PROGRAMA. João Sousa Andrade. 28 de Maio de Pontos da Primeira Parte do Programa. 1. O que são os nossos modelos macroeconómicos?

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1 PROGRAMA João Sousa Andrade 28 de Maio de 2004 Resumo A disciplina de Macroeconomia Aplicada vai funcionar neste Ano Lectivo de 2003/04 com 30 horas. A primeira parte da disciplina será leccionada por João Sousa Andrade e a segunda parte por Pedro Miguel Bação. O programa aqui apresentado refere-se à primeira parte (15 horas). A segunda parte será sobretudo destinada ao estudo de GMM e VAR s. Em ambas as partes o livro ponto de partida é de Favero (2001). Os estudantes são aconselhados a consultar a página deste autor para a obtenção de material adicional e de apoio ao livro. 1 Pontos da Primeira Parte do Programa 1. O que são os nossos modelos macroeconómicos? 2. O modelo clássico da econometria: as suas hipóteses. 3. A natureza do processo estocástico. 4. Regressões sem sentido. 5. Testes a confirmar uma análise numa investigação aplicada. 6. As nossas séries da economia e a econometria. 7. Valores transitórios e permanentes em economia. 8. A importância das estacionaridade das séries em economia e o significado da presença de tendências deterministas e estocásticas. 9. Testes mais usuais de raízes unitárias (Dickey-Fuller, Phillips-Perron, HEGY, V- ratio, Perron de alterações estruturais e KPSS). 10. Co-integração. MCE e co-integração. Hendry, Engle-Grander e Johansen 11. As diferentes abordagens: Cowles, LSE e VAR s. 1

2 1.1 Apoio informático O programa que irá ser utilizado é o RATS. Este programa usará os diferentes procedimentos disponíveis na página do seu proprietário ( O procedimento de Johansen 1 para o RATS 2 será também utilizado. A adaptação do Cap.2 de Favero (2001) para o RATS será também disponibilzada Apoio bibliográfico Para além das referências já indicadas será usado como apoio às aulas o texto disponibilizado em jasa/estudos/econometria2002.pdf 4. Os estudantes disporão também de um caderno que incluirá um razoável número de testes de raízes unitárias. 2 Avaliação Os estudantes são incentivados a uma avaliação na primeira parte com base em dois trabalhos. O primeiro consistirá na escolha entre uma das seguintes apresentações: a) sobre a metodologia da Cowles e a sua crítica b) sobre um teste escolhido (e acordado) de raízes unitárias (para além dos convencionais) e o segundo constará de um pequeno modelo (C-I), onde a escolha deve recair sobre uma das seguintes possibilidade a) Preços, Produto, Oferta de Moeda e Taxa de Câmbio b) Consumo, Oferta de Moeda (sentido mais alargado possível), Produto e Taxa de Desemprego para estudar, sobretudo, o comportamento dos preços (primeiro modelo) ou do consumo (segundo modelo). Cada modelo será aplicado a dois países europeus retirados da base da AMECO 5 e do Anexo Estatístico da publicação European Economy 6. 3 Sumário dos Pontos do Programa 3.1 O que são os nossos modelos macroeconómicos? Econometria - Macro Aplicada - Software de cálculo 1 Johansen (1995). 2 Hansen e Juselius (1995) e Bação (1999). 3 O que inclui os ficheiros cap2.prg e usuk.rat e lszusa.rat. 4 Andrade (2003). 5 finance/indicators/annual macro economic database/ameco en.htm. 6 finance. Macroeconomia Aplicada - I Parte 2 F.E.U.C.

3 Análise económica - fundamentos dos modelos Lógica - quantificação e disponibilidade de dados 7 1. significância económica 2. fundamentação económica Refutacionismo e indutivismo Falácia da regressão para a média 3.2 O modelo clássico da econometria: as suas hipóteses Linearidade Exogeneidade estricta E [ɛ t /X] = 0 1. E [ɛ t ] = 0 2. E [x j,k ɛ t ] = 0, variáveis independentes são ortogonais com o erro. 3. Cov (ɛ t, x j,k ) = demasiado forte; não se verifica com AR! R [X] = k, não multicolinearidade Homocedasticidade e não auto-correlação dos erros, E [ɛ 2 t /X] = σ 2 e E [ɛ i ɛ j /X] = 0 ɛ/x N (0, σ 2 I N ) 3.3 A natureza do processo estocástico Taxa de inflação nos 50 anos que precederam a IGG,..., e hoje? Diferentes olhos para o produto e a taxa de juro Amostras de distribuições universais? Z fracamente estacionário 1. E [Z t ] não depende de t 2. E [( Z t E [Z t ) 2)] < 3. Cov (Z t, Z t k ) = γ k, t Como saber? Cálculo simples: duas amostras. µ e σ 2? Comportamento de ρ j 0, j > 1, com ρ N ( ) 0, σρ 2 Ergodicidade Não ergodicidade e indutivismo 7 McCloskey e Ziliak (1996) e Becker e Greene (2001). Macroeconomia Aplicada - I Parte 3 F.E.U.C.

