Palavras-chave: Jogos na educação. Algoritmo de Euclides. Máximo Divisor Comum.

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1 XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019 CORRIDA EUCLIDIANA, VISUALIZANDO O ALGORITMO DE EUCLIDES Tarcila Oliveira Matos Muniz UESC matostarcila@yahoo.com.br Miquéias Amorim Santos Silva UFBA kekoamorimsilva@hotmail.com Rebeca Santos Sobrinho UESC rebecasantos75@hotmail.com Resumo: As tecnologias de informação e comunicação têm sido cada vez mais empregadas como meio de proporcionar e potencializar o processo de ensino e aprendizagem. Com o passar dos anos têm se aperfeiçoado e desenvolvidos novas tecnologias, o que permite também a criação de novas pedagogias, possibilitando o saber através de ferramentas visuais e interativas, como por exemplo, jogos digitais educativos, que podem ser empregadas, tanto no ensino presencial como a distância. O Máximo divisor comum é apresentado de maneira geral entre o 5 e 6 ano do ensino fundamental e tem uma série de aplicações. O presente trabalho buscou desenvolver um jogo através do softwere Processing, para a visualização e aplicação prática em sala do algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum. Palavras-chave: Jogos na educação. Algoritmo de Euclides. Máximo Divisor Comum. INTRODUÇÃO As TICs (Tecnologia de Informação e Comunicação) podem ser determinadas como as tecnologias que ingerem e possibilitam uma nova formatação no que se referem à comunicação. Ela teve seu ponto de ignição em meio a Terceira Revolução Industrial, tendo o seu desenvolvimento na década de 1970, contudo, se mostrou mais forte e com mais atenção em seu entorno de fato na década de Sua utilidade é mais abrangente e está presente em diversos meios, tais como Educacional no Ensino a Distancia (EAD), no intermédio do processo de ensino e aprendizagem. A UNESCO (Organização das Nações Unidas para Educação, Ciência e Cultura) em seu site representativo no Brasil considera o uso das TICs de In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:

2 muito proveito para a educação de forma ampla e acessível, elevando a sua qualidade no decorrer do processo. Mas isto não para por ai, além de promover um ensino de qualidade para os alunos, as TICs também contribuem para o desempenho do professor e da gestão geral da instituição. Em linhas gerais os jogos são objetos de fascínio pela sua atratividade e peculiaridade dentre as suas variedades. De acordo com Botelho(2004), eles podem ser utilizados das mais variadas formas, como por exemplo: para conscientizar, treinar, motivar, e entre outras mais. Eles estão extremamente ligados a educação como uma das ferramentas indispensáveis, que não só incentivam e divertem quem está participando, mas também colaboram para que se forme um campo de aprendizagem, pois a atenção está direcionada e o conteúdo tem maiores chances de serem fixados. De acordo com (SILVEIRA; BARONE, 1998) os jogos são extremamente versáteis e podem ser utilizados de diversas formas no contexto do ensino e aprendizagem. Além de possibilitar uma construção não apenas do aprendizado mas da auto confiança, Mesmo simples, o jogo pode conferir habilidades e proporcionar informações factuais, Os jogos educativos podem despertar no aluno: motivação, estímulo, curiosidade, interesse em aprender (...) O estudante constrói seu conhecimento de maneira lúdica e prazerosa. (SILVEIRA; BARONE, 1998) O Máximo Divisor Comum (MDC) que diz respeito ao maior divisor comum entre dois ou mais números, é apresentado de maneira geral entre o 5 e 6 ano do ensino fundamental e tem uma série de aplicações, nos mais variados problemas na matemática. Costuma-se também apresentar o algoritmo de Euclides que é certamente uma ferramenta poderosa, que acelera o processo de determinação do MDC. O presente trabalho buscou desenvolver através das ferramentas de informação, um método lúdico de apresentar os conceitos de MDC e algoritmo de Euclides para determinação do máximo divisor comum. A partir desse objetivo, foi elaborado um jogo digital, para ser aplicado em sala de aula com auxilio professor, que permite demonstrar visualmente o algoritmo, como também, motivar e ressignificar os exercícios propostos em sala de aula. Esta é uma pesquisa de cunho bibliográfico, fazendo revisão dos conceitos de MDC e algoritmo de Euclides; foram também utilizadas nessa pesquisa, o software Processing para desenvolver o jogo digital, na linguagem Java Script, como também imagens livres da web, que compõe alguns objetos do jogo. REFERENCIAL TEÓRICO Processing De acordo com Processing (2004) o Processing é um software e uma linguagem de programação, com uma vasta biblioteca, que tem como escopo o aprendizado da programação

