2 Método do Casamento de Modos

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1 2 Método do Casamento de Modos 2.. ntrodução Neste capítulo, será apresentada a formulação para a aplicação do Método do Casamento de Modos (Mode Matching Technique - MMT) no dimensionamento de estruturas coaxiais. Essas estruturas são usualmente formadas por várias seções descontínuas que conectam dois guias de onda coaxiais infinitos, como ilustrado na Figura 2.. A técnica a ser utiliada segue as diversas etapas apresentadas em [58]. Esse método pressupõe que os campos dentro de cada uma das seções de guia de onda coaxial sejam representados por um somatório de campos modais existentes. Como ilustrado na Figura 2.2, nesta análise considera-se que na primeira descontinuidade (formada pelas regiões e ) incida unicamente o modo fundamental TEM. Devido ao descasamento de impedâncias proveniente da mudança das dimensões do guia de onda coaxial da região, além do modo fundamental TEM será excitado um conjunto infinito de modos superiores e TE, refletidos na seção e transmitidos na seção. A amplitude desses modos será otida através da construção da matri de espalhamento associada a essa descontinuidade. Esses modos superiores gerados na primeira descontinuidade juntamente com o modo fundamental TEM incidirão na descontinuidade seguinte que, novamente, excitará outro conjunto infinito de modos refletidos e transmitidos, associados à matri de espalhamento dessa segunda descontinuidade. Por fim, através da associação em cascata dessas matries de espalhamento, otém-se a matri de espalhamento do conjunto total de descontinuidades que compõem a estrutura de acoplamento proposta. Nessa associação, necessita-se incluir as matries de espalhamento referentes aos guias de onda coaxiais lisos de comprimento L ( n=, 2, 3...) que conectam as duas descontinuidades. Essas matries dos guias de onda lisos estão associadas no caso do modo ser propagante, à defasagem, ou no caso do modo ser evanescente, à atenuação, que cada modo transmitido n

2 47 através da descontinuidade anterior terá ao se propagar pelo guia de onda coaxial liso até atingir a descontinuidade suseqüente. X Região Região Região Região V Y Z L L2 () Figura 2. Estrutura de acoplamento entre dois guias de onda coaxiais infinitos de dimensões aritrárias. (a) Visão espacial e () seção longitudinal da estrutura de acoplamento. Figura 2.2 lustração dos modos refletidos e transmitidos em cada descontinuidade de guia de onda coaxial. A formulação para o cálculo dos campos modais existentes no interior de cada seção de guia de onda coaxial é descrita no Apêndice A. Nos próximos itens, serão apresentadas as formulações para o cálculo das três matries de espalhamento: a referente à somente uma descontinuidade, a referente ao guia de onda coaxial liso e a resultante do cascateamento de duas matries de espalhamento quaisquer.

3 48 A formulação descrita neste capítulo foi implementada em um algoritmo computacional escrito em linguagem FORTRAN. Com o ojetivo de validar este algoritmo, foram analisados dois exemplos de acopladores e os resultados otidos nas simulações foram comparados com os encontrados na referência [56] Matri de Espalhamento de uma Descontinuidade de Seção Transversal de Guia de onda coaxial Para descrever a formulação, será considerada a descontinuidade entre dois guias de onda coaxiais mostrados na Figura 2.3.(a). A região à esquerda da descontinuidade será denominada região e a região à direita região, onde S e S são as seções transversais das regiões e, respectivamente. Para a aplicação do método deve-se considerar que ilustrado na Figura 2.3.(). S esteja contido em S, como Figura 2.3 Descontinuidade em guia de onda coaxial: (a) seção longitudinal e () seção transversal. Como pressuposto, nos dois lados da seção de transição das regiões e +, em = 0 e = 0, respectivamente, os campos elétrico e magnético serão representados através de suas expansões modais, expressas por: Região em = 0 M E = ( A + B ) e M H = ( A B ) h m m m m= m m m m= (2.)

