Limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos de taxa constante

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos de taxa constante Felipe Rafael Ribeiro Melo Rio de Janeiro 213

2 Felipe Rafael Ribeiro Melo Limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos de taxa constante Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pósgraduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Estatística. Orientador: Glauco Valle da Silva Coelho Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Setembro de 213

3 M528l Melo, Felipe Rafael Ribeiro. Limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos de taxa constante / Felipe Rafael Ribeiro Melo. -- Rio de Janeiro, 213. viii, 67 f. : il. ; 3 cm. Orientador: Glauco Valle da Silva Coelho Tese (doutorado UFRJ / Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística, 213. Referências: f Probabilidades- Tese. 2. Hidrodinâmica- Modelos matemáticos. I. Coelho, Glauco Valle da Silva (Orient.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Estatística. III. Título. CDD 519.2

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5 Aos meus pais.

6 Agradecimentos Em primeiro lugar, agradeço a Deus, força suprema e causa primária de todas as coisas, e todas as forças invisíveis que contribuíram comigo para que este trabalho chegasse ao ponto que chegou. Agradeço todas as forças e bençãos por mim recebidas nessa árdua tarefa chamada Doutorado. À minha família, sobretudo aos meus pais Jorge ilson e Rosiméri, e minha avó Luzinete, pela confiança no meu potencial e por todo tipo de ajuda, desde a mais simples e corriqueira até a mais nobre. E um agradecimento especial para minha namorada Thaís, por todo o entendimento e motivação ao longo de mais de um ano e meio de convívio. Ao meu orientador Glauco Valle, que além de bastante participativo na construção desta tese, foi meu primeiro profesor no doutorado ao ministrar a disciplina de Probabilidade Avançada. Sempre disposto a colaborar quando eu externava minhas dúvidas e também nas nossas discussões sobre a tese, não só nesta fase final de curso, mas desde os tempos do meu Mestrado. Deixo também meu agradecimento a todos os outros professores do programa com os quais tive oportunidade de fazer disciplinas e aprender mais sobre Probabilidade. A todos os companheiros de Pós-graduação com os quais tive o prazer de conviver por estes anos (alguns inclusive que não fazem mais parte do corpo discente. Todo o convívio (desde os cafézinhos até a troca de informações e debates sobre R, TeX, Estatística ou Probabilidade foi muito especial para mim, e já estou sentindo falta de vocês. estes últimos meses, em especial meus agradecimentos à Luzia (minha irmã acadêmica; o bonde da Probabilidade; Kelly e Cristian (companheiros da Sala 2; Joãozinho, Renatinha, Mariana, Larissa, enfim, a todos que tem feito do LSE um local de agradável convívio. À banca examinadora do Exame de Qualificação (professores Maria Eulália Vares, Leandro Pimentel e Milton Jara, pelas sugestões dadas que muito contribuíram para a continuidade deste trabalho. Ao CPq, pelo apoio financeiro.

7 Resumo Considere um processo de exclusão simples simétrico de vizinhos mais próximos no toro d-dimensional discreto T d = {,..., 1}d. Seja Λ uma região fechada e simplesmente conexa contida no toro d-dimensional contínuo T d = [, 1 d, cuja fronteira Λ obedece algumas condições que são satisfeitas para uma abrangente classe de curvas. Para o processo de exclusão acima em 1 T d e x, y Td sítios vizinhos, temos que a taxa de mudança no elo [x/, y/ é igual a 1, se este elo é interceptado por Λ, e igual a 1, caso contrário. Elos com taxa de mudança 1 são chamados de elos lentos. Aqui, Λ pode ser vista como uma membrana permeável, a qual dificulta a passagem de partículas entre as regiões Λ e Λ C. Estudaremos aqui o comportamento hidrodinâmico deste processo de exclusão sob escala difusiva. este caso, a equação hidrodinâmica é uma equação parabólica associada a um operador linear que não é o usual operador Laplaciano.

8 Abstract We consider a nearest neighbor symmetric exclusion process on the d-dimensional discrete torus T d = {, 1,..., 1}d. Let Λ be a simply connected closed region contained in the d-dimensional continuous torus T d = [, 1 d, whose boundary Λ satisfies some conditions that are satisfied by a large class of curves. For the exclusion process above in 1 T d and x, y Td nearest neighbor sites, we have that the exchange rate on a bond [x/, y/ is 1 if this bond is intercepted by Λ, and 1 otherwise. Bonds with exchange rate equal to 1 are called slow bonds. Here, we can interpret Λ as a permeable membrane, which slows down the passage of particles between the regions Λ e Λ C. We study the hydrodynamic behaviour of this process under diffusive scaling. In this case, the hydrodynamic equation is a parabolic equation associated to a linear operator which is not the usual Laplacian.

9 Sumário Introdução 1 1 Conceitos Preliminares O processo de exclusão atureza de Λ O Limite Hidrodinâmico O operador L Λ A equação hidrodinâmica Propriedades do operador L Λ Prova do Limite Hidrodinâmico Demonstração da Proposição Demonstração da Proposição Demonstração da Proposição Demonstração do Lema de Reposição 4 A Demonstração da desigualdade B Cota superior para entropia relativa 62 C Equivalence of Ensembles 64 Referências Bibliográficas 66

10 Introdução O comportamento hidrodinâmico de sistemas de partículas interagentes tem se tornado alvo de diversos estudos, sendo essencial para a compreensão da passagem da descrição microscópica para a descrição macroscópica em modelos da Mecânica Estatística. Podem ser considerados diferentes tipos de processos (como processos de exclusão ou processos de alcance zero e diferentes tipos de ambientes onde tais processos se desenvolvem (homogêneos ou não-homogêneos, determinísticos ou aleatórios, onde o interesse sempre volta-se para a obtenção de teoremas limites (na escala apropriada como lei dos grandes números. Trataremos aqui de processos de exclusão simples simétricos de vizinhos mais próximos, onde partículas se movem como passeios aleatórios independentes em um grafo, exceto pela regra de exclusão que não permite que duas partículas ocupem o mesmo sítio. Para cada elo (ou aresta do grafo, associamos uma sequência enumerável de tempos de espera exponenciais, independente dos tempos de espera de qualquer outro elo. Quando um tempo de espera de um elo se esgota, as ocupações nos sítios (ou vértices que tal elo conecta são trocadas. Este parâmetro de mudança de estados, denominado taxa de mudança, depende apenas do elo. Para o comportamento hidrodinâmico de tais processos (na escala difusiva em ambientes homogêneos (isto é, nos quais a taxa de mudança entre dois sítios vizinhos é sempre a mesma, temos o já conhecido resultado em Kipnis & Landim [12], que diz que a equação hidrodinâmica é a equação do calor. Todavia, estamos aqui interessados no estudo do comportamento hidrodinâmico de processos de exclusão em um ambiente não-homogêneo. Em particular, o grafo no qual o processo de exclusão de nosso interesse se desenvolve é o toro discreto com d pontos T d, isto é, {,..., 1}d com condições de fronteira periódica, para d 2, e trabalhamos em um ambiente não-constante, que consiste de: elos usuais, com taxa de mudança igual a 1; e elos lentos, com taxa de mudança menor que 1. Agora descrevamos o processo de exclusão no qual estamos interessados: seja T d o 1

