Contribuição ao Estudo de Redes Complexas: Modelo de Afinidade com Métrica

Transcrição

1 universidade federal do rio grande do norte centro de ciências exatas e da terra departamento de física teórica e experimental programa de pós-graduação em física Contribuição ao Estudo de Redes Complexas: Modelo de Afinidade com Métrica Samuraí Gomes de Aguiar Natal, 31 de agosto de 2012

2 SAMURAÍ GOMES DE AGUIAR Contribuição ao Estudo de Redes Complexas: Modelo de Afinidade com Métrica Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física. Orientador: Profº. Dr. Luciano Rodrigues da Silva Co-orientador: Dr. Gabriel Alves Mendes Natal, 31 de agosto de 2012 ii

3 Para Pessoas Especiais: Ao meu Deus. Ao meu esposo. Ao meu Filho. Aos meus Pais. iii

4 Agradecimentos Á Deus, pela fé, capacitação e força para alcançar meus objetivos. Ao meu esposo, Daniel Bruno Urbano de Brito, e ao meu filho, Davi Gomes de Aguiar Brito, pela compreensão, incentivo e todo amor dedicado, sem os quais não teria conseguido concluir este trabalho. Aos meu pais, Marcos Antônio e Selênia Gomes, por todo amparo, educação, incentivo e confiança. Sem esse alicerce não teria sido possível chegar até aqui. Aos meus irmãos, Camoí Gomes de Aguiar, Samira Gomes de Aguiar e Canoi Gomes de Aguiar e demais membros da família por sempre terem apoiado este sonho, com palavras de amor e incentivo. Ao Profº. Dr. Luciano Rodrigues da Silva, pela oportunidade dada e pela orientação recebida. Ao Dr. Gabriel Alves Mendes, co-orientador deste trabalho, por todas as discussões que contribuíram para estes resultados. Ao Profº. Dr. Antônio de Macedo Filho, pelas comentários que proporcionaram melhorar este trabalho. Aos colegas Maurício Lopes de Almeida, Tiago Crisóstomo Carlos Nunes, Antônio Marques e Tiago Medeiros, por discussões e ideias que contribuíram para o resultado desta dissertação. Aos demais colegas e amigos do DFTE, Carlene Paula, Francisco Biagione, Cristóvão Porciano, Cyntia Vanessa, Aline Viol e Gislene Borges pelas palavras de ânimo e encorajamento que me sustentaram durante todo esse processo. Aos professores do DFTE que contribuiram para minha formação profissional e aos funcionários do departamento. Finalmente, ao CNPq, pelo apoio financeiro concedido. iv

5 Porque melhor é a sabedoria do que as jóias; e de tudo o que se deseja nada se pode comparar a ela. (Provérbios Bíblia) v

6 Resumo Atualmente o interesse por sistemas em grande escala e com um alto grau de complexidade tem sido muito abordado na comunidade científica, em diversas áreas do conhecimento. Como exemplo, podemos citar a Internet, a interação entre proteínas, a colaboração de atores de cinema, dentre outros. Para melhor entender o comportamento desses sistemas interligados, vários modelos na área de Redes Complexas foram propostos. Barabási e Albert propuseram um modelo em que a ligação entre os constituintes do sistema se dava de forma dinâmica e que privilegia sítios mais antigos, reproduzindo um comportamento característico em alguns sistemas reais: distribuição de conectividade invariante por escala. Porém, esse modelo negligencia dois fatores, entre outros, observados em sistemas reais: homofilia e métrica. Dada a importância desses dois termos no comportamento global de redes, propomos nessa dissertação estudar um modelo dinâmico de ligação preferencial em que três fatores essenciais são responsáveis pela competição por ligações: (i) conectividade (os sítios mais conectados são privilegiados na escolha por ligações); (ii) homofilia (conexões entre sítios semelhantes são mais atrativas); (iii) métrica (a ligação é favorecida pela proximidade entre os sítios). Dentro dessa proposta, analisamos como o comportamento da distribuição de conectividade e evolução dinâmica da rede são afetados pela métrica através de α A (parâmetro que controla a importância da distância na ligação preferencial) e pela homofilia através do η (característica intrínseca do sítio). Percebemos que a medida que aumentamos a importância da distância na ligação preferencial, as ligações entre os sítios se tornam locais e a distribuição de conectividade é caracterizada por uma escala típica. Paralelamente, ajustamos as curvas da distriuição de conectividade, para diferentes valores de α A, pela equação P (k) = P 0 e k/κ q proveniente da estatística não-extensiva de Tsallis. vi

7 Abstract Currently the interest in large-scale systems with a high degree of complexity has been much discussed in the scientific community in various areas of knowledge. As an example, the Internet, protein interaction, collaboration of film actors, among others. To better understand the behavior of interconnected systems, several models in the area of complex networks have been proposed. Barabási and Albert proposed a model in which the connection between the constituents of the system could dynamically and which favors older sites, reproducing a characteristic behavior in some real systems: connectivity distribution of scale invariant. However, this model neglects two factors, among others, observed in real systems: homophily and metrics. Given the importance of these two terms in the global behavior of networks, we propose in this dissertation study a dynamic model of preferential binding to three essential factors that are responsible for competition for links: (i) connectivity (the more connected sites are privileged in the choice of links) (ii) homophily (similar connections between sites are more attractive), (iii) metric (the link is favored by the proximity of the sites). Within this proposal, we analyze the behavior of the distribution of connectivity and dynamic evolution of the network are affected by the metric by α A parameter that controls the importance of distance in the preferential binding) and homophily by η (characteristic intrinsic site). We realized that the increased importance as the distance in the preferred connection, the connections between sites and become local connectivity distribution is characterized by a typical range. In parallel, we adjust the curves of connectivity distribution, for different values of α A, the equation P (k) = P 0 e k/ηq q Tsallis. from the statistical non-extensive vii

