Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usando modos de arredondamento da norma IEEE

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1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL Associação ampla UFSJ / CEFET-MG Universidade Federal de São João del-rei - UFSJ Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usando modos de arredondamento da norma IEEE Melanie Rodrigues e Silva Orientador : Erivelton Geraldo Nepomuceno Coorientador : Samir Angelo Milani Martins São João del-rei, 04 de agosto de 2017.

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3 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL Associação ampla UFSJ / CEFET-MG Universidade Federal de São João del-rei - UFSJ Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usando modos de arredondamento da norma IEEE Melanie Rodrigues e Silva Dissertação apresentada à banca examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, associação ampla entre a Universidade Federal de São João del-rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. Orientador : Erivelton Geraldo Nepomuceno Coorientador : Samir Angelo Milani Martins São João del-rei, 04 de agosto de 2017.

4 Ficha catalográfica elaborada pela Divisão de Biblioteca (DIBIB) e Núcleo de Tecnologia da Informação (NTINF) da UFSJ, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) S586r Silva, Melanie Rodrigues e Silva. Redução de ruído na simulação de sistemas dinâmicos usando modos de arredondamento da norma IEEE / Melanie Rodrigues e Silva Silva ; orientador Erivelton Geraldo Nepomuceno Nepomuceno; coorientador Samir Angelo Milani Martins Martins. -- São João del-rei, p. Dissertação (Mestrado - Mestrado em Engenharia Elétrica) -- Universidade Federal de São João del Rei, Redução de ruído. 2. Simulação numérica. 3. Funções recursivas. 4. Sistemas dinâmicos. 5. Supressão de caos. I. Nepomuceno, Erivelton Geraldo Nepomuceno, orient. II. Martins, Samir Angelo Milani Martins, co-orient. III. Título.

5 Dedico este trabalho a Deus e aos que amo.

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7 Agradecimentos Agradeço a Deus por ser meu sustento, proteção e refúgio no momento de tribulação. Por cuidar de tudo, inclusive dos mínimos e sutis detalhes de minha história. E mais, sou grata pelos nãos recebidos, pelos planos que eu tinha e o Senhor os lançou ao chão e os reconstruiu e modo inimaginavelmente melhor, o Senhor é fiel! Aos meus pais meu agradecimento e amor, pois sei o quanto rezaram, intercederam, preocuparamse, sacrificaram-se e dedicaram-se a mim. Aos meus avós obrigada por todo apoio. Ao Ivan por toda paciência e incentivo. Agradeço ao professor Erivelton por todos os ensinamentos, orientações, paciência, oportunidades, conselhos e amizade. Aos membros do GCOM. Agradeço à Capes, pelo apoio financeiro durante o Mestrado. Agradeço também à UFSJ que me acolheu por sete maravilhosos anos. Muito obrigada a todos! vii

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9 "Tenha Jesus Cristo em seu coração e todas as cruzes do mundo parecerão rosas." São Padre Pio de Pietrelcina

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11 Resumo A implementação matemática em software estimula a pesquisa científica. Assim, a computação numérica vem sendo aplicada às soluções de sistemas dinâmicos não-lineares. Entretanto, algoritmos são implementados em softwares de precisão finita que são sujeitos a erros. Neste trabalho, os erros são analisados como a adição de ruídos ao processo de simulação computacional. Mostra-se que, a média do arredondamento na direção do infinito negativo e, do arredondamento na direção do infinito positivo age como um filtro diminuindo a amplitude do ruído. Considerando o mapa logístico como sistema teste, além de aprimorar a precisão em cerca de um dígito, apresenta-se um caso em que este método converge para a resposta correta. Além disso, o método também é aplicado aos sistemas de Chua e Lorenz, e observa-se a supressão do caos nestes sistemas quando encontram-se em regiões de transição, mediante aos métodos de discretização de Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem. Palavras-chave: Redução de ruído, simulação numérica, funções recursivas, sistemas dinâmicos, supressão de caos. xi

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13 Abstract The mathematical implementation in software stimulates scientific research. Numerical computation has been applied to the solutions of non-linear dynamic systems. However, algorithms are implemented in finite precision software that is subject to errors. In this work, the errors are analyzed as additive noise to the computational simulation process. It is shown that the average of rounding towards negative infinity and rounding towards positive infinity can be seen as a noise filter. Considering the logistic map as a test system, moreover it has been notice a general improvement of one digit in the precision of simulation and the method as able to a correct convergence in a case which the traditional simulation shows a divergent behaviour. In addition, the method has been applied to the Chua and Lorenz systems, and chaos suppression is observed in these systems when they are in transition regions, through the third, fourth and fifth order Runge-Kutta discretization methods. Keywords: Noise reduction, numerical simulation, recursive functions, dynamic systems, suppression of chaos. xiii

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15 Lista de Figuras 1.1 Extensões intervalares da tensão no diodo de Chua Atrator caótico do circuito de Chua no espaço de fases Circuito de Chua Curva do diodo de Chua Tamanho, ponto médio e limites de um intervalo X Exemplo sobre princípios de exatidão e precisão Variável estocástica Diagrama de blocos da ação de controle na planta Diagrama de blocos do filtro Propagação do erro do mapa logístico para um caso de típica convergência numérica Propagação do erro do mapa logístico Tensão no diodo de Chua Atratores caraterísticos do circuito de Chua Intensidade do movimento de convecção Atratores caraterísticos do sistema de Lorenz xv

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17 Lista de Tabelas 2.1 Quantidade de bits dos formatos single e double Iterações do mapa logístico para x 0 = 1/3,9 e r = 3, Resultados de ξ i,n e δ j,n do mapa logístico, considerando diferentes condições Componentes e constantes utilizados nas simulações do circuito de Chua Condições iniciais e constantes de tempo do circuito de Chua Expoentes de Lyapunov do circuito de Chua Valores utilizados nas simulações do sistema de Lorenz Expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz xvii