4 49 Região em + = 0 N E = ( A + B ) e N H = ( A B ) h n n n n= n n n n= (2.2) onde m e n são os índices dos modos associados às regiões e, respectivamente. Os vetores e m, h m, e n e h n são as componentes transversais dos campos modais nas regiões e, respectivamente, determinadas no Apêndice A. A m e A n são as amplitudes dos campos incidentes na junção e como ilustrado na Figura 2.4. B m e B n são as amplitudes dos campos refletidos, Figura 2.4 lustração das amplitudes dos campos incidentes e espalhados na descontinuidade ( = 0). Como mencionado no Apêndice A, existem infinitos modos excitados no interior de cada seção de guia de onda. Porém, o número máximo de modos a serem utiliados para aproximar os campos nas regiões e, M e N, respectivamente, será dimensionado para assegurar a convergência dos resultados. mpondo a continuidade dos campos através da descontinuidade e as condições de contorno em = 0, considerando S < S, tem-se: Para os pontos interiores a S : E = E (2.3) H = H

5 50 Para os pontos interiores a S S : E = 0 (2.4) H = 0 Para os pontos interiores a (2.3) resulta em: S, a cominação das equações (2.), (2.2) e ( ) ( ), M N Am + Bm em = An + Bn en m= n= M N ( A B ) h = ( A B ) h. m m m n n n m= n= (2.5) (2.6) Para os pontos interiores a (2.2) e (2.4) resulta em: S S, a cominação das equações (2.), N e = ( A + B ) e = 0, m n n n n= N h = ( A B ) h = 0. m n n n n= (2.7) (2.8) Multiplicando vetorialmente amos os memros de (2.5) e (2.7) por h n, n =,2,..., N, e integrando sore a superfície S, otém-se: S M N ( A + B ) e h ds = ( A + B ) e h ds, m m m n n n n n m= S n= (2.9) que reorganiada resulta em: M N ( Am + Bm ) ( em hn ) ds = ( An + Bn ) ( en hn ) ds. S m= S n= (2.0) mpondo a propriedade da ortogonalidade entre os modos na integral do lado direito da equação (2.0), tem-se: S e h ds= 0, para n n. (2.) 2 n n 2

6 5 Logo, o lado direito da equação (2.0) pode ser reescrito como: onde M pnm( Am + Bm ) = qnn ( An + Bn ), n=,2,..., N (2.2) m= p = e h ds, nm m n S q = e h ds. nn n n S (2.3) (2.4) De forma análoga, multiplicando vetorialmente amos os memros de (2.6) e (2.8) por e m, m =,2,..., M, e integrando sore a superfície S, otém-se: S M N ( A B ) h e ds = ( A B ) h e ds, m m m m n n n m m= S n= (2.5) que reorganiada resulta em: M N ( Am Bm ) ( hm em ) ds = ( An Bn ) ( hn em ) ds. S m= S n= (2.6) A equação (2.6) pode ser reescrita como: onde N ( An Bn ) pnm = rmm ( Bm Am ), m=,2,..., M (2.7) n= r = e h ds mm m m S (2.8) Novamente, aplicando a propriedade da ortogonalidade entre os modos na equação (2.8), nota-se que r só será diferente de ero quando m = m2. mm 2 As equações (2.2) e (2.7) podem ser escritas na forma matricial: [ P] {[ A ] [ B ]} [ Q] {[ A ] [ B ]} + = + (2.9)

7 52 {[ ] [ ]} [ ]{[ ] [ ]} T P B A = R A B (2.20) onde: [ A ] e [ ] [ A ] e [ ] [ P ] é uma matri [ Q ] é uma matri [ R ] é uma matri B são matries M contendo coeficientes A m e B m ; B são matries N contendo coeficientes A n e B n ; N M com elementos p nm definidos em (2.3); N N com elementos q nn definidos em (2.4); M M com elementos r mm definidos em (2.8); As equações (2.9) e (2.20) podem ser reorganiadas de forma a se estaelecer uma relação entre os modos que se propagam em direções opostas, [ A ] e [ B ]. Multiplicando amos os lados da equação (2.9) por [ Q], otémse: [ B ] [ Q] [ P] {[ A ] [ B ]} [ A ] = +, (2.2) que sustituida em (2.20), resulta em: {[ ] [ ]{[ ] [ ] } [ ] } [ ]{[ ] [ ] } T P Q P A + B 2 A = R A B. (2.22) Multiplicando amos os lados da equação (2.22) por [ R], otém-se: { } [ ] [ ] [ ] T B [ ] = A R P Q [ P] {[ A] + [ B] } [ A] 2, (2.23) que pode ser reorganiada como: T T {[ ] + [ R] P [ Q] [ P] }[ B] = {[ ] [ R] P [ Q] [ P] }[ A] T [ R] P [ A ] + 2. (2.24) Multiplicando amos os lados da equação (2.24) por [ ] [ ] T + R P [ Q] [ P], otém-se:

8 53 T T [ B ] = [ ] + [ R] P [ Q] [ P] {[ ] [ R] P [ Q] [ P] }[ A ] T T [ ] [ R] P [ Q] [ P] [ R] P [ A ] (2.25) Reorganiando a equação (2.25), pode-se chegar a uma relação entre as amplitudes dos modos incidentes na junção, A e A, com as amplitudes dos modos refletidos na seção de guia de onda da esquerda, B, o que resulta em: T T [ B ] = [ R] + P [ Q] [ P] [ R] P [ Q] [ P] [ A ] T T [ R] P [ Q] [ P] P [ A ] (2.26) Multiplicando amos os lados da equação (2.20) por [ R], otém-se: T [ B ] [ A ] [ R] [ P] {[ B ] [ A ]} =, (2.27) que sustituída em (2.9), resulta em: { } [ ] [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] {[ ] [ ]} { } P 2 A R P B A = Q A + B. (2.28) Utiliando o mesmo raciocínio feito acima, pode-se explicitar [ B ] e estaelecer uma relação com [ A ] e [ A ], sendo expressa por: T [ B ] 2 [ Q] [ P][ R] P [ P][ A ] = + T T [ Q] [ P][ R] P [ Q] [ P][ R] P [ A ] +. (2.29) O sistema de equações matriciais dado pelas equações (2.26) e (2.29) estaelece uma relação entre as amplitudes dos campos modais se propagando na direção -positivo com as amplitudes dos campos modais se propagando na direção -negativo, podendo ser reescrito como:

9 54 [ B] = [ S][ A], (2.30) onde [ B] [ B ] [ B ], = (2.3) [ A] [ A ] [ A ], = (2.32) [ S] [ S ] [ S ] [ S2] [ S22] 2 =. (2.33) [ S ] é a matri de espalhamento e as su-matries que a compõem são dadas por: { T } {[ ] [ ] [ ] [ ]} T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] S = R + P Q P R P Q P, (2.34) { } [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T S2 = 2 R + P Q P P, (2.35) T { } [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] S2 = 2 Q + P R P P, (2.36) { T } {[ ] [ ][ ] T [ ] } [ ] [ ] [ ][ ] [ ] S22 = Q + P R P Q P R P, (2.37) Analisando as equações acima e a Figura 2.4, tem-se que [ S ] associa as amplitudes dos campos modais refletidos, vistos pela região, devido aos campos modais incidentes nessa região e vice-versa para [ S 22]. [ 2] S associa as amplitudes dos campos refletidos, vistos pela região, devido aos campos modais incidentes através da região e vice-versa para [ S 2]. Considerando que é conhecido o vetor [ A ] e calculando-se os elementos das matries [ P ], [ Q ] e [ R ] através das expressões de campos modais das regiões e, o que determina assim a matri de espalhamento referente à descontinuidade, pode-se determinar o vetor [ B ] com as amplitudes dos campos espalhados na descontinuidade resolvendo, assim, o sistema matricial

10 55 descrito pela equação (2.30). Neste desenvolvimento, considerou-se que o modo fundamental TEM se propague da seção de guia de onda menor para a maior. No estudo de descontinuidades em guias de onda coaxiais, podem ocorrer casos onde S < S, ou seja, o modo fundamental TEM se propaga do guia de onda maior para o menor, como ilustrado na Figura 2.5. Logo, todas as considerações feitas no desenvolvimento do método de casamento de modos, relacionadas à continuidade dos campos através da descontinuidade, não serão válidas. Essa limitação pode ser contornada através da análise dos parâmetros de reflexão e transmissão das Figuras 2.4 e 2.5. Nota-se que as matries [ Q ] e [ R ] otidas para as descontinuidades das Figuras 2.4 e 2.5, respectivamente, são idênticas, pois as integrais e os campos modais utiliados referem-se à mesma seção de guia de onda coaxial. O raciocínio é análogo na comparação das matries [ R ] e [ Q ], referentes ao guia das Figuras 2.4 e 2.5, respectivamente. No caso da matri [ P ], para a descontinuidade da Figura 2.5, onde a integral é resolvida sore a superfície da região, a continuidade dos campos através da descontinuidade não será satisfeita. Porém, pode-se usar o artifício de inverter a estrutura, calculando a matri de espalhamento referente à descontinuidade crescente, ilustrada na Figura 2.4. Posteriormente, devido a essa simetria entre as duas estruturas, a matri de espalhamento referente à descontinuidade decrescente será expressa por: [ S] [ S ] [ S ] [ S2] [ S] 22 2 =. (2.38) Figura 2.5 Descontinuidade decrescente em guia de onda coaxial.

