalhos que utilizem DEA para avaliação do Campeonato de Fórmula, a motivação em desenvolver este trabalho se dá pela importância da Fórmula atualmente pelos mais diversos fatores, descritos a seguir. Em termos tecnológicos, os avanços desenvolvidos pelos engenheiros e equipes da categoria podem ser encontrados atualmente em carros de passeio e em outros setores, como aviação, por exemplo. Os altos investimentos pelos patrocinadores movimentam um volume

15 5 de dinheiro extremamente importante para a economia de diversos segmentos e países. No Brasil, de acordo com números divulgados pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE), a Fórmula gerou aproximadamente empregos diretos e indiretos ao longo do ano de 2005 e um volume de negócios que registrou um montante em torno de R$ 80 milhões, deixando claro sua importância. Entretanto, a grande diferença de evolução das equipes tem diminuído o interesse do público pelo campeonato, uma vez que as corridas ficam cada vez menos disputadas, com equipes mais ricas com alto poder tecnológico desenvolvendo carros cada vez mais velozes e impossíveis de serrem alcançados pelos carros das equipes menos desenvolvidas por possuírem menos recursos financeiros. Buscando reverter este quadro, a FIA (Federação Internacional de Automobilismo) vêm fazendo sucessivas alterações no regulamento da categoria, buscando aumentar sua competitividade, como, por exemplo, com proibições de tecnologias visando reduzir a velocidade dos carros. No entanto, nem sempre estas alterações geram resultados positivos pois os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento dos carros sempre encontram novas formas de torná-los mais velozes e, além disso, o regulamento permite possibilidades de manipulações nos resultados das provas por equipes que participam da competição e possuem seus 2 pilotos ocupando posições consecutivas na corrida. Ao longo deste trabalho serão citados alguns destes fatos já ocorridos nas provas da Fórmula e contribuem para a diminuição da credibilidade do esporte. Este estudo não busca alterar o regulamento utilizado pela FIA para estabelecer a classificação do campeonato..2 OBJETIVO O objetivo do trabalho é avaliar os pilotos que participaram do Campeonato Mundial de Fórmula no ano de 2005 em relação aos resultados por eles obtidos ao longo da temporada e em relação aos resultados obtidos pelas equipes a que pertencem neste mesmo ano. Busca-se então estabelecer uma classificação para o campeonato, que valorize o desempenho do piloto ao longo de toda a temporada, utilizando os resultados de todas as posições de chegada numa corrida ao invés de apenas os 8 primeiros colocados de cada prova como prevê o regulamento.

16 6 A utilização dos resultados de todas as posições de chegada nas corridas busca identificar bons pilotos que, provavelmente, pertencem a equipes pequenas e não conseguem resultados de destaque nas corridas. Como, pelo regulamento atual, só pontuam os 8 primeiros colocados de cada prova, estes pilotos não aparecem bem classificados no campeonato, ficando assim desconhecidos pelo público que acompanha o esporte. Entretanto, chefes de grandes equipes ficam atentos pois estes pilotos podem ser grandes promessas de possíveis campeões no futuro. Utiliza-se a metodologia DEA (Data Envelopment Analysis) com restrições aos pesos que procura diminuir as distorções geradas pelo regulamento do campeonato que utiliza métodos ordinais multicritério para estabelecer a classificação do mundial de pilotos. A classificação final deste trabalho foi obtida utilizando-se a média geométrica entre as eficiências encontradas nos modelos estudados, buscando valorizar o desempenho e a competência de cada piloto. O método aqui utilizado não pretende ser uma nova proposta de pontuação do modelo usado pela FIA no campeonato, como sugerido por Soares de Mello et al. (2005), constituindo-se tão somente de uma ferramenta de análise da eficiência dos pilotos..3 ESTRUTURA DO TRABALHO O capítulo 2 apresenta as etapas necessárias para a implementação de um modelo em DEA, os modelos DEA clássicos já desenvolvidos (CCR e BCC), principais características, vantagens e desvantagens dos modelos DEA e também alguns modelos avançados em DEA como restrições aos pesos, restrições aos inputs e outputs virtuais e modelos DEA com input unitário. Mostra ainda que a formulação de maximização de outputs em modelos com input unitário não pode ser interpretada como orientação a input. O capítulo 3 apresenta uma breve história da Fórmula, apresenta a evolução dos carros ao longo dos anos e apresenta os critérios de pontuação do campeonato, apontando as principais distorções que podem surgir devido aos critérios adotados pelo regulamento e seus efeitos para a competição. O capítulo 4 apresenta os modelos propostos, assim como os dados utilizados, o desenvolvimento dos estudos e os resultados obtidos. No capítulo 5 encontram-se as conclusões deste trabalho e as sugestões para estudos futuros.