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19 Lista de Símbolos C 1 C 2 F L H R Ω i d A v d G a G b S B p v C1 v C2 V i L Capacitor 1 do circuito de Chua; Capacitor 2 do circuito de Chua; Farad, unidade característica da capacitância; Indutor; Henry, unidade característica da indutância; Resistência elétrica; Ohm, unidade característica da resistência; Corrente no diodo de Chua; Ampere, unidade característica da corrente; Tensão no diodo de Chua; Inclinação da curva do diodo de Chua; Inclinação da curva do diodo de Chua; Siemens, unidade de condutância; Ponto de mudança da inclinação da curva do diodo de Chua; Tensão no capacitor 1 do circuito de Chua; Tensão no capacitor 2 do circuito de Chua; Volt, unidade característica da tensão; Corrente no indutor; μ Unidade representativa de micro, isto é, 10 6 ; m Unidade representativa de mili, isto é, 10 3 ; s Unidade representativa de segundos; G Condutância; xix

20 ( ) ( ) ψ ι a L ν I U B W d m d ς ς Λ x y z σ ρ x n+1 r n x n x * n y φ α ζ i Representação da curva pontilhada; Representação da curva contínua; Raio de uma esfera; Raio de uma esfera, em que ι > ψ; Função de contradomínio igual ao conjunto imagem; Conjunto fechado de pontos; Volume; Espaço métrico; Subconjunto aberto de I; Subconjunto aberto de I; Vizinhança; Distância; Número de equações diferenciais de um sistema; Raio de uma esfera; Dimensão; Expoente de Lyapunov; Intensidade do movimento de convecção; Valor proporcional à variação de temperatura entre correntes ascendentes e descendentes; Valor proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical; Número de Prandtl; Número de Rayleigh; Função recursiva; Parâmetro do mapa logístico; Iteração do cálculo; Saída obtida na iteração n para um mapa e, ou órbita; Ponto fixo obtido na iteração n para um mapa; Problema de valor inicial; Solução do problema de valor inicial; Limite inferior do conjunto solução de um problema de valor inicial; Limite superior do conjunto solução de um problema de valor inicial; Iteração do cálculo;

21 h Passo de integração; a Constante de um problema de valor inicial; p Constante de um problema de valor inicial; q Constante de um problema de valor inicial; k Resultado recorrente de um problema de valor inicial; É um elemento de; Para todo; ± Mais ou menos; S Significante ou mantissa; Indica multiplicação; B Base adotada; E Expoente; b 0 b n P ε round(x) X X X m(x) ω(x) min{} max{} Bit Escondido; Bits do significante; Precisão do sistema; Épsilon da máquina; Arredondamento de um número x; Representação de um intervalo; Limite inferior do intervalo X; Limite superior do intervalo X; Aproximadamente; Ponto médio do intervalo X; Tamanho do intervalo X; Interseção; União; Valor mínimo dentro do conjunto; Valor máximo dentro do conjunto; Y Limite superior do intervalo Y ; Z Representação de um intervalo; f(x) Função de uma variável; f(x) Função intervalar;

22 Infinito; < Menor que; > Maior que; ξ Erro; ^ Valor computacional aproximado; ^x Valor computacional de x aproximado; l Erro relativo; l s u C Θ G c n t v M H ϒ D A ^x i,n ξ i,n ^x i,n ^x + i,n ^x j,n Valor percentual de tolerância; Iteração do cálculo; Subconjunto de um espaço amostral pertencente ao conjunto dos números reais; Valor em um espaço amostral; Espaço amostral; Elemento de um subconjunto de um espaço amostral; Tempo; Variável entre zero e um; Média de variáveis estocásticas; Variável estocástica qualquer; Variância de uma variáveis estocásticas; Desvio padrão; Média de experimentos independentes; Pseudo-órbita clássica; Erro entre a órbita real e pseudo-órbita; Pseudo-órbita clássica arredonda para o infinito negativo; Pseudo-órbita clássica arredonda para o infinito positivo; Pseudo-órbita alternativa proposta; δ i,n Erro característico da pseudo-órbita ^x i,n; δ i,n + δ i,n Erro característico da pseudo-órbita ^x + i,n; Erro característico da pseudo-órbita alternativa; (-x-) Representação da curva com marcador em formato de x; (-o-) Representação da curva com marcador em formato de o.

23 Lista de Abreviações UFSJ CEFET - MG GCOM CAPES CNPq IEEE IEEE SPICE ED PVI RK RK3 RK4 RK5 NaN Universidade Federal de São João del-rei; Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais; Grupo de Controle e Modelagem; Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico; Institute of Electrical and Electronics Engineers; Norma IEEE de Ponto Flutuante; Simulated Program with Integrated Circuits Emphasis; Equação diferencial; Problema de valor inicial; Runge-Kutta; Runge-Kutta de terceira ordem; Runge-Kutta de quarta ordem; Runge-Kutta de quinta ordem; Not a number. xxiii

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25 Sumário Lista de Símbolos xix Lista de Abreviações xxiii 1 Introdução Objetivos Contribuições da dissertação Organização do trabalho Referencial Teórico Conceitos preliminares Sistemas dinâmicos Sistemas não-lineares de tempo contínuo e discreto Caracterização da dinâmica caótica Sistema de Lorenz Circuito de Chua Mapa logístico Métodos numéricos de discretização Método de Runge-Kutta VPA toolbox do Matlab2016a A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar Norma IEEE Aritmética intervalar xxv

26 2.8 Análise de erro Exatidão e precisão Erro absoluto e erro relativo Computação aritmética Processos estocásticos Variável estocástica Média de uma variável estocástica Variância Metodologia Método para a redução do erro Preliminares Diretrizes Método para a redução do ruído em sistemas contínuos Hardware e software utilizados Resultados Redução do erro do mapa logístico Caso 1 - A convergência para o ponto fixo Caso 2 - Visualização da redução do erro Caso 3 - Generalizações Redução do erro aplicada a sistemas contínuos Caso 1 - Circuito de Chua Caso 2 - Sistema de Lorenz Conclusões do capítulo Conclusões Considerações finais Trabalhos futuros Referências Bibliográficas 59

