UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Resolução de problemas como metodologia de ensino no conteúdo de estatística fundamentado na teoria de Galperin nos estudantes do terceiro ano do ensino médio na escola Presidente Tancredo Neves Boa Vista, RR 2016

2 IGOR PEREIRA AGUIAR Resolução de problemas como metodologia de ensino no conteúdo de estatística fundamentado na teoria de Galperin nos estudantes do terceiro ano do ensino médio na escola Tancredo Neves Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Boa Vista, RR 2015

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4 Resolução de problemas como metodologia de ensino no conteúdo de estatística fundamentado na teoria de Galperin nos estudantes do terceiro ano do ensino médio na escola Tancredo neves Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Defendida em 7 de abril de 2016 e avaliada pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. Héctor José Garcia Mendoza Orientador / Departamento de Matemática UFRR Prof.ª Me. Edileusa do Socorro Valente Belo Departamento de Matemática UFRR Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado Departamento de Física - UERR

5 Dedicatória À minha família, em especial aos meus pais: Edinaldo e Maria Sônia

6 Agradecimentos Agradeço em primeiro lugar à Deus pois me capacitou para a elaboração deste trabalho e em toda a minha caminhada acadêmica, agradeço também a minha família que me deu suporte durante todo o meu curso, o qual não seria capaz de concluir sem este auxilio. Agradeço aos meus amigos de curso Francisco Pereira dos Santos e Jardel de Sousa leite os quais me ajudaram e muito durantes esses quatro anos de curso, caminhamos sempre lado a lado e conseguimos juntos nos formar realizando assim um de nossos sonhos. Agradeço a todos os meus amigos que de alguma forma me deram suporte e motivação para que eu fosse capaz de concluir este desafio que foi o curso de licenciatura em matemática, em especial quero agradecer a minha amigona Khatlen Lohanne Martins de Almeida pois a mesma tem parte importante neste trabalho. Sem mais delongas agradeço a todos meus colegas da UFRR e o meu querido orientador Héctor José Garcia Mendoza pois sem o qual não seria possível desenvolver este trabalho.

7 Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. (Fenelon)

8 Resumo Este trabalho é parte de uma das experiências realizadas pelo projeto institucional de bolsa de iniciação da docência (PIBID) no subprojeto de Matemática no ensino médio da Universidade Federal de Roraima (UFRR). O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado em teorias de aprendizagem que tenham enfoque na cognição, a partir da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin, dos princípios de Polya para a resolução de problemas matemáticos e da direção da atividade de estudo foi criado a Atividade de situação Problema (ASP) em estatística. Esta atividade por sua vez é formada por quatro ações: compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução, as quais são formadas por operações a fim de alcançar um objetivo. O presente trabalho foi realizado em uma turma do terceiro ano do ensino médio da Escola Estadual Presidente Tancredo Neves, onde o mesmo tem por finalidade mostrar a eficácia da aplicação de uma teoria de aprendizagem. Utilizando uma metodologia de ensino adequada quanto a aprendizagem dos estudantes, a partir da aplicação de três provas e de seus respectivos resultados, foi então feito uma análise referente as quatro ações da ASP e então pode-se concluir se o processo mostrou-se ou não eficaz. Palavras Chaves: Atividade de situações problema, Formação por etapas das ações mentais, Aprendizagem da estatística

9 RESUMEN Este trabajo es parte de una experiencia realizada en el proyecto institucional de bolsa de iniciación a la docencia (PIBID) en la enseñanza preuniversitaria, subordinado al curso de Licenciatura en educación especialidad de Matemática de la Universidad Federal de RoraimaEl proceso de enseñanza y aprendizaje debe estar fundamentado en teorías que tengan como enfoque la cognición, a partir de la teoría de formación por etapas de las acciones mentales de Galperin, de los principios de Polya para la resolución de problemas matemáticos y la dirección de la actividad de estudio fue criado la actividad de situaciones problema (ASP) en estadística. Esta actividad está formada por cuatro acciones: comprender el problema, construir el modelo matemático, solucionar el modelo matemático, que su vez está formada por operaciones con la finalidad de alcanzar un objetivo. El presente trabajo fue realizado en un grupo del tercer año de la enseñanza preuniversitaria de la Escuela Estadual Presidente Tancredo Neves, donde el mismo tiene por objetivo mostrar la eficacia de la aplicación de una teoría de aprendizaje. Utilizando una metodología de enseñanza adecuada al aprendizaje de los estudiantes, utilizando tres pruebas de lápiz y papel y posterior del análisis de las cuatro acciones de la ASP se concluyó que el aprendizaje no fue eficaz Palabras claves: Actividad de situaciones problema, Formación por etapas de las acciones mentales, Aprendizaje de la estadística.