8 Índice Agradecimentos iv Resumo vi Abstract vii 1 Introdução 1 2 Principais conceitos e modelos de redes Definição de Redes Grafos, conectividade e pólos Conceitos Distribuição de Conectividade Menor Caminho Médio Experimento de Milgran - o efeito de mundo pequeno Coeficiente de Agregação Redes correlacionadas Correlação Grau-Grau Coeficiente de Agregação Homofilia viii

9 2.4 Redes não-correlacionadas Redes reais WWW - World Wide Web Rede de colaboração de atores de cinema Redes celulares Modelos Teóricos Modelo de Barabási Modelo de Qualidade Modelo de Afinidade Modelo Natal Ligação Preferencial Modelo de Afinidade com Métrica Descrição do Modelo Distribuição de Conectividade Evolução temporal da conectividade dos sítios Ajuste das curvas da distribuição de conectividade Relevância do Modelo de Afinidade com Métrica Conclusões e Perspectivas 77 Referências Bibliográficas 80 A Mecância Estatística não-extensiva de Tsallis 87 Apêndice A 87 A.1 Formalismo ix

10 Lista de Figuras 2.1 Representação esquemática das sete pontes de Königsberg e sua simplificação em forma de grafos. Cada porção de terra é um vértice e cada aresta é uma ponte (a) Rede Quadrada - a conectividade dos sítios é fixa. (b) Grafo com Pesos em Arestas - As arestas mais espessas representam ligações com um peso maior. No estudo de redes esse peso poderia estar associado ao nível de relacioamento entre pessoas, por exemplo: namoro, noivado e casamento. Em que o namoro representa a ligação mais fraca e o casamento a ligação mais forte (a) Rede direcionada - é possível calcular conectividade de entrada e saída do nó. A conectividade de entrada do sítio 1 é k i = 3 e a de saída é k o = 3 portanto a conectividade total é k 1 = 6. (b) Mesma rede porém não direcionada. A conectividade do sítio 1 é k 1 = Representação das classes dos grafos Gráfico ilustrativo mostrando a diferença de comportamento de uma distribuição do tipo Poisson (pontos em vermelho) e uma distribuição do tipo Lei de Potência (pontos azuis). Do lado esquerdo temos os gráficos plotados na escala linear e do lado direito dados na escala log-log. Ambos possuem o mesmo grau médio k = (a) Mapa dos Estados Unidos onde a região azul mostra o local onde as cartas foram distribuídas, região vermelha mostra o local onde a pessoa alvo se encontra. (b) Esquema ilustrativo do resultado obtido no experimento de Milgram Seis Graus de sepração Vértice verde tem 6 vizinhos próximo, e 5 ligações entre eles (arestas vermelhas) o coeficiente de agregação do sítio 1 é c 1 = 1/ x

11 2.9 Exemplo de comunidades presentes em um grafo Gráfico ilustrativo de correlação de grau. Linha Azul a rede não apresenta correlação de grau. Linha vermelha a rede é desassociativa e linha preta a rede é assossiativa, ou seja, as linhas vermelha e preta apresentam correlação de grau e a linha preta mostra que não há correlação Função k nn (k) não é monotônica portanto não possível definir se a rede é associativa ou desassociativa Rede de amizade em uma escola americana. As relações de amizade foram estabelecidas em grupos. Os nós amarelos representam os brancos; nós verdes representam os afro-americanos; nós cor-de-rosa representam outros (a) Redes de Proteína são heterofóbicas enquanto que as redes de serviços móveis são heterofílicas. (b) O diagrama de fases de (D, H) para esta classe de proteínas (MIPS funcional classe 30) mostra que as interações entre proteínas são mais diádicas e menos heterofílicas do que o esperado para configurações aleatórias. (c) Diagrama de Fases para mobile chat service, ao contrário das proteínas, as redes móveis são mais heterofílicas bem como diádicas, sendo mais espalhados ao longo da rede. Figuras retiradas da referência [1] Exemplo ilustrativo de crescimento de uma rede de Barabási para m 0 = 3 e m = (a) Distribuição de conectividade em Lei de Potência para o modelo de Barabási. Simulação realizada para m = 1, N = e 200 amostras. (b) Evolução temporal da conectividade dos sítios i = 10 e i = 97. Simulação realizada para a rede de Barabási com m = 1, N = 10 5 e 1000 amostras Distribuição de conectividade para o Modelo de Qualidade. Simulação realizada para m = 1, N = 10 5 e 3000 amostras (a) Evolução temporal do sítio i = 10 para diferentes valores de η. Simulação realizada para m = 1, N = 10 5 e 1000 amostras. (b) Dependência linear de β com η, mostrando que dependendo da qualidade do sítio, sua taxa de aquisição de ligações pode ser maior ou menor. Figura retirada da referência [2] (a) Distribuição de conectividade para o Modelo de Afinidade. (b) Comparação entre a distribuição de conectividade do Modelo de Qualidade (MQ) e o Modelo de Afinidade (MA). Simulação realizada para m = 1, N = 10 5 e 1000 amostras xi

12 3.7 (a) Evolução temporal da conectividade do sítio no Modelo de Afinidade para diferentes valores de η. (b) Dependência de β com η no Modelo de Afinidade, mostrando que sítios com valores η 0.5 têm mais chances de tornarem-se pólos, visto que β é máximo, equanto que sítios com valores de ηsim0.1 ou η 0.9, adquirem ligações a um taxa muito mais lenta (β é mínimo). Figuras retiradas da referência [3] (a) Menor caminho versus o tamanho do sistema, no Modelo de Afinidade, para diferentes valores de m (b) Comportamento do coeficiente de agregação versus tamanho do sistema, no Modelo de Afinidade, para diferentes valores de m. Figuras retiradas da referência [3] Figura esquemática da dinâmica de crescimento e ligação preferencial do Modelo Natal. Figura retirada da referência [4] (a) Análise da distribuição de conectividade para α A = 2 e valores típicos de α G. Simulação realizada para N = 10 4 e 3000 amostras. (b) Comportamento da rede ao variar o parâmetro α A para α G = 2. Simulação realizada para N = 10 5 nós e 1000 amostras. As linhas foram ajustadas por uma função q-exponencial (a) Sítios distribuídos no plano para valores de α G = 0 e α A = 1. É possível observar a preseça de pólo mesmo em uma rede pequena. (b) Sítios distribuídos no plano para valores de α G = 0 e α A = 5. É notório que ao aumentamos o valor de α A o surgimento de pólos é inibido. Ambas as figuras são simulações feita no pajek para N = 300 e seus respectivos valores de α G e α A (a) Comportamento do de q com α A. (b) Comportamento de η com α A (a) Evolução dinâmica da conectividade do sítio i = 10 para diversos valores de α A. Podemos obervar como o expoente β, que traduz como a conectividade de um dado sítio muda com o tempo, dimimui com o aumento de α A. (a) Comportamento do expoente dinâmico β com relação a α A Ilustra o processo dinâmico de ligação preferencial do Modelo de Afinidade com Métrica. As diferentes cores representam as características intrínsecas (η) do sítio. O vértice que chega à rede é colocado a uma distância r do centro de massa e se liga a um dos sítios pré-existentes da rede xii