27 A Rotinas Computacionais 65 A.1 mainchua_extensao.m - Arquivo principal A.1.1 chuakennedy1992_extensao1.m - Arquivo secundário característico da extensão A.1.2 chuakennedy1992_extensao2.m - Arquivo secundário característico da extensão A.2 mlre_caso1.m A.3 mlre_caso2.m A.4 mlre_caso3.m A.5 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Circuito de Chua. 77 A.5.1 mainchua.m - Arquivo principal A.5.2 mainchua1.m - Arquivo secundário característico do método tradicional 80 A.5.3 chuakennedy1992_1.m - Arquivo base característico do método tradicional A.5.4 mainchua2.m - Arquivo secundário característico do método de supressão de caos A.5.5 chuakennedy1992_2.m - Arquivo base característico do método de supressão de caos A.6 Algoritmo dos métodos tradicional e de supressão de caos - Sistema de Lorenz 87 A.6.1 mainlorenz.m - Arquivo principal A.6.2 mainlorenz1.m - Arquivo secundário característico do método tradicional A.6.3 lorenz_1.m - Arquivo base característico do método tradicional A.6.4 mainlorenz2.m - Arquivo secundário característico do método de supressão de caos A.6.5 lorenz_2.m - Arquivo base característico do método de supressão de caos 93

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29 CAPÍTULO 1 Introdução Desde os tempos mais antigos, o homem teve interesse em analisar, estudar e observar: a natureza, a sociedade e o mundo ao seu redor. Logo, podem ser citados vários exemplos de sistemas: atrator de Lorenz (Lorenz, 1963), atrator de Rössler (Rössler, 1976), mapa de Hénon (Hénon, 1976), mapa logístico (May, 1976), pêndulo duplo caótico (Skeldon, 1994), circuito de Chua (Chua, 1992), dentre outros. Assim, Monteiro (2006) define sistemas como conjuntos de objetos que são agrupados por alguma iteração ou interdependência, uma vez que, existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos do conjunto. No entanto, o conceito de sistemas é bastante amplo, podendo em boa parte dos casos ser detalhado, isto é, definido conforme: funcionamento, comportamento e outros quesitos. De acordo com Lathi (2007), sistemas ainda podem ser classificados quanto a constituição, em físicos ou algoritmos que são implementados em hardware e software, respectivamente. Segundo Monteiro (2006), virtuais ou econômicos, os sistemas puramente lineares são poucos. Assim, os sistemas não-lineares existem em maior quantidade, e são recentes as ferramentas de estudo e análise, uma vez que, por muito tempo perduraram grandes limitações dos meios de processamento e dificuldades nas soluções analíticas das equações diferenciais. Deste modo, foi preciso desenvolver novas metodologias para contornar ou, ao menos, criar alternativas à análise das equações não-lineares. Jules Henri Poincaré foi o precursor no desenvolvimento de técnicas de análises dessas equações, tendo a eficácia de seus trabalhos verificada na constatação numérica da sensibilidade a condições iniciais (Lorenz, 1963). Desde então, o estudo de sistemas não-lineares tornou-se mais viável e desperta o interesse de muitos pesquisadores, em diversos ramos da ciência. Após a publicação de Lorenz (1963), a computação numérica ganhou grande destaque com 1

30 Capítulo 1. Introdução 2 intuito de exibir e viabilizar soluções de sistemas dinâmicos não-lineares (May, 1976), o que implica em alguns efeitos e restrições, pois existem ruídos nos processos computacionais artificiais (Ladeira et al., 2015). De acordo com Hasan et al. (2013), o uso de aritmética computacional para a computação científica e engenharia é indispensável, e inclusive muitos algoritmos numéricos iterativos podem ser considerados sistemas dinâmicos (Hasan et al., 2013). De modo geral, os algoritmos são implementados em hardwares digitais de precisão finita, o que incorpora erros aos cálculos. Sabe-se que os procedimentos numéricos usuais são baseados no padrão IEEE-754 (2008) de ponto-flutuante, que é uma abordagem sistemática aos números reais, o que agrega pequenos erros ao longo dos processos computacionais. Assim, não são asseguradas, para o ponto-flutuante, algumas propriedades aritméticas de números reais (Overton, 2001), como a propriedade distributiva. Portanto, para evidenciar limitações da aritmética computacional apresenta-se um exemplo fundamentado em extensões intervalares que são propostas por Moore et al. (2009). Para isto usa-se o circuito de Chua como teste. C 1 dv C1 dt = v C 2 v C1 R i d (v C1 ) C 2 dv C2 dt = v C 1 v C2 R i L (1.1) L di L dt = v C2 Desenvolvido por Leon O. Chua em 1984, o circuito de Chua é reconhecido por exibir comportamento caótico similar ao do sistema proposto por Lorenz (Chua, 1994). Constitui uma rede eletrônica simples, caracterizada por atratores estranhos e bifurcações e será tratado de modo mais aprofundado na seção 2.3. O circuito é representado pela Equação (1.1), e consiste em dois capacitores, um indutor, um resistor linear e um resistor não-linear, denominado diodo de Chua (Kennedy, 1992), que é percorrido por uma corrente, i d (v C1 ), dependente da tensão de um dos capacitores. As equações que regem o circuito são comumente solucionadas por métodos de discretização. Assim, assumindo o método de discretização de Runge-Kutta de quarta ordem, e o software Matlab 2016a, tem-se duas soluções da tensão no diodo de Chua exibidas na Figura 1.1.

31 3 Figura 1.1: Tensão do diodo de Chua considerando extensões intervalares A e B. Condições e valores do sistema apresentados nas Tabelas 4.3 e 4.4, porém R = 1978,5Ω. Rotina mainchua_extensao.m. A resolução do circuito de Chua está apresentada na Figura 1.1, e de acordo com Moore et al. (2009) considera extensões intervalares de dv C 1 dt conforme mostra a Equação (1.2). A = dv C 1 dt = 1 1 C 1 R (v C 2 v C1 ) i d (v C1 ) (1.2) B = dv C 1 dt = 1 C 1 v C2 R v C1 R i d(v C1 ) Nota-se que a diferença entre as duas extensões encontra-se no modo em que dv C 1 dt foi escrita, ou seja, no uso da propriedade distributiva. Matematicamente, esperam-se resultados idênticos, entretanto devido às limitações computacionais, se aplicadas duas extensões intervalares à dv C 1 dt, observa-se na Figura 1.1, que as curvas passam a não mais coincidir a partir de um certo tempo. Esta discrepância é notada, graficamente, pouco após a 20 ms, porém começa a ocorrer bem antes. Assim, esta distinção entre as curvas ocorre em razão das restrições computacionais e do fato que algumas propriedades aritméticas como a distributividade não podem ser garantidas.