10 Lista de tabelas TABELA 1TIPOS DA BASE ORIENTADORA DA AÇÃO TABELA 2 CARACTERÍSTICAS E OBJETIVOS DAS PROVAS TABELA 3 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 1 DA PROVA DIAGNÓSTICA TABELA 4 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 2 DA PROVA DIAGNÓSTICA TABELA 5 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 3 DA PROVA DIAGNÓSTICA TABELA 6 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 4 DA PROVA DIAGNÓSTICA TABELA 7 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 1 DA PROVA FORMATIVA TABELA 8 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 2 DA PROVA FORMATIVA TABELA 9 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 3 DA PROVA FORMATIVA TABELA 10 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 1 DA PROVA FINAL TABELA 11 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 2 DA PROVA FINAL TABELA 12 RESULTADOS QUALITATIVOS REFERENTES AO PROBLEMA 3 DA PROVA FINAL... 53

11 Lista de gráficos GRÁFICO 1 MÉDIA DA PROVA DIAGNÓSTICA GRÁFICO 2 MÉDIA DA PROVA FORMATIVA GRÁFICO 3 MÉDIA DA PROVA FINAL GRÁFICO 4 COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS... 56

12 Sumário INTRODUÇÃO CAPITULO I: ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO MEDIDAS DE TENDÊNCIAS CENTRAIS E DISPERSÃO DIREÇÃO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MEDIDAS DE TENDÊNCIAS CENTRAL CAPITULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO FORMATIVA INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO FINAL CAPÍTULOS III: ANÁLISE DOS RESULTADOS RESULTADO DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA RESULTADO DA AVALIAÇÃO FORMATIVA RESULTADO DA AVALIAÇÃO FINAL CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS... 60

13 13 INTRODUÇÃO Atualmente o cenário da educação brasileira e principalmente o do estado de Roraima não têm apresentado resultados no ensino de formas favoráveis, talvez isso se dê pelo fato de como se é conduzido o processo de ensino atualmente por seus docentes ou pelo desinteresse dos estudantes quanto a aprender, no entanto alguns métodos de ensino diferenciados têm emergido juntamente com o avanço de novas tecnologias. Proporcionando aos atuais e futuros professores um estimulo a mais para buscarem novos conhecimentos e/ou técnicas de modo que possam aplicá-las em suas aulas, tornando-as mais didáticas. Em muitos seguimentos de ensino, em particular nas ciências exatas, o avanço tecnológico modificou evidentemente as possíveis formas no ensino. Têm sido vários os benefícios com a utilização dos computadores e sistemas computacionais na qualidade do ensino. Atualmente os programas informáticos desempenham um fator importante e positivo para as operações de ensino aprendizagem. Em particular na resolução de situações problema na matemática o computador tem sido uma ferramenta importante propiciando assim mais tempo no processo de interpretação dos problemas e seus resultados, deixando para a máquina apenas os cálculos. (Mendoza, 2009). Baseando-se nisso, o presente trabalho foi desenvolvido com a finalidade de aplicar a teoria de aprendizagem de Galperin através da resolução de problemas, utilizando o software Excel, de modo a facilitar a internalização dos conteúdos estatísticos matemáticos pelos alunos. Ao fim será realizado uma análise minuciosa para averiguar se os resultados obtidos através de tal metodologia apoiada pela teoria de aprendizagem de Galperin foram positivos, e aliás, também servirá para estudar como se deu essa aprendizagem ao longo de cada etapa percorrida durante o processo. A pesquisa foi realizada na Escola Estadual Presidente Tancredo Neves através do projeto institucional de bolsa de iniciação da docência (PIBID) no subprojeto de Matemática no ensino médio da Universidade Federal de Roraima

14 14 (UFRR), a escola está localizada na área urbana do município de Boa Vista, na Rua Leôncio Barbosa, Bairro Tancredo Neves, CEP Com o funcionamento nos turnos matutino e vespertino para os alunos do Ensino Médio (1º a 3º ano). No momento presente a escola encontra-se bem equipada, com uma boa estrutura e ambientes climatizados, possui uma sala de leitura, sala para professores, salas de aula, biblioteca, direção, coordenação pedagógica e um laboratório de informática, proporcionando aos alunos um melhor desempenho no ensino e aprendizagem. Entretanto nos deparamos com salas superlotadas, como exemplo a sala na qual será executado o trabalho de pesquisa. É ampla, climatizada, porém com um número de alunos superior ao que a sala comporta, e isso vem dificultado a prática do ensino. A escola possui seu projeto político pedagógico elaborado e fundamentado na teoria progressista crítico-social dos conteúdos. Tendo como público-alvo, alunos na faixa etária entre quinze e dezessete anos, o que tem gerado um desafio a mais aos professores na hora do planejamento, visto que os alunos têm-se apresentado um tanto desconcentrados durante as aulas e desmotivados à aprender matemática. O que nos leva a pensar em uma solução para gerar nesses alunos uma motivação inicial e assim avançar para as próximas etapas Ao longo dos anos a educação vem sempre se renovando, atualmente muitas teorias, metodologias e tendências têm surgidas, todas com a finalidade de proporcionar um ensino mais eficaz dentro da sala de aula, neste trabalho por sua vez, será apresentado uma experiência na qual se utilizou da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin em conjunto com a resolução de problemas como metodologia de ensino apoiada na planilha eletrônica. Tal experiência se desenvolveu na Escola Estadual Presidente Tancredo Neves, no terceiro ano do ensino médio com a turma 303, durante o período do terceiro bimestre da escola, o qual ocorreu do dia 30 de setembro ao dia 30 de novembro de Foi formulada a seguinte pergunta de pesquisa A utilização da resolução de problemas matemáticos como metodologia de ensino melhorará a aprendizagem dos conteúdos de estatística, fundamentados da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin e a direção da atividade de

