Tópicos de Estatística Espacial Pontos

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1 Tópicos de Estatística Espacial Pontos Anderson Castro Soares de Oliveira

2 Análise de dados pontuais Definição (Padrão de pontos) O padrão de pontos é definido como uma base de dados contendo uma série de localização de pontos (p 1, p 2,..., p n ), numa determinada região de estudo, onde ocorreu o evento de interesse.

3 Análise de dados pontuais Definição (Padrão de pontos) O padrão de pontos é definido como uma base de dados contendo uma série de localização de pontos (p 1, p 2,..., p n ), numa determinada região de estudo, onde ocorreu o evento de interesse.

4 Análise de dados pontuais Os dados de distribuições pontuais têm as seguintes características: A área dos eventos não é uma medida válida apesar de em muitos casos ocuparem espaço. Os pontos em geral não estão associados a valores, mas apenas à ocorrência dos eventos considerados. Em alguns estudos os pontos podem estar associados a atributos de identificação, como por exemplo tipo do crime. Quando este atributo é elemento do estudo, através da comparação da distribuição espacial destes atributos, denominase processo pontual marcado.

5 Distribuição de Pontos Objetivo : verificar se os eventos observados apresentam algum tipo de padrão sistemático

6 Distribuição de Pontos No padrão agregado existe uma aglomeração de pontos no espaço No padrão regular existe uma distância média entre os pontos que tende a ser constante. No padrão aleatório os pontos se distribuem aleatóriamente no espaço

7 Completa aleatoriedade espacial (CSR) A análise estatística dos padrões de distribuições de pontos requer um modelo teórico de referência base para o desenvolvimento de métodos formais que checam a significância dos resultados exploratórios. O modelo teórico mais simples é conhecido como completa aleatoriedade espacial (CSR) O modelo de CSR considera que os pontos são independentes e tem uma distribuição de probabilidade uniforme sobre a área de estudo

8 Completa aleatoriedade espacial (CSR) O modelo de CSR implica que: não existem regiões em que os eventos possam ocorrer mais (ou menos) a presença de um dado evento não altera a probabilidade de outros eventos que figuram nas proximidades. Considere uma determinada área A, em alguma unidade de área conveniente, onde se têm x pontos localizados aleatoriamente e, portanto, independentes. pontos por uni- Assim, tem-se uma intensidade de λ = x A dade de área.

9 Completa aleatoriedade espacial (CSR) No modelo de CSR considera-se queas ocorrências em cada sub-área S i são não-correlacionadas e homogêneas estão associadas à mesma distribuição de probabilidade de Poisson

10 Completa aleatoriedade espacial (CSR) A hipótese de completa aleatoriedade espacial para um padrão de ponto espacial afirma que: O número de eventos em qualquer região plana com área A segue uma distribuição de Poisson com média λ f (x) = λx e λ x! em que: x representa o numero de pontos na area λ a intensidade do processo

11 Método Quadrat Para testar a hipótese de completa aleatoriedade espacial pode-se utilizar o método dos quadrats A área de estudo pode ser dividida em várias sub-areas denominadas quadrats Seja (u 1,..., u m ) a contagem do número de pontos em n quadrats, então aleatoriedade pode ser testado com base na idéia de que, se essas contagens seguir uma distribuição de Poisson, espera-se alcançar a igualdade de média e variância das contagens. A média e a variância do número de pontos em m quadrats são, respectivamente: U = n u i i=1 n S 2 = n (u i W ) 2 i=1 n 1

12 Método Quadrat Para verificar o padrão de distribuição dos pontos pode-se calcular o índice de dispersão I = S2 U em que: W é a média das contagens em cada quadrat S 2 é variância das contagens em cada quadrat A interpretação do índice é: I > 1 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. I = 1 indica que a distribuição espacial é aleatória I < 1 indica a existência de regularidade