32 Capítulo 1. Introdução 4 Šalamon e Dogša (2004) abordam o caso de simulações idênticas feitas no software SPICE, porém são utilizados dois processadores diferentes, e assim verificam-se resultados totalmente distintos após 20 ms. Portanto, em Šalamon e Dogša (2004) contata-se que as incertezas nos resultados são provocadas pela distinção de hardwares, o que torna os resultados apresentados na Figura 1.1 significativos, uma vez que estes foram gerados no mesmo hardware e são matematicamente idênticos. Portanto é possível visualizar e constatar as limitações computacionais apontadas pela norma IEEE-754 (2008). Deste modo, os resultados exibidos na Figura 1.1 são agentes motivadores e despertam interesse em investigar as limitações computacionais, uma vez que tem-se conhecimento que a computação aritmética aplicada a cálculos científicos e de engenharia é um campo interdisciplinar que se baseia na matemática, ciências da computação e engenharia elétrica, e consequentemente, avanços nesta área abrangem desde conhecimentos considerados teóricos aos práticos, como a aplicação em microprocessadores. A disponibilidade de diferentes processadores faz com que o desempenho de algoritmos numéricos seja viabilizado, o que levanta um questionamento sobre a reprodutibilidade dos resultados numéricos ao executar algoritmos em diferentes plataformas (Kornerup et al., 2009), extensões e métodos. Kornerup et al. (2009) afirma que as vantagens de algoritmos executáveis em ponto-flutuante constituem um paralelo com a definição e implementação de algoritmos tradicionais. E ainda, considerando que, erros de arredondamento numérico estão diretamente relacionados à maneira como os números são armazenados em um computador, então os erros podem ser vistos como acréscimos de ruídos na resolução do problema. Deste modo, uma metodologia que busca a limitação do ruído computacional baseada na representação da média dos modos arredondados para o infinito negativo e positivo é proposta neste trabalho. O método proposto fundamenta-se na implementação de um algoritmo aplicável em computadores que trabalham segundo as diretrizes da norma IEEE-754 (2008) do ponto-flutuante, e que visa a redução do erro. O algoritmo comporta-se de modo análogo a um filtro, uma vez que trabalha como um agente limitante do crescimento do erro computacional, mostra-se isto para uma referência simbólica de mapas discretos e um resultado analítico conhecido. Analisado paralelamente a técnica proposta e os algoritmos tradicionais aplicados a sistemas dinâmicos não-lineares, constata-se que o filtro proposto proporciona a redução da propagação do ruído e, em alguns casos, foi observada a supressão do caos quando aplicado a sistemas dinâmicos contínuos de comportamento caótico.

33 Objetivos 1.1 Objetivos Considerando a disseminação dos erros de arredondamento, busca-se, neste trabalho, apresentar as diretrizes de um algoritmo, análogo a um filtro, destinado ao aumento da precisão em simulações computacionais de sistemas discretos e contínuos. Portanto, para comprovar a eficiência da técnica proposta objetiva-se nesta dissertação: Mostrar o quanto a metodologia sugerida limita o crescimento do erro, e consequentemente melhora a precisão de sistemas discretos, tomando o caso do mapa logístico; Evidenciar situações tradicionais de divergência em que a ação do filtro conduz a um ponto fixo; Apresenta-se um estudo de casos que exibe situações em que filtro para redução de ruído ocasionou a supressão de caos, para os sistemas de Lorenz e Chua que são exemplos de sistemas contínuos; Realizar comparações entre resultados consolidados e os frutos da metodologia desenvolvida. 1.2 Contribuições da dissertação A seguir, são apresentados trabalhos publicados que são frutos de estudos ao longo da elaboração desta dissertação:, Nepomuceno, E. G., Amaral, G. F. V., Silva, V. V. R. (2016). Simulation of Chua s circuit by means of interval analysis. International Conference on Nonlinear Science and Complexity - 6th NSC (Silva et al., 2016)., Nepomuceno, E. G., Amaral, G. F. V, Martins, S. A. M, Nardo, L. G. (2017). Exploiting the rounding mode of floating-point in the simulation of Chua s circuit. Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. ISSN (Silva et al., 2017). Aceito para publicação. Silva et al. (2016) é o primeiro trabalho produzido relacionado à dissertação, neste é apresentado um filtro que vislumbra conter os efeitos dos erros computacionais, baseado na média

34 Capítulo 1. Introdução 6 dos modos arredondados para infinito positivo e negativo, de modo que os valores arredondados constituam um intervalo. Assim, esta metodologia é aplicada de modo iterativo à solução do circuito de Chua em condições caóticas, sendo possível observar que o sistema passa a apresentar um comportamento periódico diferente do esperado. Silva et al. (2017) apresenta uma versão estendida de Silva et al. (2016), porém a metodologia desenvolvida é agora aplicada a três métodos de discretizadação distintos, Runge-Kutta de terceira, quarta e quinta ordem, para o circuito de Chua, e novamente pode-se notar o comportamento periódico mediante o uso da metodologia sugerida. De modo a verificar o comportamento dinâmico periódico encontrado, calcula-se os expoentes de Lyapunov e comprova-se que o método é capaz de levar o sistema, circuito de Chua em condições caóticas, a uma região de comportamento periódico, o que sugere um caso de supressão de caos. 1.3 Organização do trabalho Para melhor compreensão e entendimento, o presente trabalho é disposto em quatro capítulos: Capítulo 2 - Referencial Teórico: aborda conceitos de sistemas dinâmicos com foco em sistemas não-lineares, assim como princípios relacionados à teoria do caos. Tratando-se de sistemas dinâmicos não-lineares de comportamento caótico pode-se destacar os sistemas contínuos de Lorenz e Chua, e o caso discreto do mapa logístico; Como os sistemas contínuos são matematicamente representados por equações diferenciais, logo há uma subseção que diz respeito a métodos numéricos para discretização, onde o método de Runge-Kutta é o cerne; Princípios ligados a execução e armazenamento de cálculos computacionais sob a perspectiva da norma IEEE-754 (2008) e outras referências consolidadas são apresentados. Do mesmo modo, conteúdos relacionados à aritmética intervalar, um assunto de certo modo recente que pode ser visto como uma forma ímpar e inovadora de lidar com números em processos numéricos computacionais; Há uma subseção destinada ao tratamento do erro e de conceitos relacionados, como: precisão, exatidão, erros absoluto e relativo. E também são apresentadas nesta subdivisão algumas ponderações sobre computação numérica;