13 4.2 A figura acima ilustra uma rede gerada pelo Modelo de Afinidade com Métrica. Os sítios azuis, vermelhos e amarelos representam sítios com η < 0.33, 0.33 < η < 0.66 e η > 0.66 respectivamente. Simulação realizada no Pajek com 1000 sítios Ditribuição dos sítios no plano para α G = 0 e 5 com α A = (a) Ditribuição dos sítios no plano para α G = 0 e α A = 1. (b) Distribuição dos sítios no plano para α G = 0 e α A = 5. Ao comparar as duas figuras vemos nitidamente que as ligações entre os sítios muda quando variamos α A. Observamos que a as ligações são distribuídas de forma mais homogênea em (b). Simulação gerada no Pajek para uma rede de 300 sítios Distribuição de conectividade do Modelo de Afinidade com Métrica para α A = 2 e diferentes valores de α G. Notamos que a distribuição de conectividade não sofre alterações significativas ao variarmos α A. Simulação realizada para N = 10 5 sob 10 3 amostras Distribuição de concectividade com α G = 2 e diferentes valores de α A. É notória a transição do regime de livre escala, descrita por uma lei de potência, para uma rede aleatória clássica, quando aumentamos α A da rede. utilizando a equação de P (k) = P 0 e k/κ q, onde e k/κ q Os ajustes foram feitos [1 + (1 q)k/κ] 1/(1 q) da mecâncica estatística não extensiva de Tsallis. As simulações foram realizadas para N = 10 5 sob 10 3 amostras Comparação entre Modelo Natal (MN) e o Modelo de Afinidade com Métrica (AM) sob a variação do parâmetro α A. Simulação realizada para N = 10 5 sob 10 3 amostras Evolução temporal da conectividade do sítio i = 10. Cada ponto foi gerado para uma rede de N = 10 5 sob 10 3 amostras Comportamento de β(η, α A ) com η. Podemos observar que a dependência de β com η é suavizada à medida que aumentamos a importância da distância na ligação preferencial. Cada ponto foi gerado para uma rede de N = 10 5 sob 10 3 amostras Comportamento de β(η, α A ) com α A, analisado para valores de η = 0.1, η = 0.5 e a rede geográfica. Cada ponto foi gerado para uma rede de N = 10 5 sob 10 3 amostras Ajustes das curvas para diferentes valores de α A controlados pelos parâmetros, q e κ, da função q-exponencial. (a) q é uma função decrescente de α A. (b) κ é um parâmetro crescente de α A. Simulações realizadas para N = 10 5 e 10 3 amostras.. 75 xiii

14 Lista de Tabelas 2.1 Tabela ilustrativa mostrando redes reais o tipo de correlação de grau existente em cada uma delas. N representa o tamanho do sistema e r é o coeficiente de correlação de Pearson. Tabela retirada da Ref. [5] Dados de redes reais. N é o número de sítios, E é o número de arestas, γ é o expoente da distribuição de conectividade, C é o coeficiente de agregação e l é o menor caminho médio.tabela retirada da referência [2] Sumário dos mecanismos de alguns modelos de rede.tabela retirada da referência [6] O Modelo de Afinidade com Métrica, tem como casos particulares o Modelo de Barabási-Albert, o Modelo de Afinidade e o Modelo Natal. É um modelo mais completo que engloba na rega de ligação preferencial o efeito da conectividade, homofilia e métrica xiv

15 Capítulo 1 Introdução Muitos sistemas reais, em diversas áreas do conhecimento (física, biologia, química, sociologia, economia, tecnologia, etc.), apresentam um alto grau de coplexidade. O estudo de suas propriedades, por meio de abordagens clássicas, não obteve sucesso. Existem muitos sistemas que têm um número grande de constituintes e que suas propriedades macroscópicas ou coletivas não estão, em geral, relacionadas com as propriedades de seus constituintes individuais, neste caso, estamos diante de um sistema complexo. Uma das grandes dificuldades encontradas ao se estudar sistemas complexos está no fato de que os modelos matemáticos utilizados para descrever esses sistemas estão relacionados com a solução de equações diferenciais não-lineares, o que torna muito difícil a solução numérica e/ou analítica (quando existente) de tal sistema [7]. Dentro dessa grande área de Sistemas Complexos existem sub-áreas de estudo das quais uma delas é Redes Complexas, área a qual nos remeteremos nessa dissertação. Esta é uma área de estudo interdisciplinar, que usa o formalismo matemático da teoria de grafos e as ferramentas da Mecânica Estatística para compreender sistemas que podem ser modelados como grafos (ou redes). Nas últimas décadas alguns integrantes da comunidade científica têm mostrado um grande interesse no estudo desses sistemas. Constantemente nos deparamos com sistemas que se organizam e se agrupam, estabelecendo conexões, ligações entre seus constituintes, construindo assim, estruturas complexas que podem ser analisadas utilizando o formalismo de redes. Um exemplo de um sistema complexo bastante conhecido e que faz parte do cotidiano 1