4 3.4 Regressões sem sentido Yule (1926) 1. sem significado económico 2. características estatísticas: falsas relações. Y t e X t não estacionárias: R 2 elevados, D W baixos, X X 1 não converge (não eficiência) N Y t = α 1 + α 2 t + ε t X t = β 1 + β 2 t + µ t com Y t α 1 = Y t e X t β 1 = X t [ Yt ] E [ Xt ] E = α 2 t = β 2 t e [ Yt ] E = α [ Xt ] 2 E. β 2 Y t = Y t 1 + α 2 + ε t X t = X t 1 + β 2 + µ t Y 1 = Y 0 + α 2 + ε 1 Y 2 = Y 0 + α 2 (2) + (ε 1 + ε 2 )... Y t = Y 0 + α 2 t + υ t (υ t = t ε i ) Valores sem sentido: ouliers. Médias móveis? Eliminação? 3.5 Testes a confirmar uma análise numa investigação aplicada Jarque-Bera: N ( ) Ku 2 + Sk χ 2 (2) LM(4): µ t = β1 + β2x 2t βk X kt + γ 1µt 1 + γ 2µt 2 + γ 3µt 3 + γ 4µt 4, com N R 2 χ 2 4 i=1 Macroeconomia Aplicada - I Parte 4 F.E.U.C.

5 ARCH(r): µ 2 t = β1 + β1 µ 2 t βr µ 2 t r + νt, com N R 2 χ 2 r RESET: Y t = β1 + β2x 2t βk X kt + βk+1 Y t + νt, com N R 2 χ 2 1 Critérios de Informação RSS 1. see = n k 2. AIC = n log(rss) + 2 k 3. BIC = n log(rss) + k (log(n)) Períodos críticos: teste de Chow. Restrição a coeficientes: LM, Wald ou teste LR. 3.6 A importância das estacionaridade das séries em economia e o significado da presença de tendências deterministas e estocásticas Acompanhamos o Cap. 2 de Favero (2001). Referência aos cálculos efectuados no RATS com o ficheiro cap2.prg. Série temporal. Variáveis aleatórias. Processos estocásticos. Distribuição conjunta. 2 Dados macro para UK e USA de 1959:1 a 1998:1. Fig Produto USA e variável artificial com mesma média e desvio-padrão. Diferenças: persistênica e recorrência de movimentos. Realidade mais complexa. Combinação de AR e MA. (Distinção na configuração gráfica de AAR e MA). Fig Processo auto-regressivo. Consideráveis oscilações. Parâmetros de densidade (momentos): não condicionais e condicionais. Caso AR1 (estacionaridade e não estacionaridade) X t = ρ 0 + ρ 1 X t 1 + ɛ t, ɛ t N.I.D. (0, σ 2 ɛ ) E [X t ] = E [X t+h ] = ρ 0, E [Xt 2 ] = E [ ] X 2 σ t+h = ɛ 2 1 ρ 1 1 ρ 2 1 ρ j 1 V ar (X t ). ρ 1 = 1, não estacionaridade. e Cov (X t, X t j ) = Fig. 2.3: X 1, E [X] 0, com ρ 0 = 0, ρ 0 = 0, 7 e ρ 0 = 0, 8. O mesmo com X 2. Com X 3 afasta-se! Algebra dos desfasamentos. L X t = X t 1 e L h X t = X t h Macroeconomia Aplicada - I Parte 5 F.E.U.C.

