Guia de Laboratórios de Óptica Física. Ano lectivo de 2006/07

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1 Guia de Laboratórios de Óptica Física Ano lectivo de 2006/07

2 REGIME DE AVALIAÇÃO A classificação da parte laboratorial da disciplina vale um terço para a nota final e, para ser admitido ao exame escrito, o aluno deverá obter uma classificação mínima de 10 valores na avaliação dos trabalhos práticos. Os trabalhos práticos serão executados em grupos de 2 elementos e cada grupo deverá apresentar uma folha no final de cada aula laboratorial com as medições directas e os cálculos que tiver feito. No final do período de avaliação será feito um teste escrito sobre a componente laboratorial com consulta de quaisquer elementos excepto fotocópias de cadernos laboratoriais dos colegas. Nesse teste escrito os cálculos deverão ser feitos com os resultados experimentais obtidos pelo grupo no laboratório. Na classificação final serão tidas em conta as classificações dos relatórios (1/3) e do teste sobre a componente prática (2/3). Serão tidos em conta além disso, a execução dos trabalhos, a qualidade dos resultados obtidos e a forma como o aluno preparou os trabalhos (podendo alterar até 2 valores a nota final da parte prática). 2

3 BIBLIOGRAFIA Os trabalhos laboratoriais da disciplina foram concebidos como uma ilustração da matéria leccionada nas aulas teóricas. Assim sendo, as referências [1] e [2] são dois livros introdutórios de óptica que se complementam bastante bem na explicação dos princípios físicos relevantes nos vários trabalhos práticos. A referência [3] é também um livro geral de óptica embora já mais avançado. Ainda neste contexto, chama-se a atenção para o software pedagógico da referência [4] o qual é bastante útil para a fácil compreensão principalmente dos fenómenos de interferência e difracção. A referência [5] é um guia de experiências de óptica recorrendo a laseres de baixo custo e [6] pode ser marginalmente interessante para os trabalhos de interferometria. A referência [7] reune observações originais dos autores de algumas das experiência determinantes na história do conhecimento físico acumulado permitindo assim uma melhor compreensão do contexto historico-científico em que surgiram alguns dos conceitos que hoje temos por evidentes. Na área da óptica são de destacar a demonstração experimental da interferência da luz por Thomas Young, a experiência de Fresnel sobre a difracção (determinante para a aceitação do carácter ondulatório da radiação) e a experiência de Hertz que provou a natureza electromagnética da luz de acordo com as equações de Maxwell. As referências [8-10] tratam da análise de erros experimentais. O trabalho [8] é uma introdução particularmente clara ao tema enquanto em [9] se pode encontrar um pequeno resumo condensado com tudo o que é essencial. A referência [10] é um livro clássico embora já um pouco mais avançado. 3

4 [1]E. Hecht, Óptica, 2 ª Ed., Fundação Calouste Gulbenkian, [2]F. Pedrotti, L. Pedrotti, Introduction to Optics, 2 nd Ed., Prentice-Hall, [3]R. Guenther, Modern Optics, John Wiley, [4]Antonelli, Christian, Fischer, Giles, James, Stoner, Waves and optics Simulations, CUPS (Consortium for Upper-level Physics Software), Wiley, [5]M. Henry, R. Jouanisson, La Lumiére du Laser, Guide d Expériences, Masson, [6]P. Hariharan, Basics of Interferometry, Academic Press, [7]M.H. Shamos, Editor, Great Experiments in Physics, Firsthand accounts from Galileo to Einstein, Dover, [8]J. Taylor, Error Analysis, the Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2 nd Ed., University Science Books, [9]M. Abreu, L. Matias, L. Peralta, Física Experimental, uma Introdução, Presença, [10]P. Bevington, K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, 2 nd Ed., McGraw-Hill,

5 CALENDÁRIO ESCOLAR A realização dos trabalhos laboratoriais terá o seguinte calendário escolar. Trabalho T1 T2 T3 T4 T5 Título Dupla fenda de Young Lei de Malus Interferómetro de Michelson Espectrómetro de rede Anéis de Newton Detalhes sobre a calendarização dos trabalhos encontra-se na página da internet: 5

6 ANÁLISE DE ERROS EXPERIMENTAIS A análise dos erros de que estão inevitavelmente afectadas todas as medições experimentais é uma mistura de princípios estatísticos rigorosos com uma boa dose de bom senso prático. Apresenta-se de seguida um resumo muito conciso das equações fundamentais relevantes obtido a partir das referências [8,9] indicadas na bibliografia. Notação padrão na apresentação de erros de medida valor medido de x = x melhor ±δx (1) onde x melhor é a melhor estimativa possível para o valor da grandeza x e δx a incerteza no procedimento de medida. Esta afirmação mostra a nossa presunção de que o verdadeiro valor de x esteja na gama entre [ x melhor δx, x melhor δx ] com um determinado grau de confiança. A incerteza fraccional é dada por: δx x melhor (2) e a percentagem de erro (incerteza fraccional em percentagem): δx 100 (3) x melhor Análise estatística de incertezas aleatórias Suponhamos que se efectuam N medições x 1, x 2,, x N da mesma quantidade x, todas recorrendo ao mesmo método de medida. Desde que as incertezas sejam todas aleatórias e pequenas, têm-se os seguintes resultados: 6

