Investigação Operacional - Ramos Energia e

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional - Ramos Energia e Automação Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliação contínua Duração: 1h30 Face à inevitabilidade da aplicação da nova Lei das Finanças Locais, a Associação Nacional dos Municípios Portugueses propôs a criação de uma página na internet onde seriam disponibilizadas as boas práticas de todas as autarquias. Rui Rio, presidente da Câmara Municipal do Porto ordenou aos serviços de comunicação da CMP que populassem a página com todas as boas práticas desenvolvidas no último semestre, no âmbito da parceria com a FEUP. Como reacção a essa divulgação inúmeros Presidentes da Câmara deslocaram-se à FEUP para assinar protocolos de colaboração nos mesmos moldes que a CMP. Após assinatura desses protocolos começaram a surgir na FEUP solicitações de todo o país. As que a seguir se apresentam foram consideradas as mais urgentes...

2 1. (20/3 valores) O Presidente da Câmara Municipal de Freixo de Espada à Cinta, José Manuel Caldeira Santos, tem razões para sorrir: uma antiga aspiração do município, um novo edifício onde poderá concentrar todas as Divisões Municipais, vai em breve concretizar-se. A empresa construtora prometeu entregar o edifício no fim de Março e agora é tempo de afectar os espaços às várias Divisões Municipais. E aqui o sorriso do autarca começa a desvanecer-se. Os dados fornecidos pela construtora (área útil por andar) estão representados na Tabela 1. As necessidades de espaço de cada Divisão estão representadas na Tabela 2. Tabela 1: Área útil disponível por andar. Andar Área (m2) Tabela 2: Área necessária por Divisão Municipal. Divisão Municipal Área (m2) Presidente da Câmara (P) 50 Divisão Administrativa e Financeira (DAF) 65 Gabinete de Apoio ao Presidente (GAP) 35 Serviços de Protecção Civil (SPC) 40 Divisão Técnica de Obras, Urbanização e Habitação (DTOUH) 65 Divisão de Acção Social, Cultura, Desporto e Tempos Livres (DASCDTL) 35 Por razões de funcionamento dos serviços, cada Divisão deverá ficar num único andar. Mas, dadas as (más) relações entre alguns dirigentes, algumas Divisões não deverão ficar juntas no mesmo andar do novo edifício. Assim, a Divisão Administrativa e Financeira e a Divisão de Acção Social, Cultura, Desporto e Tempos Livres não poderão ficar no mesmo andar, assim como os Serviços de Protecção Civil e o Gabinete de Apoio ao Presidente também não poderão partilhar um andar. A afectação das Divisões aos andares deverá ter em linha de conta as interacções entre os serviços, isto é, serviços cujas actividades tenham muito em comum, deverão ficar tão próximos quanto possível. A Tabela 3 apresenta os vários níveis de interacção (numa escala de 1 a 3) entre as várias Divisões. Tabela 3: Nível de interacção entre as Divisões Municipais. P DAF GAP SPC DTOUH DASCDTL P DAF GAP SPC DTOUH DASCDTL Formule este problema como um problema de programação linear, tendo como objectivo a maximização da interacção total entre as várias Divisões Municipais.

3 2. (20/3 valores) A Valorsul, S.A. é a empresa responsável pelo tratamento e valorização das cerca de 750 mil toneladas de Resíduos Sólidos Urbanos produzidas, por ano, nos municípios de Amadora, Lisboa, Loures, Odivelas e Vila Franca de Xira. A sua área de intervenção corresponde a menos de 1% da área total do país, mas valoriza quase um sexto de todo o lixo doméstico produzido em Portugal. Esta imensa quantidade de resíduos é tratada e valorizada pela Valorsul através de um moderno Sistema de Gestão Integrada de RSU adequado ao crescimento e à composição do nosso lixo urbano. in A Valorsul pretende avaliar um novo sistema de descarga dos camiões que diariamente chegam ao aterro sanitário de Mato da Cruz, em Calhandriz. Com este novo sistema o tempo de descarga pode ser considerado nulo uma vez que os camiões são descarregado sem andamento. É sabido que, no período de maior tráfego (08h00-11h45), a chegada de camiões ao aterro é aleatória e segue uma distribuição exponencial com um tempo médio entre chegadas de 5 minutos. O tipo de camião (tonelagem) que chega é também uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade, calculada com base na frequência relativa passada, é representada na Tabela 4. Tabela 4: Distribuição de probabilidade para o tipo de camião. Tonelagem Probabilidade Pretende-se simular o funcionamento do aterro (chegada e atendimento de camiões) para um período de 15 minutos. Utilize a seguinte lista de números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1 como base para a simulação: 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , 6389