17 2 ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS (DEA) 2. INTRODUÇÃO A Análise Envoltória de Dados (do inglês Data Envelopment Analysis ) é uma metodologia com base na programação matemática, que tem como objetivo medir a eficiência de um conjunto de unidades produtivas (unidades de tomada de decisão), denominadas de DMUs (do inglês Decision Making Units ), que consomem múltiplos inputs (insumos, recursos) para produzir múltiplos outputs (produtos). Ou seja, é um modelo para a análise da eficiência. As unidades podem ser qualquer tipo de organização (como indústrias, lojas, escolas, entre outros) e devem ser avaliadas segundo a mesma ótica, ou seja, o conjunto de unidades adotado em uma análise DEA deve ter em comum a mesma utilização de inputs e outputs, ser homogêneo e ter autonomia na tomada de decisões (ESTELLITA-LINS e ANGULO-MEZA, 2000). Sendo assim, torna-se importante definirmos alguns termos usuais no dia a dia, tais como: produtividade, eficiência, escala econômica e fronteira de produção, usadas no decorrer do texto. Segundo Coelli et al. (998), produtividade de uma empresa, unidade organizacional ou unidade tomadora de decisão (Decision Making Unit DMU), é a relação entre as saídas (outputs) produzidas e as entradas (inputs) necessárias para produzirem estas saídas. No caso de desempenho de uma unidade organizacional é comum, para casos envolvendo apenas uma única entrada (input) e uma única saída (output), definir a medida de produtividade (COELLI et al., 998) como mostrado na equação 2.:

18 8 Produtividade saída = 2. entrada Em algumas situações, as DMUs utilizam múltiplas entradas e produzem múltiplas saídas. No caso geral onde existem várias entradas e saídas, um índice de produtividade é definido como a combinação linear das saídas dividido pela combinação linear das entradas de uma determinada DMU k. O conceito de eficiência é um conceito relativo. Compara o que foi produzido dado os recursos disponíveis, com o que poderia ter sido produzido com os mesmos recursos. A avaliação da eficiência é um problema difícil de resolver, especialmente quando são considerados múltiplos inputs (recursos) e múltiplos outputs (serviços, produtos, entre outros) no processo de produção das organizações. Entre as propostas para abordar este problema, na literatura econômica se encontram alguns trabalhos, entre eles Farrell (957), porém, muitas propostas não conseguiram ser implementadas (ARAYA, 2003). A Análise Envoltória de Dados (DEA) surgiu em 978 com o modelo desenvolvido por Charnes, Cooper e Rhodes, baseada no trabalho de Farrell (957) e não faz nenhuma suposição funcional para determinar a eficiência, e considera que o máximo que poderia ter sido produzido é obtido por meio da observação das unidades mais produtivas. A Análise Envoltória de Dados pode ser considerada uma medida de excelência, uma vez que premia as DMUs com as melhores práticas observadas. A classificação de uma unidade como eficiente ou ineficiente só depende do seu desempenho em transformar os inputs em outputs quando comparada com as outras unidades observadas (ARAYA, 2003). Farrel (957), precursor do DEA, determina a eficiência, para o caso de múltiplas entradas e múltiplas saídas como mostrado na equação 2.2: u jyjk j EF = v X 2.2 i i ik onde os Y jk representa a saída j da unidade k, X ik é a entrada i da unidade k, u j e v i representam os pesos de cada saída j e de cada entrada i respectivamente. Esses pesos normalmente são arbitrados.

19 9 A Figura 2. (BIONDI, 200) onde o eixo X representa os recursos e o eixo Y representa a produção, mostra um processo de produção para uma única entrada (X) e uma única saída (Y). A curva OS representa a fronteira de produção ou fronteira de eficiência, isto é, relaciona a entrada X com a saída Y. Assim, para um certo nível de entrada a curva representa o máximo que a saída pode atingir. A região entre a fronteira de produção e o eixo dos X engloba todas as combinações viáveis entre saída e entrada, formando o conjunto viável ou de possibilidades de produção. Y C B S A O X Figura 2. Curva de um Processo Genérico de Produção A empresa que operar sobre qualquer ponto da curva de produção é considerada tecnicamente eficiente, caso contrário ineficiente. As empresas que operam nos pontos B e C, sobre a fronteira de produção, são eficientes enquanto que a empresa A é ineficiente, pois opera abaixo da fronteira de produção. Para determinar a produtividade de cada uma das três empresas representadas pelos pontos A, B e C traçam-se as retas radiais que passam por esses pontos, conforme mostra a Figura 2.2. A inclinação dessas três retas, dada pela relação Y/X correspondente a cada DMU, mede a produtividade de cada ponto. Assim sendo, a empresa localizada no ponto C apresenta a maior produtividade dentre as três retas. Embora o ponto B seja tecnicamente eficiente, não é o ponto de maior produtividade. Nota-se que a reta radial que passa pelo ponto C é tangente à fronteira de produção e a que passa por B é secante a essa fronteira. Assim, o ponto C, além de eficiente, é considerado de escala econômica ótima.