13 Método Quadrat Assim, o método dos quadrats testa as seguintes hipóteses { H0 : µ = σ 2 A distribuição dos pontos é aleatória H 1 : µ σ 2 A distribuição dos pontos não é aleatória A estatística do teste é dada por: χ 2 c = (n 1)I Rejeita-se H 0 se valor p α ou χ 2 c > χ 2 α, em que χ 2 α é obtido da distribuição χ 2 com n 1 graus de liberdade

14 Método Quadrat No conjunto de dados arvores, foi feito um levantamento de espécies de arvores de grande porte numa região, em que foi obtido sua localização, Desta forma temos 200 pontos distribuídos em um area retangular

15 Método Quadrat Se fizermos 30 sub-areas temos: y x [0; 0, 5] (0, 5; 1] (1; 1, 5] (1, 5; 2] (2; 2, 5] (13, 3; 14] (12, 7; 13, 3] (12; 12, 7] (11, 3; 12] (10, 7; 11, 3] [10; 10, 7]

16 Método Quadrat Assim, temos: I = S2 60, 71 = = 9, 10 U 6, 67 χ 2 c = (m 1)I = 29 9, 10 = 263, 9 Considerando grau de liberdade ν = 29, temos χ 2 0,025 = 45, 73. Conclusão: Observando χ 2 c = 263, 9, temos que como 263, 9 > 45, 73, rejeita-se H 0 ao nível de 5% de significância. Portanto: temos evidências de que a distribuição dos pontos não é aleatória Como I > 0, temos evidência que a distribuição dos pontos é agragada

17 Método Quadrat Um problema do método é determinar tamanho e forma dos quadrats Quando não existe a definição natural do tamanho do quadrat, deve-se preocupar com a determinação desse tamanho. Se o padrão de distribuição é aleatório, o tamanho do quadrat apenas altera a magnitude da média Outros indices de dispersão podem ser utilizados para tentar contornar o problema do tamanho de forma dos quadrats.

18 Método Quadrat - Indice de Morisita O Indice de Morisita é dada por: n u 2 i n i=1 i=1 I M = n ( n ) 2 u i n i=1 u i u i i=1 em que u i é a contagem do número de pontos em n quadrats A interpretação do índice é: I > 1 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. I = 1 indica que a distribuição espacial é aleatória I < 1 indica a existência de regularidade Este índice foi desenvolvido para tentar torná-lo independente do tamanho da unidade amostral

19 Método Quadrat - Indice de Morisita A hipótese de aleatoriedade por ser testastada por meio da estatística ( n ) n χ 2 c = I M u i 1 + n i=1 Rejeita-se H 0 se valor p α ou χ 2 c > χ 2 α, em que χ 2 α é obtido da distribuição χ 2 com n 1 graus de liberdade i=1 u i

20 Método Quadrat - Indice de Morisita No Exemplo das árvores temos 30 sub-areas: y x [0; 0, 5] (0, 5; 1] (1; 1, 5] (1, 5; 2] (2; 2, 5] (13, 3; 14] (12, 7; 13, 3] (12; 12, 7] (11, 3; 12] (10, 7; 11, 3] [10; 10, 7]

21 Método Quadrat - Indice de Morisita Assim, temos: n = 30 n ui 2 = 3094 i=1 n u i = 200 i=1 O Indice de Morisita será: I M = 30 (200) = 2, 18 A estatística do teste χ 2 c = 2, 18 (200 1) = 263, 82

22 Método Quadrat - Indice de Morisita Considerando grau de liberdade ν = 29, temos χ 2 0,025 = 45, 73. Conclusão: Observando χ 2 c = 263, 82, temos que como 263, 82 > 45, 73, rejeita-se H 0 ao nível de 5% de significância. Portanto: temos evidências de que a distribuição dos pontos não é aleatória Como I > 0, temos evidência que a distribuição dos pontos é agregada

23 Índice do Vizinho Mais Proximo A distância de um ponto ao outro fornece uma variável que elimina o efeito do tamanho dos quadrats A distância entre dois pontos é calculada d i,j = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2