6 φ (k) (L) ɛ t = ( 1 + φ 1 L + φ 2 L φ k L k) ɛ t ARMA: c(l) X t = a(l) ɛ t : X t estacionário quando as raízes de c(l) caem fora do círculo unitário. Tendência determinista e estocástica. Não estacionaridade como indicador de tendência? r.w.: x t = a 0 +x t 1 +ɛ t. Cálculo recursivo: x t = x 0 +a 0 t+ t σ t 1. Tendência determinista, a 0 t, e tendênica estocástica, t σ t 1. estacionaridade em tendência: x t = a 0 + β t + ɛ t. Tendência determinista apenas. integração para obter estacionaridade tendência determinista não tem memória variável integrada tem memória infinita Fig. 2.4: Tendência determinista (DT) e tendência estocástica (ST1 e ST2). Modelo Linear e Persistência. Y t = X β + ɛ t, E [ɛ/x] = 0. Exemplo: y t = a 0 + a 1 y t 1 + ɛ t, com a 1 0; E [ɛ t /y t 1 ] = 0, mas E [ɛ t 1 /y t 1 ] 0.Importante. Simulação de y t = 1 + 0, 9 y t 1 ( + ɛ t. Fig. 2.5: estimação de a 1 enviesada em amostras pequenas: E [a 1 ] = a ). Dependência importante do número de N observações. Tendências Estocásticas e Regressão Espúria Y I(0) e X I(1). Y t = α 0 + α1 X t, α 1 0 com N grande. Propriedades assintóticas da econometria não se aplicam,..., a menos que as tendências sejam deterministas. Table 2.2 (p.45). C US t Table 2.3 (p.45) Ct US ficheiro *.prg). i=0 i=0 = β 0 + β 1 Yt UK : R 2 elevado; regressão espúria. e C UK t : AR1. Cada variável aproximadamente RW (l.95 do C US t C UK t = a 0 + C US t 1 + ɛ t com ɛ t N.I.D. (0, σ 2 ɛ ) = a 1 + C UK t 1 + ɛ t com ɛ t N.I.D. (0, σ 2 ɛ ) Macroeconomia Aplicada - I Parte 6 F.E.U.C.

7 Ct US = C0 US + a 0 t + t 1 ɛ t i i=0 Ct UK = C0 UK + a 1 t + t 1 ɛ t i i=0 Ct US = ˆβ 0 + ˆβ 1 Y UK resulta da tendência determinista. D-W reduzidos: Sargan & Bhargava, D W 2 (1 ρ) Fig. 2.6 (p.47). a) Ilusão de boa estimação b)... erros: movimentos sistemáticos Testes de RU e estacionaridade, Maddala e Kim (1998): não precisamos de mais testes RU! Representação estacionária de série não estacionária Beveridge & Nelson. ARIMA: componente permanente + componente temporária x t I(1): decomposição de Wold. x t = µ + C(L) ɛ t, ɛ t N.I.D. (0, σ 2 ), C(L), ordem q x t = µ + C (L) ɛ t + C(1) ɛ t. Integrando: x t = C t + T R t Tendência estocástica: T R t = T R t 1 + µ + C(1) ɛ t Identificar o ARIMA, (µ, C(1),?); T R0 = Z 0, gerar T R t ; C t = x t T R t Inovações na CP e CT estão correlacionadas negativamente. CP é mais volátil que a efectiva (total)! Outras relações CP e CT: otros valores. BN e resultados não únicos. Hodrick-Prescott Minimixar: N t=1 (x t T R t ) 2 + λ N 1 t=2 [ (T Rt+1 T R t ) 2 (T R t T R t 1 ) 2] λ: parâmetro de suavidade e relação com duração do ciclo. Sugestões: A T Fig. 2.8, p. 55. Volatilidade maior do BN, T R t. Macroeconomia Aplicada - I Parte 7 F.E.U.C.