11 toro d-dimensional, isto é, [, 1 d com condições de fronteira periódica, e Λ [, 1 d uma região fechada e simplesmente conexa, cuja fronteira Λ é uma hipersuperfície C 2 que deve obedecer certa hipótese, porém permitindo o uso de uma família abrangente de regiões em [, 1 d. Para {e j : j = 1,..., d} a base canônica de R d e x T d, se o elo [ x, x+e j 1 T d é interceptado por Λ, dizemos que este elo é lento, cuja taxa de mudança é igual a 1, onde a variável a mesma que indexa o toro discreto é o parâmetro de escala. E para elos que não são interceptados por Λ, a taxa de mudança é definida como sendo 1. lentos sobre Λ. Este é o chamado processo de exclusão com elos Quando um elo é lento, a hipótese que Λ deve satisfazer garante (ao menos para suficiente grande que este elo é interceptado por Λ em um único ponto. Podemos interpretar a fronteira da região Λ como uma membrana permeável, a qual torna mais demorada a passagem de partículas entre as regiões Λ e Λ C em relação a passagem de partículas entre sítios na mesma região. Em Franco, Valle & eumann [1], é obtido o limite hidrodinâmico para processos de exclusão com elos lentos sobre Λ, onde a taxa de mudança em um elo que intercepta a fronteira da região Λ depende do ângulo de incidência no qual a partícula atravessa a membrana. Porém, como não estamos considerando o fator velocidade no movimento das partículas, é razoável manter a mesma taxa para todos os elos lentos (o que rege o movimento das partículas é o ambiente. Ainda no campo de motivações para o uso das mesmas taxas de mudança para elos lentos, note que, apesar de Λ ser C 2 do ponto de visto macroscópico (isto é, em T d, isto não necessariamente ocorre do ponto de vista microscópico (onde, de fato, podemos observar movimento de partículas. Dessa forma, não podemos dizer de antemão qual será o ângulo de incidência de uma partícula ao atravessar a fronteira. Trabalhos que lidam com regime de Knudsen como em Comets, Popov, Schütz & Vachkovskaia [2] incorporam tal motivação. A especificação das taxas de mudança determinam o ambiente no qual o processo de exclusão se desenvolve. Em Faggionato, Jara & Landim [5], é obtido um limite hidrodinâmico de um sistema de partículas desenvolvendo-se por passeios aleatórios de vizinhos mais próximos em Z sob forte interação em um ambiente aleatório. Já em Franco & Landim [9], é obtido um limite hidrodinâmico no toro discreto unidimensional T = {, 1,..., 1} com taxa de mudança em um elo [x/, (x + 1/] dada por c x,x+1 (η/{[(w ((x + 1/ W (x/]}, para x T e uma classe não-aleatória de funções crescentes W : R R. Aqui, η {, 1} T e c x,x+1 (η = 1+a{η(x 1+η(x+2}, para a > 1/2. Em Valentim [18], é fornecida uma generalização em dimensão d 2 de 2

12 Franco & Landim [9] para uma classe não-aleatória de funções crescentes W : R d R com W (x 1,..., x d = d k=1 W k(x k, onde W 1,..., W d são funções da classe dada por Franco & Landim [9]. Para x T d, a taxa de mudança em um elo [x/, (x + e j/] é dada por c x,x+ej (η/{[(w j ((x + e j / W j (x/]}. Aqui, η {, 1} Td e c x,x+ej (η = 1+a{η(x e j +η(x+2e j } para a > 1/2. A evolução, na escala difusiva, da densidade empírica de processos de exclusão em Z d com taxas de mudança dadas conforme acima é descrita pelas soluções fracas de uma equação diferencial parcial parabólica nãolinear t ρ = (d/dx k (d/dw k Φ(ρ, onde Φ : [l, r] R é uma função suave fixada ([l, r] um intervalo definido em R, e d/dw k denota a derivada generalizada. Fixando uma função W : R d R desta mesma classe, Farfan, Simas & Valentim [6] provam as flutuações de equilíbrio para processos de exclusão com condutâncias (induzidas por W em um ambiente aleatório, quando o sitema começa em uma medida de equilíbrio. Franco, Gonçalves & eumann [8] consideram o processo de exclusão em um toro discreto (ainda em dimensão d = 1 com sítios, no qual todos os elos possuem taxa de mudança igual a 1, exceto um número finito de elos, com taxa β. Mostra-se que o limite hidrodinâmico do processo é distinto para β [, 1, β = 1 e β (1,. Em Franco, Valle & eumann [1], é obtido o limite hidrodinâmico do processo de exclusão simples simétrico com vizinhos mais próximos na presença de elos lentos (em dimensão d 2, onde um elo lento [ x, x+e j para x T d tem taxa de mudança igual a 1 multiplicado pelo valor absoluto do produto interno entre e j e o vetor normal exterior unitário partindo de Λ. A equação hidrodinâmica deste processo utiliza, no lugar do operador Laplaciano da equação do calor, um operador diferente cujo domínio é um subconjunto das funções contínuas duas vezes diferenciáveis dentro e fora de Λ, que podem ser descontínuas em Λ, com condições particulares nesta fronteira. A ideia para o presente trabalho é utilizar uma ligeira modificação deste operador no intuito de obter existência e unicidade de soluções fracas para a equação hidrodinâmica do processo de exclusão simples simétrico de vizinhos mais próximos na presença de elos lentos com taxa de mudança 1. Para o resultado de existência de soluções fracas para a equação hidrodinâmica do processo de exclusão com elos lentos de taxa de mudança 1, precisaremos de um lema de reposição, o qual é a principal contribuição deste trabalho. A demonstração de tal resultado possui algumas adaptações da demonstração da Estimativa de Um Bloco em Kipnis & Landim [12], resultado este que é utilizado para mostrar o Lema de Reposição (Replacement Lemma para processos de alcance zero em Kipnis & Landim 3

13 [12]. Entretanto, tal processo goza de invariância por translação, o que não ocorre no nosso caso. Isto nos leva a realizar uma adaptação mais trabalhosa no intuito de obter o mesmo comportamento probabilístico dentro dos blocos de sítios em T d, para que possamos analisar apenas um destes blocos. Além disto, diferentemente do resultado em Franco, Valle & eumann [1], onde consegue-se um resultado de convergência mais forte para a obtenção do limite hidrodinâmico, o Lema de Reposição aqui sugerido nos fornece um resultado de convergência em média. Todavia, isto é suficiente para a obtenção de soluções fracas da equação hidrodinâmica do processo. O seguinte trabalho é apresentado conforme se segue. o primeiro capítulo, é dada a definição geral de processos de exclusão, apresentando definições e notações que serão utilizadas ao longo do texto. O segundo capítulo trata do operador que substitui o operador Laplaciano na equação hidrodinâmica do nosso processo de interesse, o qual será denotado por L Λ. Propriedades deste operador, que inicialmente é definido em um particular domínio, são destacadas neste capítulo, além da extensão deste operador para um domínio imersamente compacto em L 2 (T d. o terceiro capítulo será provado o limite hidrodinâmico. A prova segue o método de entropia introduzido por Guo, Papanicolaou & Varadhan [11]. o quarto capítulo, o Lema de Reposição proposto neste trabalho será demonstrado. 4