16 Capítulo 1. Introdução 2 de praticamente todas as pessoas é a Internet. Hoje em dia, a internet tem se tornado o maior e mais completo meio de comunicação, propagação de informação e entretenimento. A internet é um sistema dinâmico que tem crescido constantemente. A cada instante milhares de computadores ou disposivos de telecomunicação (celulares, smartphones, tablets, etc.) tem sido interligados por conexões físicas ou sem fio (wireless). Com o avanço tecnológico pode-se enviar e receber informações quase que instantaneamente a qualquer hora e em qualquer lugar, mostrando o quanto as pessoas estão conectadas. As informações se propagam muito rapidamente nessa rede, um vídeo é colocado na internet e em algumas horas ele já marca milhões de acessos. Como estudar esse tipo de sistema com tantos constituintes conectados entre si e que evolui constantemente com o aumento de computadores ou dispositivos móveis? Como se progaga a informação nessa rede? Uma das maneiras de estudar o comportamento e as propriedades desse sistema é tratá-lo como um grafo, onde os nós são os computadores ou dispositivos físicos, e os cabos de rede ou conexões sem fio são as ligações. Através dessa abordagem é possível obter informações como: menor caminho (caminho mais curto que une dois nós na rede), o quanto os sítios estão agregados entre si e como a conectividade está distribuída entre eles. A internet é apenas um dos sistemas que podem ser estudados através das ferramentas da área de Redes Complexas. Redes estão presentes em quase todos os aspectos de nossas vidas. O mundo tecnológico que nos rodeia está repleto de redes. Como exemplo dessas redes tecnológicas temos as redes de comunicação, que consistem de telefones e celulares, redes de aeroportos, rede elétrica, Internet e World-Wide Web. A sociedade também está "conectada"por relações de amizade, relações profissionais, idéias em comum, relações de negócios entre pessoas e empresas, etc. Todos esses tipos de interações entre as pessoas também podem constituir uma rede. Podemos ainda observar que cidades e países estão interligados por estradas e aeroportos. Na biologia temos ainda a rede de propagação de epidemias, redes neurais, redes de interação entre genes e proteínas. Temos também redes ecológicas, tais como a relação presa-predador, como por exemplo a rede da cadeia alimentar [8]. O mundo físico é também rico em fenômenos de redes, tais como, a interação entre átomos e a matéria, entre monômeros em polímeros, entre grãos em meios granulares e a rede de relações entre configurações similares de proteínas. São ínumeros os exemplos de sistemas que podem ser estudados sob a perspectiva de redes. De fato, qualquer sistema que possua "objetos"que estão interligados por algum tipo de relação, podem ser estruturados como uma rede. A Teoria de Grafos é usada matematicamente para descrever os conceitos em redes. Grafos representam as propriedades topológicas principais de uma rede pelo simples trata-

17 Capítulo 1. Introdução 3 mento da rede como um conjunto de nós e arestas. A teoria de grafos tem suas raízes no século XVIII com o famoso problema das pontes de Königsberg, solucionado por Euler que é considerado o pai dessa teoria. O problema consistia em encontrar um caminho a qual fosse possível visitar todas as porções de terra da cidade passando por todas as pontes uma única vez. Para resolver este problema, Euler representou a cidade por um grafo, em que os vértices representavam as porções de terra e as ligações representavam as pontes. Ele mostrou que era impossível realizar tal trajeto. Os simples argumentos utilizados por Euler para solucionar o problema mostraram a força da teoria de grafos, permitindo a dedução de propriedades de sistemas do mundo real por meio da construção de um modelo muito básico. A teoria de grafos, no entanto, geralmente se concentra no estudo de grafos especiais com propriedades extremas, grafos estáticos. Os exemplos de redes reais citados em parágrafos anteriores são dificilmente apropriados para tais pesquisas por meio da abordagem de teoria de grafos. Estas redes mudam constantemente no tempo. Por exempmlo, laços sociais são criados e desfeitos constantemente, redes tecnológicas são mudadas diariamente pela adição de novos nós, redes biológicas mudam por processos evolutivos e por processos ambientais, etc. O tratamento de grafos padrão não conseguia descrever estas redes que mudam constantemente. Por volta de 1960, os matemáticos Paul Erdös e Alfred Rényi fizeram as primeiras análises em Redes Complexas introduzindo um novo conceito que permitia o tratamento dessas redes o qual deu origem à Teoria de Grafos Aleatórios. A ideia consistia em combinar os conceitos da teoria de grafos com as ferramentas da teoria da probabilidade e considerar famílias de grafos ao invés de grafos específicos. A teoria de grafos aleatórios está para a teoria de grafos assim como a mecânica estatística está para a física Newtoniana. A teoria microscópica fundamenta o comportamento de pequena escala, mas quando o conjunto inteiro é considerado, novos conceitos estatísiticos e comportamentos coletivos surgem. Uma vez que a física estatística lida com sistemas de muitos átomos e moléculas interagentes, é natural considerar que os métodos utilizados nessa área sejam úteis no estudo de redes. De fato, estudos da física estatística, como: percolação, dimensionamento, parâmetros de ordem, renormalização, auto-similaridade, transições de fase, e expoentes críticos estão presentes também na área de grafos aleatórios, e são usados no estudo de tais redes [8]. Com o avanço tecnológico e computadores cada vez mais potentes, no fim do século XX, com o acesso a dados de grande escala e ferramentas para analizá-los, tornou-se claro que a teoria de grafos aleatórios clássicos era falha na descrição de muitas redes do mundo