8 3.7 Testes mais usuais de raízes unitárias (Dickey-Fuller, Phillips- Perron, HEGY, V-ratio, Perron de alterações estruturais e KPSS) Referências principais: Hamilton (1994) e Maddala e Kim (1998) Variável estacionária Y t = µ + ψ(l) ɛ t a) média não condicionada, E [Y t ] = µ b) média condicionada, E [Y t ] = E [Y t+h ] = µ Frequência em economia. Discussão: taxas de juro reais e nominais. As nossas variáveis a) Y t = µ + δ t + ψ(l) ɛ t, tendência determinista b) (1 L) Y t = µ + δ + ψ(l) ɛ t, Y t I(1),tendência determinista e estocástica ( Ŷt+s/t) 2. c) Acid test: previsão! M SE = Y t+s I(0): MSE < ; I(1): MSE crescente com s. PIB. φ(l) Y t = 0, 5 + ɛ t ou Y t = 1 0, 5. Com φ(l) = 1 0, 3 L φ(l) 0, 12 L2 + 0, 11 L 3 + 0, 08 L 4 Choque. ψ(1) = 1 0, 5 = 1, 3 0, 5 φ(1) Inovações persistentes. Testes D-F e P-P Referências principais: Dickey e Fuller (1979), Phillips (1987) e Phillips e Perron (1988) Y t = ρ Y t 1 + ɛ t, com ɛ t N (0, σɛ 2 ), Y t=0 = 0. ρ < 1, e N suficientemente grande ( ) N ρn ρ distribuição reduzida a 1 ponto. ( ρ ) N 1 = 1 N n (Y t 1 Y t ) t=1 1 N Y N 2 t 1 2 t=1 χ2? N (0, (1 ρ 2 )). ρ = 1, t n = ρ 1 σ ρ. ρ = 1: tabelas não convencionais! Macroeconomia Aplicada - I Parte 8 F.E.U.C.

9 Phillips-Perron (Z-test) e T-Test. a) Série com drift. Y t = φ + µ t com µ t = ρ µ t 1 + ɛ t Y t 1 = φ + µ t 1 Y t ρ Y t 1 = φ (1 ρ) + µ t ρ µ t 1 e assim Y t = φ (1 ρ) + ρ Y t 1 + ɛ t. Teste a efectuar: Y t Y t 1 = φ (1 ρ) + (ρ 1) Y t 1 + ɛ t. Ou de forma aplicada Y t = φ (1 ρ) + (ρ 1) Y t 1 + ɛ t. Problema AR(k)? Diferentes sugestões. b) Série com drift e tendência. Y t = φ + γ t + µ t com µ t = ρ µ t 1 + ɛ t. (...) Y t = [φ (1 ρ) + ρ γ] + γ (1 ρ) t + (ρ 1) Y t 1 + ɛ t Como identificar? Base: teste t, Z test e F conjunto. Ponto de partida: drift com tendência, drift, sem drift. HEGY 8. Referência: S. Hylleberg e Yoo (1990). A(L) Y = ɛ t (1 α 1 L) (1 + α 2 L) (1 α 3 i L) (1 + α 4 i L) Y t = ɛ t Aproximação em série de Taylor (α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 1): (1 L 4 ) Y t = γ 1 (1 + L + L 2 + L 3 ) Y t 1 γ 2 (1 L + L 2 L 3 ) Y t 1 + (1 L 2 ) (γ 5 γ 6 L) Y t 1 + ɛ t (1 L 4 ) Y t = γ 1 Y 1,t 1 γ 2 Y 2,t 1 + γ 5 Y 3,t 1 γ 6 Y 3,t 2 + ɛ t... + variáveis deterministas e sazonias... i) γ 1 = 0, RU não sazonal, [(Y t Y t 1 ) I(0)] ii) γ 2 = 0, RU semi-anual, [(Y t Y t 2 ) I(0)] iii) γ 5 = γ 6 = 0, RU anual [(Y t Y t 4 ) I(0)]. V-ratio: efeito temporal de inovações. Referência: Cochrane (1988) e Campbell e Mankiw (1987). Y t = α + β t e assim Y t = β Y t = α + µ t com µ t = ψ j ε t j. j=0 Y I(0), lim s Y t+s ε t = ψ(1), com ψ(1) = 0 8 S. Hylleberg, R. Engle, W. Granger and B. Yoo Macroeconomia Aplicada - I Parte 9 F.E.U.C.