11 Cálculo dos Elementos da Matri [P], para l=0 Os elementos da matri [ P ], dados pela equação (2.3), estão associados à amplitude do acoplamento entre os modos das seções de guias de onda coaxiais e. sso ocorre porque, a integral descrita por essa equação é realiada na região à esquerda da descontinuidade, guia, para = 0, e envolve o produto vetorial entre o campo elétrico da região, seção campo magnético da região, seção matri [ ] S, e o S. Serão determinados os elementos da P referentes aos modos TEM ( n/ m), 0( n/ m) e TE 0( n/ m) no desenvolvimento que segue. Os índices m e n representam os modos considerados na região e, respectivamente, e, como l = 0, esses modos estão associados às funções de Bessel de primeira e segunda espécie, J( 0 χ0nρ ) e N( 0 χ0nρ ), respectivamente, como comentado no Apêndice A. Como descrito na Seção anterior, os elementos da matri [ P ] são dados por: onde p = e h ds, nm m n S ds = aˆ ds = aˆ ρd ρdφ, (2.39) (2.40) Logo: ( e ) ˆ m hn a = eρ h e h, m φ n φm ρn (2.4) 2π (2.42) m n m n 0 a pnm = ( eρ hφ eφ hρ ) ρdρdφ. Portanto, é necessário considerar todos os acoplamentos entre os modos TEM, 0( / ) e TE 0( / ) entre os meios e para montarmos a matri ( n/ m) n m n m P nm. Para o caso particular onde l = 0, os modos TEM ( n/ m) e 0( n/ m) possuem somente as componentes de campo TEM / e ρ m e TEM / h φ m. Logo pode-se ter os seguintes acoplamentos:

12 57 2π TEM TEM TEM TEM / p e h d d = (2.43) nm m n 0 a 2π TEM TEM nm m n 0 a ( ρ φ ) ρ ρ φ, / p e h d d = (2.44) 2π TEM TEM nm m n 0 a ( ρ φ ) ρ ρ φ, / p e h d d = (2.45) 2π nm m n 0 a ( ρ φ ) ρ ρ φ, / p e h d d = (2.46) ( ρ φ ) ρ ρ φ. Porém, para l = 0, os modos TE 0( n/ m) possuem somente as componentes TE TE de campo e φ e h ρ, o que torna nulo o produto vetorial e m h n de todos os m m acoplamentos entre os modos TE 0( n/ m) e os modos TEM ( n/ m) e 0( n/ m). Logo, para esse caso em particular ( l = 0 ), os modos TE 0( n/ m) não acoplam com os outros modos excitados no interior do guia de onda coaxial, não tendo influência sore os parâmetros de reflexão e transmissão associados à matri de acoplamento. Assim: TEM / TE TE / TEM TE / / TE p = p = p = p = 0. (2.47) nm nm nm nm Portanto, será analisada somente a influência dos modos 0( n/ m) sore o modo fundamental TEM 0( n/ m), e a matri P nm será montada somente com os acoplamentos entre os mesmos. Modo TEM/TEM ( P ) nm TEM no primeiro guia e modo TEM no segundo guia Para o cálculo do elemento da matri [ P ] relacionado ao modo TEM da região e ao modo fundamental fundamental asta sustituir (A.93) e (A.96) em (2.43). Logo: TEM da região,

13 58 p TEM / TEM 00 2π =. (2.48) η 2 0 a dρdφ ρ Resolvendo a integral em φ e em ρ e reorganiando a equação (2.48), otémse: p TEM / TEM 00 2π = ln η a. (2.49) 2 Modo TEM/ ( p ) nm TEM no primeiro guia e modos no segundo guia Para o cálculo dos elementos da matri [ P ] relacionados ao modo fundamental TEM da região e aos modos sustituir (A.93) e (A.00) em (2.44). Logo: 0n da região, asta 2π TEM / χ0n β0n ' n0 0 0n η0n ωμ2ε2 0 a p Z ( χ ρ) dρdφ =. (2.50) Resolvendo a integral em φ e em ρ e reorganiando a equação (2.50), otémse: p 2 χ β Z ( ) Z ( a ) η ωμ ε, (2.5) TEM / = 0n 0n n0 π 0 χ 0n 0 χ 0n 0n 2 2 onde Z ( χ ρ ) é descrito em (A.6). l ln Modos /TEM ( p ) nm no primeiro guia e modo TEM no segundo guia Para o cálculo dos elementos da matri [ P ] relacionados aos modos da região e ao modo fundamental (A.99) e (A.96) em (2.45). Logo: TEM da região, asta sustituir