18 Capítulo 1. Introdução 4 real [8]. Os trabalhos de Barabási e Albert sobre a WWW [9], e o de Faloutsos et al. sobre os roteadores de Internet [10] mostraram que a distribuição de ligações entre os sítios desses sistemas não era completamente aleatória, e não podia ser descrita pela teoria de grafos de Erdös e Rényi. Estas redes, no entanto apresentavam uma distribuição do tipo Lei de Potência com o expoente γ entre 2 e 3 (geralmente), caracterizando o surgimento de pólos. Nestas redes a distribuição de ligações entre os sítios não era democrática. Poucos sítios apresentavam alta conectividade enquanto que a maioria dos sítios tinham pouquíssimas ligações. Redes desse tipo foram primeiro estudadas por Barabási o qual propôs um modelo simples para a obtenção de redes com distribuição de conectividade do tipo lei de potência da forma P (k) k γ [9]. A partir do modelo de Barabási-Albert muitos modelos teóricos foram propostos incluindo os ingredientes necessários para se obter uma distribuição de conectividade em lei de potência. O modelo de Barabási-Albert, embora muito importante devido aos resultados produzidos, não leva em conta um fator extremamente importante em sistemas competitivos. Nem todos os sítios, mesmo tendo a mesma conectividade, têm a mesma habilidade de competir por ligações. Desta forma, apenas a idade do sítio determinada se ele será muito conectado ou não, no modelo de Barabási. Esse problema, deu origem a diversos outros modelos, dentre os quais podemos citar três: o Modelo de Qualidade [11], o Modelo de Afinidade [3] e o Modelo Natal [12, 13], os quais serão apresentados com mais detalhes no decorrer deste trabalho. No Modelo de Qualidade, o sítio nasce com uma habilidade intrínseca de adquirir ligações e quanto maior essa habilidade, maior a sua capacidade em ganhar ligações. Já no Modelo de Afinidade, o sítio nasce com uma dada característica e tende a se ligar a outros sítios que sejam semelhantes a ele, explorando a ideia muito comum em redes sociais de homofilia. Neste sentido, os sítios mais conectados serão aqueles que tiverem características mais semelhante ao todo. Dado que na maioria dos modelos propostos, a distância entre os sítios é puramente topológica, o Modelo Natal inclui métrica no estudo de redes complexas, passando a considerar a distância Euclidiana entre os sítios. Neste modelo os sítios que estão mais próximos geograficamente tendem a se ligar. Observamos que em diversas redes sociais, a ligação entre indivíduos é estabalecida por vínculos de afinidade e distância. Pessoas desenvolvem relacionamentos devido à proximidade geográfica (relacionamentos profissionais, por exemplo) e por semelhanças (amizadas, casamentos, etc.). Propomos nessa dissertação um modelo de redes que busca englobar estes dois fatores na ligação preferencial. Analisaremos um sistema competitivo que incorpora

19 Capítulo 1. Introdução 5 em sua distribuição de conectividade três fatores responsáveis pela competição por ligações: afindade, distância, e conectividade. Através dos resultados dessa simulaçao pretendemos analisar como o efeito da distância influencia nas ligações por homofilia. A dissertação está organizada em cinco capítulos. No capítulo dois serão abordados os conceitos inicias necessários para a compreensão da área de redes, as características principais de uma rede, suas propriedades topológicas e alguns exemplos de redes reais. No terceiro capítulo serão apresentados quatro modelos teóricos necessários para a compreensão e fundamentação deste trabalho: o Modelo de Barabási-Albert, o Modelo de Qualidade, o Modelo de Afinidade e o Modelo Natal. No quarto capítulo apresentaremos a nossa contribuição ao estudo de Redes Complexas. Será discutido um modelo mixto, chamado Modelo de Afinidade com Métrica, o qual engloba a distância Euclidiana, apresentada no Modelo Natal, e o efeito de Homofilia, proveniente do Modelo de Afinidade. Ainda neste capítulo apresentaremos os resultados gerados por este modelo, bem como as discussões. No último capítuto, apresentaremos as conclusões e perspectivas para trabalhos futuros.

20 Capítulo 2 Principais conceitos e modelos de redes Redes estão presentes em quase todos os aspectos de nossa vida: tecnológico, social, econômico, ecológico e biológico. A abordagem de sistemas com vários componentes interligados pode ser descrita, de forma simples, na área de redes complexas. Atualmente, sistemas com vários componentes interligados têm sido estudados sob a perspectiva de redes devido ao avanço computacional, que tem permitido simular sistemas com um número de elementos cada vez maior, e também devido à simplicidade de tratamento encontrada nessa área. Neste capítulo revisaremos os conceitos fundamentais necessários à compreensão desses sistemas e mostraremos algumas das características gerais de algumas redes reais. 2.1 Definição de Redes De uma forma bem simples, uma rede é um conjunto de objetos conectados entre si. A fundamentação matemática do estudo de redes está na Teoria de Grafos. Pode-se dizer que essa teoria teve seu início em 1736 na cidade de Königsberb quando o matemático suíço Leonard Euler resolveu o problema das pontes de Königsberb. O rio Pregel cortava a cidade de tal forma que ela possuía duas ilhas. Devido à dificuldade de transporte de cargas e pessoas através de barcos, sete pontes foram construídas entre as ilhas e suas margens. O problema clássico das pontes de Königsberg consistia em responder à seguinte questão: existe algum caminho pelo qual seja possível atravessar todas as sete pontes e retornar ao ponto 6

21 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 7 de partida sem passar pela mesma ponte mais de uma vez? Euler considerou o problema e montou um diagrama representativo do mapa da cidade. Essa representação esquemática é o que chamamos hoje de grafos (ver Fig. 2.1) 1, ele modelou o problema de tal forma que cada porção de terra foi representada por um vértice e cada ponte por uma aresta [14]. Através dessa modelagem simples Euler mostrou que era impossível realizar este trajeto, pois os vértices deveriam apresentar um grau 2 par de arestas e como todos os vértices possuíam um grau ímpar, o percurso se tornava impossível [15]. Figura 2.1: Representação esquemática das sete pontes de Königsberg e sua simplificação em forma de grafos. Cada porção de terra é um vértice e cada aresta é uma ponte. A teoria de grafos é utilizada para descrever matematicamente os conceitos da teoria de redes. Grafos representam as propriedades topológicas essenciais de uma rede pelo tratamento da mesma como sendo um conjunto de nós e arestas [8]. Os físicos, em geral, empregam a seguinte nomenclatura: os vértices (ou nós) recebem o nome de sítios e as arestas (ou arcos) são as conexões (ou ligações). Embora algumas vezes redes e grafos sejam apresentados como sinônimos, existe uma diferença sutil e conceitual entre esses termos. Os grafos são representações abstradas de redes complexas, enquanto que em redes, os nós e arestas possuem propriedades do sistema que está sendo estudado. Por exemplo, a rede de 1 Figura retirada do site 2 O grau de um nó diz respeito à quantidade de primeiros vizinhos.