24 Índice do Vizinho Mais Proximo A análise de padrão espacial defini-se a vizinhança entre os pontos: Dois pontos serão vizinhos de ordem k se a distância entre eles for a k-ésima menor distância entre todos os pontos no espaço Assim: Dois pontos serão vizinhos de primeira ordem ou vizinhos mais próximos se a distância entre eles for a menor distância entre todos os pontos no espaço Dois pontos serão vizinhos de segunda ordem se a distância entre eles for a segunda menor distância entre todos os pontos no espaço

25 Índice do Vizinho Mais Proximo O índice do Vizinho Mais Proximo é dado por: R = d A d E em que d A é a distância média ao vizinho mais próximo dada por n d A = d i i=1 n d A é a distância esperada ao vizinho mais próximo dada por d E = 1 A 2 n sendo A é a área do estudo e n é o numero de pontos

26 Índice do Vizinho Mais Proximo O índice do Vizinho Mais Proximo é dado por: Rn = d A d E em que d A é a distância média ao vizinho mais próximo dada por n d A = d i i=1 n d A é a distância esperada ao vizinho mais próximo dada por d E = 1 A 2 n sendo A é a área do estudo e n é o numero de pontos

27 Índice do Vizinho Mais Proximo A interpretação do índice é: I < 1 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. I = 1 indica que a distribuição espacial é aleatória I > 1 indica a existência de regularidade

28 Índice do Vizinho Mais Proximo A hipótese de aleatoriedade por ser testastada por meio da estatística em que z c = d A d E S E SE é o desvio padrão da distância esperada ao vizinho mais próximo dada por (4 π)a 0, 2614 S E = 4πN 2 = A N Rejeita-se H 0 se valor p α ou z c > z α, em que z α é obtido da distribuição normal padrão

29 Processos espaciais pontuais Definição processos pontuais são definidos como um conjunto de pontos irregularmente distribuídos em um espaço, cuja localização foi gerada por um mecanismo estocástico A caracterização dos processos pontuais pode-se feita em termos dos efeitos de primeira ordem e efeitos de segunda ordem.

30 Processos espaciais pontuais Efeitos de primeira ordem considerados globais ou de grande escala. correspondem a variações no valor médio do processo. representam na intensidade do processo (No Eventos / Unidade de Área). Efeitos de segunda ordem denominados locais ou de pequena escala. representam a dependência espacial no processo

31 Processos espaciais pontuais Seja um conjunto de pontos (p 1, p 2,...) numa determinada região A onde ocorreram eventos Seja S i subregiões de A e N(S i ) número de eventos em em S i O processo pontual é modelado por meio da esperança E [N(S i )] e covariância C [ N(S i )N(S j ) ]

32 Processos espaciais pontuais A intensidade do processo é dada pela esperança de N(S) para uma pequena região dp em torno do ponto p { } E [N(ds)] λ(p) = lim ds 0 ds Propriedades de segunda ordem podem ser definidas considerando a intensidade conjunta de dois pontos (p i, p j ) λ(p i, p j ) = lim ds i, ds j 0 { [ C N(dsi )N(ds j ) ] } ds i ds j

33 Processos espaciais pontuais Quando o processo é estacionário a intensidade é apenas uma constante λ(p) = λ Quando o processo é isotrópico a covariância depende somente da distância euclidiana entre os pontos e não da direção entre eles λ(p i, p j ) = λ( h ) sendo h a distância entre os pontosdois pontos

34 Estimador Kernel O comportamento de padrões de pontos pode ser analisado por meio da intensidade do processo Para estimar a intensidade do processo pode-se utilizar uma função bivariada que representa uma densidade de probabilidade da intensidade O estimador de intensidade de Kernel é uma alternativa simples, com objetivo de analisar o comportamento de padrões de pontos e estimar a intensidade pontual do processo em toda a região de estudo O estimador Kernel é um interpolador, que possibilita a estimação da intensidade do evento em toda a área, mesmo nas regiões onde o processo não tenha gerado nenhuma ocorrência real

35 Estimador Kernel O estimador Kernal realiza uma contagem de todos os pontos dentro de uma região de influência, ponderando-os pela distância de cada um à localização de interesse

