Métodos de Decisão

Transcrição

1 Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Métodos de Decisão Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliação contínua Duração: 2h30 Uma Horta na Escola De modo a promover a redução de resíduos, a cidadania e a qualidade de vida nas escolas, a LIPOR, através da Horta da Formiga está a desenvolver um projecto intitulado Uma Horta na Escola. Com este projecto pretendemos ajudar as escolas a instalar uma pequena horta na sua envolvente, para que os alunos, funcionários e professores possam desfrutar dos produtos que aí cultivarem. Assim solicitámos o preenchimento e envio de um pequeno inquérito, de modo a podermos avaliar o que existe nas escolas, quais as suas necessidades e qual o interesse em desenvolver o projecto. Em Novembro de 2004, demos início às actividades nas escolas. Após a inscrição é feita uma reunião com o professor responsável pelo projecto. A 1 a sessão é uma visita à Horta da Formiga. A 2 a sessão é dedicada à compostagem caseira (como separar os resíduos orgânicos, como encher o compostor e como manter o compostor a funcionar). A 3 a sessão destina-se à horta (o que semear, plantar, que utensílios usar, como utilizar o composto e como manter a horta durante o ano respeitando sempre os métodos de produção biológica) A 4 a sessão será mais para o final do ano lectivo, para verificar se está tudo a correr conforme previsto. Para inscrições ligue in 1

2 1. (20/3 valores) A LIPOR pretende estudar uma mudança de estratégia relativamente ao projecto Uma Horta na Escola. Inicialmente pensado como apoiando a criação das hortas nas próprias escolas, as dificuldades (e custos) logísticas são grandes. Coloca-se então a alternativa de escolher alguns dos parques do Grande Porto e nesses parques implantar hortas para as escolas das redondezas. Depois de várias conversas com as Câmaras Municipais do Grande Porto, estão já identificados I parques onde se poderão implantar hortas para as J escolas que aderiram a este projecto. No entanto, isto não significa que todos estes parques venham a acolher hortas, até porque, independentemente do número de hortas lá implantado, ter o parque i envolvido neste projecto tem um custo fixo inicial de preparação de P i. Note-se que, dadas as condições naturais de cada parque, este custo é diferente de parque para parque (portanto depende de i). Por outro lado, os parques têm uma área disponível para este projecto que é limitada, pelo que cada parque não poderá admitir mais que N i hortas lá implantadas. Finalmente, o facto de as hortas não estarem nas escolas mas sim nos parques, representa um custo de deslocação entre a escola j e o parque i de C ij. (a) Escreva um modelo matemático que formule o problema acima descrito, tendo como objectivo a minimização dos custos globais da implantação e funcionamento do projecto Uma Horta na Escola, segundo este novo modelo. (b) Considere agora que cada escola terá não apenas uma horta num parque, mas sim K j hortas, todas no mesmo parque. Altere o modelo criado para responder à alínea anterior de forma a contemplar esta nova situação. (c) Foi pensado que, obrigar a que todas as hortas de uma dada escola ficassem todas no mesmo parque, era uma restrição desnecessária pois não trazia qualquer vantagem às escolas. Altere o modelo criado nas alíneas anteriores de forma a respeitar esta nova ideia. 2

3 2. (20/3 valores) Inserido no projecto Uma Horta na Escola serão distribuídos kits de jardinagem a todas as escolas envolvidas. Para fazer a distribuição dos kits, que as escolas terão que levantar em postos pré-determinados, estão a ser estudadas duas alternativas. A primeira alternativa consiste em ter um único posto de atendimento na LIPOR, mas com 3 funcionários a atender. Cada funcionário atende em média 3 escolas por hora, seguindo o tempo de atendimento uma distribuição de probabilidade exponencial negativa. Espera-se que em média 6 escolas por hora vão à LIPOR levantar os respectivos kits, sendo que o número de escolas que levantam os kits segue uma distribuição de probabilidades de Poisson. A segunda alternativa é ter 3 postos de atendimento, cada um com um único funcionário a atender, espalhados pela região metropolitana do Porto, nomeadamente um na cidade do Porto, outro em Valongo e o terceiro em Gaia. Mantendo-se a capacidade de atendimento de cada funcionário, a procura é diferente de posto para posto, uma vez que há mais escolas próximas de alguns postos do que de outros. Para o posto do Porto a procura média é de 2 escolas por hora, no posto de Valongo é de 1.2 escolas por hora e no posto de Gaia é de 2.8 escolas por hora. Em todos os casos a procura continua a seguir uma distribuição de Poisson. O custo horário de cada funcionário é de 10e. Considere que o custo de espera na fila de cada escola é também de 10 e por hora. Além destes custos considere ainda o custo de deslocação das escolas aos postos de distribuição dos kits de jardinagem. Caso exista um único posto na LIPOR, as escolas dispenderão, em média, 50eem cada deslocação. Na alternativa de postos distribuídos, portanto mais próximos das escolas, estas terão um custo de deslocação de 10 e por escola. (a) Determine que alternativa minimiza os custos globais de distribuição dos kits: custo dos funcionários + custo de espera das escolas para serem atendidas + custo de deslocação das escolas. (b) Comente outras vantagens e desvantagens, para além das estritamente económicas abordadas na alínea anterior, das duas alternativas, nomeadamente socorrendo-se, para justificar estes seus comentários, de cálculos que fez para resolver a alínea anterior ou de algum cálculo adicional que julgue oportuno. 3