14 59 2π / TEM χ β ' 0 ωμε η 2 0 a p Z ( χ ρ) dρdφ =. (2.52) Resolvendo a integral em φ e em ρ e reorganiando a equação (2.52), otémse: χ β p 2 Z ( ) Z ( a ) ωμ ε η. (2.53) / TEM = π 0 χ 0 χ 2 Devido às condições de contorno para o modo descritas por (A.39), Z ( χ ) = Z ( χ a ) = 0. Logo: 0 0 p =. (2.54) / TEM 0 Modos / ( p ) nm no primeiro guia e modos no segundo guia Para o cálculo dos elementos da matri [ P ] relacionados aos modos da região e aos modos (A.00) em (2.46). Logo: 0n da região, asta sustituir (A.99) e 2π / χ β χ0n β0n ' ' nm n ωμεμεη 2 2 0n 0 a p Z ( χ ρ) Z ( χ ρ) ρdρdφ =. (2.55) Resolvendo a integral em φ e em ρ e reorganiando a equação (2.55), otémse: p / nm 2 ( ) ( ) ( ) 2πβ ( 0 ) 0( 0 ) m β n χ m χ a χ n Z χ m a Z χ n a n =, ωμεμεη χ0n Z( χ) Z0( χ0n ) n χ n χ m onde Z ( χ ρ ) é descrito em (A.6). l ln (2.56)

15 Cálculo dos Elementos da Matri [R] para l=0 A integral descrita pela equação (2.8) é realiada na região à esquerda da descontinuidade, seção de guia de onda coaxial, para = 0, e representa a amplitude associada a cada modo excitado nessa seção de guia de onda coaxial. Serão determinados os elementos da matri [ R ] referentes aos modos TEM e, visto que os modos TE não acoplam com os demais. O índice m representa o modo considerado e, como l = 0, esses modos estão associados às funções de Bessel de primeira e segunda espécies, J( 0 χ 0n ρ ) e N( 0 χ0nρ ) respectivamente, como comentado no Apêndice A. Modo TEM Para o cálculo do elemento da matri [ R ] relacionado ao modo fundamental TEM da região, a equação (2.8) será dada por: TEM TEM TEM r = e h ds S, (2.57) onde ds = aˆ ds = aˆ ρd ρdφ, (2.58) TEM TEM TEM TEM e h aˆ = e h. ( ) 0 0 ρ0 φ0 (2.59) Sustituindo (2.58) e (2.59) em (2.57) resulta em: 2π TEM TEM TEM 00 ρ0 φ0 0 a r ( e h ) ρdρdφ. = (2.60) Sustituindo (A.93) e (A.96) em (2.60), otém-se: r TEM 00 2π dρdφ. η ρ = (2.6) 0 a

16 6 Resolvendo a integral em φ e em ρ a equação (2.6) pode ser expressa por: r TEM 00 2π ln. (2.62) = η a Modos Para o cálculo dos elementos da matri [ R ] relacionados aos modos Z da região, a equação (2.8) será dada por: r = e h ds mm m m S. (2.63) Seguindo o mesmo raciocínio do caso TEM Z 00, a equação (2.63) resulta: 2π mm ρm φm 0 a r ( e h ) ρdρdφ =. (2.64) Sustituindo (A.99) e (A.00) em (2.64), otém-se: 2 2π χ ' 2 β = ( ) mm 0 η ωμε 0 a r Z χ ρ ρdρdφ. (2.65) Resolvendo a integral em φ e em ρ a equação (2.65) pode ser expressa por: π β ' r = ( χ0 ) ( ( 0 ) ) 2 ( ( 0 ) ) mm m Z χ m Z χ m + η0 2 m ωμε ( χ ), 2 a 2 2 ' ( Z( χ a) ) + 2 ( Z( χ a) ) 2 ( χ a ) (2.66)

17 62 ' onde Z ( χ ρ ) e Z ( χ ρ) l ln l ln são descritos em (A.6) e (A.62), respectivamente Cálculo dos Elementos da Matri [Q], para l=0 O cálculo dos elementos da matri [ Q ], dado pela equação (2.4), é análogo ao da matri [ R ], mudando apenas as dimensões da seção de guia de onda utiliado. sso ocorre porque a integral descrita pela equação (2.4) é realiada na região à direita da descontinuidade, seção de guia de onda coaxial, para = 0, e representa a potência associada a cada modo excitado nesse guia de onda coaxial. Serão determinados os elementos da matri [ Q ] referentes aos modos TEM e 0n, visto que os modos TE 0n não acoplam com os demais. O índice n representa o modo 0n considerado e, como l = 0, esses modos estão associados às funções de Bessel de primeira e segunda espécie, J( 0 χ0nρ ) e N( 0 χ0nρ ), respectivamente, como comentado no Apêndice A. Os elementos da matri [ Q ] relacionados ao modo TEM e aos modos 0n são expressos por: Modo TEM q TEM 00 2π ln 2 = η2 a2. (2.67) Modos π β 0n 2 ' q = ( χ0 ) ( ( 0 2) ) 2 ( ( 0 2) ) nn n Z χ n Z χ n + η n ωμ ε ( χ0n 2), 2 a ' ( Z( χ0n a2) ) + 2 ( Z( χ0n a2) ) 2 ( χ0n a 2 ) (2.68) ' onde Z ( χ ρ ) e Z ( χ ρ) são descritos em (A.6) e (A.62), respectivamente. l ln l ln