4 3. (20/3 valores) O Sistema Integrado de Gestão de Tráfego (SIGT) desenvolvido pelos serviços da Direcção Municipal da Via Pública da Câmara Municipal do Porto (CMP) tem contribuído para uma melhoria assinalável nas fluidez do tráfego na cidade do Porto. Além de contribuir para uma significativa melhoria da fluidez do tráfego em condições normais, as características dinâmicas do SIGT permitem dar uma resposta eficaz a situações excepcionais. De entre estas situações destacam-se as seguintes: acidentes nos principais eixos viários, intervenções que levem ao encerramento de arruamentos, dar prioridade a veículos de emergência e responder adequadamente a eventos especiais que originem um grande fluxo viário. Dado o grande sucesso obtido pelo SIGT na cidade do Porto, diversas câmaras municipais do país têm celebrado projectos de cooperação com a CMP com vista à instalação do SIGT nas principais cidades dos respectivos municípios. Na sequência da publicação da Lei 2 de 2007, a CMP tem celebrado um grande número de projectos com outras câmaras municipais nas mais diversas áreas. De forma a assegurar o sucesso dos projectos em que participa, a CMP adoptou um conjunto de procedimentos rigorosos quer na elaboração do planeamento dos projectos em que participa quer no controlo da execução dos mesmos. Recentemente, a CMP celebrou um projecto com a C.M. de V. N. de Gaia com vista à implementação do SIGT no centro da cidade de Gaia. As áreas que ficarão sobre a alçada do SIGT serão as seguintes: as avenidas da República e João XXIII e respectivos arruamentos envolventes e a zona compreendida entre o Largo Soares dos Reis, a estação das Devesas e o Cais de Gaia. A experiência adquirida pelos técnicos da CMP na implementação do SIGT em diversas cidades do país permitiu-lhes elaborar a seguinte lista de actividades para este projecto (as durações das actividades estão expressas em dias): Actividades Descrição INICIO Início A Recenseamento do Tráfego B Inquéritos de Mobilidade C Definição dos Eixos Principais D Simulação e Avaliação da Simulação E Rerutamento e Formação de Operadores F Instalação e Actualização de Semáforos G Sistema Central de Controlo H Instalação de Câmaras I Campanha Informativa (1) J Campanha Informativa (2) K Arranque do SIT L Teste e Afinação do SIT FIM Fim

5 Actividades Duração Duração Duração Actividades Predecessoras Optimista Mais Provável Pessimista INICIO A INICIO B INICIO C A,B D C E B F D G D H E,G I E J I,K K F,H L K FIM J,L (a) Desenhe a rede do projecto. (b) Determine o caminho crítico do projecto e calcule as folga total e livre de cada uma das actividades do projecto. (c) Os responsáveis pelo projecto pretendem saber qual a probabilidade do projecto ficar concluído em menos do que 95% do tempo estimado.

6 Resolução 1. Índices i, i {1,...,6} Divisão Municipal: 1 - P; 2 - DAF; 3 - GAP; 4 - SPC; 5 - DTOUH; 6 - DASCDTL; j, j {1,..., 4} andar; Constantes r ik interacção entre as Divisões Variáveis de decisão { 1 se a Divisão Municipal i ficar no andar j x ij = 0 se não Função objectivo Maximização da interacção total. Uma hipótese de responder a este objectivo é considerar que se duas divisões partilham o mesmo andar, então o seu nível de interacção (r ik ) contribui positivamente para a interacção total, caso contrário não contribui. Consideradas as variáveis de decisão deste problema, isso significa que se para algum andar k duas variáveis x ik e x jk forem iguais a 1, então o respectivo coeficiente r ij deve ser somado à função objectivo: max Z = i r ij x ik x jk j k Esta função objectivo tem no entanto o problema de ser não linear (contém produtos de variáveis). Para obter uma função objectivo linear será necessário introduzir umas novas variáveis auxiliares δ ij {0, 1}, que sejam 1 quando, para algum k, x ik = 1 x jk = 1: max Z = i r ij δ ij j A ligação entre estas variáveis auxiliares e as variáveis originais do problema é garantida no primeiro conjunto de restrições. Note-se que, como este é um problema de maximização e os r ij são positivos, a tendência das soluções será ter todas as variáveis δ ij que for possível iguais a 1. São as restrições que vão impedir que este máximo virtual seja atingido.