10 Y t+s Y t = α s + µ t+s + µ t+s µ t+1 n s erros acumulados (Y Variância: J t+s Y t ˆα s) 2 t=0 N (s) = N 1 lim s J(s) = s σ2 [ψ(1)] 2 Simbologia: A(1) = ψ(1) e V (k) = J(s). Processos AR simples. α(l) X t = µ + ɛ t X t = µ. Valor de α(1)? α(l) Perron e alterações estruturais. I(0) en tendência com ruptura quando ADF não exclui RU. Perron (1989) e Perron (1997). Alteração da intersecção Y t = µ + θ DU t + β t + δ DT B t + α Y t 1 + k c i Y t i + ε t DU t = 0 para t T B e DU t = 1 para t > T B DT B t = 1 para t = T B + 1, DT B t = 0 para t > T B + 1 e DT B t = 0 para t < T B Alteração na intersecção e inclinação Y t = µ + θ DU t + β t + γ DT t + δ DT B t + α Y t 1 + k c i Y t i + ε t i=1 (... idem ) e DT t = 0 para t T B e DT t = t T B para t > T B Alteração na inclinação sem descontinuidade da curva i=1 Y t = µ + β t + γdt t + Y t Y t = α Y t 1 + k c i Y t i + ɛ t i=1 DT t = 0 para t T B e DT t = t T B para t > T B. Discussão: qual o processo de ruptura escolhido? Processo da sua confirmação. KPSS 9. Hipótese nula de estacionaridade. Schmidt e Shin (1992) y t = β t + r t + µ t, r t = r t 1 + ɛ t, ɛ t N.I.D.(0, σ 2 ɛ ), µ I(0) e 9 D. Kwiatkowski; P. C. B. Phillips; P. Schmidt and S. Shin. Macroeconomia Aplicada - I Parte 10 F.E.U.C.

11 r t(=0) = r 0 ; σ 2 ɛ = 0 r t = r t 1 = r 0, e passamos a: y t = r 0 + β t + µ t y t = r 0 + µ t, β = 0 Questão: σɛ 2 = 0? N KP SS = 1 N t=1 2 σ 2 S 2 t σ 2 = 1 N N (ê t ) N t=1 l s=1 ( 1 s ) 1 + l Conjunto de exemplos de séries simuladas. N t=s+1 ê t ê t s 3.8 Co-integração. MCE e co-integração. Hendry, Engle-Grander e Johansen. Aninda Banerjee e Hendry (1993) e Johansen (1995) Exemplos económicos. Equilíbrio e ajustamento. i. P.P.C. ii. Pprocura de moeda, Hoffman e Rasche (1996) iii. Lei de Wagner As práticas de Hendry, Engle-Granger e Johansen i. Do geral ao específico. Ultra-simplificação e perda da interdependência? ii. Representação multivariada Equivalência MCE/C-I, Engle e Granger (1987) 1. y t = β 10 + λ 1 (y t 1 β 11 z t 1 ) + β 12 y t 1 + β 13 z t 1 + ε yt z t = β 20 + λ 2 (y t 1 β 21 z t 1 ) + β 22 y t 1 + β 23 z t 1 + ε zt 2. significado de λ 1 e λ 2 e β 11 e β x t = m 0 + M 1 x t 1 + M 2 x t 1 + ε t ou M 1 x t 1 = x t m 0 M 2 x t 1 ε t Macroeconomia Aplicada - I Parte 11 F.E.U.C.

12 4. Membro direito I(0): M 1 x t 1 I(0); x CI(1, 1); M 1 = 0, VAR com I(0) C-I à Engle-Granger i. Dois passos ii. Método não linear: equação simples ou sistema? iii. Mais de duas variáveis? Johansen e análise multivariada 1. x t = A 1 x t 1 + ε t (Lags=1) ou x t = A 1 x t 1 x t 1 + ε t = (A 1 I) x t 1 + ε t finalmente x t = Π x t 1 + ε t =... = A 0 + Π x t 1 + ε t 2. R(Π)? Vector de C-I e combinações lineares. 3. (...) x t = A 1 x t 1 + A 2 x t A p x t p + ε t p 1 x t = Π i x t i + Π x t p + ε t i=1 ( ) ( ) com Π = I p A i e Π i = I i A j i=1 j=1 4. R(Π) = 0 : VAR com x I(0) e R(Π) = k : x I(0) 5. λ = 0 ln (1 λ 1 ) 0 < λ i ln (1 λ 1 ) < 0;? (1 ) λ 1 ) 1 k λ traço (r) = n ln (1 λ i, r i=r+1 ) λ max (r, r + 1) = n ln (1 λ r+i, (r, r + 1) 6. Restriçãode constante [ ( no vector de C-I k LR = N ln 1 λ ) )] ln (1 λ i χ 2 (k r) i=r+1 i restrição da constante. H(0): exclusão de tendência determinista 7. Outras restrições Π = α β Macroeconomia Aplicada - I Parte 12 F.E.U.C.