35 Organização do trabalho E por fim, alguns conceitos ligados à estocasticidade são tratados. Capítulo 3 - Metodologia: são trazidos neste capítulo um conjunto de tópicos e efeitos de trabalhos produzidos (aceito e publicado) durante o desenvolvimento da dissertação. O intuito é expor um método aritmético rigoroso baseado na média dos modos arredondados para infinito positivo e negativo, que opere de modo análogo a um filtro e limite o crescimento do erro computacional, e tratando-se de regiões de transição possa suprimir o caos. Capítulo 4 - Resultados: apresentam-se resultados do emprego da metodologia para o caso do mapa logístico, circuito de Chua e sistema de Lorenz. De modo que, para cada caso foram executadas análises e comparações com métodos tradicionais (sob as diretrizes da norma IEEE-754 (2008) vigente), sendo possível constatar a eficácia do método proposto. Capítulo 5 - Conclusões: um fechamento do trabalho com ponderações e considerações finais são expostas, assim como perspectivas de trabalhos futuros.

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37 CAPÍTULO 2 Referencial Teórico 2.1 Conceitos preliminares Esta seção enfoca sistemas dinâmicos não-lineares, que serão apresentados juntamente com conceitos e definições relevantes para os capítulos seguintes Sistemas dinâmicos Apresenta-se previamente alguns conceitos com intuito de facilitar a compreensão das demais seções. 1. Espaço de fases Espaço de fases ou estados é um espaço qualquer, abstrato, no qual se realiza o estudo qualitativo de um sistema dinâmico (Monteiro, 2006). A Figura 2.1 mostra um atrator que representa um dos vários possíveis comportamentos dinâmicos exibidos pelo sistema do circuito de Chua em um espaço de estados, isto é, nos eixos x, y e z. Portanto, um espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são x 1, x 2,..., x n, em que n Z *. Representa-se cada estado por um ponto cujas coordenadas são x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), onde t é a variável tempo. As equações diferenciais de primeira ordem que regem o sistema analisado descrevem o movimento do ponto de acordo com a evolução temporal dada por: Equação (2.1). 9

38 Capítulo 2. Referencial Teórico 10 Figura 2.1: Atrator caótico do circuito de Chua no espaço de fases. dx 1 dt = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) dx 2 dt. = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). (2.1) dx n dt = f n (x 1, x 2,..., x n ) Na prática, a solução da Equação (2.1) é o caminho percorrido no espaço de fases com velocidade d x (t) d. A dimensão do espaço de fases corresponde ao número de equações de t primeira ordem necessárias para representar o sistema, sendo igual ao número de variáveis de estado. O resultado da evolução temporal de um sistema partindo das condições iniciais previamente definidas é denominado retrato de fases. 2. Noções de estabilidade Seja um sistema representado por equações diferenciais com condições inicias previamente estipuladas. Para obter o comportamento dinâmico deste é preciso solucionar tais equações. De modo geral, são obtidas soluções numéricas, que possuem aplicações demasiadamente limitadas, uma vez que somente são válidas para as condições fixadas. Quando as condições iniciais pertencem à vizinhança das demais soluções, seu comportamento determina a estabilidade. Caracteriza-se a estabilidade de uma equação diferencial ou diferença.

39 Conceitos preliminares 3. Estabilidade Orbital Considerando a estabilidade no sentido de Lyapunov define-se a estabilidade de um ponto de equilíbrio, baseando-se no comportamento das trajetórias que partem da condição inicial localizada neste ponto (Monteiro, 2006). Quando um determinado sistema encontrase no ponto de equilíbrio, as variáveis dependentes são constantes. Logo, a trajetória original será assintoticamente estável, se a diferença entre as variáveis do movimento original e as que partem de determinada condição inicial próxima a esse ponto de equilíbrio reduza com o passar do tempo. Se a diferença permanecer constante, tem-se uma trajetória neutralmente estável. E caso a diferença aumente, a trajetória será instável, ou seja, no decorrer do tempo tais variáveis aumentam indefinidamente, afastando-se do ponto. 4. Ciclo Limite Relaciona-se a uma trajetória fechada no espaço de fases a alterações contínuas e periódicas nas variáveis dependentes do sistema. Portanto, para uma trajetória isolada e fechada, que pode aparecer no espaço de fase de sistemas não-lineares, segundo Poincaré, é um ciclo limite. Caso todas as trajetórias aproximem-se, o ciclo limite será considerado assintoticamente estável, caso se afastem o ciclo será instável Sistemas não-lineares de tempo contínuo e discreto A grande maioria dos sistemas existentes na natureza e na sociedade são não-lineares. De acordo com Taylor (2005), diferente dos problemas que envolvem sistemas lineares, os nãolineares são difíceis de serem resolvidos analiticamente. Por isso, realiza-se o processo de linearização nas proximidades do ponto de equilíbrio com objetivo de predizer as soluções do sistema não-linear em questão na vizinhança do ponto de equilíbrio. Equivalência topológica Considera-se sobrejetora a função que possui o contradomínio igual ao conjunto imagem. E injetora, a função onde cada um dos elementos do domínio está associado a um único elemento da imagem. Assim, considera-se a função: a ( x ) = y, (2.2)