3 no contexto das artes visuais. Mas que possibilita aplicações em diversas áreas, sua sintaxe é bastante descomplicada e baseada em Java Script, mas também permite que o usuário escreva em outras linguagens fazendo uso de sua biblioteca. Mdc e algoritmo de Euclides Euclides de Alexandria foi um dos maiores matemáticos da antiguidade, e escreveu um importantíssimo tratado matemático Os Elementos que sobreviveu ao tempo e às guerras e que é utilizado até hoje, esta obra é um compêndio de todo conhecimento matemático até aquele momento, valendo-se do método axiomático empregou extremo rigor nas provas e demonstrações dos teoremas; pouco se sabe de sua vida, mas acredita-se que tenha se formado na escola Platônica de Atenas, realizou outras obras como Os dados, Óptica e Os fenômenos este último é uma introdução à astronomia, Euclides morreu na cidade de Alexandria deixando um enorme legado. Dados dois números A e B, o MDC, ou melhor, o Máximo Divisor Comum, é o maior número que divide os dois sem deixar resto, podemos aplicar essa definição para mais números, ou seja, dados três números A, B e C o MDC destes três números é o maior número que os divide sem deixar resto. Uma maneira de determinar este número é listando todos os divisores de cada um dos números, selecionar os divisores em comum em ordem crescente e verificar o maior deles que será o MDC. Tome como exemplo, os números 12 e 15, para determinar seu maior divisor comum, nós listaremos os divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12 e do 15: {1, 3, 5, 15 e selecionamos aqueles em comum {1,3 e tomaremos o maior deles, podemos afirmar portanto que 3 é o MDC entre 12 e 15. Fazer este mesmo processo com números maiores como e é certamente exaustivo e tomaria demasiadamente o nosso precioso tempo, valendo-se do algoritmo desenvolvido por Euclides podemos diminuir drasticamente esse trabalho; antes que falemos do algoritmo em si, vejamos algumas aplicações do máximo divisor comum. Têm-se dois pedaços de tecido de diferentes tamanhos, e deseja-se cortar esses tecidos em tiras de tamanhos iguais e maiores possíveis, para fazer algumas mini bandeiras, de modo que não sobre nenhum pedaço de tecido, a altura dos pedaços de tecido são iguais e suas larguras são de 12 cm e 15 cm; veja que o que se quer é o maior número que divida inteiramente o 12, mas que esse tamanho também divida o 15 inteiramente, de modo que teremos o maior número possível de tiras na condição da tira ser o maior possível e que nenhum pedaço sobre,

4 sabemos que o MDC(15,12) = 3 através do método explicado anteriormente, logo 3 cm será a largura das tiras garantindo todos os requisitos citados anteriormente. O algoritmo de Euclides segundo obaricentrodamente (2012) aparece pela primeira vez no Livro VII de sua obra Os Elementos, cerca de 300 a. C. e tem sua origem geométrica, como a determinação da maior medida comum entre dois segmentos de reta.. Lema I Seja n um divisor comum de a e b Z; a = n.k_1, b = n.k_2, tome k_1 > k_2, a - b = n.k_1- n.k_2 a b = n.(k_1- k_2) logo n também divide a - b. Seja r um divisor comum de a e a - b Z; a = r.k_3, a - b = r.k_4, tome k_3 > k_4, a-b = r.k_4 r.k_3 - b = r.k_4 b = r.k_3 - r.k_4 r.(k_3 - k_4) logo r também divide b, Ou seja, se x a e x b x a e x (a-b). Dessa forma podemos concluir que: MDC(a, b) = MDC(a, a - b). Valendo-se desse lema podemos agora encontrar o MDC de quaisquer dois números, vejamos aquele exemplo anterior. Busca-se determinar o MDC(15,12), veja que pelo lema I temos: MDC(15,12) = MDC(15,15-12) = MDC(15,3) = MDC(12,3) = MDC(9,3) = MDC(6,3) = MDC(3,3) = 3. Veja que o que fazemos é subtrair sucessivamente até que nos reste um resíduo e é fácil perceber que podemos substituir esse processo por uma divisão, dividimos 15 por 12 e obteremos o resto 3, dividimos agora o 12 por 3 e obtemos resto 0 ou seja divide perfeitamente o 12 e pelo lema I divide também o 15, portanto 3 é o MDC(15, 12). a b Resto 1 Resto O algoritmo consiste em dividir o primeiro número com o segundo e anotar na coluna da direita o resto da divisão que se torna o terceiro número, de forma que repetimos o processo dividindo o segundo com o terceiro e anotando o resto da divisão até que o resto seja zero, ou seja, a divisão seja exata, de modo que o MDC(a, b) será o resto logo anterior ao zero. Esse processo, chamamos de algoritmo de Euclides para determinação do Máximo divisor comum.