13 x t = p 1 r 1 e β 1, i=1 Π i x t i + α β x t p + ε t β = 1 β 2... β k e α = α 1 α 2... α k (...) restrição em β ou α Exemplos: β: longo prazo; α = 0: exogeneidade fraca Exemplo do CATS Duas variáveis I(1), pelo menos. A. Valor para p? Problema de AR: mais variáveis ou desfasamentos? Penalização Critérios de informação LR entre p 0 e p 1, p 1 = p p 0 desfasamentos Ω ˆ 0 p 1 desfasamentos [ Ω ˆ 1 LR = (N c) ln Ω ˆ 0 ln Ω ˆ ] 1 χ 2 k 2 (p 1 p 0 ) B. Tipo de modelo? 1. Sem componente determinista 2. Constant no espaço de C-I 3. Tendência determinista (nos níveis) 4. Tendência no espaço de C-I 5. Tendência quadrática nos níveis A. e B. não são independentes! C. Estabilidade do modelo Valores próprios de A: A 1 A 2... A p 1 A p I k I k I k 0 dentro do círculo unitário Calculos recursivo dos valores próprios (e função de verosimilhança) D. Interpretação dos β s nos vectores de C-I E. C-I resumida a uma equação com k variáveis P Q M R (p) (Q) Macroeconomia Aplicada - I Parte 13 F.E.U.C.

14 F. Variáveis exógenas e mudas. As distribuições do Traço e do V.P. máximo Macroeconomia Aplicada - I Parte 14 F.E.U.C.

15 Referências Andrade, J. S. (2003), Apontamentos de Econometria Aplicada, Apontamentos, G.E.M.F., Faculdade de Economia, jasa/estudos/econometria2002.pdf. Aninda Banerjee, Juan Dolado, J. G., e D. Hendry (1993), Co-Integration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-Stationary Data. Oxford University Press, Oxford. Bação, P. (1999), Nota Sobre a Estimação de Vectores de Cointegração Com Os Programas CATS in RATS, PCFIML e EVIEWS, Working Paper, 9, GEMF, Faculdade de Economia, Coimbra, Working Paper, 9. Becker, W., e W. Greene (2001), Teaching Statistics and Econometrics to Undergraduates, Journal of Economic Perspectives, 15, Campbell, J., e G. Mankiw (1987), Are Output Flictuations Transitory, Quarterly Journal of Economics, 102, Cochrane, J. (1988), How Big Id the Random Walk in GNP?, Journal of Political Economy, 96, Dickey, D., e W. Fuller (1979), Distribution of the Estimators for Time Series Regressions with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, Engle, R., e C. Granger (1987), Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing, Econometrica, 55, Favero, C. (2001), Applied Macroeconometrics. Oxford University Press, Oxford. Hamilton, J. (1994), Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton. Hansen, H., e K. Juselius (1995), CATS in RATS, Cointegration Analysis of Time Series. Estima, Evanston, 1st edn. Hoffman, D., e R. Rasche (1996), Aggregate Money Demand Functions, Empirical Applications in Cointegrated Systems. Kluwer Academic Pub., Boston. Johansen, S. (1995), Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford University Press, Oxford. Maddala, G. S., e I.-M. Kim (1998), Unit Roots, Cointegration and Structural Change. Cambridge University Press, Cambridge. McCloskey, D., e S. Ziliak (1996), The Standard Error of Regressions, Journal of Economic Literature, XXXIV, Macroeconomia Aplicada - I Parte 15 F.E.U.C.

16 Perron, P. (1989), The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis, Econometrica, 57, Perron, P. (1997), Further Evidence on Breaking Trend Functions in Macroeconomic Variables, Journal of Econometrics, Phillips, P. (1987), Time Series Regression with a Unit Root, Econometrica, Phillips, P., e P. Perron (1988), Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, S. Hylleberg, R. Engle, W. G., e B. Yoo (1990), Seasonal Integration and Cointegration, Journal of Econometrics, Schmidt, D. K. P. C. B. P. P., e S. Shin (1992), Testing the Null Hypothesis of Stationary Against the Alternative of a Unit Root: How Sure Are We That Economic Time Series Have a Unit Root?, Journal of Econometrics, 54, Yule, G. U. (1926), Why Do We Sometimes Get Nonsense Correlations Between Time- Series?, Journal of the Royal Statistical Society, , Macroeconomia Aplicada - I Parte 16 F.E.U.C.