14 Capítulo 1 Conceitos Preliminares 1.1 O processo de exclusão O processo de exclusão considera que cada sítio no grafo pode ter, no máximo, uma partícula. Portanto, uma vez trabalhando com o toro discreto T d (isto é, {, 1,..., 1} d com condições de fronteira periódica como o grafo no qual o processo se desenvolve, o espaço de estados é dado por {, 1} Td. Como tal processo não permite mais do que uma partícula por sítio, a chamada regra de exclusão impede cada salto na direção de um sítio já ocupado. Entenderemos melhor como esta regra de exclusão age ao analisar o gerador infinitesimal que define o processo. Denote por η = (η (x x T d uma configuração no espaço de estados Ω = {, 1} Td, para a qual η (x = representa que o sítio x T d está vazio, e η (x = 1 representa que o sítio x T d está ocupado. Para cada par de sítios (orientados x, y Td, associamos uma sequência enumerável de tempos de espera exponenciais de taxa p (x, y, de forma que tempos associados a pares distintos são independentes. Quando um tempo de espera se esgota, se o sítio x está ocupado e o sítio y está vazio, a partícula em x salta para y. Dizemos que o processo de exclusão é simples quando a taxa de mudança de uma partícula de um sítio x para um sítio y depende da configuração η apenas através das variáveis η (x e η (y. O gerador infinitesimal (aplicado à funções f : Ω R que define o processo de exclusão simples é dado por (L f(η = η (x [ 1 η (y ] p (x, y [ f ( ( η x,y f ( η ], (1.1 x T d y T d onde p (x, y é a taxa com a qual uma partícula salta de x para y (se x estiver ocupado 5

15 e y vazio, e (η x,y representa a mesma configuração η exceto nos sítios x e y, para os quais os estados são trocados: ( η x,y (z = η (y, se z = x, η (x, se z = y, η (z, caso contrário. Através do gerador infinitesimal, note que a dependência da taxa de mudança em η (x e η (y de fato reflete a regra de exclusão, pois η (x [ 1 η (y ] η (x = 1 e η (y =. o caso particular onde p (x, y = p (y, x para todo x, y T d, dizemos que o processo de exclusão (simples é simétrico. Para processos de exclusão simples simétricos e de vizinhos mais próximos (isto é, quando a taxa de mudança é não nula apenas entre sítios vizinhos no grafo, sua dinâmica pode ser pensada da seguinte forma: para cada elo do grafo, associamos uma sequência enumerável de tempos de espera exponenciais, independente dos tempos de espera de qualquer outra elo. Quando um tempo de espera de um elo se esgota, as ocupações nos sítios (ou vértices que tal elo conecta são trocadas. Esta taxa de mudança de estados depende apenas do elo. O processo de exclusão simples simétrico de vizinhos mais próximos em T d com taxas de mudança denotadas por ξ x,y, com x, y T d (x y, é um processo de Markov com espaço de configurações Ω = {, 1} Td. Seu gerador infinitesimal L age em funções f : Ω R como (L f(η = 1 2 x T d d ξx,x+e j [f ( ( η x,x+e j ( ] f η, (1.2 j=1 onde {e j : j = 1,..., d} denota a base canônica de R d, e (η x,x+ej é a mesma configuração obtida de η trocando apenas os estados das variáveis η (x e η (x + e j, conforme denotamos anteriormente. ote que a taxa de mudança ξx,y associada ao elo de extremos x e y é dada por ξx,y = p (x, y + p (y, x, pois tempo de espera neste elo é o mínimo entre tempo de espera de salto do sítio x para o sítio y (exponencial de taxa p (x, y e tempo de espera de salto do sítio y para o sítio x (exponencial de taxa p (y, x. Devido à simetria do processo e às taxas de mudança não nulas apenas para saltos entre sítios vizinhos, não é difícil mostrar que (1.2 provém do gerador (1.1. Trabalharemos aqui com este processo, porém com presença de elos lentos, ou seja, elos com taxa de mudança 6

16 menor que 1 em meio a elos com taxas de mudança iguais a 1. Seja o toro d-dimensional T d = [, 1 d com condição de fronteira periódica e Λ [, 1 d T d uma região fechada e simplesmente conexa, cuja fronteira Λ é uma hipersuperfície C 2 obedecendo certas características que serão expostas na Seção 1.2. Os elos lentos do nosso processo são todas os elos em 1 T d que interceptam Λ. Aos elos lentos, associamos taxa de mudança igual a 1/, ou seja, ξ x,x+e j = ξ x+e j,x = { 1, se [ x, x+e j Λ, 1, caso contrário, (1.3 para todo x T d e j = 1,..., d, onde é o parâmetro de escala. A questão das taxas de mudança em todos os elos lentos ser a mesma tem uma interpretação razoável, uma vez que não consideramos velocidade das partículas do nosso processo, isto é, todas atravessam a fronteira Λ com a mesma taxa. Como partículas no processo de exclusão desenvolvem-se independentemente tal como passeios aleatórios exceto pela regra de exclusão, o processo de exclusão caracterizado pelo gerador (1.2 possui um passeio aleatório relacionado em 1 T d, o qual descreve a evolução do sistema com uma simples partícula. Para simplificar notações futuras, introduzimos aqui o gerador deste passeio aleatório, dado por ( x L H = d j=1 {ξ x,x+ej [ H ( x + ej ( x ] [ H + ξ x,x ej H ( x ej ( x ]} H, (1.4 para toda H : 1 T d R e todo x Td. ote que L agindo em funções H : 1 T d R equivale ao gerador em (1.2 agindo em funções f : Ω R na configuração na qual o sítio x T d está ocupado e todos os outros sítios em Td estão vazios. 1.2 atureza de Λ Conforme mencionado anteriormente, a região Λ é fechada, simplesmente conexa e com fronteira de classe C 2. esta seção, vamos estabelecer uma condição sobre Λ que será necessária na prova do limite hidrodinâmico. Primeiramente, vamos particionar a região [, d no que chamaremos de caixas microscópicas d-dimensionais. Para M, L tais que L < ML < e j = 1,..., d, 7

17 defina as caixas microscópicas C,M,L como j,k, l { j 1 r=1[l r L, (l r + 1L [kml, (k + 1ML d 1 r=j [l rl, (l r + 1L } [, d, (1.5 para k {,..., /(ML } e l = (l 1,..., l d 1 com l r {,..., /L }. Para simplificar a notação, vamos omitir, M e L, e denotar a caixa acima apenas por C j,k, l. Defina as caixas macroscópicas por C j,k, l = 1 C j,k, l [, 1 d. (1.6 ota 1.1. Para, M, L e j fixos, as caixas {C j,k, l : k =,..., /(ML, l r =,..., /L } são disjuntas. Ainda, no subconjunto de [, d [ [ [ j 1 r=1, /L L, /(ML ML d 1 r=j, /L L, temos uma partição de caixas microscópicas com ML d sítios em T d cada uma. Caixas fora desta região (caso existam possuem, cada uma, cardinalidade de sítios em T d inferior a ML d. Defina os subconjuntos de C j,k, l S m j,k, l = ( j 1 r=1{l r L + m r } [kml, (k + 1ML d 1 r=j {l rl + m r } [, d, onde m = (m 1,..., m d 1 com m r < L (em d = 2, S m k, l pode ser visto como uma seção transversal. Denotando S m j,k, l = 1 S m j,k, l C j,k, l, tome I j = { (k, l : S } m j,k, l Λ = 1, mr < L, r = 1,..., d 1. (1.7 O conjunto Ij é composto pelos índices (k, l tal que Λ cruza (uma única vez todo segmento de reta maximal paralelo à coordenada j dentro de C j,k, l. As Figuras 1.1 e 1.2 8