40 Capítulo 2. Referencial Teórico 12 em que a é uma função de domínio x e imagem y. Se a função, Equação (2.2), é injetora, sobrejetora e contínua, afirma-se que é invertível. Portanto, a inversa a 1 é considerada um homeomorfismo. Tais considerações matemáticas são de extrema valia quando tratam-se de retratos de fases de sistemas dinâmicos. Uma vez que dois sistemas sejam homeomórficos (topologicamente isomórficos), e que o sentido de orientação e movimento sejam mantidos no espaço de fases e considerados topologicamente e orbitalmente equivalentes, então as trajetórias serão deformadas até tornarem-se semelhantes às de outro sistema. Deste modo, o processo de deformação contínua das trajetórias faz com que os sistemas tenham órbitas qualitativamente distintas, mas de estruturas e comportamentos dinâmicos similares Caracterização da dinâmica caótica Seja um sistema dinâmico dissipativo, as trajetórias das soluções convergem para regiões limitadas no espaço de fases denominadas atratores (Monteiro, 2006). 1. Definição de caos De acordo com Spezamiglio e Pereira (2003), considera-se I um espaço métrico e N = {0, 1,...}, e que I não seja um conjunto finito, mas sim uma aplicação contínua f : I I, logo: x(n) = f(x(n 1)) (2.3) sendo que, n N. Para x(0) = x 0 I, a solução da Equação (2.3), que possui condição inicial x 0, é uma sequência denominada órbita e expressa pela Equação (2.4) (f n (x 0 )) (2.4) em que f n é a n-ésima iteração de f. Um ponto fixo de f é um ponto x 0 tal que f(x 0 ) = x 0 = x * 0. (2.5) Caso exista n 1 para o ponto fixo x * 0 da iteração f n, afirma-se que x * 0 é um ponto fixo periódico de f. Ao menor n nestas condições denomina-se período da órbita.

41 Conceitos preliminares Sejam dois subconjuntos abertos U e B de I, e u N, tal que f u (U) B 0 então afirmase que f é transitiva. Porém, se I não possui pontos isolados, logo uma órbita densa em I implicará em transitividade, e caso I seja compacto e sem pontos isolados a existência de uma órbita densa equivale à transitividade (Spezamiglio e Pereira, 2003). Adicionalmente, f será sensível em relação às condições iniciais se houver ψ > 0, para qualquer x I em qualquer vizinhança W de x, que exista y W e k N tais que d(f u (x),f u (y)) > ψ, sendo que d é a distância em I. Portanto, arbitrárias e infinitesimais perturbações podem gerar consideráveis erros após algumas iterações (Spezamiglio e Pereira, 2003). Consequentemente, para Blanchard et al. (1998) uma aplicação contínua de f : I I é caótica se: (a) f é sensível às condições iniciais; (b) f é transitiva; (c) Pontos periódicos de f são densos em I; e estas condições são conhecidas como definição de caos segundo Devaney (Blanchard et al., 1998). 2. Expoente de Lyapunov De acordo com Monteiro, considera-se um sistema de m equações diferenciais e uma hiper-esfera com centro em x (t 0 ), que é a condição inicial do sistema. Se raio inicial da esfera é d ς (t 0 ), onde ς é a dimensão, então: d ς (t) = d ς (t 0 )e Λς(t t 0) (2.6) sendo que, ς = 1, 2,..., m. Ou ainda, Λ ς = ln[ dς(t) d ς(t 0 ) ] t t 0, (2.7) Com o passar do tempo o volume da esfera sofrerá alterações, uma vez que o raio é relacionado às trajetórias do sistema. Λ ς são denominados expoentes de Lyapunov. O volume no instante inicial, t 0, é ν(t 0 ). O sistema será conservativo se ν(t) = ν(t 0 ) para todo t t 0 ou m ς 1 Λ ς = 0, e dissipativo se ν(t) < ν(t 0 ), para todo t t 0 ou m ς 1 Λ ς < 0.

42 Capítulo 2. Referencial Teórico 14 Classifica-se um atrator no espaço de fases como caótico, se ao menos um expoente de Lyapunov for positivo, neste caso há divergência das trajetórias. Para uma trajetória fechada, se dois pontos mantiverem-se na mesma distância ao longo do tempo tem-se expoente nulo. Entretanto, se em direções perpendiculares ao atrator periódico houver contração do volume, o expoente será negativo (Monteiro, 2006). Considerando um sistema de três dimensões, com expoentes: Λ 1, Λ 2 e Λ 3 existem os seguintes atratores: Ponto de equilíbrio: Λ 1, Λ 2 e Λ 3 devem ser menores que zero. Uma vez que o volume deve contrair para que as trajetórias venham a convergir ao ponto. Ciclo limite: Λ 1 e Λ 2 menores que zero, e Λ 3 = 0, ou Λ 1 menor que zero, Λ 2 e Λ 3 = 0, ou Λ 1 = Λ 2 = Λ 3 = 0, ou Λ 1, Λ 2 e Λ 3 são negativos (Guan, 2014). Toro bidimensional: Λ 1 menor que zero, Λ 2 e Λ 3 nulos. Atrator estranho: Λ 1 > 0, Λ 2 = 0 e Λ 3 < 0. O expoente positivo assegura a dependência às condições iniciais, o expoente negativo deve ter maior módulo que o positivo, de modo a garantir que o sistema é dissipativo. Para sistemas de tempo discreto, considere n número de iterações e x ς+1 = F (x ς ). Deste modo, tem-se o expoente de Lyapunov dado por: n 1 1 Λ = lim n ln N ς=0 df (x ς ) dx ς. (2.8) 2.2 Sistema de Lorenz Edward Lorenz, em 1963, dando continuidade às pesquisas relacionadas a sistemas dinâmicos, mais precisamente ao estudo do sistema meteorológico, resolveu numericamente o modelo metorológico simplificado proposto por Saltzman (1962) e obteve uma solução aperiódica (Monteiro, 2006), o que implicou na fundamentação da teoria do caos (Lorenz, 1963). O modelo apresentado em Lorenz (1963) é descrito por um conjunto de três equações diferenciais, Equação (2.9), que são sensíveis às condições iniciais. Entretanto, as trajetórias percorridas por estas condições apresentam um comportamento que pode ser remetido ao formato de uma borboleta (Monteiro, 2006). Sendo assim, as condições iniciais do modelo atmosférico percorrem trajetórias que compõem uma região denominada atrator de Lorenz.