20 20 Y C B A S O X Figura 2.2 Produtividade x Eficiência Pode-se assim concluir que uma empresa pode ser eficiente tecnicamente, isto é, operar sobre a fronteira de produção e não ser a mais produtiva, podendo inclusive ter produtividade menor que empresas ineficientes. Diz-se então que a empresa ainda não alcançou o ponto de escala econômica ótima (COOPER et al., 2000). 2.2 MODELAGEM DEA A modelagem DEA tem os seguintes objetivos: Identificar as origens e quantidades de ineficiência das DMUs, analisando suas dimensões relativas a entradas e/ou saídas. A determinação da eficiência das DMUs, contemplando uma a uma, relativamente a todas as outras. DEA faz uma ordenação das DMUs e pode, sob determinadas condições, ser usado como ferramenta multicritério na problemática da ordenação. Estabelecimento de estratégias de produção que maximizem a eficiência das DMUs avaliadas, corrigindo as ineficientes através da determinação de alvos. Diferentemente das técnicas estatísticas que se caracterizam por medidas de tendência central, DEA é um método de ponto extremo. Assim, se uma DMU hipotética k for capaz de produzir uma certa saída Y(k) com uma certa entrada X(k), então outras DMUs também serão capazes de produzirem o mesmo, operando eficientemente.

21 Em DEA, três são as etapas básicas (ANGULO MEZA, 998) que se tornam necessárias à implementação do problema: 2 - Definição e Seleção de DMUs O conjunto de DMUs adotado deve ter a mesma utilização de entradas e saídas, variando apenas em intensidade. Deve ser homogêneo, isto é, realizar as mesmas tarefas, com os mesmos objetivos, trabalhar nas mesmas condições de mercado e ter autonomia na tomada de decisões. Além disso, é necessário determinar o número de DMUs a serem avaliadas de acordo com o número de variáveis do problema. - Seleção das Variáveis As variáveis de entrada e saída relevantes à determinação da eficiência das DMUs, deve ser feita a partir de uma ampla lista de possibilidades de variáveis ligadas ao modelo, capazes de descrever com clareza o problema e que permitam um melhor conhecimento sobre as unidades. Escolhendo-se um grande número de variáveis temos um maior grau de conhecimento sobre as DMUs, explicando melhor as diferenças entre elas. Entretanto, é possível que um grande número de DMUs se localizem na fronteira reduzindo a capacidade de DEA de discriminar DMUs eficientes de DMUs ineficientes. Assim, o modelo deve procurar um ponto de equilíbrio na quantidade de variáveis e DMUs escolhidas, visando aumentar o poder discriminatório da análise DEA. O processo natural de seleção de variáveis pode ser baseado no conhecimento de um especialista, por algum método estatístico (ESTELLITA LINS e MOREIRA, 999) ou com técnicas multicritério (SOARES DE MELLO et al., 2004; SENRA, 2004). - Escolha e aplicação do modelo Os modelos DEA mais conhecidos são o Modelo CCR devido a Charnes, Cooper e Rhodes (CHARNES et al., 978) que apresenta retornos constantes de escala e o modelo BCC de Banker, Charnes e Cooper (BANKER et al., 984), que apresenta retornos de escala variáveis. O modelo CCR é também conhecido por CRS (constant returns to scale) e o BCC por VRS (variable returns to scale). De uma forma geral, as DMUs podem dizer respeito a quaisquer tipos de organizações e empresas. O conjunto de DMUs adotado em uma análise DEA deve ter em comum a

22 utilização dos mesmos inputs e outputs, ser homogêneo e ter autonomia na tomada de decisões (ESTELLITA LINS e ÂNGULO MEZA, 2000). 22 DEA fornece uma medida onde uma DMU transforma seus inputs em outputs, sendo que estas medidas são obtidas em relação a uma fronteira de produção empírica, também chamada de fronteira eficiente. Esta fronteira eficiente é obtida sempre pelas melhores DMUs observadas; neste caso, as DMUs que pertencem à fronteira eficiente são denominadas de DMUs eficientes. Todas as demais DMUs são denominadas de DMUs ineficientes, têm sua eficiência calculada em função da distância que existe entre ela e a fronteira eficiente. Para estas DMUs ineficientes, a metodologia DEA permite ainda determinar onde se encontram estas ineficiências, estudar o processo de produção de outras DMUs similares para produzir alvos úteis e significativos para elas, e identificar exatamente quais os elementos do processo de produção tornam as DMUs ineficientes. Assim sendo, a determinação de uma unidade como eficiente ou ineficiente dependerá apenas do seu desempenho em transformar os inputs em outputs quando é comparada com as outras unidades observadas. DEA gera uma fronteira de eficiência segundo o conceito de Pareto-Koopmans, que caracteriza um vetor input-output eficiente se nenhum dos outputs pode ser aumentado sem que algum outro output seja reduzido ou algum input seja aumentado ou, nenhum input pode ser reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output reduzido. Esta fronteira esta representada pela linha OAD na figura 2.3: 5 4 B 3 D 3 Y 2 B2 B B C 0 A B Figura 2.3 Fronteira X de eficiência DEA. Figura 2.3 Fronteira de eficiência DEA