18 Cascateamento Progressivo das Matries de Espalhamento de Várias Descontinuidades As expressões descritas na seção anterior consideram a existência de apenas uma descontinuidade entre dois guias de onda coaxiais. A necessidade de produir aixas perdas ao longo de largas andas de freqüência pode requerer a utiliação de estruturas compostas por diversas descontinuidades, como ilustrado na Figura 2., tornando mais complexa a matri de espalhamento geral do dispositivo. As expressões para a matri de espalhamento da associação em cascata de várias descontinuidades é apresentada em [58]. Para essa associação, necessita-se incluir na agregação de uma segunda descontinuidade a matri de espalhamento do guia de onda coaxial liso de comprimento L que separa as duas descontinuidades, onde, primeiramente, é feito o cascateamento da matri de espalhamento da primeira descontinuidade com a matri do guia de onda liso e, posteriormente, o cascateamento do resultado da primeira associação com a matri de espalhamento da próxima descontinuidade. Esse procedimento será repetido tantas vees quantas forem necessárias, de acordo com o número de descontinuidades existentes na estrutura de acoplamento Matri de Espalhamento de um Trecho de Guia de Onda Coaxial liso Os elementos da matri de espalhamento de um trecho de guia de onda coaxial liso estão associados, no caso do modo ser propagante, à defasagem ou à atenuação, no caso dos modos serem evanescentes, que cada modo terá ao percorrer esse guia de onda coaxial liso. Essa fase ou atenuação aparecerá tanto no parâmetro de transmissão, através da descontinuidade suseqüente, quanto no parâmetro de reflexão dos modos que retornam à primeira descontinuidade, como ilustrado na Figura 2.2. Dessa forma, a matri de espalhamento do trecho de guia de onda coaxial liso será dada por [83]: [ S] [ 0] [ S2] [ S2] [ 0] = (2.69)

19 64 onde [ S 2] é uma matri diagonal com elementos dados por: S2 nn n j L = e γ, para 2 = n (2.70) S 2nn = 0, para n n2 (2.7) Para o caso onde a dependência aimutal da onda é l = 0, tem-se apenas o acoplamento entre os modos propagação será expressa por: TEM e nn. Logo, a constante de TEM = γ γ k = β 0n (2.72) As dimensões dos cilindros condutores interno e externo, a e, respectivamente, são dimensionadas de forma que apenas o modo fundamental TEM se propague e todos os modos superiores nn sejam evanescentes. Nesse caso, β 0n será imaginário e expresso pela equação (A.44). Portanto, os elementos da matri de espalhamento para o guia de onda coaxial liso, correspondentes a esses modos superiores, serão dados por uma exponencial decrescente com amplitude inversamente proporcional à ordem n do modo, ou seja, quanto maior for o valor de n, menor será a influência desse modo superior no comportamento dos campos elétrico e magnético no interior do guia de onda coaxial. O comprimento do guia de onda coaxial liso L é muito importante no dimensionamento do número máximo N de modos superiores nn a serem considerados na implementação do Método de Casamento de Modos. À medida que L aumenta, irá diminuir o número de modos superiores necessários no cálculo da matri de espalhamento associado a essa seção de guia de onda coaxial liso, pois grande parte da amplitude desses modos superiores será atenuada até atingir a próxima descontinuidade, minimiando assim sua influência nos parâmetros de transmissão e reflexão da descontinuidade suseqüente e vice-versa.