43 Circuito de Chua x = σx + σy y = ρx y xz z = xy βz (2.9) As constantes σ e ρ são denominadas números de Prandtl e Rayleigh, respectivamente. O estado x representa a intensidade do movimento de convecção, y é proporcional à variação de temperatura entre correntes ascendentes e descendentes, e z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical. 2.3 Circuito de Chua No início da década de 80, Leon Chua notou a necessidade de desenvolver um circuito, que evidenciasse experimentalmente o comportamento caótico proposto por Lorenz (1963), (Kiliç, 2010). Chua iniciou suas pesquisas observando os sistemas de Lorenz e Rössler que possuem dois pontos de equilíbrio instáveis, mas somente em 1984, desenvolveu um circuito, de caráter eletrônico, e comportamento similar ao desejado (Chua, 1994). Em Matsumoto (1984), constatou-se o comportamento caótico do circuito por meio de simulações computacionais. Deste modo, desenvolveu-se um circuito autônomo, realizável fisicamente, caracterizado por três pontos instáveis de equilíbrio, que constitui uma rede eletrônica simples que exibe uma variedade de fenômenos, como atratores estranhos e bifurcações. Conforme mostra a Figura 2.2, o circuito é constituído de dois capacitores, um indutor, um resistor linear e um resistor nãolinear Leon Ong Chua não obedeceu a qualquer tipo de sistemática para o projeto do circuito (Chua, 1992), que é caracterizado pela Equação (1.1), em que v C1 e v C2 representam as tensões nos capacitores C 1 e C 2, respectivamente; i L a corrente no indutor L; e i d (v C1 ) a corrente dependente da tensão que percorre o diodo de Chua, dada pela Equação (2.10), e caracterizada por uma curva conforme exibe a Figura 2.3. i d (v C1 ) = G b v C1 + B p (G b G a ) para v C1 < B p G a v C1 para v C1 B p G b v C1 + B p (G a G b ) para v C1 > B p (2.10) O elemento não-linear, de resistência negativa, fornece energia ao sistema o que permite

44 Capítulo 2. Referencial Teórico 16 Figura 2.2: Circuito de Chua. Figura 2.3: Curva do diodo de Chua segundo Kiliç (2010). que este oscile autonomamente. Tal elemento pode ser implementado por amplificadores operacionais (Tôrres e Aguirre, 2005). Assim, utiliza-se a técnica proposta por Zhong e Ayrom (1985), que sugere a inserção de amplificadores operacionais, e verifica-se o comportamento caótico do circuito (Chua, 1994). O método experimental, mais robusto e econômico, é mostrado em Kennedy (1991, 1992). O circuito de Chua, segundo Kennedy (1992), é realizado por dois amplificadores operacionais e seis resistores não-lineares. Assim, G a e G b representam as inclinações da curva do diodo e são dadas em razão das resistências que integram tal componente. Existem diversos arranjos e estratégias de montagem que permitem a criação do circuito de

45 Mapa logístico Chua, dentre estas destaca-se a substituição do indutor por amplificadores, resistores e capacitor proposta em Antoniou (1969), e aperfeiçoada por Tôrres e Aguirre (2000). 2.4 Mapa logístico Mapas não-lineares são conhecidos pela complexa dinâmica que os expressa. Em 1976, R. M. May introduziu um sistema dinâmico não-linear, de tempo discreto, que caracteriza a flutuação populacional de moscas considerando um ambiente com quantidade constante de alimento (Lozi, 2013), caracterizado pela seguinte equação, x n = rx n 1 (1 x n 1 ). (2.11) Considera-se x n 1, como razão entre população existente e a maior população possível considerando a iteração n. E consequentemente, x n é um número pertencente ao intervalo 0 x n 1. Em que, r é um parâmetro de controle constante compreendido por valores no intervalo 0 r 4, e traduz a taxa de crescimento populacional (Lozi, 2013). De acordo com May (1976), a variação dos valores x 0 e r implica ao sistema diferentes comportamentos, como: equilíbrio, periodicidade e caos. Um conceito extremamente relevante para compreensão deste mapa é o de ponto fixo, x * n = f(x * n), (2.12) caso a órbita do mapa atinja o ponto fixo em uma determinada iteração, a órbita permanecerá neste ponto nas próximas iterações. Segundo a Equação (2.11) os pontos fixos do mapa logístico são x * n = 0 e x * n = 1 1, o ponto fixo é estável se após uma infinitesimal pertubação, as r iterações do mapa permanecem próximas a x * n, denomina-se tal comportamento estabilidade de Lyapunov (May, 1976). 2.5 Métodos numéricos de discretização Os métodos Runge Kutta, Adams Bashforth Moulton e outros atuam na solução de equações diferenciais (ED) de sistemas contínuos, e são conhecidos por permitirem a solução das equações mediante a processos de discretização (Cartwright e Piro, 1992). De modo geral,

46 Capítulo 2. Referencial Teórico 18 as questões que envolvem ED são denominadas problemas de valor inicial (PVI). Assim, as especificações de solução das equações são determinadas no início da trajetória, e denominamse condições iniciais. Diferentes mapas podem ser fornecidos para uma mesma ED variando somente as condições iniciais (Cartwright e Piro, 1992). Um problema de valor inicial é dado por: y = f(x, y) (2.13) deste modo, seja um ponto (x 0, y 0 ). Deseja-se encontrar a solução φ da EDO em questão, que é definida em um intervalo [α,ζ]. Assim necessita-se satisfazer φ(x 0 ) = y 0 e conter x 0. Nomeiase solução particular a solução de um PVI para as condições iniciais previamente estipuladas (Valle, 2012). O método proposto por Euler pode ser empregado na solução de um PVI de modo trivial, entretanto possui lento processo de convergência. Assim, os métodos de Runge-Kutta e Taylor são conhecidos por apresentarem convergência mais rápida para problemas desta espécie (Nagle et al., 1989) Método de Runge-Kutta É um método que exibe resultados das equações diferenciais com grau considerável de precisão sem envolver cálculo de derivadas. Como sugerido por Chapra e Canale (1998), considerase y i+1 = y i + φ(x i,y i,h)h, (2.14) em que, φ(x i,y i,h) é o incremento da função e pode ser representado de modo generalizado por: φ = a 1 k 1 + a 2 k a n k n (2.15)

