relógio apenas uma vez mediante ao pagamento de uma pequena taxa. Ao encontrarem algum defeito os consumidores devem devolver o relógio pagando

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1 Capítulo 10 Introdução à Teoria de Decisão 10.1 Introdução Na situação geral de decisão temos várias alternativas bem definidas e procuramos pela melhor ação dado o problema que temos em mãos. Além disso estamos em uma situação de incerteza e algumas das informações importantes para a decisão são desconhecidas.dependendo do contexto algumas das decisões tomadas terão mais mérito. Este mérito pode ser medido quantitativamente e recebe a denominação de utilidade. Embora o verdadeiro contexto encontrado após decidida a ação seja desconhecido é possível coletar informação que permita enumerar as possibilidades. A teoria de decisão permite combinar esta informação probabilística e empregá-la na escolha do melhor curso de ação. No que segue ilustraremos a teoria de decisão em ação utilizando um exemplo simples Problema de Decisão Suponhamos que nós sejamos o fabricante de uma linha de relógios de pulso baratos que é vendida por uma cadeia de lojas de departamento e supermercados. Nós não oferecemos garantias contra defeitos aos clientes. No entanto, como uma forma alternativa de compensação efetuamos a manutenção de qualquer relógio apenas uma vez mediante ao pagamento de uma pequena taxa. Ao encontrarem algum defeito os consumidores devem devolver o relógio pagando uma pequena quantia e fornecendo uma explicação do defeito. Nós então não realizamos nenhum trabalho de manutenção detalhado, apenas ou repomos o mecanismo completo, ou executamos a limpeza ou ambos. O serviço de manutenção é oferecido como uma forma de relações públicas não havendo intenções comerciais. Obviamente, é desejável manter os custos desse serviço 87

2 88 CAPÍTULO 10. INTRODUÇÃO À TEORIA DE DECISÃO no patamar mais baixo possível, sujeito à avaliação de quanto desejamos gastar pelas vantagens promocionais proporcionadas pelo esquema. Para cada relógio precisamos tomar a decisão de reposição do mecanismo ou simples limpeza. Gostaríamos de ser capazes de remediar o problema, se possível, pela alternativa mais barata, a saber, a simples limpeza. Precisamos assim determinar uma estratégia de decisão entre as duas alternativas manutenção ou limpeza. Precisamos também determinar a taxa que cobraremos pelo serviço. Esta situação pode ser organizada utilizando a teoria de decisão. Consideremos o que ocorre quando um relógio chega para manutenção. Inicialmente são possíveis duas ações denotadas a 1 e a 2 : a 1 : limpe o relógio primeiro; a 2 : reponha o mecanismo imediatamente. O conjunto de possíveis ações é denominado o espaço de ações e denotado A = {a 1, a 2 }. Por simplicidade, suponhamos que só há dois tipos de defeitos: 1. poeira entrou no mecanismo; 2. há um problema mecânico. Estas são as circunstâncias que são desconehcidas por nós quando temos que tomar uma decisão. Estas circunstâncias podem ser vistas como estados da natureza, atribuindo símbolos: θ 1 : poeira no mecanismo; θ 2 : problema mecânico. Em analogia ao espaço das ações introduzimos também o espaço dos estados {Ω = {θ 1, θ 2 }. Equivalentemente, podemos imaginar o espaço dos estados como um espaço de parâmetros com o parâmetro θ apresentando dois valores θ 1 e θ 2. Claramente, ações diferentes levarão a conseqüências distintas, dependendo do estado da natureza. Por exemplo, se o mecanismo estiver quebrado (estado θ 2 ) não adiantará apenas efetuar a limpeza (ação a 1 ). Suponha que o custo da limpeza seja 2 (a unidade monetária não importa) e que a reposição custe 5. Podemos então construir uma tabela que expresse os custos L(a i, θ j ) de cada ação a i sob cada uma das circunstâncias desconhecidas θ j. No nosso caso teremos a tabela abaixo. L(a i, θ j ) θ 1 θ 2 a a Note que a limpeza (a 1 ) no caso de um relógio com mecanismo quebrado (θ 2 ) tem por conseqüência os custos da limpeza (2) e da manutenção (5). Se soubessemos o estado da natureza para qualquer relógio que chegasse à fábrica o problema de decisão seria trivial: se θ 1 (relógio sujo) então a 1 (limpeza), se θ 2 (mecanismo quebrado) então a 2 (reposição). No entanto, só saberemos o estado da natureza após tomarmos a decisão. O que devemos fazer então?