36 Estimador Kernel O estimador de intensidade e computado a partir dos n eventos p i,..., p n e tem como formar geral ˆλ τ (p) = 1 τ 2 n ( ) d(pi, p) k τ i=1 em que: (τ > 0) é um raio de influência que define a vizinhança do ponto a ser interpolado e controla o "suavização"da superfície gerada d(pi, p) é distância entre um ponto p e o i-ésimo ponto na região de influência de τ k(.) é uma função de interpolação

37 Estimador Kernel Tipos de funções kernel K (h) = 1 e h2 2 2π Normal Quártica K (h) = 3 π (1 h2 ) 2 Triangular K (h) = (1 h ) Exponencial Negativo K (h) = 1 2π e h

38 Estimador Kernel Se for utilizado a função kernel normal a estimador de intensidade será dado por: ˆλ τ (p) = 1 τ 2 n i=1 d(p 1 i,p) 2 2π e 2τ 2 Se for utilizado a função kernel quártica a estimador de intensidade será dado por: ˆλ τ (p) = 1 τ 2 n i=1 3 π (1 d(p i, p) 2 τ 2 ) 2

39 Estimador Kernel A escolha da função kernel é de importância secudária A escolha do raio (τ) é mais importante, pois determina a região de influência do interpolador. Um critério para determinar o raio (τ) é calcular o erro quadrático médio dado por: EQM(τ) = [(ˆλ τ Λ(τ)) 2] em que Λ(τ) é a intensidade de um processo de Cox

40 Estimador Kernel O EMQ(τ) é calculado para vários raios, e é escolhido o raio que a partir do qual estabiliza o EMQ

41 Estimador Kernel Considere o pontos abaixo, um ponto central p = (0, 76; 1, 4), um raio de 2 e a função kernel quartica x y d(p i, p) kernel 0,6 1,8 0,4308 0,2171 0,6 1,3 0,1887 0,2345 0,8 1,0 0,4020 0,2198 0,8 1,2 0,2040 0,2338 1,0 1,7 0,3842 0,2214 λ 1,1267

42 Estimador Kernel Para o exemplo das arvores temos:

43 Dependência Espacial As propriedades de segunda ordem ou dependência espacial em um processo espacial de pontos medem a força e o tipo de interação entre os eventos do processo de pontos A relação das distâncias entre pontos e propriedades de segunda ordem pode ser utilizada para caracterizar a distribuição dos pontos numa região Esta relação é utilizada para verificar a completa aleatoriedade espacial (CSR), em que inicialmente verifica-se se existe o desvio da aleatoriedade, e caso isto ocorra, identificase a natureza do desvio (regular ou agrupamento)

44 Dependência Espacial As técnicas mais utilizadas para estudar a relação da distância entre pontos e propriedades de segunda ordem são método baseadas nas funções empíricas F, G, J e K Estas técnicas assumem estacionariedade sobre pequenas escalas na região de trabalho

45 Função F A função F (Ripley, 1977) ou função de espaço vazio é a função de distribuição acumulada da distância entre um ponto aleatoriamente (não-evento) escolhido e o evento mais próximo Fixado um distância d a função F retorna probabilidade da distancia de um ponto escolhido ao acaso para o evento mais próximo ser inferior ou igual a d. P [d(a, p) d] = F(d)

46 Função F A função F pode ser estimada empiricamente da seguinte forma n I d (p i ) i=1 ˆF(d) = n em que I d (p i ) = 1 se d(a, p i ) d I d (p i ) = 0 se d(a, p i ) > d Este estimador é viesado por desconsiderar o efeito de borda Fixada uma mesma distância, pontos aleatórios localizados nas bordas do mapa terão uma probabilidade menor de ter um evento próximo do que os pontos localizados no centro do mapa

47 Função F Considerando o efeito de borda a função F pode ser estimada empiricamente da seguinte forma ˆF(d) = n I d (p i, r i ) i=1 n I d (p i ) i=1 em que r i é a distância de um evento até o ponto mais próximo na borda I d (p i, r i ) = 1 I d (p i, r i ) = 0 se d(a, p i ) d e r i r se d(a, p i ) > d e r i < r