15 15 estudo nos estudantes de 3º Ano da turma 303 do Ensino Médio na Escola Estadual Tancredo Neves? Objetivo Geral Analisar a aprendizagem dos conteúdos de estatística quando se utiliza a resolução de problemas matemáticos como metodologia de ensino, fundamentado na teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin, com a direção da atividade de estudo nos estudantes do 3º Ano do Ensino Médio na Escola Estadual Tancredo Neves. Objetivos Específicos Diagnosticar o nível de partida dos estudantes relacionado com o conteúdo de estatísticas. Verificar o efeito da sequência didática na formação de conceitos de estatística utilizando a resolução de problemas como metodologia de ensino fundamentada na teoria da formação por etapas das ações mentais de Galperin. Em busca da concretização destes objetivos, foi então elaborado inicialmente uma avaliação diagnóstica a qual teria por finalidade coletar informações sobre o quanto estariam estes estudantes preparados para estudar estatística. A partir dos resultados obtidos sobre esta prova, deu-se início a elaboração do plano de ensino e dos planos de aulas que buscassem atender de melhor forma aquela turma, ou seja, a partir de uma coleta de dados foi possível então a elaboração da base orientadora de ação, a qual é a primeira das etapas presentes na teoria de Galperin. Durante todo o processo didático os alunos foram instruídos utilizando-se apenas da resolução de problemas como metodologia de ensino, após a aplicação da avaliação formativa, as aulas foram ministradas em um laboratório de informática, no qual foi introduzido o uso da planilha eletrônica como ferramenta facilitadora de ensino, posteriormente foi aplicado uma última avaliação, a qual foi denominada como prova final, a partir da qual foi então possível realizar as análises necessárias ao que se refere sobre o quanto os alunos teriam internalizado aqueles conteúdos de estatística.

16 16 Ao fim de todo o processo, tornou-se então possível alcançar os objetivos citados anteriormente, tais resultados possibilitaram a seguinte afirmação, a aprendizagem dos alunos daquela turma em questão apresentou um avanço significativo referente ao conteúdo estudado, mediante a uma análise qualitativa feita sobre as provas e sobre as observações diretas durante todo o processo ocorrido, não só isso, foi possível também com base na teoria de Galperin dizer até em que etapa conseguiu-se chegar com aqueles estudantes, assim podendo explicar como ocorreu essa internalização do conteúdo. Sobre os capítulos a seguir que compõe este trabalho podemos detalhar de forma sucinta seus principais aspectos, no capítulo 1 trataremos sobre as teorias e conceitos adotados, os quais por sua vez tratam-se exclusivamente sobre teorias de aprendizagem, vinculando-as com o conteúdo de estatística e apresentando os tópicos que serão objetos de estudo. No capítulo 2 trataremos sobre os caminhos e dos instrumentos que foram utilizados durante todo o processo, detalhando os porquês de cada um deles e os questionamentos levantados na pesquisa, no capitulo 3 apresentaremos os resultados e suas respectivas análises obtidas através dos instrumentos utilizados e por fim teremos as considerações finais.

17 17 CAPITULO I: ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Neste capítulo trataremos sobre as teorias adotadas como alicerce da pesquisa, apresentamos suas características e suas formas vinculadas ao conteúdo de estatística de forma linear, partindo da teoria da atividade de Leóntiev, zona de desenvolvimento proximal (Vygotsky), teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin e dos princípios de Polya, todos estes citados estrarão no contexto do processo de assimilação, no que segue será apresentado o conteúdo de estatística que será o objeto de ensino durante a pesquisa, será ainda por sua vez apresentado um problema solucionado segundo a atividade de situação problema em matemática. 1.1 O PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO O processo de ensino e aprendizagem deve estar fundamentado sobre bases científicas da psicologia cognitiva conciliado a uma metodologia de ensino para que o professor possa conduzir o processo docente, com as particularidades das didáticas específicas e com o apoio das tecnologias (Talízina, 1988). Na teoria histórica cultural de Vigotski, o processo de assimilação ocorre através da interação entre o objeto (conteúdo matemático) e o sujeito (estudante), mas tal interação ocorre através de uma atividade, esta atividade é definida posteriormente por Leóntiev como um conjunto de ações que por sua vez são formadas por um conjunto de operações a fim de alcançar um determinado objetivo, neste contexto o objetivo a ser alcançado é o de solucionar problemas contextualizados em estatística. Entretanto vale ressaltar a necessidade do mediador do processo (professor), determinar a zona de desenvolvimento proximal (ZDP - Vigotski) a qual deseja trabalhar, ZDP segundo Vigotski, é a distância entre o (desenvolvimento real) que é aquilo que o sujeito já sabe ou que é capaz de realizar sem a necessidade de um companheiro ao (desenvolvimento potencial) determinado como aquilo que o mesmo seja capaz de realizar sob a supervisão de alguém. Para Galperin no processo de ensino aprendizagem as ações devem passar por uma transformação do material ao mental, do não generalizado ao