18 ilustram casos de caixas C j,k, l com (k, l I j e (k, l I j respectivamente. A fronteira da região Λ deve obedecer a seguinte hipótese. Hipótese 1.2. Para j = 1,..., d e Vol d 1 denotando medida de Lebesgue (d 1-dimensional, lim lim M L lim Vol d 1 Λ (k, l I j C j,k, l =. (1.8 Figura 1.1: Exemplo de caixa C 1,k, l em d = 2 com (k, l I1. A curva em vermelho representa o trecho de Λ que intercepta C 1,k, l. Figura 1.2: Exemplo de caixa C 1,k, l em d = 2 na qual C1,k, l Λ, porém (k, l I 1. A curva em vermelho representa o trecho de Λ que intercepta C 1,k, l. Desta hipótese, vemos que para, M e L suficientemente grandes, o número de elos em 1 T d interceptados mais de uma vez por Λ é tomado como desprezível. Uma 9

19 grande família de superfícies (d 1-dimensionais satifaz tal hipótese, na qual podemos incluir elipsóides, circunferências e possivelmente uma razoável classe de fronteiras com curvatura estritamente positiva. 1

20 Capítulo 2 O Limite Hidrodinâmico 2.1 O operador L Λ Para processos de exclusão simples simétricos de vizinhos mais próximos sem a presença de elos lentos, a equação hidrodinâmica é dada pela equação do calor, expressa por { t ρ = 1 2 ρ ρ(, = ρ (, (2.1 onde ρ : T d [, 1] é um perfil Borel-mensurável, t expressa a derivada com relação à t, e ρ representa o Laplaciano de ρ: ρ = d i=1 2 u i ρ. Porém, como nosso processo possui elos lentos, substituiremos o operador Laplaciano por outro operador, o qual denotaremos por L Λ. Definição 2.1. O domínio D Λ L 2 (T d do operador L Λ consiste do conjunto de funções H L 2 (T d tais que, para alguma função h C 2 (T d e λ R: (i H(u = h(u + λ1 Λ (u; (ii h Λ (u = λ 1. Agora, defina o operador L Λ : D Λ L 2 (T d por L Λ H = h. Geometricamente, o operador L Λ remove a descontinuidade ao redor da superfície Λ, e então age como o operador Laplaciano. 11

21 ota 2.2. Apesar do uso do vetor 1 na condição (ii implicar falta de simetria do operador sobre Λ, veremos nos próximos teoremas que o domínio no qual o operador L Λ agirá no tocante ao comportamento hidrodinâmico do nosso processo (que é simétrico é uma extensão de D Λ que goza de certas propriedades. Ainda, com o uso do vetor 1 na Definição 2.1(ii, conseguimos provar esta extensão e, por conseguinte, os resultados que culminam no limite hidrodinâmico do processo de exclusão aqui estudado, enunciado no Teorema 2.4. Denotemos por I o operador identidade em L 2 (T d, e por, e respectivamente seu produto interno usual e norma: f, g = f(ug(udu, T d f = f, f, para f, g L 2 (T d. Temos o seguinte teorema: Teorema 2.3. Existe um espaço HΛ 1 dotado de um produto interno, 1,Λ tal que D Λ HΛ 1 e L Λ pode ser estendido para L Λ : HΛ 1 L2 (T d. Além disto, esta extensão goza das seguintes propriedades: (a O domínio HΛ 1 é denso em L2 (T d ; (b O operador L Λ é auto-adjunto e não-positivo: H, L Λ H, para todo H em HΛ 1 ; (c O operador I L Λ : HΛ 1 L2 (T d é bijetivo e D Λ é um núcleo para ele; (d O operador L Λ é dissipativo, isto é, κh L Λ H κ H para todo H em HΛ 1 e κ > ; (e Os autovalores de L Λ formam um conjunto enumerável = µ µ 1... com lim n µ n =, e todos estes autovalores tem multiplicidade finita; (f Existe uma base ortonormal completa de L 2 (T d composta por autovetores de L Λ. Pelo Teorema de Hille-Yoshida (ver Seção 1.2 em Ethier & Kurtz [3], o operador L Λ : HΛ 1 L2 (T d é o gerador de um semigrupo de contração fortemente contínuo em L 2 (T d (em virtude das propriedades (a, (c e (d acima. A demonstração do Teorema 2.3 segue de um conjunto de lemas e será feita após a apresentação destes e de suas respectivas demonstrações. 12

22 2.2 A equação hidrodinâmica Considere um perfil Borel-mensurável limitado ρ : T d [, 1]. A equação hidrodinâmica do processo de exclusão simples simétrico de vizinhos mais próximos com elos lentos, todos com taxa de mudança igual a 1/, é dada por { t ρ = 1 2 L Λρ ρ(, = ρ (, (2.2 e ρ : R + T d [, 1] é dita ser uma solução fraca da equação diferencial acima se para todas as funções H em HΛ 1 e todo t, ρ satisfaz a equação integral onde ρ t é a notação para ρ(t,. L ρ t, H ρ, H 1 2 t ρ s, L Λ H ds =, (2.3 Agora, seja {ηt : t } um processo de Markov com espaço de estados Ω e gerador como em (1.2 acelerado por 2, e D(R +, Ω o espaço de trajetórias contínuas à direita com limites à esquerda (càdlàg tomando valores em Ω, dotado da topologia Skorohod (ver Capítulo 3 em Billingsley [1]. Para µ uma medida em Ω, denotemos por P µ a medida de probabilidade em D(R +, Ω induzida pelo processo de Markov {ηt : t } com distribuição inicial µ. Ainda, denotemos E µ como a esperança com respeito a P µ. Seja {µ : 1} uma sequência de medidas de probabilidade, onde cada µ é uma medida sobre (Ω, P(Ω. Tal sequência é dita ser associada a um perfil γ : T d [, 1] se lim µ 1 d x T d para todo δ >, e toda função contínua H : T d R. H (x/ η (x H(uγ(udu T d > δ = (2.4 Teorema 2.4 (Limite hidrodinâmico. Fixe um perfil inicial Borel-mensurável ρ : T d [, 1] e considere uma sequência de medidas de probabilidade µ em Ω associadas a ρ. Então, para qualquer t, lim P 1 µ d x T d H (x/ ηt (x H(uρ(t, udu T d > δ =, 13

23 para todo δ > e toda função H C(T d, onde ρ é a única solução fraca da equação diferencial (2.2. A demonstração do Teorema 2.4 é o objetivo final no sentido de provar o comportamento hidrodinâmico do processo de interesse. a sequência deste trabalho, veremos lemas, proposições e teoremas que serão fundamentais (direta ou indiretamente para demonstrar o Teorema Propriedades do operador L Λ Esta seção é dedicada à prova do Teorema 2.3. Para tal, enunciaremos e provaremos lemas semelhantes aos apresentados em Franco, Valle & eumann [1], porém o operador L Λ conforme a Definição 2.1 é diferente do operador definido neste artigo. Portanto, as demonstrações destes lemas apresentam algumas diferenças que não tornam a generalização trivial. Lema 2.5. O domínio D Λ é denso em L 2 (T d. Demonstração. É suficiente provar que existe um subconjunto de D Λ que seja denso em L 2 (T d. Seja S o conjunto de todas as funções C 2 (T d com suporte contido em T d \ Λ. Logo, toda função G S pode ser escrita como G = g + λ1 Λ, com g C 2 e λ =, satisfazendo assim a condição (i da Definição 2.1. A condição (ii da Definição 2.1 também é satisfeita, pois como o suporte de G = g está contido em T d \ Λ, seu complementar em T d é uma vizinhança aberta contendo Λ, o que implica uj g(u = para todo u Λ, j = 1,..., d. Logo, g Λ (u = = 1 = λ 1. Portanto, S D Λ. Seja f L 2 (T d C 2 (T d e fixe ε (, 1. Então existe g ε S que coincide com f em T d exceto em V ε = {u T d : dist(u, Λ < ε}, com g ε (u f(u para todo u T d. Logo, com l d denotando a medida de Lebesgue d-dimensional, temos f g ε = ( 1/2 ( (f(u g ε (u 2 du = (f(u g ε (u 2 du T d V ε ( 1/2 ( sup(f(u g ε (u 2 l d (V ε l d (V ε 1/2 u V ε 1/2 sup 4 f(u 2 u V ε 1/2 ε 2, com ε escolhido conforme a escolha de ε. Entretanto, para qualquer ε >, existe ε > que satisfaça a última desigualdade acima, pois sup u Vε 4 f(u 2 é limitado e l d (V ε quando ε. Portanto, para f L 2 (T d C 2 (T d e ε tão pequeno quanto desejarmos, existe ε > tal que f g ε < ε/2, com g ε S. 14