48 Função F Para um processo Poisson completamente aleatório a função F é dada por: F(d) = 1 exp( λπd 2 ) d > 0 em que: d é a distância e λ é a intensidade Assumindo-se CSR é feita a estimação simulada para a distribuição F(d) por: F(d) = k ˆF i i=1 k em que:ˆf i são funções de distribuição empíricas, estimadas a partir de k simulações independentes dos n eventos

49 Função F Para verificar a hipótese de aleatoriedade é obtido um envelope simulado dado por: LS(F(d)) é limite superior dado pelo percentil 100(1 α 2 ) LI(F(d)) é limite inferior dado pelo percentil 100( α 2 )

50 Função F Um gráfico contendo a função F(d) e seu envelope e a função estimada ˆF(d) é utilizado para verificar o padrão dos eventos.

51 Função G A função G ou método do vizinho mais próximo, introduzida por Ripley (1977), é a função de distribuição acumulada da distância entre um evento e o vizinho mais próximo. Fixado um distância d a função G retorna probabilidade da distancia de um evento ao seu vizinho mais próximo ser inferior ou igual a d. P [ d(p i, p j ) d ] = F(d) Para um processo Poisson completamente aleatório a função G é dada por: F (d) = 1 exp( λπd 2 ) d > 0 em que: d é a distância e λ é a intensidade

52 Função G A função G pode ser estimada empiricamente da seguinte forma n I d (p i ) i=1 Ĝ(d) = n em que I d (p i ) = 1 se d(p i, p j ) d I d (p i ) = 0 se d(p i, p j ) > d Este estimador é viesado por desconsiderar o efeito de borda

53 Função G Considerando o efeito de borda a função G pode ser estimada empiricamente da seguinte forma Ĝ(d) = n I d (p i, r i ) i=1 n I d (p i ) i=1 em que r i é a distância de um evento até o ponto mais próximo na borda I d (p i, r i ) = 1 I d (p i, r i ) = 0 se d(p i, p j ) d e r i r se d(p i, p j ) > d e r i < r

54 Função G Da mesma forma que na função F, assumindo-se CSR é feita a estimação simulada para a distribuição G(d) G(d) = k Ĝ i i=1 k em que:ĝi são funções de distribuição empíricas, estimadas a partir de k simulações independentes dos n eventos Para verificar a hipótese de aleatoriedade é obtido um envelope simulado composto por LS(G(d)) e LI(G(d))

55 Função G Utilizando o gráfico das função empírica G(d) e estimada Ĝ(d) é possível verificar o padrão dos eventos.

56 Função F Função G A função F apresenta grande poder para detectar agrupamentos de eventos, A função G é mais poderosa para detectar eventos regularmente distribuídos Assumindo-se CSR tem-se que F (d) = G(d)

57 Função J A função J foi proposta por Van Lieshout & Baddeley (1996) e é definida por: J(d) = 1 G(d) 1 F(d) em que d > 0 e F(d) < 1 A interpretação desta função é: J(d) < 1 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. J(d) = 1 indica que a distribuição espacial é aleatória J(d) > 1 indica a existência de regularidade

58 Função J Sob a hipótese de CSR tem-se que F(d) = G(d), assim J(d) = 1 Para verificar a hipótese de aleatoriedade é obtido um envelope simulado para função J em que são obtidos os limites superior e inferior da mesma forma que as funções anteriores

59 Função K A função K, proposta por Ripley (1977), também denominada medida de momento de segunda ordem reduzido. As funções F e G, consideram apenas distâncias mais próxima, considerando somente as escalas mais curtas de variação A função K fornece uma estimativa de dependência espacial em uma ampla gama de escalas, com base em todas as distâncias entre os eventos na área de estudo

60 Função K A função K é definida por: em que: K (d) = E[N 0(d)] λ N0 (d) é o número de eventos mais próximos dentro da distância d de um evento arbitrário λ é a intensidade