5 RESULTADOS E CONCLUSÕES O jogo cujo código pode ser encontrado no apêndice I, consiste em dois carros posicionados em coordenadas diferentes em uma pista, essas coordenadas são iniciadas aleatoriamente; o usuário pode realizar duas ações, a primeira é clicar com o botão esquerdo do mouse o que fará com que o algoritmo de Euclides seja iniciado, e pode também apertar a barra de espaço do teclado que reinicia o game. O objetivo do jogo é fazer com que os dois carros fiquem pareados, ou seja, lado a lado, e a proposta foi que se encontrasse a maior coordenada possível apenas subtraindo ou dividindo as coordenadas do carro A, vermelho, e B prata. Figura 1 - Tela inicial do jogo Fonte: Própria do autor A solução desse problema é encontrado calculando o MDC(coord(A), coord(b)), o que se desejava é que os estudantes visualizassem o algoritmo sendo aplicado na animação enquanto o botão esquerdo do mouse é clicado, de forma que percebessem os carros pareando pouco a pouco, O papel do professor foi explicar de que forma acontece esse pareamento, de acordo com o algoritmo de Euclides, e depois estimular que os estudantes tentassem prever onde, ou melhor, em que coordenada os carros iriam ficar pareados novamente. Exemplo Prático Deseja-se saber em que coordenada os carros de posições 360 e 288 irão parear, o estudante portanto calcula com o algoritmo de Euclides o MDC (360, 288) de forma manual: O MDC(360, 288) = 72, logo será na coordenada 72 em que ficarão pareados. Depois pode-se verificar a resolução com a animação clicando com o botao esquerdo do mouse até que os

6 números se igualem, no último frame da animação o resultado pode ser conferido; os carros estão pareados e sua altura é o MDC entre os dois números que representavam suas coordenadas iniciais. Figura 2 Sequência de ações do jogo Fonte: Própria do autor O código MODULO I int y = int(random(1,height - 80)); int w = int(random(1,height - 80)); Faixas[] l; int dx = 0; int dy = 0; PImage photo, photo2; void setup(){ size(800,600); background(0,191,255); l = new Faixas[10]; for(int i = 0; i <10; i++){ l[i] = new Faixas(); photo = loadimage("carrovermelho.png"); photo2 = loadimage("carroprata.png"); void draw(){ background(0,191,255);

7 textsize(12); text("click com o botão esquerdo para jogar",50, height - 25); text("aperte Espaço para recomeçar",width - 225, height - 25); reset(); textsize(20); text(y,50,50); text(w,width - 50,50); fill(112,128,144); rect((width/2)-100, 0, 250, height ); photo.resize(0, 80); photo2.resize(0, 80); image(photo,(width/2) - 50,(height - 100) - y); image(photo2,(width/2) + 50,(height - 100) - w); nostroke(); int j = 0; for(int i = 0; i < 10; i++){ l[i].listra(dx + j); j+=60; dx +=1; void calc(){ if(y>w){ y = y - w; else if(y<w){ w = w - y; void mouseclicked(){ calc(); void reset(){ if (keypressed) { if (key == ' ') {

8 loop(); y = int(random(1,height - 80)); w = int(random(1,height - 80)); MODULO II class Faixas{ void listra(int x){ fill(255); rect(width/2 + 20, x, 20,40); if(x > height ){ dx = 0; REFERÊNCIAS Arruda, Adriane Martins. Aplicação do Lema de Euclides para Cálculo do Máximo Divisor Comum no Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em matemática) Instituto de Matemática, Brasília. Universidade de Brasília, BOTELHO, Luiz. Jogos educacionais aplicados ao e-learning, Disponível em: Acesso em: 12 ago. de Euclides de Alexandria Disponível em < em 12/09/2018 às 21h00min. Obaricentrodamente. O algoritmo de Euclides. Disponível em < acesso em 12 set. de 2018 às 23h00min. Processing Cover - Disponível em < acesso em 12 set. de 2018 às 21h00min. Reas, Casey; Fry, Ben. Make: Getting Started with Processing. 2. ed. Sebastopol: Editora O Reilly Media, 2015 Reas, Casey; Fry, Ben. Processing: A Programming Handbook for Visual Designers. 2. ed. Massachusetts: Editora The MIT Press, SILVEIRA, SR; BARONE, DAC. Jogos Educativos computadorizados utilizando a abordagem de algoritmos genéticos. Universidade Federal do Rio Grande do Sul., [s. l.], 1998.

9 Shiffman, Daniel. Learning Processing, Second Edition: A Beginner's Guide to Programming Images, Animation, and Interaction. 2. ed. Massachusetts: Editora Morgan Kaufmann, 2015.