24 Agora tomemos f L 2 (T d que não seja C 2. Fixe ε >. Então existe f = f ε L 2 (T d C 2 (T d tal que f f < ε/2 (consequência do Teorema de Lusin, ver Teorema 7.1 em Folland [7]. Fixe ε (, 1 de forma que 1/2 l d (V ε (sup 1/2 4 f(u 2 ε u V ε 2 (para qualquer ε >, existe ε > que satisfaz esta desigualdade. Conforme vimos acima, existe função g ε S que coincide com f em T d exceto em V ε, com g ε (u f(u para todo u T d. Então f g ε f f + f g ε ε 1/2 2 + l d(v ε (sup 1/2 4 f(u 2 ε. u V ε Portanto, S é denso em L 2 (T d, o que implica D Λ ser denso em L 2 (T d. Lema 2.6. O operador L Λ : D Λ L 2 (T d é simétrico e não-negativo. Demonstração. Sejam H, G D Λ. Logo, podemos escrever H = h + λ h 1 Λ, G = g + λ g 1 Λ, onde h, g C 2 (T d, λ h, λ g R, além de h Λ (u = λ h 1, g Λ (u = λ g 1. ote que, integrando por partes, temos h(u g(udu = T d g(u h(udu, T d (2.5 e pela Identidade de Green e Definição 2.1(ii, λ h g(udu = λ h ( g ζds = λ h λ g Λ = λ g Λ ( h ζds = λ g Λ Λ Λ ( 1 ζds h(udu, (2.6 onde ζ é o vetor unitário normal exterior a superfície Λ. De fato, a expressão acima vale, pois novamente pela Identidade de Green podemos escrever Λ ( 1 ζds = Λ ϕ(udu com ϕ(u = d i=1 u i. De (2.5 e (2.6, segue que H, L Λ G = (h(u + λ h 1 Λ (u( g(udu T d = h(u g(udu λ h g(udu T d Λ = g(u h(udu λ g h(udu = G, L Λ H, T d Λ 15

25 provando assim a simetria. Para provar a não-negatividade, note que, integrando por partes, h(u h(udu = T d h(u 2 du, T d e fazendo g = h em (2.6, temos λ h h(udu =. Concluímos então que Λ H, L Λ H, pois H, L Λ H = (h(u + λ h 1 Λ (u( h(udu T d = h(u h(udu λ h h(udu = h(u 2 du. T d Λ T d Antes de apresentarmos os próximos resultados, denote por, 1,Λ o produto interno em D Λ definido por F, G 1,Λ = F, G + F, L Λ G. Seja H 1, Λ o conjunto de todas as funções F em L2 (T d para as quais exista uma sequência {F n : n 1} em D Λ tal que F n converge para F em L 2 (T d e F n é Cauchy para o produto interno, 1,Λ. Tal sequência {F n } é dita admissível para F. Para F, G em H 1, Λ, defina F, G 1,Λ = lim n F n, G n 1,Λ, (2.7 onde {F n }, {G n } são sequências admissíveis para F, G, respectivamente. O espaço H 1, Λ dotado do produto interno, 1,Λ é um espaço real de Hilbert. O espaço de funções H 1 Λ mencionado no Teorema 2.3 é dado por H 1 Λ = { H H 1, Λ : L ΛH L 2 (T d }. Lema 2.7., 1,Λ é um produto interno para H 1 Λ. Demonstração. Para F, G e H em H 1 Λ, sejam {F n}, {G n } e {H n } sequências admissíveis para F, G e H respectivamente. Temos que provar que: (a F, F 1,Λ, e F, F 1,Λ = se e somente se F =. (b F, G + H 1,Λ = F, G 1,Λ + F, H 1,Λ. (c F, kg 1,Λ = k F, G 1,Λ, para todo k R. 16

26 (d F, G 1,Λ = G, F 1,Λ. Provando (a: Pelo Lema 2.6, temos que F n, L Λ F n para todo n. Logo, F, F 1,Λ = lim n F n, F n + lim n F n, L Λ F n. ote que, se F =, então F D Λ, logo F, F 1,Λ = F, F + F, L Λ F = F, F = e F, L Λ F = F =. Provando (b: Pela linearidade do operador Laplaciano, temos F n, L Λ (G n + H n = F n, L Λ G n L Λ H n = F n, L Λ G n + F n, L Λ H n, para todo n. Logo, F, G + H 1,Λ = lim n ( F n, G n + F n, H n + F n, L Λ G n + F n, L Λ H n = F, G 1,Λ + F, H 1,Λ. Provando (c: ovamente pela linearidade do operador Laplaciano, temos F n, L Λ (kg n = F n, k( L Λ G n = k F n, L Λ G n, para todo n. Ainda, note que {kg n } é uma sequência admissível para kg. Portanto, F, kg 1,Λ = lim n F n, kg n + lim n k F n, L Λ G n = k lim n ( F n, G n + F n, L Λ G n = k F, G 1,Λ. Provando (d: Pela simetria de L Λ : D Λ L 2 (T d provada no Lema 2.6, temos F n, L Λ G n = G n, L Λ F n, para todo n. Logo, F, G 1,Λ = lim n G n, F n + lim n G n, L Λ F n = G, F 1,Λ. De agora em diante, consideramos H 1 Λ com a norma induzida por, 1,Λ (conforme vista acima, salvo quando mencionarmos que estamos usando a norma L 2. Lema 2.8. A imersão H 1, Λ L2 (T d é compacta. Demonstração. Seja {H n } sequência limitada em H 1, Λ. Fixe {F n} sequência em D Λ limitada na norma induzida por, 1,Λ e tal que F n H n quando n. Para mostramos a imersão compacta, devemos provar que {H n } possui uma subsequência convergente (na norma usual em L 2 (T d. Para tal, é suficiente mostrar que {F n } possui uma subsequência convergente em L 2 (T d. Conforme a Definição 2.1, F n = f n + λ n 1 Λ, 17