23 23 A fronteira DEA em questão não é teórica. Cada fronteira DEA gerada é específica para um determinado universo de análise. As unidades da fronteira são classificadas como eficientes. O índice de eficiência é calculado em função da forma de projeção das ineficientes na fronteira. A orientação do modelo indica como uma DMU irá atingir a fronteira de eficiência. É possível orientá-la de duas formas: orientação a inputs ou orientação a outputs. Se um modelo é orientado a inputs, significa que as DMUs tentarão atingir a fronteira realizando uma diminuição de seus recursos, sem que seus resultados sejam alterados. Se um modelo é orientado a outputs, as DMUs tentarão atingir a fronteira maximizando seus resultados, mantendo constantes seus recursos disponíveis. Assim, observando a figura 2.3 temos, relação à DMU B: a ) Orientados aos inputs: o índice de eficiência será a razão entre B2 B e B2 B ; b ) Orientados aos outputs: o índice de eficiência será razão entre BB 4 e B3 B 4. Podem existir ainda modelos não orientados onde, para alcançar a fronteira eficiente, estes modelos permitem reduzir os inputs e aumentar os outputs simultaneamente. Mais importantes que os índices obtidos pelas unidades avaliadas, são as metas daquelas qualificadas como ineficientes, isto é, o estabelecimento de benchmark. Tais metas indicam seus pontos fortes e fracos, e mais precisamente, quanto precisam evoluir para atingir as melhores práticas do mercado. 2.3 MODELOS DEA CLÁSSICOS 2.3. Modelo CCR Modelo CCR orientado a input O Modelo CCR, desenvolvido inicialmente com orientação a input, trabalha com retornos constantes de escala, isto é, qualquer variação nos insumos (inputs) resulta em uma variação proporcional nos produtos (outputs). Esse modelo é uma generalização do trabalho de Farrel (957) para múltiplos insumos

24 24 e múltiplos produtos, no qual se determina a eficiência através da divisão entre a soma ponderada dos produtos (outputs) pela soma ponderada dos insumos (inputs), construindo uma superfície linear por partes, não paramétrica, sobre os dados. No lugar de uma ponderação igual para todas as DMUs, o modelo permite a escolha de pesos para cada variável, da forma que lhe seja mais favorável, desde que esses pesos, quando aplicados às outras DMUs não gerem uma razão superior à unidade. A formulação dessas condições é apresentada pela equação 2.3 a seguir: Max u s j= r i= j u j Eff sujeito a y v x i i jk ik 0 e v 0 =, s j= r i= j,i u j y v x j0 i i0 k =,..., n 2.3 onde: Eff 0 - eficiência da DMU 0 ; r número total de inputs s número total de outputs n número de DMUs u j, v i - pesos de outputs e inputs respectivamente; x ik, x i0, j0 y jk - inputs i e outputs j da DMU k, k =,..., n; y - inputs i e outputs j da DMU 0. Esse problema de programação fracionária pode ser transformado em um problema de programação linear (PPL), obrigando o denominador da função objetivo a ser igual a uma constante, normalmente igual à unidade. O modelo CCR passa então a ser apresentado como na equação 2.4:

25 25 max Eff sujeito a o = s j= u j y jo r i= s v x u u, v j i i ik y = j jk j= i= r v x 0 i, j i ik 0, k =,..., n 2.4 Essa formulação do modelo DEA CCR é chamada Modelo dos Multiplicadores orientado a input, sendo o conjunto de pesos denominados de multiplicadores. Resolvendo-se esse problema de programação linear para cada uma das DMUs, pode-se identificar aquelas cujos planos de produção, dados os pesos determinados para suas quantidades de insumos e produtos, não pode ser superado pelo plano de produção de nenhuma outra DMU. As DMUs para cuja eficiência ( Eff ) obtém-se valor, são ditas eficientes e servem como referência para as demais. Com base no Modelo dos Multiplicadores (primal) é possível desenvolver o seu dual, conhecido como Modelo do Envelope, que pelo teorema da dualidade forte, apresentará o mesmo valor ótimo para a função objetivo, quando esse existir (BREGALDA e BORNSTEIN, 98). O conjunto de equações 2.5 representam o modelo do Envelope: Min h 0 sujeito a h n 0x i 0 x ik k 0 k= n 0 + λ k 0 k = y j y jk λ, i =,..., r, j =,..., s λ 0, k 2.5 k onde: referência. h 0 - eficiência, λ k - k -ésima coordenada da DMU 0 em uma base formada pelas DMUs de

26 Neste modelo buscam-se os valores de λ K que minimizem h 0, sendo λ k a contribuição da DMU k na formação do alvo da DMU 0 (as DMUs com λ k não nulo são os benchmarks da DMU 0 ). A figura 2.4 apresenta a fronteira eficiente (reta que passa pela origem) para um modelo com um input e um output. Pode-se observar a DMU D como eficiente e as projeções das DMUs ineficientes na fronteira. As setas indicam a direção de redução proporcional do input. A eficiência da DMU A é dada por MN MA. 26 Y D B M N C A E X Figura 2.4 Fronteira CCR Orientação a Input Modelo CCR orientado a output Alternativamente pode-se desenvolver um modelo para maximização das saídas mantendo-se inalteradas as entradas (orientação a output). As variáveis de decisão do modelo são as mesmas apresentadas no conjunto de equações 2.3. O modelo com orientação a output é apresentado pela equação 2.6. Com a orientação a output, h 0 sempre assume valores superiores à unidade, por isso, a eficiência é agora definida como sendo o inverso de h 0, isto é, h0 =. Eff 0 Min h 0 = r i= s j= v x u i j y i0 j0