7 Restrições Ligação entre as variáveis auxiliares e as originais k i j x ik δ ij k i j x jk δ ij Para cada andar, a área útil não pode ser excedida 50x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cada Divisão fica alocada a algum andar x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 = 1 x 61 + x 62 + x 63 + x 64 = 1 Divisões que não podem ficar juntas, no mesmo andar j x 2j + x 6j 1 j x 3j + x 4j 1 i j x ij {0, 1}

8 2. Este é um problema de simulação discreta, em que o tempo entre eventos (chegada de uma camião) é regido por uma distribuição exponencial negativa com média 5 minutos (o tempo médio entre chegadas é de 5 minutos). Assim, λ = 0, 2. Para cada chegada é ainda necessário determinar o tipo de camião (tonelagem). Para isso utiliza-se a distribuição de probabilidade dada no enunciado. PQ R S T Q! " # # $ %& ' ( ) * %& + ' ( ) & # " # # ", # "!, #!,,! " " "! ",!!, # " #!! # #! " #!!,! # ",, " # #! : ; 4 < = < = 4 9A ; B 4 C 8 D 7 4 : = 4 = D< E D4 < : > A 9AF 4 G H 8 I J K K L M N 3O O -. / 0. / 0 1 / 0! " # #! " # " # # #!,, ",!,!,,, "! ",!, " ",, #!! # #!, #, #!!! " "! ",,, " #! O resultado desta simulação é então a chegada de 3 camiões de 26 toneladas e 4 de 32 toneladas, num tempo total de 20,7 minutos. Conclusões estatisticamente significativas apenas poderiam ser retiradas da repetição (um número suficiente de vezes) desta simulação.

9 3. (a) Os valores da duração esperada (µ) e da variância (σ 2 ) para cada uma das actividades do projecto, onde µ = Dop+4Dmp+Dpe e σ 2 = (Dop Dpe)2 ), apresentam-se na tabela 6 36 seguinte: Actividades imediatamente precedentes N. de Actividades µ σ 2 INICIO A B C D E F G H I J K L FIM ordem INICIO A 15 1, B 7 0, C D 8 0, E F 23 2, G 14 0, H 10 0, I J K L FIM A rede do projecto está desenhada na figura seguinte: (b) Folgas Totais e Livres calculadas na figura seguinte: Caminho crítico: A C D G H K L Duração prevista: 70 dias (c) A duração total do projecto é igual à soma das durações das actividades do caminho crítico: D T = D A + D C + D D D L = 70 Como as durações das actividades são variáveis aleatórias, D T também será uma variável aleatória com média µ T dada por: µ T = µ A + µ C + µ D µ L = 70 Admitindo que as durações das actividades são variáveis aleatórias independentes, a variância da duração total σ 2 T será: σ 2 T = σ2 A + σ2 C + σ2 D σ2 L = 3.44

10 Folga Actividade Actividades EST EFT LST LFT Livre Total Crítica INICIO YES A YES B NO C YES D YES E NO F NO G YES H YES I NO J NO K YES L YES FIM YES Duração total do projecto pode ser descrita por uma distribuição normal com média µ T e variância σ 2 T. A probabilidade de o projecto terminar antes de 95% da duração prevista, corresponde X probabilidade de a duração do projecto ser < = P(D < 66.5) = P ( Z < 66.5 µ ) ( T = P Z < σ T ) = P(Z < 1.88) 2.97%