27 com f n C 2 (T d e λ n R. Fazendo f n = f n + λ n, temos que F n = f n 1 Λ C + f n 1 Λ, e utilizando integração por partes e Identidade de Green como na demonstração do Lema 2.6, temos F n, F n 1,Λ = F n, F n + F n, L Λ F n = f n 1 Λ C + f n 1 Λ, f n 1 Λ C + f n 1 Λ + f n + λ n 1 Λ, f n = fn(udu 2 + f n(udu 2 f n (u f n (udu λ n f n (udu Λ C Λ T d Λ = f n 1 Λ C 2 + f n 1 Λ 2 + f n 2. Pela linearidade do gradiente, temos f n 2 = (f n 1 Λ C 2 + ( f n 1 Λ 2. Como {F n } é, por hipótese, limitada na norma induzida por, 1,Λ, temos que as sequências { f n 1 Λ C 2 } e { (f n 1 Λ C 2 } são limitadas, bem como { f n 1 Λ 2 } e { ( f n 1 Λ C 2 }. Logo, pelo Teorema de Compacidade de Rellich-Kondrachov (Evans [4], Teorema 5.7.1, {f n 1 Λ C} e { f n 1 Λ } possuem subsequência convergente em L 2 (T d. Portanto, de uma subsequência convergente de {f n 1 Λ C}, escolher uma subsequência convergente de { f n 1 Λ } implica {F n } possuir uma subsequência convergente em L 2 (T d, o que prova a imersão compacta de H 1, Λ em L2 (T d. Lema 2.9. A imagem de I L Λ : D Λ L 2 (T d é densa em L 2 (T d. Demonstração. O que o lema acima menciona é que o conjunto de funções {H L Λ H : H D Λ } é denso em L 2 (T d. Assim como fizemos na demonstração do Lema 2.5, é suficiente mostrar que existe um subconjunto de {H L Λ H : H D Λ } denso em L 2 (T d. Seja S = {f : f é suave e com suporte contido em T d \ Λ}. Temos que S é denso em L 2 (T d. Vamos verificar que tal conjunto está contido em {H L Λ H : H D Λ }: para F S, precisamos obter uma função H D Λ com suporte em T d \ Λ tal que F possa ser escrita como F = H L Λ H. Tomando H = h + λ h 1 Λ com λ h =, temos que F = h + h. E pelo Teorema em Evans [4], h é suave, o que implica S estar contido em {h h : h C (T d }, que por sua vez está contido em {H L Λ H : H D Λ }. Portanto, {H L Λ H : H D Λ } é 18

28 denso em L 2 (T d, ou seja, a imagem de I L Λ : D Λ L 2 (T d é densa em L 2 (T d. Demonstração (do Teorema 2.3. (a Segue direto do Lema 2.5, pois D Λ H 1 Λ. Como D Λ é denso em L 2 (T d, logo H 1 Λ também o é. (b Denote I L Λ = A : D Λ L 2 (T d. Do Lema 2.6, A é linear, simétrico e fortemente monótono no espaço de Hilbert L 2 (T d. A linearidade é consequência do operador Laplaciano ser um operador linear, logo temos, para H, G D Λ e a, b R, A(aH + bg = (I L Λ (ah + bg = I(aH + bg L Λ (ah + bg = ah + bg L Λ ([ah + bg] + [(aλ h + bλ g 1 Λ ] = ah + bg (ah + bg = ah + bg a h b g = a(h h + b(g g = a(h L Λ H + b(g L Λ G = aa(h + ba(g. Já a simetria de A é garantida pela simetria do operador L Λ : H, A(G = H, (I L Λ G = (h(u + λ h 1 Λ (u(g(u + λ g 1 Λ (u gdu T d = h + λ h 1 Λ, g + λ g 1 Λ + h + λ h 1 Λ, g = H, G + H, L Λ G = H, G + L Λ H, G = H L Λ H, G = A(H, G, para H, G D Λ. E dizemos que A é fortemente monótono se existe c > tal que A(H, H c H 2, para todo H D Λ. De fato, isto ocorre para c = 1, pois A(H, H = H L Λ H, H = H 2 + L Λ H, H H 2 19

29 para toda H D Λ, onde a desigualdade acima é garantida devido a não-negatividade do operador L Λ. Defina a extensão L Λ : HΛ 1 L2 (T d como (I A. A extensão de Friedrichs A : HΛ 1 L2 (T d é auto-adjunta, bijetiva e fortemente monótona (ver Zeidler [19], Teorema 5.5.A, logo (I AH, G = H A(H, G = H, G A(H, G = H, G H, A(G = H, G A(G = H, (I AG e L Λ H, H = (I AH, H = H + A(H, H = H, H + A(H, H H, H + H 2 = para H, G H 1 Λ, portanto L Λ : H 1 Λ L2 (T d é auto-adjunto e não-positivo. (c A extensão de Friedrichs A : HΛ 1 L2 (T d é bijetiva, conforme vimos anteriormente. Resta-nos mostrar que D Λ é um núcleo para esta extensão. Para qualquer operador B, denote por G(B o grafo de B, isto é, o conjunto dos pares (f, B(f para f Dom(B. Então D Λ é uma núcleo para A = I L Λ : HΛ 1 L2 (T d se o fecho de G(A DΛ em L 2 L 2 é igual a G(A, ou seja, precisamos mostrar que G(A DΛ = G(A, ou ainda, mostrar que o menor conjunto fechado que contém G(A DΛ é G(A. Como A é auto-adjunto, então A é um operador fechado. Logo, G(A é um conjunto fechado, isto é, para toda sequência de pares {(f n, Af n } G(A que converge para (f, g, temos g = Af. Portanto, G(A = G(A, e como D Λ H 1 Λ, temos G(A D Λ G(A, o que implica G(A DΛ G(A = G(A. Seja agora H HΛ 1. Do Lema 2.9, existe uma sequência {H n } D Λ tal que (I L Λ H n = AH n converge para AH em L 2 (T d. E pelo Teorema 5.5.A em Zeidler [19], o operador A 1 é linear, contínuo e auto-adjunto (e, pelo Lema 2.8, A 1 é um operador compacto. Então existe {H n } D Λ tal que H n converge para H em L 2 (T d quando AH n converge para AH em L 2 (T d, o que leva à existência de um sequência {(H n, AH n } G(A DΛ que converge para (H, AH. Portanto, G(A G(A DΛ. 2

30 (d Fixe uma função H HΛ 1 e κ >. Escrevendo G = (κi L ΛH, temos que G, H = [κh(u L Λ H(u]H(udu = κ T d H 2 (udu + T d H(u[ L Λ H(u]du T d = κ H, H + H, L Λ H κ H 2, onde a desigualdade acima se dá pela (já provada não-positividade do operador L Λ (no domínio HΛ 1. Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em G, H, concluímos que κ H 2 H, H 1/2 G, G 1/2 = H G = H κh L Λ H, o que implica κh L Λ H κ H. (e e (f Vimos na demonstração do item (b que o operador I L Λ : D Λ L 2 (T d é linear, simétrico e fortemente monótono (com constante c = 1, e pelo Lema 2.8, a imersão H 1, Λ L2 (T d é compacta. Logo, pelo Teorema 5.5.C em Zeidler [19], os autovalores de A = I L Λ : H 1 Λ L2 (T d formam um conjunto enumerável 1 = λ λ 1... com lim n λ n =, todos estes autovalores com multiplicidade finita, e os autovetores {H n } de A formam uma base ortonormal completa de L 2 (T d. Como L Λ = (I A, os autovalores de L Λ são dados por {µ n } = {λ n 1}, e os autovetores de L Λ são os mesmos autovetores de A. Portanto, os autovetores de L Λ formam uma base ortonormal completa de L 2 (T d, e os autovalores de L Λ formam um conjunto enumerável = µ µ 1... com lim n µ n =, todos estes autovalores com multiplicidade finita. 21