27 27 sujeito a r i= s j= v x u i j y ik jk, k=,...,n u j e v i 0 j, i 2.6 linearizado. As equações 2.7 representam o modelo DEA CCR orientado a outputs depois de Min h 0 = v i x i sujeito a r i= 0 s j= u j y jo = s u y j jk j= i= r v x i ik 0, k=,...,n u j e v i 0 j, i 2.7 É possível deduzir o Modelo do Envelope o dual equivalente a esse modelo de orientação a output. O conjunto de equações 2.8 apresenta esse modelo: Max h 0 sujeito a n x i x ik λ, i =,...r 0 k 0 k= h n 0 y j 0 + y jk k 0 k = λ, j =,...,s λ 0, k 2.8 k

28 A figura 2.5 (ANGULO MEZA, 998), mostra a fronteira eficiente para um modelo com um input e um output e orientação a output. Na figura, observa-se a projeção das DMUs ineficientes na fronteira quando seus níveis de outputs são maximizados. As setas indicam a ME direção de aumento proporcional de output. A eficiência da DMU E é dada por. MN 28 Y N D B C A M E X Figura 2.5 Fronteira CCR Orientação a Output Os modelos CCR orientados a input e a output identificam o mesmo conjunto de DMUs eficientes e ineficientes (COELLI et al., 998), estimando assim a mesma fronteira eficiente Modelo BCC O modelo DEA BCC foi desenvolvido por Banker, Charnes e Cooper (BANKER et al., 984) e apresentado em artigo publicado na Management Science. Esse modelo pressupõe que as unidades avaliadas apresentem retornos variáveis de escala (Variable Returns to Scale). Segundo Beloni (2000) ao possibilitar que a tecnologia exiba propriedades de retornos à escala diferentes ao longo de sua fronteira, esse modelo admite que a produtividade máxima varie em função da escala de produção. Nesse modelo, o axioma da proporcionalidade entre os inputs e os outputs é substituído pelo axioma da convexidade. O modelo determina uma fronteira VRS (Variable Return to Scale) que considera retornos crescentes ou decrescentes de escala na fronteira eficiente. Permite assim que DMUs que operem com baixos valores de inputs tenham retornos

29 29 crescentes de escala, enquanto as que operam com altos valores tenham retornos decrescentes de escalas. A convexidade é introduzida no Modelo do Envelope de Charnes et al. (978) através de uma restrição adicional que requer que o somatório dos λ seja igual a, ou seja, a contribuição das k DMUs na formação do alvo da DMU 0 é. Dessa forma, se obtém uma envoltória como a apresentada na figura 2.6 (ANGULO-MEZA, 998): Y D B C A E X Figura 2.6 Projeções das Orientações na Fronteira VRS O Modelo do Envelope, com orientação a input, é apresentado pela equação 2.9: Min h 0 sujeito a n h0 x i 0 x ik λ k 0, i k = n y + λ 0, j n k= j0 y jk k k = λ = k λ 0, k 2.9 k

30 30 E com orientação a output na equação 2.0: Max h 0 sujeito a n x λ 0, i i0 x ik k k = n h0 y j 0 + y jk λ k 0, j n k= λ = k k = λ 0, k 2.0 k Um aumento equiproporcional de inputs pode gerar um aumento de outputs proporcionalmente menor, nesse caso a DMU estaria em uma região de retornos decrescentes de escala. Caso o aumento dos outputs seja proporcionalmente maior ao aumento dos inputs, diz-se que a unidade avaliada está em região de retornos crescentes de escala. Os modelos dos multiplicadores do BCC, duais das equações 2.9 e 2.0, são apresentados pelas equações 2. e 2.2 respectivamente: Max Eff 0 = u j y sujeito a r i= s j= v x i i0 =, r i= s j0 u vi xik + u j y jk u* 0, k j= u 0, v 0, i j i j, * u R 2. * Min Eff 0 = vi x sujeito a r i= i0 v *

31 3 s j= u j y j r i= = 0 s vi xik + u j y jk v* 0, k j= u 0, v 0, j, i j i v R 2.2 * Os modelos Multiplicadores BCC diferem dos Multiplicadores CCR pelas variáveis u * e v *, para orientações a input e a output, respectivamente. Essas variáveis são duais n associadas à condição λ = do modelo do envelope e são interpretadas como fatores de k = k escala: quando positivas, indicam retornos decrescentes de escala, quando negativas, indicam retornos crescentes de escala, caso sejam nulas, há retornos constantes de escala. A figura 2.7 mostra as fronteiras DEA BCC e CCR para uma fronteira bidimensional ( input e output). Nesta figura as DMUs B, C e D são BCC eficientes. Apenas a DMU D é CCR eficiente. As DMUs A e E são ineficientes nos dois modelos. Y CRS B VRS... A A A C D A E X Figura 2.7 Representação das fronteiras BCC e CCR Nesta figura, a eficiência da DMU A é dada por A" A' A" A para o modelo BCC, e por A" A"' A" A no modelo CCR, ambos para orientação a inputs.