22 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 8 computadores pode ser modelada por grafo, em que os vértices são os computadores e as arestas são os cabos entre eles. Apesar do conceito de grafos ser muito simples essa teoria é muito eficaz e tem sido aplicada com êxito na compreensão de diversos sistemas complexos [9, 16, 17, 18, 19, 10, 20, 21, 22, 23] Grafos, conectividade e pólos Em termos matemáticos um grafo G(V, E) consiste de dois conjuntos finitos e não vazios de V vértices, E arestas (denotando as ligações entre os vértices) e uma função de mapeamento ( mapping funcion ) que define como os vértices estão conectados uns aos outros [24] (ver Fig. 2.2). É importante notar que em muitos contextos biológicos e físicos, V (número de vértices) define o tamanho da rede, uma vez que identifica o número de constituintes que compõe o sistema. No entanto, em teoria de grafos, V define a ordem do grafo equanto que o seu tamanho é definido como o número de arestas E [25]. A menos que seja especificado, iremos sempre nos referir a N como sendo o tamanho do sistema. Pela simplicidade do conceito de grafos, as propriedades estudadas dentro dessa teoria são uma ferramenta poderosa para compreensão das redes complexas (a) Rede Quadrada (b) Grafo com Pesos em Arestas Figura 2.2: (a) Rede Quadrada - a conectividade dos sítios é fixa. (b) Grafo com Pesos em Arestas - As arestas mais espessas representam ligações com um peso maior. No estudo de redes esse peso poderia estar associado ao nível de relacioamento entre pessoas, por exemplo: namoro, noivado e casamento. Em que o namoro representa a ligação mais fraca e o casamento a ligação mais forte. O número de arestas de um vértice é definido como grau do vértice, essa grandeza é também chamada de conectividade k. Se dois vértices estão conectados, dizemos que

23 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 9 eles são adjacentes ou vizinhos. Para um grafo de tamanho N o número máximo de ligações que são permitidas é N(N 1)/2. As redes podem ser direcionadas 3 ou não direcionadas, dizemos que ela é direcionada se as arestas têm direção neste caso existe uma conexão de entrada e outra de saída, de forma que a conectividade total de um sítio será k = k i + k o, onde k i é a conectividade de entrada (in) e k o a conectividade de saída (out). Se a rede for não direcionada falamos apenas em conectividade do sítio. Uma outra propriedade das redes é que elas podem apresentar peso em suas arestas, representando um custo ou uma distância, ligações que podem ser desfeitas mais facilmente que outras, expressando ligações fortes ou fracas (ver Fig. 2.2.b). As redes podem ser classificadas ainda como estáticas ou dinâmicas. Nas redes estáticas o número de sítios e ligações é constante, enquanto que em redes dinâmicas o crescimento se dá com a adição de novos nós e arestas a cada instante de tempo. Nessa dissertação trataremos apenas de redes não-direcionas e sem pesos, caso contrário, explicitaremos (ver Fig. 2.3). (a) Direcionado (b) Não Direcionado Figura 2.3: (a) Rede direcionada - é possível calcular conectividade de entrada e saída do nó. A conectividade de entrada do sítio 1 é k i = 3 e a de saída é k o = 3 portanto a conectividade total é k 1 = 6. (b) Mesma rede porém não direcionada. A conectividade do sítio 1 é k 1 = 6. As redes são mapeadas de acordo com a forma como os seus sítios se conectam. Essa forma define sua topologia (ou sua estrutura). Podemos caracterizar os grafos de acordo com sua topologia, da seguinte forma (ver Fig. 2.4) 4 [24]: 1. Grafos Aleatórios - têm estruturas completamente aleatórias não exibindo uma forma definida, seus vértices apresentam conectividades que flutuam em torno de uma grau médio. 3 Grafos direcionados são chamados de digrafos. 4 Figuras retiradas do site

24 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes Grafos Regulares - têm estruturas determinísticas bem definidas (rede triangular, rede quadrada, rede hexagonal, etc.), e todos os sítios possuem a mesma conectividade. Entre estes dois extremos existem duas classes de grafos muito importantes: 1. Mundo Pequeno - na maior parte estruturado porém parcialmente aleatório em sua estrutura; Possui um alto grau de agrupamento entre seus sítios e um caminho muito curto entre eles. 2. Árvore (Livre Escala) - na maior parte aleatório e parcialmente estruturado. Uma característica desse tipo de grafo é possuir coeficente de agregação zero (ver seção 2.2.4). Nesse tipo de grafo só há um caminho entre dois sítios quaisquer da rede. Podemos classificar os nós pela sua conectividade. O nó com o maior grau em um grafo, ou seja, o sítio mais conectado, é chamado de pólo. Podem existir mais de um pólo e a presença deles em uma rede muda a estrutura da mesma, mudando assim sua topologia. Os pólos são caracetísticos de redes de livre escala. 2.2 Conceitos A dinâmica de uma rede é definida por um conjunto de micro regras que governam o comportamento dos nós e ligações. Estas regras são dadas em um micro nível, para distingui-las de comportamentos em nível macro da rede. Especificamente, as regras a nível micro ditam o comportamento de ligações e nós, e as regras a nível macro ditam o aparecimento de propriedades globais da rede. Por exemplo, a ligação preferencial (as ligações são atraídas por nós muito conectados), é uma micro regra, enquanto que a distribuição em lei de potência da rede é uma regra a nível macro. Os cientistas estão interessados principalmente com o entendimento das propriedades globais pelo estudo das micro regras [24]. Este comportamento global pode ser evidenciado pelo estudo de diversas propriedades. Nesta seção abordaremos aquelas que são essenciais para a compreensão deste trabalho, tais como: distribuição de conectividade, coeficiente de agregação, menor caminho, homofilia e correlações.