4 3. (20/3 valores) No âmbito do projecto Uma Horta na Escola surgiu o problema de dimensionar o fornecimento de água para a rega das hortas. Na Figura 1 apresenta-se o esquema da rega. A capacidade de cada um dos tubos de rega é apresentada na Tabela 1. A B E F G H C D Figura 1: Sistema de rega das hortas. Tabela 1: Capacidades dos ramos do sistema de rega. Ramo Capacidade (l/min) AB 15 AC 10 BD 5 BE 5 BF 10 CD 10 DF 5 DH 10 EG 5 FG 5 Cada aspersor, para que o efeito de rega seja máximo, deveria ser alimentado com 5 l/min de água. (a) Resolvendo este problema como um problema de fluxo máximo, determine o máximo fluxo de água que é possível fazer chegar, por minuto, a cada aspersor. Prove que a solução é óptima identificando o respectivo corte mínimo. Sugestão: Para resolver este problema substitua cada um dos aspersores por um ramo que liga o nó desse aspersor a um único nó final fictício, ramo esse que terá uma capacidade igual ao consumo do aspersor: 5 l/min. (b) A partir do resultado que obteve na alínea anterior, pode-se afirmar que todos os aspersores funcionam à sua capacidade máxima? Porquê? 4

5 (c) Caso tenha respondido afirmativamente à pergunta anterior, indique que tubos poderiam ter a sua capacidade reduzida sem com isso impedir o funcionamento dos aspersores à capacidade máxima. Caso tenha respondido negativamente à pergunta anterior, indique que tubos deveriam ter a sua capacidade aumentada de forma aos aspersores funcionarem à sua capacidade máxima. 5

6 Resolução 1. (a) Índices i, l {1,..., I} Parque; j, n {1,..., J} Escola; Constantes N i C ij P i número máximo de hortas escolares que podem ser implantadas no parque i custo de deslocação entre o parque i e a escola j Custo inicial da inclusão do parque i no projecto Variáveis de decisão x ij {0, 1} y i {0, 1} Igual a 1 se o parque i acolher a horta da escola j Igual a 1 se o parque i for inserido no projecto e acolher hortas Função objectivo Minimizar os custos totais min Z = i C ij x ij + j i P i y i Restrições Cada escola tem uma horta num e num só parque x ij = 1 Cada parque não pode ter mais hortas que a sua capacidade i x ij N i y i Variáveis binárias ij x ij {0, 1} i y i {0, 1} (b) Constantes adicionais j i j zk j Número de hortas a implantar para a escola j Restrições alteradas Cada parque não pode ter mais hortas que a sua capacidade i K j x ij N i y i j (c) Podendo as hortas ficar em mais que um parque as variáveis de decisão x ij têm que mudar: Variáveis de decisão x ij Número de hortas da escola j a implantar no parque i 6

7 As restrições serão alteradas para: Restrições Cada escola tem todas as hortas de que precisa j i x ij = K j Cada parque não pode ter mais hortas que a sua capacidade i x ij N i y i j Variáveis ij x ij 0 e inteiro i y i {0, 1} 7

8 2. (a). Posto único 3 postos de atendimento LIPOR Porto Valongo Gaia M/M/3 M/M/1 M/M/1 M/M/1 µ λ λ µ ρ P L q Custo dos funcionários Custo de espera Custo de deslocação Custo Total Todos os custos foram calculados para o período de uma hora. Assim, o custo de espera é igual ao número de escolas que, em média, está na fila vezes o custo de uma hora de espera. O custo de deslocação é simplesmente igual ao número de escolas que se desloca, numa hora, aos postos de distribuição (os vários λ) vezes o custo de deslocação, que dependem de posto para posto. (b) Sendo globalmente mais económica, a alternativa de ter postos distribuídos representa uma solução muito má para as escolas que usarão o posto de atendimento de Gaia, onde a tamanho médio da fila é muito elevado, correspondendo a um tempo de espera médio: W q = L q λ = horas enquanto para os outros postos o W q seria de e de horas. Para além de ser uma solução parcelarmente muito má, este desiquilíbrio poderá levar as escolas de Gaia a procurar outros postos de atendimento, alterando radicalmente os valores de procura (λ) sobre que assentaram estes cálculos e tornando-os totalmente desfasados da realidade. Esta situação é particularmente grave uma vez que outros valores de procura poderiam levar a uma decisão completamente diferente: a concentração dos 3 postos na LIPOR. 8

9 3. (a) Rede de fluxos: G E (15,0) B F=0 (10,0) F=0 F A (10,0) (10,0) H (10,0) C Caminho A-B-Z: fluxo = 5 Caminho A-C-Z: fluxo = 5 D (5,5) G E (15,5) B F=10 (10,0) F=10 F A (10,5) Z (10,0) H (10,0) C Caminho A-B-E-Z: fluxo = 5 Caminho A-C-D-Z: fluxo = 5 D (5,5) (5,5) (5,5) (5,5) G E (15,10) B F=20 (10,0) F=20 F A (10,10) Z (10,0) (5,5) H (10,5) C D (5,5) 9

10 Caminho A-B-F-G-Z: fluxo = 5 (5,5) (5,5) (5,5) G E (15,15) B (5,5) (5,5) F=25 (10,5) F=25 F A (10,10) Z (10,0) (5,5) H (10,5) Corte mínimo C D (5,5) (b) Pela rede anterior pode-se verificar que um dos aspersores (o do nó H) não é alimentado. Em soluções alternativas poderão ser outros os aspersores não alimentados, mas como o corte mínimo vale 25, nunca seria possível alimentar os 6 aspersores (num total de 30 l/min). (c) Para alimentar todos os aspersores seria necessário aumentar e, 5 unidades a capacidade de um dos ramos pertencentes ao corte. Se aumentássemos a capacidade do ramo AC para 15 seria possível injectar mais 5 unidades de fluxo através do caminho A-C-D-H-Z, saturando todos os ramos que representam os aspersores. 10