32 PRINCIPAIS PROPRIEDADES, VANTAGENS E LIMITAÇÕES DOS MODELOS DEA As principais propriedades, vantagens e limitações da metodologia DEA, tratadas na literatura estão abaixo apresentadas: 2.4. Propriedades Em qualquer modelo DEA, a DMU que apresentar a melhor relação ( j) ( input i) output será sempre eficiente; O modelo CCR tem como propriedade principal a proporcionalidade entre inputs e outputs na fronteira, ou seja, o aumento (decremento) na quantidade dos inputs, provocará acréscimo (redução) proporcional no valor dos outputs; No modelo BCC, a DMU que tiver o menor valor de um determinado input ou o menor valor de um certo output será eficiente. A esta DMU chamamos de eficiente por default ou eficiente à partida; O modelo BCC é invariante a translações a outputs quando é orientado a inputs e vice-versa. Essa propriedade pode ser importante quando trabalhamos com casos em que há variáveis negativas, por exemplo; DEA só fornece medidas de eficiência dentro de uma amostra em particular. Assim, não tem sentido comparar as pontuações de eficiência entre dois estudos diferentes, dado que as diferenças entre as melhores práticas são desconhecidas Vantagens Nos modelos DEA podem ser incorporados facilmente múltiplos inputs e outputs, para calcular a eficiência das DMUs. Só precisa ser obtida a informação das quantidades dos inputs e dos outputs usadas por cada DMU, sem necessidade de conhecer os preços. Esta característica é muito apropriada para a análise de eficiência das entidades sem fins de lucro como, por exemplo, as instituições de

33 33 governo, especialmente daquelas que fornecem serviços sociais, onde é difícil ou impossível atribuir preços a muitos dos inputs e/ou dos outputs; Nos modelos DEA, a fronteira eficiente é uma envolvente das DMUs observadas, portanto, não é necessário assumir hipóteses sobre a função de produção. Desta maneira, não é necessário conhecer o processo de transformação dos inputs em outputs; Os modelos DEA identificam as unidades de referência (benchmarks) para as organizações que não têm um desempenho eficiente. Isto fornece um conjunto de unidades com modelos de desempenho onde a organização pode comparar-se, com o objetivo de melhorar a sua performance; Os modelos DEA caracterizam cada DMU através de uma única pontuação de eficiência, sem a necessidade de atribuir, para todas as DMUs observadas, o mesmo conjunto de pesos para os inputs e os outputs; Os inputs e os outputs podem ser medidos em diferentes unidades, ou seja, os modelos DEA são invariantes de escala, sem alterar o índice de eficiência, a diferença dos métodos baseados em avaliação puramente econômica, que necessitam converter todos os inputs e os outputs em unidades monetárias (ESTELLITA LINS e ÂNGULO MEZA, 2000) Limitações Dado que DEA é uma metodologia que requer uma única observação para cada input e output, pode ser sensível a erros nos dados, tais como inexatidão (por exemplo, erro nos decimais) ou uma má medição. Estes erros podem influenciar a forma e a posição da fronteira. Para tratar esta limitação de DEA, têm aparecido trabalhos que desenvolvem modelos DEA estocásticos (SENGUPTA, 992); DEA é sensível às DMUs que são referências só para si mesmas, denominadas na literatura DEA de outliers. De maneira tal que, para os outliers, os resultados fornecidos por DEA não são informativos. Além disto, os outliers podem influenciar os resultados; DEA é sensível ao número de inputs e outputs, assim como ao tamanho da amostra de DMUs observadas. Aumentar o tamanho da amostra tende a reduzir a média

34 34 das pontuações de eficiência da amostra, porque um maior número de DMUs permite encontrar um maior número de DMUs de referência. Por outro lado, quando o número de DMUs é pequeno em relação à soma do número de inputs e outputs, a média de eficiência da amostra aumenta. Incrementar o número de inputs e outputs sem aumentar o tamanho da amostra também incrementará a eficiência média da amostra. Isto acontece devido ao aumento das dimensões do espaço de inputs e outputs, nas quais a DMU pode ser única (não tenha DMUs similares com as quais se comparar). Em outras palavras, aumenta a probabilidade da DMU apresentar o mínimo nível para um dado input, ou o máximo nível de um dado output. Sobre este tema, é recomendado que o número de DMUs observadas da amostra seja pelo menos três vezes maior que a soma dos inputs e dos outputs; Os resultados de DEA, dado que se trata de resultados de programação linear, podem apresentar várias soluções ótimas e degeneração. Uma discussão destas dificuldades pode ser vista em Ali e Seiford (993); Os modelos básicos de DEA podem considerar uma DMU como eficiente, quando na verdade ela é ineficiente. Por exemplo, assumindo orientação aos inputs, ela poderia produzir a mesma quantidade de outputs consumindo menos inputs. Uma das soluções deste problema é com os denominados modelos não-arquimedianos e proposto no capítulo 4 deste trabalho, que incorporam as folgas na função objetivo (Modelo do Envelope) ou obrigam a que os multiplicadores não sejam menores que um número muito pequeno ε (Modelo dos Multiplicadores). Em 2.3, apresenta-se o modelo CCR (Modelo dos Multiplicadores) não-arquimediano orientados a input. max h o sujeito a = m j= u j y jo n i= m v x u y j jk j= i= u, v ε j i i io = n v x i x, y ik 0, k =,..., s 2.3