18 18 generalizado, do detalhado ao abreviado, do compartilhado ao independente e do consciente ao automatizado, onde antes de obter esses resultados os alunos devem passar por cinco etapas as quais são: primeira etapa, formação do esquema da base orientadora; a qual possui oito formas distintas conforme a tabela a seguir: (Talízina, 1988). TABELA 1TIPOS DA BASE ORIENTADORA DA AÇÃO Nº Generalidade Plenitude Obtenção 1 Especifica Incompleta Independente 2 Especifica Completa Preparada 3 Generalizada Completa Independente 4 Generalizada Completa Preparada 5 Generalizada Incompleta Preparada 6 Generalizada Incompleta Independente 7 Especifica Completa Independente 8 Especifica Incompleta Preparada Fonte: (Talízina, 1988) Segunda etapa, formação da ação em forma material ou materializada; terceira etapa, formação da ação como verbal externa; quarta etapa, formação da linguagem externa para si; quinta etapa, formação da ação na linguagem interna (Talízina 1984, 1988, 1994). Este processo de transformação hoje é conhecido como a teoria de formação por etapas das ações mentais, que é resultado da evolução da teoria histórica cultural de Vygotsky e da teoria da atividade de Leóntiev. A partir dos princípios de Polya e da teoria de formação por etapas das ações mentais foi então criado a atividade de situações problema em Matemática (ASPM) (Mendoza, 2009; Tintorer, Mendoza & Castañeda, 2009; Mendoza & Tintorer, 2010). A qual é formada por um sistema de quatro ações, as quais são: primeira ação, compreender o problema; segunda ação, construir o modelo matemático; terceira ação, solucionar o modelo matemático e a quarta ação, interpretar a solução. Cada ação possui um conjunto de operações que podem ser bem especificas dependendo dos problemas trabalhados, ou um pouco mais generalizado como se segue:

19 19 Os indicadores da dimensão Y1 são: a) o aluno extrai os dados do problema? ; b) o aluno determina as condições do problema?; c) o aluno define o(s) objetivo(s) do problema? e critério de aprovação é o item c). Na dimensão Y2 os indicadores são: a) determinar as variáveis e incógnitas; b) nominar as variáveis, incógnitas com suas medidas; c) construir o modelo matemático a partir das variáveis e incógnitas e condições; d) realizar análises das unidades de medidas do modelo matemático e critério de aprovação é o item c). Indicadores da dimensão Y3 são: a) selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo matemático b) solucionar o modelo matemático e o critério de aprovação é o item b). Por último na dimensão Y4 os indicadores são: a) interpretar o resultado; b) extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema; c) dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema; d) realizar um relatório baseado no(s) objetivo(s) do problema; e) analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema, a possibilidade de reformular o problema, construir novamente o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução e o critério de aprovação é c). (Mendoza, 2011) Ações as quais em sua execução correta objetivam a realização de um problema contextualizado em estatística. O método da atividade de situação problema em Matemática institui uma didática onde o processo de ensino e aprendizagem é centrada na resolução de problemas matemáticos. A resolução de problemas por sua vez será utilizada como uma das formas metodológicas de ensinar os pretendidos assuntos de estatística, sobre o apoio da tecnologia que servirá como uma ferramenta complementar ao ensino no decorrer das atividades. Durante a aplicação dos problemas será desenvolvido a atividade de situação problema (ASP) de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos e assim aos poucos transitar pelas etapas das ações mentais (Galperin) de forma que os alunos sejam conduzidos a internalizar todos os conteúdos. Para Talízina a vinculação da resolução de problemas com a teoria de formação por etapas das ações mentais é essencial para transitar por essas etapas, visto que antes de tudo os alunos devem estar motivados, para isto, um

20 20 método que se faz eficaz é a utilização da resolução de problemas contextualizados, de preferência relacionados ao contexto sócio cultural dos estudantes. 1.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIAS CENTRAIS E DISPERSÃO O estudo da estatística no terceiro ano do ensino médio exige dos alunos uma atenção diferenciada dos demais conteúdos já estudados até então, pois contém muitos conceitos, como: população, amostra, variáveis qualitativas e quantitativas, etc. Mas por que estudar estatística? O estudo da estatística no ensino médio se dar exclusivamente por meio de uma parte da estatística descritiva visto que a estatística se ramifica em dois caminhos, descritiva e inferencial, o estudo no ensino médio se prende somente a descritiva, a qual tem por finalidade trabalhar os processamentos de dados a partir de tabelas e gráficos, objetos comuns no dia a dia dos estudantes. Entretanto a ideia da pesquisa será voltada para dois assuntos em particular, são eles: medidas de tendências centrais (média aritmética e ponderada, moda e mediana) e medidas de dispersão (desvio médio, variância e desvio padrão), as definições que seguem foram extraídas do livro fundamentos de matemática elementar vol 11 Gelson Iezi para dados não agrupados (Iezzi, 2013). Média aritmética Seja X uma variável quantitativa e x 1,x 2,...,x n os valores assumidos por x. Define-se a média aritmética de x indicada por.x como a divisão da soma de todos esses valores pelo número de valores, isto é: Média Ponderada x = n i=1 Xi n = x 1+x x n n Seja x uma variável quantitativa que assume os valores x 1, x 2,, x k com frequências absolutas respectivamente iguais a n 1, n 2,, n k. A média aritmética ponderada de x indicada por x é definida como a divisão da soma de todos os produtos x i n i ( i = 1, 2,..., k) pela soma das frequências, isto é:

21 21 x = k i=1 k 1 x i n i n i = x 1 n 1 + x 2 n x k n k n 1 + n n k Moda e Mediana Na estatística descritiva, a moda de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes. Logo, Seja x uma variável quantitativa que assume os valores x 1, x 2,, x k, com frequências absolutas iguais a n 1, n 2,, n k, respectivamente. Se o máximo entre n 1, n 2,, n k é igual a n j, j {1, 2,..., k}, dizemos que a moda indicada por M o é igual ao valor x j. E por fim a mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, os quais uma vez ordenados em ordem crescente ou decrescente aquele que se encontra ao centro é determinado como mediana, vale ressaltar um processo prático para sua determinação, o qual é: x (n+1) ( ),se n é par 2 M e = { x n ( 2 )+x ( n 2 +1),se n é par 2 Já sobre as medidas de dispersão temos primeiro o desvio médio, o qual possui a seguinte definição matemática: O desvio médio (Dm) de um conjunto de n valores é dado pela média aritmética dos valores absolutos dos desvios de cada valor em relação à média aritmética. Dm = x 1 x + x 2 x + + x n x n = n i=1 x i x n : A Outra medida de dispersão é a Variância(V) a qual é definida da seguinte maneira, a variância(v) de um conjunto de n valores é dada pela média aritmética dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média: V = (x 1 x ) 2 + (x 2 x ) (x n x )² n = n i=1 (x i x )² n E a terceira medida de dispersão é o desvio padrão (Dp) o qual é definido como: O desvio padrão (Dp) de um conjunto de n valores é dado pela raiz quadrada da variância: Dp = V, onde, quanto mais próximo de zero estiver

22 22 o desvio padrão, mais regular será o conjunto de valores, ou seja, mais próximos da média estarão esses valores. 1.3 DIREÇÃO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MEDIDAS DE TENDÊNCIAS CENTRAL Sabemos que o objetivo da Didática no Ensino de Ciências e Matemática é dirigir ações intencionais e conscientes com fins da aprendizagem eficaz de conteúdos em ciências e matemática, utilizando estratégias, metodologias e materiais didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação, donde recaímos sobre a teoria da direção, a qual defende que durante todo este processo o professor tem a função de conduzir este processo de assimilação, o qual deve ser cíclica e transparente, tal teoria diz que devemos realizar 5 etapas para então darmos prosseguimento as demais etapas da teoria de Galperin, essas etapas a qual a teoria da atividade se refere são as seguintes: D1: Objetivo de Ensino D2: Nível de Partida D3: Processo de Assimilação D4: Retroalimentação D5: Correção (Talízina, 1984, 1988, 1994, 2000). Podemos então representar a teoria da direção de estudo através do seguinte esquema, no qual E1, E2,,E5 representam as etapas das ações mentais da teoria de Galperin. D3 D3 D1 D2 Atividade BOA E1 D4... Atividade Interna E5 D4 D5 D5 (Mendoza, 2009)

23 23 De modo que na realização destas etapas o professor possa ser capaz sempre de conduzir de melhor forma a aprendizagem dos estudantes, visando, como elemento principal, o processo de transformação da atividade externa à atividade interna material, entretanto sempre antes de transitar de uma etapa para outra (Galperin) o professor deve realizar as possíveis correções pertinentes quando necessária, de modo a não permitir o avanço pelas etapas de qualquer forma Com base na fundamentação teórica abordada neste trabalho e sobre a temática trabalhada no mesmo, faremos a seguir uma exemplificação da vinculação da teoria com a prática que foi executada durante o processo, ou seja, será exibido um problema solucionado com base nas ações da ASPM, método o qual é objeto de estudo no presente trabalho. Em uma certa escola a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Sabendo que o peso das notas são equivalentes ao bimestre em questão, determine a média anual de um dos alunos que ali estuda, sabendo que suas notas em Matemática foram iguais a: Bimestre Nota 1º 7,0 2º 8,5 3º 5,0 4º 7,5 Sabendo que a média final deve ser igual ou superior a sete para que seja aprovado na matéria, o que podemos afirmar sobre esse aluno? Segundo a ASPM devemos iniciar geralmente a solução de um problema com a primeira ação, a qual consta em compreender o problema, entretanto para alcançarmos esta compreensão devemos realizar algumas operações que compõe esta ação, os mesmos por sua vez seriam; ler o problema; identificar e compreender os dados que constam no problema ( observe que os mesmos estão divididos em apenas dois grupos: Bimestre ( coeficientes de ponderação)