31 Capítulo 3 Prova do Limite Hidrodinâmico Esta seção é dedicada à prova do Teorema 2.4. algumas notações e definições que serão utilizadas daqui em diante. Primeiramente, precisaremos de Seja M o espaço de medidas positivas de Borel em T d com massa total limitada por 1, dotado da topologia fraca. Seja π uma medida em M e H : T d R uma função mensurável π-integrável. Denotemos então a integral de H com respeito a medida π por π, H, isto é, π, H = H(uπ(du. T d Para {η t : t } um processo de Markov com espaço de estados Ω = {, 1} Td e gerador L como em (1.2 acelerado por 2, e δ u a medida de Dirac concentrada em u T d, seja π t M a medida empírica no tempo t associada ao processo {η t : t }, dada por Cabe ressaltar que πt M. Além disto, π t, H = = 1 d π t = 1 d x T d η t (xδ x/. (3.1 é uma medida aleatória em Ω pertencente ao espaço de medidas T d H(u x T d 1 d ηt (x x T d ηt (xδ x/ (du T d H(uδ x/ (du = 1 d x T d H(x/η t (x, (3.2 e para π uma medida absolutamente contínua (com respeito a medida de Lebesgue com 22

32 densidade ρ L 2 (T d e H L 2 (T d, π, H = H(uπ(du = T d H(uρ(udu = ρ, H. T d A necessidade de ρ ser L 2 -limitada e de H L 2 (T d se dá no intuito de o produto interno entre ρ e H estar bem definido. Para T > fixo, seja D([, T ], M o espaço de trajetórias π : [, T ] M contínuas à direita com limites à esquerda (càdlàg em M, dotado da topologia Skorohod. Sendo assim, o processo {πt : t T } é um elemento aleatório de D([, T ], M, com distribuição determinada pela distribuição inicial do processo {ηt : t T }. Para cada medida de probabilidade µ em {, 1} Td, denote por Q Λ, µ a distribuição de {πt : t T } no espaço de trajetórias D([, T ], M, onde {ηt : t T } tem distribuição inicial µ. Suponha que, para um perfil Borel-mensurável γ : T d solução fraca ρ : R + T d [, 1] de [, 1], exista uma única { t ρ = 1 2 L Λρ ρ(, = γ(, (3.3 isto é, a equação hidrodinâmica do processo de exclusão com elos lentos aqui proposto com distribuição inicial conforme o perfil de densidade γ (lembrando que ρ é dita uma solução fraca do sistema acima se, para todas as funções H HΛ 1 e todo t >, a equação integral ρ t, H γ, H (1/2 t ρ s, L Λ H ds = é satisfeita. Denote por Q Λ γ a medida de probabilidade em D([, T ], M concentrada na trajetória determinística π(t, du = ρ(t, udu. Proposição 3.1. Fixe um perfil Borel-mensurável γ : T d [, 1] e considere uma sequência {µ : 1} de medidas em Ω associadas a γ no sentido de (2.4: para todo δ > e toda função contínua H : T d R, lim µ 1 d x T d H (x/ η (x H(uγ(udu T d > δ =. Então existe uma única solução fraca ρ de (3.3, e a sequência de medidas de probabilidade Q Λ, µ converge fracamente para Q Λ γ quando. O Teorema 2.4 segue como um corolário da Proposição 3.1: pela convergência (fraca 23

33 de Q Λ, µ para Q Λ γ, temos (para qualquer função contínua H : T d R que a trajetória { π t, H : t T } converge em distribuição para { π t, H : t T } quando, esta última uma trajetória determinística. Como convergência em distribuição para um elemento constante implica convergência em probabilidade, isto nos garante que lim P 1 µ d x T d = lim QΛ, µ { π t, H π t, H > δ } =, H (x/ ηt (x H(uρ(t, udu T d > δ para todo δ > e para todo t T. Fazendo T, o Teorema 2.4 está provado. Para demonstrar a Proposição 3.1, precisamos provar as três proposições a seguir: Proposição 3.2. Para qualquer sequência {µ : 1} de medidas de probabilidade com µ medida em Ω, a sequência de medidas {Q Λ, : 1} é rígida, isto é, para µ todo ε >, existe K ε D([, T ], M compacto tal que inf 1 QΛ, ({π µ t : t T } K ε > 1 ε. Proposição 3.3. Fixe um perfil Borel-mensurável γ : T d [, 1] e considere uma sequência {µ : 1} de medidas de probabilidade em Ω associadas a γ no sentido de (2.4. Então, qualquer ponto limite de Q Λ, µ está concentrado em trajetórias absolutamente contínuas que são soluções fracas de (3.3. Proposição 3.4. A solução fraca ρ da equação hidrodinâmica (3.3 é única. Demonstração (da Proposição 3.1. Provada a Proposição 3.2, isto é, provada a rigidez da sequência {Q Λ, µ : 1}, temos pelo Teorema de Prohorov (Billingsley [1], Teorema 5.1 que tal sequência é relativamente compacta, existindo assim ao menos um ponto limite desta sequência. Pela Proposição 3.3 (a qual tem as mesmas prerrogativas da Proposição 3.1, qualquer ponto limite de {Q Λ, µ : 1} está concentrado em trajetórias absolutamente contínuas que são soluções fracas de (3.3. E pela unicidade das soluções fracas de (3.3 (Proposição 3.4, para qualquer ponto limite Q da sequência {Q Λ, µ : 1}, temos que Q = Q Λ γ. As próximas seções deste capítulo se destinarão a provar as Proposições 3.2, 3.3 e

34 3.1 Demonstração da Proposição 3.2 Pela definição de {Q Λ, µ : 1}, queremos então provar a rigidez de {π t : t T } em D([, T ], M. Pela Proposição em Kipnis & Landim [12], é suficiente provar a rigidez de { π t, H : t T } em D([, T ], R para um conjunto de funções H : T d R que seja denso no espaço de funções reais contínuas em T d dotado da topologia uniforme. E se uma sequência de distribuições em D([, T ], R dotada da topologia uniforme é rígida, então esta sequência também é rígida em D([, T ], R dotada da topologia Skorohod. Então, provaremos rigidez de { π t, H : t T } em D([, T ], R dotado da topologia uniforme, para H C 2 (T d. Fixe H C 2 (T d. Temos que { π t, H : t T } é rígida (e logo, pelo Critério de Prohorov, relativamente compacta se as duas condições abaixo são satisfeitas (Teorema 13.2 em Billingsley [1]: lim δ P µ ( Para provar (3.4, note que π t, H 1 d ( P m µ sup t T sup πt, H πs, H > ε t s δ x T d πt, H > m =, (3.4 =, para todo ε >. (3.5 H(x/ 1 d d sup u T d H(u = sup u T d H(u, para todo t [, T ] e para todo, logo sup t T π t, H sup u T d H(u para todo. Como H é contínua e com domínio compacto, então sup u T d H(u m para todo m suficientemente grande. Portanto, ( P m µ sup t T πt, H > m =. Resta-nos provar (3.5. Por Kipnis & Landim [12] (Lema A1.5.1, temos que M t = π t, H π, H t 2 L ( π r, H dr 25