3 10.2. PROBLEMA DE DECISÃO 89 Suponha que, embora θ não seja conhecido para um relógio particular, a experiência nos mostra que cerca de 30% deles apresenta problemas mecânicos. Dessa forma, temos uma probabilidade a priori π(θ 2 ) = 0, 3 e, portanto, π(θ 1 ) = 0, 7. Esta informação nos é muito útil, pois com ela podemos determinar o custo médio de tomarmos sempre a ação a 1 ou sempre a ação a 2 : L(a 1, θ) θ = 2 0, , 3 = 3, 5 L(a 2, θ) θ = 5 0, , 3 = 5, 0 Assim sendo, no longo prazo seria mais barato executar primeiro a limpeza de todos os relógios que chegassem à fábrica. Note que a estratégia mudaria se a probabilidade a priori fosse diferente. Por exemplo, se 70% dos relógios recebidos tivessem problemas mecânicos (θ 2 ) teríamos: L(a 1, θ) θ = 5, 5 e L(a 2, θ) θ = 5, 0. A estratégia mais barata no longo prazo seria então executar a manutenção em todos os relógios que fossem devolvidos a fábrica. A informação que temos sobre os estados da natureza na forma da probabilidade a priori π(θ) nos permite escolher uma ação com a garantia de que em média minimizaremos o gasto incorrido. É claro que seria muito azar se, por exemplo, escolhecemos a ação a 2 e um número enorme de relógios com poerira no mecanismo aparecesse de uma vez. No entanto, devemos lembrar que a teoria de decisão se aplica em média. Com a tabela de custos acima podemos determinar uma distribuição a priori neutra, caracterizada por custos iguais seja qual for a ação escolhida. Assim teríamos: L(a 1, θ) θ = L(a 2, θ) θ 2π(θ 1 ) + 7[1 π(θ 1 )] = 5π(θ 1 ) + 5[1 π(θ 1 )] π(θ 1 ) = 0, 4 Se o prior for neutro teremos custos iguais ( L(a 1, θ) θ = L(a 2, θ) θ = 5, 0 ) não importando a ação de nossa escolha. Compliquemos um pouco mais nosso modelo de decisão. Além da informação sobre a probabilidade de cada um dos estados da natureza, há também informação adicional nas reclamações dos consumidores. Suponha que estes dados possam ser divididos em três categorias: o relógio parou de funcionar completamente, o relógio apresenta um comportamento errático, o relógio funciona por um período depois pára. Esta informação está disponível para cada relógio, assim para cada relógio temos uma observação x apresentando uma das seguintes formas: x 1 : relógio parou completamente; x 2 : relógio apresenta comportamento errático; x 3 : relógio apenas funciona por um período limitado. Esta informação adicional pode dar alguma indicação sobre o estado da natureza. O que temos aqui é uma função de verossimilhança do tipo que já encontramos quando discutimos a inferência bayesiana, temos uma função p(x θ)