35 35 As vantagens e limitações dos modelos DEA, acima apresentadas, não são exaustivas. De fato, na aplicação dos modelos DEA podem ser encontrados outros tipos de problemas (ver, por exemplo, OLESEN, 995, ALI e LERME, 997, SMITH, 997), porém as vantagens e limitações mencionadas anteriormente são as mais tratadas na literatura DEA. Apesar das limitações, DEA fornece uma metodologia para organizar e analisar os dados, procurando obter a maior quantidade de informação a partir deles. Além disto, o usuário não precisa estabelecer a priori uma relação funcional entre os inputs e os outputs. 2.5 RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA Os modelos DEA clássicos permitem total liberdade em relação à seleção dos pesos que darão o máximo valor de eficiência a uma dada DMU. Essa liberdade é importante na identificação das unidades ineficientes, ou seja, aquelas DMUs que apresentam um baixo desempenho, inclusive com seu próprio conjunto de multiplicadores. A flexibilidade (com base no PPL) na escolha dos pesos é uma das vantagens apontadas à modelagem por DEA. No entanto, os pesos calculados podem ser inconsistentes com os conhecimentos que se tem em relação aos valores relativos de inputs e outputs. Assim, a incorporação de julgamentos de valor no cálculo das eficiências surge como uma evolução natural das aplicações de DEA a problemas reais, ou seja, há a necessidade da introdução de condições além das de não-negatividade. A atribuição de pesos como forma de representar a estrutura de preferências do decisor, apesar da suposta simplicidade, pode encontrar alguma relutância por parte dos decisores. Atribuir pesos é uma tarefa para a qual muitos decisores não estão técnica nem psicologicamente preparados (SOARES DE MELLO et al., 2002). Por outro lado, uma vez dados os pesos, o decisor pode sentir-se alijado do processo de decisão, sendo-lhe apresentado um resultado final do qual julga que não participou. Na literatura do Apoio Multicritério à Decisão são encontrados alguns argumentos contra a utilização de pesos para deduzir e representar a informação de preferências do decisor (STEUER, 986; KORHONEN e WALLENIUS, 989; WIERZBICKI, 986). Quando há preferências entre os inputs e/ou outputs, por parte dos decisores, esses julgamentos de valor são incorporados aos modelos DEA por meio de restrições aos pesos (ou multiplicadores) associados aos inputs e/ou aos outputs das unidades avaliadas. Allen et al.

36 36 (997) apresentam uma completa revisão da evolução da incorporação de julgamentos de valor através de restrições aos pesos. Os mesmos autores identificam alguns tipos de julgamento de valor usados no cálculo da eficiência de uma DMU: Julgamentos para identificar visões prévias em relação a inputs e outputs (DYSON e THANASSOULIS, 988); Julgamentos para relacionar os valores de alguns inputs e/ou outputs (THANASSOULIS et al., 996; WONG e BEASLEY, 990); Julgamentos para incorporar visões prévias das DMUs eficientes e ineficientes (CHARNES et al., 990); Julgamentos para satisfazer as necessidades de eficiência em relação às noções econômicas da substituição de inputs/outputs (BESSENT et al., 988; OLESEN e PETERSEN, 99); Julgamentos para permitir a discriminação entre unidades (THOMPSON et al., 990). Os resultados padrão de DEA têm interpretação alterada quando da imposição de restrições aos pesos. Allen et al. (997) discutem essas situações. A incorporação de julgamentos de valor através de restrições aos pesos pode ser dividida em três grupos de métodos (ESTELLITA LINS e ANGULO MEZA, 2000): restrições diretas sobre os multiplicadores; ajuste dos níveis de input-output observados para a captura de julgamentos de valor (regiões de segurança) e restrição a inputs e outputs virtuais. Gonçalves (2004) apresenta uma técnica alternativa, que simula restrições aos pesos através da inserção de DMUs artificiais Restrições diretas aos pesos Nesse enfoque, desenvolvido por Dyson e Thanassoulis (988) e generalizado por Roll e Golany (99), são impostos limites numéricos aos multiplicadores com o objetivo de não superestimar ou ignorar inputs e outputs na análise. Seja I = v x o numerador da função objetivo na formulação original, no qual I o o i i io é o input virtual consumido pela DMU 0. Os limites impostos aos multiplicadores de inputs,