61 Função K A função K é definida por: em que: K (d) = E[N 0(d)] λ N0 (d) é o número de eventos mais próximos dentro da distância d de um evento arbitrário λ é a intensidade

62 Função K Para estimar a função K utiliza-se a expressão: ˆK (d) = A n 2 n i=1 n j=1 I d (u ij ) w ij em que: A é area do estudo n é o numero de eventos I d (u i j) é uma função indicadora I d (u ij ) = 1 I d (u ij ) = 0 se d(p i, p j ) d se d(p i, p j ) > d wij é a proporcão da circunferência do círculo centrado no evento i que está dentro da região A

63 Função K Para um processo Poisson completamente aleatório a função F é dada por: K (d) = πd 2 d > 0 Uma abordagem similar a outras funções é obter um envelope simulado para a função K A interpretação desta função é: K (d) > πd 2 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. K (d) = πd 2 indica que a distribuição espacial é aleatória K (d) < πd 2 indica a existência de regularidade

64 Função G O gráfico da função ˆK (d) é utilizado para verificar padrões dos eventos.

65 Função K O gráfico da função K não é tão intuitivo quanto a do gráfico das funções anteriores Para facilitar a interpretação utiliza-se uma função auxiliar L O estimador da função L é ˆK (d) ˆL(d) = d π Assumindo-se CSR tem-se que L(d) = 0

66 Função K Uma abordagem similar a outras funções é obter um envelope simulado para a função L A interpretação da função L é: K (d) > 0 indica presença de conglomerados ou agrupamentos. K (d) = 0 indica que a distribuição espacial é aleatória K (d) < 0 indica a existência de regularidade

67 Exemplo No conjunto de dados arvores, foi feito um levantamento de espécies de arvores de grande porte numa região, em que foi obtido sua localização, a medida da circunferencia na altura do peito em centímetros (CPcm) e espécie encontrada.

68 Exemplo No conjunto de dados arvores, foi feito um levantamento de espécies de arvores de grande porte numa região, em que foi obtido sua localização, a medida da circunferencia na altura do peito em centímetros (CPcm) e espécie encontrada.

69 Exemplo Função F para as arvores

70 Exemplo Função G para as arvores

71 Exemplo Função J para as arvores

72 Exemplo Função K para as arvores

73 Exemplo Função L para as arvores

74 Exemplo No conjunto de dados celulas, foram observados as localizações dos centros de 42 células biológicas observadas sob microscopia óptica em uma seção histológica. A coordenadas foram adaptadas ao quadrado unitário. Os dados foram analisados por Ripley em 1977.

75 Exemplo Função F para as células

76 Exemplo Função G para as células

77 Exemplo Função J para as células

78 Exemplo Função K para as células

79 Exemplo Função L para as células

80 Processos pontuais marcados Em muitos estão associados aos pontos atributos tais como espécie, sexo, idade, etc. Na análise de padrões pontos os atributos são chamados de "marca"e representam uma informação adicional associada com as coordenadas dos pontos As marcas podem ser qualitativas ou quantitativas O objetivo básico da análise de processos pontuais marcados é verificar se existe dependência entre marcas e pontos

81 Processos pontuais marcados Um processo pontual marcado no espaço S com marcas pertencentes a um conjunto M é definido como um processo pontual no produto cartesiano S M Um processo pontual marcado é um processo estocástico representado por: Ψ = {(x 1, m 1 ), (x 2, m 2 ),..., (x n, m n )} x i S m i M em que x i são as posições e m i são as marcas

82 Processos pontuais marcados Seja X os pontos e M as marcas um modelo estatístico para o padrão de ponto marcado poderia ser formulada de várias maneiras: Análise condicional nas localizações - os pontos X são inicialmente gerados de acordo com a processo pontual espacial S, em seguida, a marca M é atribuida os pontos por um mecanismo aleatório [M X]; Análise condicional nas marcas - as marcas M são inicialmente geradas de acordo com algum mecanismo aleatório [M], em seguida, elas são colocados em determinados locais X por um processo pontual processo pontual espacial S [X M]; Análise conjunta - os pontos X e as marcas M são gerados de acordo com um processo ponto marcado.