47 Métodos numéricos de discretização sendo a s, p s e q s constantes. k s são recorrentes caracterizados pela Equação (2.16), sendo os mesmos para as Equações (2.17) - (2.19). k 1 = f(x i, y i ) k 2 = f(x i + p 1 h, y i + q 11 k 1 h) k 3 = f(x i + p 2 h, y i + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h). k n = f(x i + p n 1 h, y i + q n 1,1 k 1 h + q n 1,2 k 2 h q n 1,n 1 k n 1 h) (2.16) De acordo com Chapra e Canale (1998), o fato de k s serem funções destaca o método de Runge-Kutta em termos de eficiência. Runge-Kutta de terceira ordem Para n= 3, tem-se y i+1 = y i + (k 1 + 4k 2 + k 3 )h 6 (2.17) Runge-Kutta de quarta ordem Para n= 4, tem-se y i+1 = y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )h 6 (2.18) Runge-Kutta de quinta ordem Conforme sugerido por Butcher (1964) para n= 5, tem-se y i+1 = y i + (7k k k k 5 + 7k 6 )h 90 (2.19) em que, k 1 = f(x i,y i ) k 2 = f(x i + h 4,y i + k 1h 4 ) k 3 = f(x i + h 4,y i + k 1h 8 + k 2h 8 ) k 4 = f(x i + h 2,y i k 2h 2 + k 3h) k 5 = f(x i + 3h 4,y i + 3k 1h k 4h 16 ) k 6 = f(x i + h,y i 3k 1h + 2k 2h + 12k 3h 12k 4h + 8k 5h )

48 Capítulo 2. Referencial Teórico 20 Segundo Nagle et al. (1989), o método de RK é um dos mais conhecidos e utilizados devido a rápida convergência. Sabe-se que métodos numéricos geralmente apresentam soluções próximas às reais, então as soluções são, de modo geral, aproximações precisas quando o número de passos de integração são consideravelmente pequenos. 2.6 VPA toolbox do Matlab2016a De acordo com Matlab2016a a rotina da VPA toolbox do utiliza expressões simbólicas, sendo vpa(x) a notação. Aplica-se a aritmética de ponto flutuante com precisão variável de modo que, cada item simbólico x que caracterize um numeral, vetor ou matriz tenha d dígitos significativos, assim vpa(x,d). Assim, a rotina apresentada nesta seção exemplifica o uso da toolbox, mostrando que o aumento de precisão proporciona resultados mais confiáveis ao usuário. clc clear all %Exemplo vpa toolbox Matlab2016a format long a=pi A=cos(a-(pi/4)) %Considerando 50 digitos de precisao digits(50) b=vpa(pi) B=vpa(cos(b-vpa(pi/4))) a = A = b =

49 A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar B = As diferenças existentes entre a aritmética ponto flutuante IEEE-754 (2008), e de precisão variável são: os cálculos internos como a divisão por zero lança um erro; não são implementados os números não normalizados; não existem exceções quanto ao número de pontos flutuantes disponíveis; o underflow ocorre em aproximadamente A aritmética de ponto flutuante e aritmética intervalar Norma IEEE A maioria dos computadores atuais operam segundo os padrões da aritmética de pontoflutuante, que foram discernidos com o apoio da IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) e de diversos voluntários (IEEE-754, 2008). Estes se uniram em prol da organização e definição das regras de representação e processos computacionais. Assim, foi desenvolvida a norma IEEE 754 para aritmética de ponto-flutuante, que fornece diretrizes para a execução da computação em hardware, software ou em ambos (IEEE-754, 2008). De modo particular, a IEEE-754 (2008) especifica padrões, formatos e métodos para aritmética de ponto-flutuante em sistemas de computador nos moldes single, double, extended e exceções são definidas para receberem o tratamento padrão específico. Conforme propõe a norma IEEE-754 (2008) para os formatos básicos de representação, o modelo single de 32 bits, possui 1 bit de sinal, 8 bits destinados ao expoente e 23 ao significante; e o formato double de 64 bits é composto por 1 bit para armazenamento de sinal, 11 bits para expoente e 52 bits para o significante. O bit de sinal é representado por 1 se o número em questão for negativo, e 0 caso seja positivo (Overton, 2001). Por fim, a Tabela 2.1 expõe de modo visual e explicativo a delimitação da quantidade de bits e da faixa de representação para tais formatos numéricos. Tabela 2.1: Delimitação da quantidade de bits para os formatos single e double segundo os padrões da norma IEEE Formato Faixa de representação Número total Sinal Expoente, E Mantissa, S single 1,2 x a 3,4 x bits 1 bit 8 bits 23 bits double 2,2 x a 1,8 x bits 1 bit 11 bits 52 bits

50 Capítulo 2. Referencial Teórico 22 Alguns casos excepcionais são abordados na norma em questão, como: caso o número a ser armazenado seja inferior ao menor valor possível de representação tem-se underflow; do mesmo modo, mas tratando-se de um número a ser armazenado que seja superior à capacidade de armazenamento, tem-se o overflow, e considera-se tal número como infinito. Segundo a IEEE-754 (2008), aritmética de ponto-flutuante é uma aproximação sistemática da aritmética real, que representa somente um subconjunto finito e contínuo de números reais. Deste modo, determinadas propriedades da aritmética real como: associatividade, distributividade, não podem ser asseguradas na aritmética de ponto-flutuante. De acordo com Overton (2001), o padrão matemático computacional é denominado sistema dos números reais estendidos, e compreende o conjunto R e os símbolos e + e definido por: < x < + (2.20) para todo x R. Portanto, e +, são respectivamente, os limites inferior e superior do conjunto dos reais estendidos (Overton, 2001). Então, tratando-se de arredondamentos numéricos, considera-se um determinado formato, e assim o processo de arredondamento conduz ao número real estendido em questão, um ponto-flutuante adequado que pode ser zero, ou um número finito diferente de zero, ou NaN (not a number). Portanto, tratando de modo mais específico da representação numérica, sabe-se que os computadores são limitados a dois estados que são: 0 ou 1, uma vez que as unidades lógicas primárias dos computadores digitais são compostas por componentes eletrônicos on/off. Assim o sistema de representação numérico computacional é o binário. Para Kornerup et al. (2009) denomina-se palavra a unidade fundamental pela qual a informação é representada e esta consiste em uma sequência de dígitos binários, ou bits. Abordando os computadores atuais, que obedecem às diretrizes da IEEE-754 (2008) em vigor, que fundamenta-se no sistema de representação binária (Weber, 2000), um número x é representado como ponto-flutuante de acordo com a Equação (2.21) onde S é a mantissa ou significante, E o expoente e B a base, que em geral é binária, x = ± S x B E. (2.21) A expansão do significante de um número x qualquer diferente de zero é dada pela Equação