4 90 CAPÍTULO 10. INTRODUÇÃO À TEORIA DE DECISÃO que nos dará a probabilidade da reclamação x dado o estado do sistema θ. A verossimilhança, em princípio, seria determinada a partir de nossos registros históricos sobre o processo inteiro, da reclamação à manutenção. Como temos um número discreto de estados e de tipos de reclamação, podemos construir uma tabela contendo os valores assumidos pela função de verossimilhança. p(x θ) x 1 x 2 x 3 θ 1 0, 1 0, 4 0, 5 θ 2 0, 7 0, 2 0, 1 Poderíamos agora utilizar, ao invés da probabilidade a priori, a observação direta para nossa tomada de decisão. Uma regra de decisão é uma função δ(x) que determina uma ação a ser tomada caso observemos x. O objetivo principal da teoria de decisão é a obtenção de regras de decisão. Na tabela abaixo listamos todas as regras de decisão (ou estratégias) possíveis: δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6 δ 7 δ 8 x 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 x 2 a 1 a 1 a 2 a 2 a 1 a 1 a 2 a 2 x 3 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a Regras de Decisão Como poderíamos determinar uma regra de decisão δ(x) ótima? Note que se nos basearmos apenas na verossimilhança teremos que x 1 dá suporte a θ 2, que x 2 dá suporte a θ 1 e que x 3 dá suporte a θ 1.,assim deveríamos escolher δ 5 = (a 2, a 1, a 1 ). Note que δ 4 parece uma péssima escolha pois provocará custos máximos em todas as alternativas! Já δ 1 e δ 8 simplesmente ignoram os dados e decidem sempre da mesma maneira. Perceba que, embora a verossimilhança indique que, observado x 1, θ 2 é mais provável isto não implica de forma alguma que devemos decidir como se θ 2 ocorresse o tempo todo. Tudo dependerá do custo médio considerando cada um dos possíveis estados da natureza θ 1 e θ 2. Para classificarmos as estratégias possíveis levando em conta este custo médio definimos o risco da estratégia: R(δ, θ) = x L[δ(x), θ]p(x θ). (10.1) O risco expressa o custo médio da regra de decisão δ(x) dado um particular estado da natureza θ que é apoiado pela evidência fornecida pelo dado x. Assim podemos calcular a função risco de cada uma das estratégias possíveis.por exemplo: R(δ 5, θ 1 ) = L[a 2, θ 1 ]p(x 1 θ 1 ) + L[a 1, θ 1 ]p(x 2 θ 1 ) + L[a 1, θ 1 ]p(x 3 θ 1 ) = 5 0, , , 5 = 2, 3

5 10.3. REGRAS DE DECISÃO 91 R i, ,7R i,1 +0,3R i,2 =2 δ R i,1 δ 2 δ 3 δ 6 δ 5 δ 7 δ 4 δ 8 0,7R i,1 +0,3R i,2 =3,29 Figura 10.1: Riscos das diferentes estratégias. R(δ, θ) δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6 δ 7 δ 8 θ 1 2, 0 3, 5 3, 2 4, 7 2, 3 3, 8 3, 5 5, 0 θ 2 7, 0 6, 8 6, 6 6, 4 5, 6 5, 4 5, 4 5, 0 Podemos agora comparar as várias estratégias segundo seus riscos em cada estado da natureza. Em geral nenhuma estratégia vai ser uniformemente menos arriscada nos dois estados (o que seria o ideal). A figura mostra os riscos de cada estratégia de forma gráfica. Note que a escolha da melhor estratégia não é completamente evidente. A estratégia δ 1 é a menos arriscada no estado θ 1, já a estratégia δ 8 é a menos arriscada no estado θ 2. Uma possibilidade conservadora de escolha é optar pela estratégia cujo maior custo (ou risco) é o menor possível. Se olharmos para as estratégias veremos que δ 8 é aquela com o menor pior risco (no caso 5, 0). Esta forma conservadora de escolha surgiu no contexto da teoria dos jogos e é conhecida como princípio minimax. A estratégia δ 8 cosnsiste em repor os mecanismos em todas as situaçoes, não importando a dindicação do cliente sobre a natureza do defeito. Melhor do que o excessivamente pessimista princípio minimax é utilizarmos novamente a informação disponível sobre a incidência de cada tipo de defeito, ou seja, a distribuição a priori. Dada certa distribuição a priori podemos calcular o risco médio, também conhecido como risco bayesiano, definido como: r(δ, π) = R(δ, θ 1 )π(θ 1 ) + R(δ, θ 2 )π(θ 2 ). (10.2) Podemos então optar por aquela estratégia commenor risco bayesiano. Se utilizarmos o a priori π(θ 2 ) = 0, 3 e π(θ 1 ) = 0, 7 mencionado na seção anterior temos que: r = 0, 7R i,1 + 0, 3R i,2 (10.3) irá definir uma família de retas. O valor do risco crescendo a medida que estas retas se deslocam para a direita. Aquela estratégia que primeiro for cruzada pela

6 92 CAPÍTULO 10. INTRODUÇÃO À TEORIA DE DECISÃO reta será a regra de decisão de Bayes, ou seja, sera a regra de decisão que minimiza o risco médio dada a distribuição a priori. No nosso caso esta regra é δ 5 que define que devemos tomar nota das reclamações dos consumidores e limpar primeiro os relógios, a menos que o consumidor tenha declarado que o relógio parou totalmente Referências O livro que utilizamos na composição deste capítulo é: Barnett, V., Comparative Statistical Inference, John Wiley & Sons, 1973.