1. A empresa de transportes fluviais RioAcimaRioAbaixo vai fazer uma alteração de tarifas

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1 Mestrado em Transportes Processos de Decisão Exame Duração: 2 horas Com consulta Das 3 questões que constituem este exame deverá escolher apenas 2 para responder e entregar 1. A empresa de transportes fluviais RioAcimaRioAbaixo vai fazer uma alteração de tarifas de transporte no próximo mês de Março. Essa alteração implicará a impressão de novos títulos de transporte, para as quatro Zonas Fluviais ZF1, ZF2, ZF3 e ZF4, tal como se representa na tabela seguinte: Table 1: Títulos de Transporte e seus valores. Título Tarifa (euros) ZF1 4 ZF2 6 ZF3 8 ZF4 10 Na figura 1, estão representados os 4 novos títulos de transporte da empresa RioAcimaRioAbaixo. Figure 1: Representação dos 4 novos títulos de transporte da empresa RioAcimaRioAbaixo Antes de enviar para a gráfica a encomenda do títulos de transporte é no entanto necessário fazer uma estimativa dos custos de impressão. Para obter essa estimativa de custos é necessário saber não só as quantidades necessárias de cada título, representadas na tabela 2, como é necessário saber quantos fotolitos 1 serão necessários. Dado o tamanho dos títulos de transporte, e o tamanho das folhas onde estes serão impressos, cada fotolito tem espaço para a gravação de 9 títulos. Por razões de ordem técnica, uma coluna apenas pode conter um tipo de título de transporte, o que faz com 1 Fotolito é um filme transparente que serve de suporte intermédio entre a finalização ou arte final e a impressão, geralmente em Off Set. Os fotolitos funcionam como um carimbo, que é sucessivamente aplicado às folhas base até que sejam impressas as quantidades pretendidas. Os fotolitos são relativamente dispendiosos e o seu custo pode ter um impacto significativo nos custos globais de impressão. 1

2 que cada fotolito permita a impressão de um máximo de 3 títulos de transporte diferentes (ver exemplo de fotolito na figura 2). Tomando como objectivo a minimização do número de fotolitos usados e considerando que um excesso de até 5% na produção de cada título é admissível, escreva um modelo de Programação Matemática que permitiria determinar o número óptimo de fotolitos para satisfazer a impressão dos títulos nas quantidades e tolerâncias dadas. Table 2: Títulos de Transporte e quantidades. Título Quantidade ZF ZF ZF ZF Figure 2: Exemplo de uma organização admissível para um fotolito. 2

3 2. Considere a árvore de decisão da figura seguinte, que pretende representar um processo de decisão com recurso a duas empresas de consultoria, empresa A e empresa B. As duas empresas fornecem informação adicional sobre a ocorrência dos dois estados da natureza possíveis, EN1 e EN2. (a) Descreva, com base na árvore representada na figura 3, todo o processo de decisão. (b) Desconhecendo os valores envolvidos neste processo de decisão, pode à partida prescindir da informação de alguma das duas empresas? Se respondeu que sim, explique cuidadosamente porquê. Se respondeu que não, explique cuidadosamente o que devia verificar para poder prescindir dessa informação. (c) Considere a matriz de decisão representada na tabela 3, onde se indicam os lucros que serão obtidos se, após decisão pela Acçãoi, ocorrer o estado da natureza ENj. Qual será a informação mais valiosa para si, a da empresa A ou a da empresa B? (apresente todas as explicações/cálculos): Figure 3: Árvore de Decisão. Table 3: Matriz de decisão. EN1 EN2 Acção Acção Acção

4 3. A AParqueTudo vai abrir mais um parque de estacionamento, desta vez na periferia da cidade, junto à estação terminal da linha cor-de-burro-quando-foge do metro. De estudos realizados nos outros parques da concessionária e tomando em linha de conta a localização deste parque, espera-se, para o período entre as 8h00 e as 20h00, uma afluência média de 2 veículos por minuto. Verificou-se também que a distribuição exponencial negativa descreve bem a variável tempo entre duas chegadas consecutivas de veículos ao parque. Já o tempo que cada veículo fica no parque 2 não é tão regular, de um ponto de vista estatístico. Assim, o melhor que se conseguiu foi o seguinte histograma para a distribuição da duração dos aparcamentos(em horas): Sabendo-se que: Tempo de aparcamento Frequência relativa (%) o preço por hora é constante e igual ae0.50 a AParqueTudo tem um protocolo com a autarquia local que a obriga a não cobrar mais que 5 horas de estacionamento, mesmo que os veículos estejam aparcados mais tempo (forma de promover o estacionamento de longa duração e tirar veículos do centro da cidade). o parque nunca enche, pelo que todos veículos que chegam têm lugar Pretende-se estimar, através de simulação estatística, a facturação 3 média deste parque num período de 12 horas. Faça 5 iterações dessa simulação estatística, utilizando a seguinte lista de números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1 como base para a simulação: Como a utilização de uma fracção de hora obriga sempre ao pagamento de um hora completa, para efeitos da análise do comportamento financeiro do parque, este tempo será considerado um número inteiro. 3 Tecnicamente não se trata de uma facturação uma vez que todos os pagamentos são efectuados contra um recibo, funcionando pois como uma venda a dinheiro. 4

5 Mestrado em Transportes Processos de Decisão Exame Resolução 1. Índices i fotolito, i {1,...,28}; j título de transporte, j {1,..., 4}; Variáveis de decisão { 1 se o fotolito i for usado. δ i = 0 se não x i 0, número de folhas impressas com o fotolito i; Coeficientes a ij número de títulos de transporte j que aparecem no fotolito i (tabela seguinte); b j Número de títulos de transporte do tipo j (tabela seguinte); Função objectivo Restrições 28 i=1 28 i=1 min Z = 28 i=1 δ i a ij x i b j, j (1) a ij x i 1.05 b j, j (2) x i δ i M 0, i (3) δ i {0, 1}, i (4) x i 0, i (5) As restrições (1) garantem que se produzem, no mínimo as quantidades pretendidas. As restrições (2) garantem que a sobreprodução não é superior a 5%. As restrições (3) garantem que um fotolito usado é contado, em termos de função objectivo. 1

6 Organizações admissíveis para os fotolitos (a ij ) Título de Fotolitos N o de Transporte x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19 x 20 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 x 27 x 28 títulos (b j ) ZF ZF ZF ZF

7 2. (a) (b) Com base nos dados fornecidos não é possível prescindir à priori da informação de nenhuma das duas empresas.... (c) A informação mais valiosa seria a da empresa A, como se pode ver na árvore de decisão representada a seguir. A opção pelo recurso à empresa A depende no entanto do preço do serviço ,!"#$"%"%&%" ##'()"*+,,-.! " # $ %&' ( ) *+ 3