83 Processos pontuais marcados De acordo com a forma de análise diferentes hipóteses podem ser testadas: Classificação aleatória - dadas as localizações X, as marcas são condicionalmente independentes e identicamente distribuídos; independência dos componentes: os sub-processos Xm de pontos de cada marca M, são processos pontuais independentes Completa aleatoriedade espacial e independência (CSRI): os locais X são um processo uniforme de Poisson, e as marcas são independentes e identicamente distribuídos.

84 Função de correlação marcada Considerando m i o valor da marca a um ponto e m j o valor da marca em qualquer ponto a uma distância h, a sua relação espacial é quantificada por uma função f (m i, m j ) Essa função caracteriza a relação entre as marcas m i e m j em diferentes pontos, condicionada a uma distância euclidiana h entre os pontos Quando as marcas representam uma variável aleatória contínua em geral utiliza-se função dada por: f (m i, m j ) = m i m j Quando as marcas representam uma variável aleatória qualitativa em geral utiliza-se função dada por: f (m i, m j ) = I(m i = m j ) em que I é um função indicadora que vale 1 quando m i = m j e 0 caso contrário

85 Função de correlação marcada A função de correlação marcada é uma medida da dependência entre as marcas de dois pontos separados a uma distância h ρ f (d) = E[f (m i, m j ) d] µ 2 em que: d é a distância entre dois pontos µ é o valor médio da marca

86 Função de correlação marcada Pra estimar a função de correlação marcada pode utiliza um estimador não-viesado que corrige o efeito de bordas, dado por: ρ f (d) = 1 n n µ 2 f (m i, m j )w ij em que i=1 j=1 w ij = e ( b d xi x j ) A ( ) W i W j A ( W i W j ) representa a interseção da area gerada por W + x i e W + x j, sendo W círculo centrado no evento i que está dentro da região A.

87 Função de correlação marcada A função e b (h) é um estimador Epanechnikov de Kernel dado por: ( 1 h2 se b h b e b = { 3 4b b 2 ) 0 caso contrário em que b é um parâmetro adicional que define o grau de "suavidade"da função

88 Função de correlação marcada A interpretação da função de correlação marcada é: ρf (d) > 1 indica correlação positiva, caracterizando atração entre as marcas ρf (d) = 1 indica independência entre a marcas ρ f (d) < 1 indica correlação negativa, caracterizando repulsão entre as marcas

89 Função de correlação marcada Representação da função de correlação marcada

90 Função K ponderada por marca A função K ponderada por marca caracteriza a relação espacial de marcas quantitativas, definida por: [ ] n n E m i, m j )I d (u ij ) K mm (d) = em que: i=1 j=1 λµ 2 mi e m j são marcas nos pontos i e j Id (u i j) é uma função indicadora I d (u ij ) = 1 I d (u ij ) = 0 se d(p i, p j ) d se d(p i, p j ) > d λ é intensidade do processo µ 2 é a média das marcas

91 Função K ponderada por marca Um estimador não-viesado, que corrige o efeito de borda para a função K é dado por: K mm (d) = A n 2 n i=1 j=1 n m i, m j w ij I d (u ij ) ˆµ 2 em que: A é area do estudo n é o numero de eventos m i e m j são marcas nos pontos i e j Id (u i j) é uma função indicadora I d (u ij ) = 1 I d (u ij ) = 0 se d(p i, p j ) d se d(p i, p j ) > d ˆµ 2 é a média amostral das marcas wij é a proporcão da circunferência do círculo centrado no evento i que está dentro da região A

92 Função K ponderada por marca Se as marcas são independentes temos que K mm (d) = K (d) Para determinar a relação espacial das marcas utiliza-se a função k ponderada por marca normilizada dada por: K mm (d) = K mm(d) K (d) A interpretação desta função é K mm (d) > 1 indica correlação positiva, caracterizando atração entre as marcas K mm (d) = 1 indica independência entre a marcas K mm (d) < 1 indica correlação negativa, caracterizando repulsão entre as marcas