24 24 e nota) além destes ainda temos que determinar nosso objetivo, o qual por sua vez seria o de determinar a média ponderada do aluno em questão. Feito isto, agora podemos passar para a segunda ação, a qual é a de construir o modelo matemático, entretanto, assim como na primeira ação, a segunda também exige a realização de certas operações, como neste a de distinguir os elementos conhecidos dos desconhecidos, ora todos os dados necessários foram fornecidos, exceto o qual desejamos encontrar (média ponderada), em seguida deve-se organizar os dados, ou seja, relacionar corretamente as notas aos seus respectivos coeficientes de ponderação: 1 * 7,0-2 * 8,5-3 * 5,0-4 * 7,5, para então sermos capazes de montar o modelo adequado as exigências do problema, o qual seria: M p = 1 7, , , , Após transitado por essas ações, devemos agora solucionar o modelo matemático construído, o qual exige para a sua resolução apenas o conhecimento das operações básicas, ficando assim da seguinte forma o resultado procurado: M p = 1 7, , , , = 7,0 + 17,0 + 15,0 + 30,0 10 = = 6,9 Encontrado agora a solução para o modelo matemático, cabe a nós agora executarmos a quarta e última etapa da ASPM, a qual é a de interpretar a solução, ou seja, sermos capazes de afirmarmos o significado daquele valor obtido através do modelo matemático perante as condições impostas pelo problema, as quais seriam que se a nota do aluno fosse maior ou igual a sete o mesmo seria aprovado, caso contrário, seria reprovado, entretanto como a nota obtida foi a de 6,9 concluímos que o aluno foi reprovado na disciplina de matemática.

25 25 CAPITULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A metodologia utilizada para desenvolver a pesquisa se deu por meio da pesquisa de caráter mista, no entanto com maior enfoque na pesquisa qualitativa, visto que a pesquisa foi feita na área da educação, onde o objetivo é avaliar e descrever a aprendizagem dos alunos, quando se utiliza da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin. Durante a pesquisa foram utilizadas como formas de coletas de dados a observação direta de caráter participativo, anotações das observações em campo, perguntas diretas aos envolvidos e prova de lápis e papel, tais ferramentas foram todas de grande validez para a pesquisa e interpretação dos resultados posteriores. A amostra utilizada foi formada pela turma 303 da disciplina de matemática da Escola Estadual Presidente Tancredo Neves. A pesquisa se deu em quatro momentos; durante o primeiro momento foi feito um estudo para determinar o ponto de partida dos alunos e assim determinar onde se desejava chegar com os estudantes (ZDP Vygotsky) através de uma prova diagnostica. Sobre as três provas de lápis e papel utilizadas como instrumentos de coleta de dados durante a pesquisa (diagnóstica, formativa/controle e final), será apresentado a seguir um quadro especificando suas respectivas características e finalidades conforme exigiu a sequência didática adotada no processo: TABELA 2 CARACTERÍSTICAS E OBJETIVOS DAS PROVAS Prova diagnóstica Prova formativa/controle Prova final Sua principal característica é a presença de elementos já Prova destinada a avaliar o processo que até ali tivera Prova desenvolvida com o objetivo de avaliar todo o estudados pelos estudantes sido então mediado e processo de ensinoaprendizagem nas presentes questões diagnosticar as possíveis que foi apresentadas na prova, com falhas que poderiam vir a adotado, concedendo aos a finalidade de verificar se os serem encontradas, suas alunos na prova em questão mesmos possuem os principais características a autorização do uso da conhecimentos que foram seriam a presença planilha eletrônica como julgados como essenciais unicamente de conteúdos ferramenta de apoio para a para a preparação do estudo relacionados a estatística até sua resolução, tal prova por da estatística descritiva, a então estudados neste sua vez abordou todos os

26 26 prova em questão foi composta por quatro questões as quais tinham por finalidade alcançar o objetivo anteriormente citado. primeiro momento (medidas de tendências centrais), a prova citada foi composta por três problemas, dentre os quais o problema 2 possuía três itens e o problema 3 possuía dois itens. tópicos estudados e foi composta por três problemas, dentre os quais o problema 2 e 3 apresentavam dois itens. Vale ainda ressaltar que, o plano de ensino elaborado para atender as necessidades da turma em questão, foi desenvolvido apenas após a aplicação e correção da prova diagnóstica, a qual possibilitou a extração de dados suficientes para a organização de uma sequência didática, visto isso, podemos representar em forma de diagrama a ordem cronológica dos momentos da pesquisa: FIGURA 1 SEQUÊNCIA DIDÁTICA Fonte: próprio autor A princípio foi então aplicado uma prova diagnostica (Anexo A), com a finalidade de verificar como os alunos encontram-se em relação aos conhecimentos prévios necessários para a aquisição do conhecimento de estatística, com enfoque nas medidas de tendências centrais e dispersão.