7 Média: A melhor estimativa de x, a partir destas medidas, é a média. N x= 1 N x i (4) i=1 Desvio padrão: A melhor estimativa da incerteza média em cada uma das medições x 1, x 2,, x N é dada pelo desvio padrão: σ x= 1 N 1 x i x 2 (5) O desvio padrão é útil pois espera-se que cerca de 68% das medições da grandeza x (com o mesmo procedimento de medida) estejam afastadas de menos de σ x do verdadeiro valor. Isto permite-nos identificar σ x com a incerteza em cada uma das medições individuais de x, δ x=σ x (6) e, com esta escolha, podemos estar 68% confiantes que a nossa medida esteja afastada de menos de σ x da resposta correcta. Desvio padrão da média: Desde que os erros sistemáticos sejam desprezáveis, a incerteza em x como melhor estimativa do verdadeiro valor da grandeza x é o desvio padrão da média: σ x = σ x N (7) Se existirem erros sistemáticos apreciáveis, σ x dá a componente aleatória na nossa melhor estimativa de x : 7

8 δ x aleat =σ x (8) Se existir algum modo de estimar a componente sistemática do erro, pode-se utilizar como estimativa razoável (embora não completamente justificada) do erro total a expressão: δ x tot = δ x aleat 2 δ x sist 2 (9) Propagação de erros Se se medirem experimentalmente várias quantidades y 1,, y N afectadas de incertezas caracterizadas pelos valores dos desvios padrão correspondentes, σ y1, σ y2,, σ yn, e se esses valores medidos forem utilizados na estimativa de uma quantidade q, então as incertezas nos valores medidos de y 1,, y N causam uma incerteza no valor estimado de q da seguinte forma: N σ 2 q = i =1 q y i 2 2 σ yi (10) A expressão anterior só é no entanto válida se os erros nas quantidades y 1,, y N forem independentes. Resta portanto obter uma estimativa do desvio padrão de cada grandeza medida y i para poder estimar qual o erro provável de q. Convém considerar as várias situações possíveis: Situação 1: O conhecimento das características estatísticas do processo de medida permite uma estimativa razoável de σ yi. Neste caso não surgem dúvidas quanto ao cálculo da propagação de erros. Esta situação nunca se verifica no entanto no caso das medidas efectuadas no laboratório desta cadeira. 8

9 Situação 2: As quantidades y 1,, y N são estimadas repetindo várias vezes as medidas de cada grandeza y i sempre utilizando o mesmo procedimento. No caso da amostra ser estatisticamente significativa (pelo menos 10 medições de cada quantidade), a melhor estimativa para y i é o valor da média e uma estimativa razoável para σ yi pode ser dada pelo desvio padrão calculado a partir da equação (5). Situação 3: Esta situação é infelizmente a mais comum pois corresponde à situação em que se faz apenas uma medida de cada quantidade y i e não se tem informação adicional sobre o processo estatístico de medição. Nesta situação não se pode utilizar a equação (10) pois desconhecem-se os desvios padrão σ yi. Pode no entanto provar-se que, se δ y1, δ y2,, δ yn forem estimativas dos limites superiores dos erros associados a y 1,, y N, o limite superior do erro na quantidade calculada q é: N δ q i=1 q y i δ y i (11) Mesmo que os erros nas quantidades y 1,, y N não sejam independentes (e não se possa portanto usar a equação (10)), a equação anterior continua a fornecer o valor máximo do erro em q. As incertezas δ y1, δ y2,, δ yn podem ser dadas por quaisquer valores razoáveis dependendo do processo de medida. No caso de se fazerem entre 1 e 10 medidas de cada y i, podem ser estimadas quer pelo maior desvio em relação à média, quer pelo valor médio dos desvios em relação à média: N 1 y N k y i (12) k=1 9

10 Se se fizer apenas uma medida para cada y i, δ yi pode ser estimado pelo limite superior da incerteza na leitura se o processo de medida não introduzir nenhuma incerteza adicional em relação à incerteza de leitura. O limite superior do erro de leitura é metade da menor divisão da escala para escalas analógicas ou 1 divisão da escala para escalas digitais. Se a quantidade estimada for uma função de três grandezas medidas, q= f x, y, z as equações (10) e (11) podem escrever-se σ q 2 = q x 2 σ x 2 q y 2 σ y 2 q z 2 σ z 2 (13) δ q q x δ x q y δ y q z δ z (14) Algarismos significativos Quando se apresenta um resultado na notação padrão: valor medido de x = x melhor ±δx A incerteza δx diz-nos quais os algarismos do resultado que estão afectados de erro. Como regras gerais de apresentação de resultados pode dizer-se que: Regra de apresentação de incertezas: As incertezas devem ser arredondadas a um algarismo significativo. Como regra de bom senso, deve no entanto manter-se pelo menos mais um algarismo significativo sempre que as incertezas sejam usadas no cálculo de outras quantidades como é o caso do cálculo de propagação de erros. 10

11 Regra de apresentação do resultado: O último algarismo significativo de um resultado deve ser da mesma ordem de grandeza (mesma posição decimal) que a incerteza. Quer isto dizer que se no cálculo de aceleração da gravidade se obtiver g = m/ s 2 e δ g = m/ s 2, o resultado final deve ser apresentado como valor medido de g =9.82±0.02 m/s 2 e não valor medido de g =9.821± m/ s 2 ou valor medido de g =9.82± m/s 2 Quando dois ou mais valores são usados num cálculo o número de algarismos significativos do resultado final depende do número de algarismos significativos das parcelas. Podem neste caso ser enunciadas duas regras: Na soma ou subtracção de números, o número de casas decimais do resultado é o menor de entre todas as parcelas. No produto ou divisão de números, o resultado final tem um número de algarismos significativos igual ao de menor número das parcelas. Embora, se calhar, seja preferível aplicar a propagação de erros ao cálculo e só depois arredondar o resultado final de acordo com a estimativa obtida para a incerteza do resultado calculado. 11