93 Função K ponderada por marca Se as marcas são independentes temos que K mm (d) = K (d) Para determinar a relação espacial das marcas utiliza-se a função k ponderada por marca normilizada dada por: K mm (d) = K mm(d) K (d) A interpretação desta função é K mm (d) > 1 indica correlação positiva, caracterizando atração entre as marcas K mm (d) = 1 indica independência entre a marcas K mm (d) < 1 indica correlação negativa, caracterizando repulsão entre as marcas

94 Marcas qualitativas Quando a marca é qualitativa os processos pontuais marcados são denominados processo multivariados, em que para cada m = 1, 2,..., M os eventos são distintos Nestes casos, cada ponto é atribuído um valor categórico ou descritivo além de sua localização simples. Um padrão bivariado é quando há apenas duas categorias de pontos (por exemplo, masculino e feminino) Umpadrão Multivariado é simplesmente um termo geral duas ou mais categorias (por exemplo, vermelho, azul e verde).

95 Marcas qualitativas Na análise de padrões de ponto multivariado pode assumir três formas, dependendo do contraste que se deseja fazer : A A - neste tipo de análise o interesse é saber se os pontos de um tipo específico A são associados (ou dissociados) com pontos do mesmo tipo. A B - neste tipo de análise o interesse é saber se os pontos de um tipo específico A são associados (ou dissociados) com pontos de um tipo diferente específico B A!A - neste tipo de análise o interesse é saber se os pontos de um tipo específico A são associados (ou dissociados) com pontos de qualquer tipo diferente de A. Para verificar a relação espacial utiliza-se as funções K multivariadas

96 Função K -cruzada A função K -cruzada caracteriza a relação espacial entre duas marcas qualitativas, definida por: em que: K ab (d) = E [E[N ab(d)])] λ b Na b(d) é o número de eventos do tipo b mais próximos de um evento do tipo a dentro da distância d λb é intensidade dos eventos do tipo b

97 Função K -cruzada Um estimador não-viesado, que corrige o efeito de borda para a função K -cruzada é dado por: ˆK ab (d) = A n a n b n n I d (u ij ) i=1 j=1 w ij em que: A é area do estudo na e n b são os numero de eventos do tipo a e b Id (u i j) é uma função indicadora I d (u ij ) = 1 I d (u ij ) = 0 se d(p i, p j ) d se d(p i, p j ) > d w ij é a proporcão da circunferência do círculo centrado no evento i que está dentro da região A

98 Função K -cruzada Teoricamente K ab (d) = K ba (d), mas os valores estimados correspondentes não necessariamente ser equivalentes, assim para corrigir ˆK ab (d) = n bk ab (d) + n a K ba (d) n a n b A interpretação desta função é K ab (d) > πd 2 indica correlação positiva, caracterizando atração entre as marcas K ab (d) = πd 2 indica independência entre a marcas K ab (d) < πd 2 indica correlação negativa, caracterizando repulsão entre as marcas

99 Função K -multivariada A função K -multivariada caracteriza a relação espacial entre uma marca A e de qualquer marca diferente de A, e é definida por: K i. (d) = E [E[N i.(d)])] λ. em que: Na.(d) é o número de eventos diferentes tipo a mais próximos de um evento do tipo a dentro da distância d λ. é intensidade dos eventos diferentes diferentes de a

100 Função K -cruzada Um estimador não-viesado, que corrige o efeito de borda para a função K -cruzada é dado por: ˆK a. (d) = A n a n. n n I d (u ij ) i=1 j=1 w ij em que: A é area do estudo na e n. são os numero de eventos do tipo a e diferentes de a Id (u i j) é uma função indicadora I d (u ij ) = 1 I d (u ij ) = 0 se d(p i, p j ) d se d(p i, p j ) > d w ij é a proporcão da circunferência do círculo centrado no evento i que está dentro da região A