37 v i, e de outputs, u j, são dados pelas relações apresentadas em 2.4, onde II, SI, IO, SO são os limites inferior e superior para inputs e outputs, respectivamente. 37 II i v SI IO u i i i i SO i 2.4 Esse tipo de restrição pode levar à inviabilidade do PPL, já que estabelecer um limite superior ao peso de um input implica em um limite inferior no input virtual do restante das variáveis. Lins e Moreira (999) discutem em que condições as restrições aos pesos não tornam o PPL inviável Método de Regiões de Segurança O método de Regiões de Segurança Assurance Region Method (AR) desenvolvido por Thompson et al. (990), recebe este nome pela adição de restrições aos modelos DEA clássicos que têm limites superior e inferior para cada multiplicador. Ou seja, limita a variação dos pesos a uma determinada região. As restrições da abordagem por AR são de dois tipos: Tipo I (ou método Cone Ratio) e Tipo II. Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio As restrições desse enfoque, desenvolvido por Charnes et al. (990), são exemplificadas em 2.5 e 2.6 e incorporam na análise a ordenação relativa ou valores relativos de inputs ou outputs. k 2.5 ivi + ki+ vi+ vi+ 2 v α i v i i+ β i 2.6 A formulação 2.6 é a mais utilizada e reflete a taxa marginal de substituição. Os valores limites são dependentes da escala das variáveis, ou seja, são sensíveis às unidades de medida.

38 É ainda possível com o método do Cone Ratio selecionar DMUs como padrão e utilizar seus pesos como limites para o intervalo de variação dos pesos das demais DMUs. 38 Regiões de Segurança Tipo II Apresentadas por Thompson et al. (990), são restrições que relacionam os pesos de inputs e outputs, conforme 2.7. γ v u 2.7 i i j Em muitas aplicações de DEA são requeridas as relações entre pesos de inputs e outputs, já que a medida de eficiência reflete a combinação das variáveis. Assim como nos modelos de AR do Tipo I, os modelos do Tipo II produzem os mesmos índices de eficiência, independente da orientação do modelo, e são igualmente influenciados pela escala das variáveis de input e output. Entretanto, ambos os métodos são sensíveis às unidades utilizadas para os inputs e outputs, e exigem profundo conhecimento das variáveis e vasta coleta de opiniões de especialistas, o que torna sua aplicação um processo complicado e demorado Restrições aos Inputs e Outputs virtuais Esse tipo de restrição aos pesos dos multiplicadores considera os níveis de inputs e outputs das DMUs, ao incluir somente os inputs e outputs que contribuem significativamente aos custos totais ou benefícios de uma unidade. Wong e Beasley (990) propuseram esse tipo de restrição, que ao invés de restringir os valores dos pesos, limita a proporção de output (input) virtual total da DMU 0 utilizado pelo output j (input i) no intervalo [ ] j ϕ j φ, ([ ρ, ] i ω i ), ou seja, a importância dada ao output j pela DMU 0. O intervalo [ φ j, ϕ j ] é determinado pelo decisor. A restrição ao output virtual j é apresentada em 2.8, na qual u y j jo s j= é o output virtual total da DMU 0. Pode-se obter resultado semelhante para os inputs.

39 39 u j y jo φ j ϕ s j u y j= j jo 2.8 Este tipo de restrição evita o problema das unidades, pois expressa a importância relativa de uma determinada variável para o conjunto e é, portanto, adimensional. Alguns autores, como Wong e Beasley (990) sugerem duas formas de se aplicar este tipo de restrição: Aplicação das restrições somente à DMU em análise, o que corresponde ao acréscimo de duas restrições ao modelo dos multiplicadores, para cada variável limitada; Aplicação das restrições a todas as DMUs, o que corresponde à adição de 2n restrições ao modelo dos multiplicadores, para cada variável limitada, sendo n o número de DMUs. Os modelos com restrição a todas as DMUs, devido ao acréscimo de muitas restrições, são freqüentemente inviáveis. Uma discussão mais abrangente sobre viabilidade de modelos DEA com restrições aos pesos pode ser encontrada em Lins e Moreira (200). 2.6 MODELOS DEA COM INPUT UNITÁRIO Lovell e Pastor (999), utilizando o modelo do envelope, mostram que não faz sentido utilizar modelos CCR ou BCC, sem input com orientação a output, assim como modelos sem output, com orientação a input. Nestes casos, DEA é incapaz de diferenciar unidades eficientes de unidades ineficientes. Mostram ainda que modelos com input ou output unitário apresentam os mesmos resultados nos modelos CCR e BCC. Entretanto, não faz sentido dizer que o modelo com input constante é orientado a input, pois um modelo orientado a input significa que uma determinada DMU, não eficiente, deve reduzir seu input para se tornar eficiente. Entretanto, como a formulação matemática impõe que todas as DMUs têm um input constante (igual para todas as DMUs e invariável) o modelo perde o sentido, pois não se pode diminuir o input