20 Matri de Espalhamento da Associação em Cascata de duas Descontinuidades a Como ilustrado na Figura 2.6.(a), as matries [ S ] e [ S ] estaelecem uma relação entre os modos incidentes e refletidos em cada uma das descontinuidades ( a e ) analisadas isoladamente [59]. c A associação das descontinuidades requer uma matri [ S ] que estaeleça uma relação entre os modos incidentes [ A ] e [ A ] com os modos refletidos [ B ] e [ B ] nas portas de entrada e saída do dispositivo de acoplamento, como ilustrado na Figura 2.6.(). Figura 2.6 (a) representação das duas matries de espalhamento conectadas, () representação da matri de espalhamento geral otida pelo cascateamento. c Para determinar a matri de espalhamento [ S ] dessa associação de descontinuidades deve-se resolver o seguinte sistema de equações matriciais em termos dos vetores [ A ] e [ A ], e [ B ] e [ B ], expresso por: c c [ B] S S 2 [ A] = [ B ] S S [ A ] c c 2 22 (2.73) Para chegar a esse sistema de equações matriciais que descreve a associação das duas descontinuidades, será feita a manipulação dos sistemas de equações matriciais que descrevem cada descontinuidade, expressos por:

21 66 Para a primeira matri de espalhamento: a a [ B] S S 2 [ A] =. (2.74) [ B ] S S [ A ] a a 2 22 Já para a segunda matri de espalhamento: [ A ] S S 2 [ B ] =. (2.75) [ B ] S [ A ] 2 S 22 As equações matriciais (2.74) e (2.75) podem ser reescritas como: a a [ B] = S [ A] + S 2 [ A] a a [ B ] = S 2 [ A ] + S 22 [ A ] [ A ] = S [ B ] + S 2 [ A ] [ B ] = S [ B ] + S [ A ], (2.76), (2.77), (2.78). (2.79) 2 22 Explicitando [ B ] na equação (2.78), otém-se: [ ] [ ] B S = A S S [ A ], (2.80) 2 que sustituida na equação (2.77) e explicitando [ A ], resulta em: a [ ] a a [ ] A = S S S A + S S S S [ A ] (2.8) Sustituindo a equação (2.8) na equação (2.76), otém-se:

22 67 a a a a [ B ] = S S S S S [ A ] S S S S S A [ ] a a (2.82) A equação (2.82) pode ser reescrita como: a a a a { }[ ] a a + { S 2 [ ] ( S S 22 ) S 2 }[ A ]. [ ] [ ] ( ) B = S S S S S + S A (2.83) A equação (2.83) determina a relação entre as amplitudes dos campos modais incidentes nas portas de entrada e saída com as amplitudes dos campos modais refletidos na porta de entrada do dispositivo. De forma análoga, explicitando [ B ] em (2.79), otém-se: [ ] [ ] B S = B S S [ A ] (2.84) que sustituida na equação (2.78) e explicitando [ A ], resulta em: [ ] [ ] { A S S = B + S S S S }[ A ]. (2.85) Sustituindo a equação (2.84) na equação (2.77), otém-se: [ ] [ ] = [ ] + [ ] a a S B S S A S A S A (2.86) Sustituindo (2.85) em (2.86), resulta: a a { S 2 S 22 S S 2 }[ B ] = S 2[ A ] a a + { S S + S S S S S S }[ A ] , (2.87)

23 68 que pode ser expressa explicitando [ B ] : a { } [ ] = ( ) B S S S S a a { S 2 S 22 + S 22 S 2 S 22 S S 2 S 22 }[ A ] a S [ A ]. + 2 (2.88) A equação (2.88) pode ser reescrita como: a a [ B ] = { S 2 [ ] ( S22 S ) S 2 }[ A ] a a { S 2 [ ] ( S22 S ) S 22 S 2 + S 22 }[ A ] (2.89) A equação (2.89) determina a relação entre as amplitudes dos campos modais incidentes nas portas de entrada e saída com as amplitudes dos campos modais refletidos na porta de saída do dispositivo de acoplamento. As equações (2.83) e (2.89) podem ser cominadas em uma única equação matricial, expressa por: C [ B] S [ A] =, (2.90) onde [ B] [ A] [ B ] [ B ] =, (2.9) [ A ] [ A ] =, (2.92) S S. (2.93) C C C 2 S = C C S 2 S 22 S C é a matri de espalhamento resultante do cascateamento de duas matries de espalhamento quaisquer, como ilustrado na Figura 2.6.(), e as sumatries que a compõem são dadas por:

24 69 {[ ] } C a a a a S = S 2 S S 22 S S 2+ S, (2.94) {[ ] } C a a S 2 = S 2 S S 22 S 2, (2.95) {[ ] } C a a S 2 = S 2 S 22 S S 2, (2.96) {[ ] } C a a S 22 = S 2 S 22 S S 22 S 2 + S 22. (2.97) As equações de (2.94) a (2.97), para o caso particular do cascateamento entre uma matri de espalhamento de uma descontinuidade qualquer matri de espalhamento de um guia de onda coaxial liso expressas por: a S com a S d, podem ser c a S = S, (2.98) c a d S2 = S2 S2, (2.99) c d a S2 = S2 S2, (2.00) c d a d S22 = S2 S22 S2. (2.0) 2.4. Validação do Algoritmo Numérico mplementado A partir da formulação descrita neste capítulo, foi implementado um algoritmo em FORTRAN. Para a validação desse algoritmo, foram utiliados dois exemplos de acopladores, e os resultados otidos nas simulações foram comparados com os encontrados na referência [56]. Os dois tipos de acopladores foram selecionados devido à diversidade de situações que podem existir nesse tipo de estrutura Primeiro caso Neste primeiro exemplo, considerou-se uma estrutura coaxial projetada para acoplar dois guias de onda coaxiais de 60 Ω com dimensões distintas, devendo operar na faixa de freqüência de a 20 GH. A Figura 2.7 ilustra as descontinuidades que constituem a estrutura considerada, e a Taela 2. lista as dimensões envolvidas. Essa estrutura é composta por seções com meio

25 70 uniforme e apresenta os dois tipos de descontinuidades, crescente e decrescente, discutidas na Seção 2.2. A estrutura foi dimensionada para que em todas as seções de guia de onda coaxiais somente o modo fundamental TEM se propague e todos os modos superiores sejam evanescentes. Como especificado em [56], para as três seções de guia de onda coaxial liso, foram considerados 20 modos 0 que, de acordo com as oservações feitas no Apêndice B, são suficientes para garantir a convergência da aproximação dos campos no interior de todas as seções de guias de onda coaxiais. Na referência [56] são mostrados os resultados otidos pela aplicação do Método de Casamento de Modos, similar ao desenvolvido neste traalho, e os otidos pelo Método de Elementos Finitos. Para o módulo da perda de retorno referente ao modo fundamental TEM, na Figura 2.8 é mostrada a convergência entre os resultados otidos através do Método de Elementos Finitos da referencia [56] e do Método de Casamento de Modos apresentado neste traalho. Como oservado, os dois métodos apresentam oa concordância. m Figura 2.7 Estrutura de acoplamento entre dois guias de onda coaxiais de dimensões distintas. Seção de guia de onda coaxial A (mm) B (mm) Guia,84 5,00 Guia 2 0,66,8 Comprimento da seção de guia de onda coaxial liso (mm) L,29 Taela 2. Dimensões da estrutura de acoplamento da Figura 2.7.

26 Método do Casamento de Modos De acordo com a referência [56] S f (GH) Figura 2.8 S 00 para a estrutura de acoplamento da Figura Segundo caso Para este segundo exemplo, considerou-se uma estrutura coaxial projetada para acoplar dois guias de onda coaxiais de 60 Ω com dimensões iguais, porém, com a inclusão de um anel dielétrico, devendo operar na faixa de freqüência de a GH. A Figura 2.9 ilustra as descontinuidades que constituem a estrutura considerada e a Taela 2.2 lista as dimensões envolvidas. Os anéis dielétricos são importantes na construção de dispositivos coaxiais, pois, além de ajudarem na centraliação do condutor interno, tamém contriuem no aumento da rigide mecânica do dispositivo. A estrutura foi dimensionada para que, em todas as seções de guias de onda coaxiais, somente o modo fundamental TEM se propague e todos os modos superiores sejam evanescentes. Como especificado em [56], para todas as seções de guia de onda coaxial liso foram considerados 20 modos que, de acordo com as oservações feitas no Apêndice B, são suficientes

27 72 para garantir a convergência da aproximação dos campos no interior de todas as seções de guias de onda coaxiais. Para o módulo da perda de retorno referente ao modo fundamental TEM, na Figura 2.0 é mostrada a convergência entre os resultados otidos através do Método de Elementos Finitos da referência [56] e do Método de Casamento de Modos apresentado neste traalho. Como oservado, os dois métodos apresentam oa concordância. Figura 2.9 Estrutura de acoplamento entre dois guias de onda coaxiais de dimensões iguais, utiliando carregamento dielétrico. Seção de guia de onda coaxial A (mm) B (mm) Guia,84 5,00 Guia 2 0,86 5,00 Guia 3,84 5,00 Guia 4 0,86 5,00 Guia 5,84 5,00 Comprimento das seções de guias de onda coaxiais lisos (mm) L,00 L 2,00 L 3,00 Taela 2.2 Dimensões da estrutura de acoplamento da Figura 2.9.

28 Método do Casamento de Modos De acordo com referência [56] 0.05 S f (GH) Figura 2.0 S 00 para a estrutura de acoplamento da Figura 2.9.