25 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 11 (a) Regular (b) Aleatório (c) Mundo Pequeno (d) Árvore Figura 2.4: Representação das classes dos grafos Distribuição de Conectividade A distribuição de grau é a característica estatística mais simples de uma rede aleatória, e geralmente é só o primeiro passo para a descrição da rede. A estrutura topológica de um grafo está totalmente relacionada com a sua distribuição de grau. Portanto, a escolha da distribuição é fundamental ao criar um modelo de rede, pois esta determina a classe do grafo. Em redes reais, o cálculo da distribuição de conectividade P (k) é importante na classificação dos diferentes tipos redes quanto à sua topologia. Notavelmente, em muitas situações o conhecimento da distribuição de grau é suficiente para o entendimento da rede e o que está acontecendo nela. A distribuição de conectividade determina como estão distribuídas as ligações entre os sítios da rede. Matematicamente, P (k) é definida como sendo a probabilidade de um sítio,

26 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 12 escolhido ao acaso, ter exatamente k ligações, de forma equivalente, mostra a fração de sítios de uma rede que apresentam conectividade k. Em redes direcionadas é necessário considerar P in (k) e P out (k) representando a conectividade de entrada e saída do nó, respectivamente. Os nós de uma rede, com excessão de redes regulares, possuem um número distinto de ligações. A forma como a conectividade está ditribuída na rede é analisada pelo gráfico de P (k), ou pelo cálculo de seus momentos de ordem n. k n = k k n P (k) (2.1) O primeiro momento caracteriza a conectividade média da rede k. O segundo momento é uma medida das flutuações da distribuição de conectividade. Para compreender melhor o conceito de distribuição de conectividade, listaremos abaixo algumas das distribuições observadas no estudo de redes complexas. a. Distribuição de Poisson: essa distribuição descreve sistemas com um número muito grande de constituintes (N ) e eventos que ocorrem com probabilidade p pequena. É uma distribuição discreta e pode ser definida como: P (k) = e k k k k! (2.2) Uma vez que P (k) 1/k!, essa função decai muito rapidamente para k grande, porém todos os seus momentos de ordem n são finitos, mesmo que o tamanho da rede N. A conectividade média da rede é dada por k = k kp (k). Uma rede que pode ser descrita por esse tipo de distribuição é a Rede Aleatória Clássica. Grafos aleatórios clássicos seguem uma distribuição de Poisson quando seu número de vértices tende ao infinito e sua k é fixa. Devido à essa propriedade dizemos que esse sistema possui uma escala típica de distribuição (ver Fig. 2.5) 5. b. Distribuição de conectividade tipo Lei de Potência: Dada por P (k) k γ (2.3) com γ sendo o expoente característico da distribuição. Ao contrário da distribuição de Poisson, em que as redes descritas por esta apresentam uma escala típica, redes com comportamento em Lei de Potência não apresentam uma escala típica para sua 5 Figura retirada da Ref. [26]

27 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 13 Figura 2.5: Gráfico ilustrativo mostrando a diferença de comportamento de uma distribuição do tipo Poisson (pontos em vermelho) e uma distribuição do tipo Lei de Potência (pontos azuis). Do lado esquerdo temos os gráficos plotados na escala linear e do lado direito dados na escala log-log. Ambos possuem o mesmo grau médio k = 10. conectividade. Devido à essa propriedade tais redes descritas por essa distribuição são ditas livres de escala. Inúmeras redes reais têm uma distribuição de grau que decai mais lentamente, onde os pólos surgem com uma notável probabilidade e desempenham um papel essencial. Estas redes são descritas por uma lei de potência com o expoente característico γ entre 2 e 3, em geral. É possível ver matematicamente para redes livres de escala que quando N, ou seja, para redes de tamanho infinito, todos os momentos de ordem n > 1 divergem quando γ 3, que é a faixa de valores de γ para a maioria das redes reais [27]. c. Distribuição Discreta: uma distribuição de probabilidade pode ser discreta ou contínua, porém as redes que crescem deterministicamente têm um espectro de distribuição discreto. Todas as simulações realizadas para esta dissertação são feitas com distribuições discretas. Podemos ainda classificar as redes de duas formas de acordo com a sua distribuição P (k): redes homogêneas e redes heterogêneas. As redes homogêneas tais como as redes aleatórias e mundo pequeno possuem uma distribuição de conectividade binomial ou de poisson onde as conectividades se distribuem em torno de um valor médio k. Dizemos que a conectividade está homogeneamente distribuída na rede. Contudo, as redes heterogêneas, tais como as redes de livre escala têm uma distribuição de conectividade de cauda longa, seguem uma lei de potência e não apresentam uma conectividade típica. Nestas redes existem