27 27 A prova diagnostica serviu como um ponto de partida para determinar a zona de desenvolvimento proximal (ZDP), na qual o professor desejava trabalhar com a turma, assim permitindo a ele organizar as futuras aulas a serem dadas, a seguir será exibido os problemas utilizados na prova diagnóstica e suas respectivas características que buscavam atender as ações da ASP. 2.1 INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA Problema 1 Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 4 a 1, 4 a 2, 0 a 0, 3 a 2 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma partida, calcule a média aritmética de gols marcados e sofridos. Esse primeiro problema buscou atender as quatro ações da Atividade de situação problema em matemática, exigindo primeiramente dos estudantes a capacidade de compreender o problema e seus dados, para só então ser retirados os dados necessários para a sua resolução, em seguida, exige do aluno a capacidade de distinguir as variáveis gols feitos de gols levados, para então eles serem capazes de aplicar a fórmula da média aritmética construindo assim o modelo matemático requerido pelo problema, e satisfazendo a segunda ação da atividade de situação problema (ASP), apenas dessa forma os alunos seriam capazes de solucionar o problema e obter as médias pedidas, realizando assim a terceira etapa da ASP, cabendo agora apenas a necessidade de compreensão do valor encontrado como solução, que seria a quarta etapa da atividade de situação problema (ASP). Problema 2 Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40 rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística: 20% dos rapazes e 30% das moças são fumantes. Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é? O segundo problema exige aos alunos a realização de três ações da ASP, de início exige a capacidade de ler e compreender as informações nele encontradas, só assim eles partiriam para a construção de um modelo

28 28 matemático adequado que satisfaça as necessidades que o problema apresenta, que seria o cálculo da porcentagem sobre a quantidade de homens e mulheres fumantes e depois descobririam a porcentagem total da quantidade de alunos não fumantes daquela turma, satisfazendo a etapa três da ASP, nota-se que a quarta etapa nesse problema é facultativa visto que não exige uma interpretação daquele valor encontrado (porcentagem de alunos não fumantes). Problema 3 Seu Antônio, um sujeito organizado e atento a promoções, decidiu pesquisar os preços de passagens aéreas, após ler a seguinte manchete: As medidas tomadas para aumentar a concorrência no setor aéreo já tiveram efeito. Os preços das passagens nacionais e internacionais baixaram. Esses preços podem ficar ainda menores se o consumidor se organizar. (O Globo, 12/05/2009) Seu Antônio descobriu que certa empresa aérea estava operando o trajeto Florianópolis São Paulo com um desconto de 40% durante o mês de novembro, e que esta empresa oferecia ainda um desconto adicional de 10%, às segundasfeiras. Ele então decidiu viajar em uma segunda-feira de novembro para economizar R$ 138,00, aproveitando esta promoção. O valor desta passagem, em reais, cobrado por esta empresa antes da promoção, era igual a? O terceiro problema apresenta a necessidade de executar as quatro ações da atividade de situação problema em matemática (ASPM), entretanto, esse problema se diferencia dos outros dois problemas anteriores quando se trata sobre a primeira ação, que é a de compreender o problema, pois o problema três exige uma atenção a mais dos estudantes, visto que o problema apresenta-se em uma forma mais extensa, porém, os estudantes devem atentar-se a compreender sobre do que se trata o problema e seus dados, para então eles extraírem seus dados e construírem o modelo matemático adequado para sua resolução, o qual seria, o cálculo de juros sobre juros (nesse caso ler-se descontos), assim obtendo o desconto efetivo e só então solucionando o problema que seria descobrindo o valor original da passagem sem as taxas de descontos, assim realizando as ações três e quatro da ASPM.

29 29 Problema 4 Ao pesquisar o preço de um determinado produto em 20 postos de vendas, encontraram-se 3 preços diferentes, sendo a distribuição representada em um gráfico. Considerando esses 20 postos de vendas, o preço médio do produto é igual a? No último problema é exigido as três primeiras ações da atividade de situação problema em matemática (ASPM) porém esse problema apresenta uma característica bem distinta dos demais problemas sobre a primeira etapa, visto que, exige dos estudantes a compreensão sobre a leitura de gráficos e a extração de seus dados, visto que esses conhecimentos são de grande relevância no estudo da estatística, após a compreensão deste gráfico os alunos devem retirar os dados necessários para então aplicar a média ponderada a fim então de solucionar o problema, realizando assim as etapas de construção e solução do modelo matemático. O segundo momento foi a elaboração e execução do plano de ensino e das aulas (base orientadora de ações (BOA)) com base nos resultados obtidos através da prova diagnóstica, as quais inicialmente foram planejadas para que fossem de caráter geral, completa e independente (BOA de número três) onde os alunos trabalharam situações problemas que aos poucos os conduziam a praticar a ideia de transferimento de conhecimentos para novas situações ainda não vistas