35 é um martingal. Pela expressão acima, πt, H πs, H = ( M t Ms t + 2 L ( πr, H dr. s Denotando A t,s = M t M s e B t,s = t s 2 L ( π r, H dr, temos então, para ε > qualquer, as seguintes inclusões: { { sup t s δ A t,s + B t,s > ε } { sup A t,s + sup Bt,s > ε t s δ t s δ sup t s δ Logo, se as equações abaixo forem verdadeiras: lim δ P µ ( } ( A t,s + B t,s > ε { sup Mt Ms > ε t s δ sup A t,s > ε/2 t s δ } } { sup Bt,s > ε/2 t s δ } =, para todo ε >, (3.6. lim δ P µ ( sup t s δ t s 2 L ( πr, H dr > ε =, para todo ε >, (3.7 então (3.5 vale. E para mostrar (3.6 e (3.7, mostraremos que lim δ lim δ E µ [ E µ [ sup t s δ sup Mt Ms t s δ t s ] =, (3.8 ] 2 L ( πr, H dr =. (3.9 ote que (3.8 e (3.9 implicam respectivamente (3.6 e (3.7 devido à desigualdade de Chebyshev: P µ ( sup t s δ A t,s > ε e o mesmo para B t,s no lugar de A t,s. [ ] 1 ε E µ sup A t,s t s δ = 1 ε E µ [ sup t s δ ] A t,s Primeiramente, verifiquemos (3.8. Defina M t como a variação quadrática de M t., 26

36 Pelo Teorema 3.26 em Seppäläinen [17], temos E µ [ M T 2 ] = E µ [ M T ], pois M =. Além disso, { Mt p : t T } para p 1 é um submartingal desde que M t p seja integrável para todo < t < T. E pelas desigualdades de Hölder e de Doob (Teorema II.1.7 em Revuz & Yor [15], [ ] [ ] [ ] E µ sup M t Ms E µ sup Mt + E µ sup Ms t s δ t s δ t s δ [ ] [ ]} 1/2 2 E µ sup M t = 2 {E µ sup Mt 2 t T t T 4 { 1/2 sup E [ µ M t 2]} { = 4 E [ µ M T ]} 1/2. t T ovamente pelo Lema A1.5.1 em Kipnis & Landim [12], M t = t 2 [ L ( π r, H 2 2 π r, H L ( π r, H ] dr, e tal expressão, por uma computação direta, pode ser escrita como M t = t d 2 j=1 x T d [ ( ξx,x+e 1 j 2d (ηr (x ηr (x + e j H ( x + ej ( x ] 2 H dr. Portanto, como ξ x,x+e j 1 e [η r (x η r (x + e j ] 2 1 para todo x T d, M T T 2d d j=1 x T d [ T d d j=1 H sup u T d ξ x,x+e j ( u + e j ( H x+ej H ( x 1/ H (u 1/ ] 2 T d 2 [ ] 2 d sup uj H(u, (3.1 u T d j=1 onde a última desigualdade se dá devido ao Teorema do Valor Médio. Logo, M T quando, o que nos garante que lim δ e isto prova (3.8, provando assim ( { [ E µ M T ]} 1/2 =, 27

37 Agora, verifiquemos (3.9. ote que, pela linearidade de L, e para cada x T d, 2 L ( π r, H = 1 d 2 x T d H(x/L (η r (x, L (η r (x = 1 2 y T d d [ ξy,y+e j (η r y,y+e j (x ηr (x ] j=1 é diferente de zero apenas para x = y ou x = y + e j, ou seja, apenas para y = x ou y = x e j. Portanto, para x T d fixo, H(x/L (η r (x = H(x/ 1 2 d [ ξx,x+e j (η r x,x+e j (x ηr (x ] j=1 + H(x/ 1 d [ ξx e 2 j,x (η r x ej,x (x ηr (x ]. j=1 Logo, 2 L ( πr, H = 1 2 d 2 + = 1 2 d 2 x T d j=1 x T d j=1 + d [ H(x/ξx,x+e j (η r x,x+e j (x ηr (x ] d [ H(x/ξx e j,x (η r x ej,x (x ηr (x ] x T d j=1 x T d j=1 d [ H(x/ξx,x+e j η r (x + e j ηr (x ] d [ H(x/ξx e j,x η r (x e j ηr (x ], e pelas condições de fronteira do toro discreto, após algumas mudanças de variáveis em termos da soma acima, obtemos 28

38 = 1 2 d 2 2 L ( πr 1, H = 2 d 2 x T d j=1 d ηr (x [ξ x,x+ej ( H x T d j=1 d ξx,x+e [ j η r (x ηr (x + e j ] [ ( x + ej H ( x + ej ( x ( H + ξ x,x ej H ( x ej ( x ] H ( x ] H. Defina Γ = { [ x x T d :, x + e j Λ ou [ x ej, x } Λ, j = 1,..., d, (3.11 isto é, o subconjunto de T d cujos elementos são vértices associados em 1 T d lentos. Então, podemos particionar a soma acima em dos elos 1 2 d d 2 d x/ Γ j=1 x Γ j=1 [ ηr (x H d ( x + ej ( ηr (x [ξ x,x+ej H + H ( x + ej ( x ej ( x ] 2H ( x ( H + ξ x,x ej H ( x ej ( x ] H. Aplicando fórmula de Taylor em H C 2 (T d no valor absoluto da primeira parcela acima, obtemos uma cota superior igual a 1 2 d 2 d x/ Γ j=1 ( u j H(x/ + o( 2, a qual é menor ou igual a sup u T d H(u + C H, onde C H > é uma constante que depende apenas de H. E como temos da ordem de d 1 termos em Γ (pois Vol d 1 ( Λ do ponto de vista microscópico é da ordem de d 1 e ξx,x+e j 1, o valor absoluto da segunda parcela (da mesma soma citada acima é limitado por 1 2 d 1 C d j=1 d j=1 x Γ sup x Γ ( ( H ( x+e j ( H x 1/ + ( H x 1/ + H ( x+e j H ( x e j ( H x 1/ ( H x 2C 1/ H ( x e j d sup uj H(u, u T d onde novamente foi utilizado o Teorema do Valor Médio, e C > é uma constante tal j=1 29

39 que Γ C d 1 para todo. Portanto, 2 L ( π r, H sup u T d H(u + C H + 2C d sup uj H(u, u T d então existe uma constante C H > dependendo somente de H tal que 2 L ( π s, H C H. Então t e logo (3.9 vale, pois lim δ s E µ [ t 2 L ( πr, H dr 2 L ( πr, H dr C H (t s, sup t s δ t s s j=1 ] [ ] 2 L ( πr, H dr lim E µ CH δ = lim CH δ =. δ δ Portanto (3.7 vale, e como já mostramos, (3.6 também vale, provando assim a rigidez das trajetórias {π t : t T } em D([, T ], M. 3.2 Demonstração da Proposição 3.3 a seção anterior, provamos que a sequência de medidas de probabilidade {Q Λ, µ : 1}, com µ medida em Ω, possui pontos limites. Agora, provaremos a Proposição 3.3, isto é, provaremos que todos os pontos limites de uma sequência Q Λ, µ (onde {µ : 1} é uma sequência associada a um perfil Borel-mensurável γ : T d [, 1] estão concentrados em trajetórias absolutamente contínuas π(t, du = ρ(t, udu, cuja densidade ρ(t, u é uma solução fraca da equação hidrodinâmica (3.3. Seja Q um ponto limite de {Q Λ, : 1}. Assumimos, sem perda de generalidade, µ que Q Λ, converge para Q quando. Como temos no máximo uma partícula por µ sítio, sup πt, H sup t T t T 1 d x T d H(x/ para toda H C(T d. Logo, πt, H (1/ d x T H(x/ para todo t [, T ] e d todo. Como sup t T π t, H é uma função contínua em D([, T ], R com respeito à topologia uniforme, aplicando o limite (em em ambos os lados, temos que 3