28 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 14 sítios muito conectados e sítios quase sem conexão. Uma das maiores características de redes heterogêneas é que elas são altamente robustas a ataques aleatórios e altamente frágeis a ataques dirigidos aos pólos, isto é, as propriedades de conectividade de uma rede heterogênea como um todo, não são afetadas pela remoção aleatória de uma fração de nós quando comparada com uma rede homogênea. Contudo, elas são drasticamente afetadas pela remoção preferencial dos pólos, levando à fragmentação da rede [28]. O nível de heterogeneidade de uma rede pode ser medida pelo parâmetro κ: κ = k2 k (2.4) As redes de livre escala são caracterizadas por κ, enquanto que as redes homogêneas possuem κ k [26] Menor Caminho Médio É possível estabelecer um caminho entre dois sítios quaisquer em rede complexa de tal forma que o comprimento desse caminho pode ser medido pela quantidade de ligações intermediárias entre estes nós. Na maioria das vezes não existe um único caminho entre eles, porém o caminho de maior interesse físico é o que chamamos de menor caminho. O comprimento entre dois vértices quaisquer é calculado pela soma do número total de arestas entre eles. Quando dois vértices i e j estão desconectados, define-se a distância entre eles infinita, ou seja, d ij =. O menor caminho tem um papel importante no transporte de informação dentro de uma rede, como por exemplo, o envio de um pacote de dados de um computador para outro através da internet. A geodésica (o menor caminho) fornece um caminho ótimo para a transmissão desse pacote de dados, permitindo uma transferência mais rápida e econômica, em termos de recursos do sistema. Um outro exemplo é o processo de retirada do petróleo, é de extrema importância encontrar o menor caminho entre o poço injetor e o coletor. Desta forma, o estudo do menor caminho em uma dada rede desempenha um importante papel na caracterização da sua estrutura interna [29]. Esse conceito é muito importante no estudo de propagação de informação em uma rede. De uma maneira formal dizemos que a medida da separação típica entre dois nós em um grafo é dada pelo comprimento do menor caminho médio, também conhecido como

29 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 15 comprimento do caminho característico. Podemos definir o menor caminho médio da rede como sendo a média de d ij tomada sobre todos os N(N 1)/2 pares de vértices (i, j). l = 2 (N)(N 1) d ij (2.5) Em alguns grafos aleatórios, o menor caminho médio cresce logaritmicamente com o tamanho do sistema N, ou seja, l log N. O fato de que qualquer par de sítios está conectado por uma distância pequena caracteriza o efeito de mundo pequeno. A rede de colaboração de atores e a WWW são dois importantes exemplos de redes que apresentam esse comportamento. Ao falar de caminho em redes, um outro conceito interessente é o de diâmetro da rede l D. Ao contrário do menor caminho médio, l D se refere ao maior comprimento entre dois sítios quaisquer da rede. A importância deste se aplica a análises referentes à robustez da rede, ou seja, o quanto ela é vulnerável a ataques dirigidos 6 ou aleatórios 7 (ver Fig. 2.6). Alterações no valor do diâmetro são indicativos de quão forte é a estrutura topológica da rede. 6 Ataques direcionados aos pólos. 7 Ataques direcionados aos sítios da rede de forma estocástica. i<j

30 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 16 Figura 2.6: Figura exibindo a fragilidade e robustez das redes aleatórias e de livre escala. Figura retirada do site

31 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes Experimento de Milgran - o efeito de mundo pequeno O estudo do menor caminho na rede remete-nos imediatamente a um experimento famoso que, ao estudar a distância média entre duas pessoas quaisquer da sociedade, mostrou que esse valor era muito menor que o esperado, disseminando a ideia de que o mundo é pequeno. Em 1967, Stanley Milgram realizou um experimento para medir a distância em uma rede de conhecidos nos Estados Unidos [30]. A questão em estudo foi: Quantas ligações intermediárias separam dois indivíduos (distantes geograficamente) aleatoriamente selecionados? Milgram escolheu duas regiões para fazer sua experiência: Nebraska e Kansas, como pontos de partida, e Massachusetts, como alvo. A pessoa alvo foi escolhida em Massachusetts e um número grande de pessoas escolhidas aleatoriamente em Nebraska e Kansas, receberam uma carta contendo as seguintes instruções: 1. Se você conhece a pessoa alvo, envie a carta diretamente para ela; 2. Caso contrário, envie uma cópia destas instruções para uma pessoa conhecida (alguém que você saiba o primeiro nome) que provalmente tenha mais chance de conhecer a pessoa alvo. O resultado da experiência foi surpreendente, pois esperava-se que um número muito grande de cartas fossem necessárias para chegar à pessoa alvo. Milgram mostrou no seu experimento que as pessoas estão separadas umas das outras, em média, por apenas seis graus de separação, ou seja, é necessário, em média, apenas seis pessoas para ligar quaisquer duas pessoas nos EUA. Embora esse experimento tenha sido realizado apenas nos Estados Unidos, acredita-se que este número representa um resultado global (ver Fig. 2.7) 8. A contribuição de Milgran foi além calcular a distância entre as pessoas, este resultado é uma das primeiras demonstrações diretas do efeito de mundo pequeno [31]. Inúmeras redes reais tem comportamento do tipo mundo pequeno. Esse fenômeno deu origem ao estudo de uma classe de redes complexas que apresentam essa característica as quais foram chamadas de redes de mundo pequeno. 8 Figura retirada do site

32 Capítulo 2. Principais conceitos e modelos de redes 18 (a) Figura 2.7: (a) Mapa dos Estados Unidos onde a região azul mostra o local onde as cartas foram distribuídas, região vermelha mostra o local onde a pessoa alvo se encontra. (b) Esquema ilustrativo do resultado obtido no experimento de Milgram Seis Graus de sepração. (b) Coeficiente de Agregação O Coeficiente de Agregação é uma grandeza que informa o quanto os primeiros vizinhos de um dado sítio estão conectados entre si. Isso nos dá uma característica local do nó e foi primeiro introduzida por Watts e Strogatz. Depois da distribuição de conectividade, o coeficiente de agregação é um dos parâmetros mais estudados em redes reais [32]. Está relacionado com ciclos de comprimento três (triângulos de ligações) presentes na vizinhança de um dado sítio. Em muitas redes é achado que se o vértice A está conectado com o vértice B e o vértice B está conectado com o vértice C então existe uma grande probabilidade de que A esteja conectado com C 9. Na linguagem de redes sociais dizemos que o amigo de um amigo são prováveis amigos [31]. De maneira formal o coeficiente de agregação é a probabilidade que dois vizinhos próximos de um nó estejam conectados entre si, em outras palavras, se um nó j tem k j (grau do sítio j) vizinhos próximos com n j (número de todas as conexões dos vizinhos mais próximos do sítio j) conexões entre eles o cofeciente de agregação local é: c j (k j ) = n j k j (k j 1)/2 (2.6) 9 Essa propriedade também é conhecida como Transitividade da rede