30 30 Contudo, durante o processo houve a necessidade de trocar a BOA de número três, pela BOA de número quatro (Generalizada-Completa-Preparada), dado que a escola onde aconteceu a pesquisa exigia o fechamento das notas bimestrais em certa data já próxima, foi então feito tal mudança para acelerar um pouco o processo, porém, buscando manter a qualidade da pesquisa sem prejudicar os alunos. Esta mudança da BOA ocorreu pouco antes da aplicação da prova de controle (Anexo B), que tinha por finalidade avaliar o conhecimento dos alunos sobre medidas de tendências centrais e verificar se o processo até ali utilizado estava apresentando resultados favoráveis e também para realizar as correções das eventuais falhas existentes, os problemas que foram utilizados e suas respectivas características são apresentados a seguir. 2.2 INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO FORMATIVA Problema 1 O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é Este primeiro problema apresenta as três primeiras ações da atividade de situação problema em matemática(aspm) que os estudantes deveriam realizar para a obtenção da resposta correta requerida pelo mesmo. Entretanto o que o problema exige dos estudantes em relação a primeira ação não é apenas leitura de gráficos mas também a sua compreensão, para só assim os mesmos serem capazes de extrair as informações necessárias para então

31 31 construir o modelo matemático representativo deste problema (2º ação) assim podendo os mesmos, agora solucionar o problema e obter o resultado solicitado por ele (3º ação). Problema 2 Seu Manoel possui uma fazenda, e deseja organizar seu gado para uma inspeção de saúde, tomando com critério de organização a ordem crescente da massa do gado, onde o mesmo organizou esse rol na seguinte tabela: Massa do gado (@) Frequência Absoluta 12, , , , ,0 87 a) Com base nessa tabela é possível seu Manoel descobrir a massa média de seu gado? Se sim, qual seria essa média? b) Existe a Moda sobre a massa desse gado? Caso afirmativo diga qual é. c) Qual a Mediana da massa do gado? Com base na mesma, quantos bois estariam abaixo e acima dessa mediana? O segundo problema possui três itens a serem solucionados (a,b e c), cada item por sua vez busca atender algumas ações especificas da ASPM, o item a) exigia a realização da primeira, segunda e terceira ação da ASPM, onde o aluno durante a primeira etapa deveria ser capaz de compreender as informações encontradas na tabela frequência e a partir daí extrair os dados necessários para a construção do modelo matemático (2ª ação) para então solucioná-lo (3ª ação) assim respondendo o item a). O item b) por sua vez apenas exigia a primeira ação, visto que a moda é encontrada neste problema apenas analisando os dados exibidos na tabela, e por fim o item c), exige dos estudantes as quatro ações da ASPM, já que para a obtenção da mediana exigida, antes os estudantes devem ter compreendido que o gado foi organizado com base em sua massa (1ª ação) assim podendo eles

32 32 montar o modelo matemático (2ªação) para então solucionar o problema (3ª ação) e com base no resultado obtido responder pergunta posterior que se baseia na resposta anterior obtida (4 ª ação) Problema 3 Os dados na tabela a baixo referem-se ao número de unidades de um livro vendido, mês a mês, nos dois primeiros anos após seu lançamento. Mês 1º ano 2º ano Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro a) Do 1º para o 2º ano de vendas, a média mensal de livros vendidos aumentou em x unidades. Qual é o valor de x? b) Do 1º ao 2 º ano de vendas, a média mensal de livros vendidos aumentou em y%. Qual é o valor de y? O problema 3 da prova de controle apresenta dois itens (a e b), os quais exigiam apenas a realização das três primeiras ações da ASP, o item a) por sua vez exigia do aluno apenas a capacidade de obter a diferença das médias, ou seja, o aluno deveria encontrar a média aritmética das vendas dos livros do 1º ano e do 2º ano, fazer a diferença e obter a resposta requerida pelo item a) assim executando apenas as três primeiras ações. No item b) o aluno deveria atentar-se ao fato de que a resposta deste item, dependia da solução obtida no item a), visto que agora ele deve apenas apresentar a porcentagem do aumento da média das vendas dos livros do 1º para o 2º ano. Com base nos resultados obtidos na prova de controle (Anexo C) foi possível então perceber uma falha no processo, esta falha por sua vez foi corrigida com a utilização da planilha eletrônica Excel, e utilizando de situações problemas os quais se utilizavam das tabelas de frequência e a necessidade da

33 33 aplicação da média ponderada, após feita a correção, foi dado continuidade começando as medidas de dispersão, as quais foram estudadas já na sala de informática utilizando a planilha eletrônica como ferramenta de apoio. Durante a terceira etapa foi exigido dos alunos a resolução de problemas um pouco mais complexos que os anteriores, exigindo justificativa tanto escrita como verbal, em alguns momentos utilizavam a planilha eletrônica para otimizar os cálculos, porém sempre tendo que explicar como se foi resolvido os problemas, quais critérios foram utilizados para a aplicação das fórmulas e sobre o que significava aqueles valores encontrados para o problema proposto. 2.3 INSTRUMENTO DA AVALIAÇÃO FINAL Na última etapa, uma última prova de lápis e papel foi aplicada, os estudantes utilizaram a planilha eletrônica Excel como ferramenta de apoio durante as resoluções das questões para assim comparar o avanço dos alunos em relação à primeira prova (prova diagnostica). A seguir é apresentado os problemas utilizados na última prova com suas respectivas características. Problema 1 Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas azuis em uma amostra de oito turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora: Turmas Quantidade de alunos acima da média 1º Bimestre 2º bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre 6º ano A º ano B º ano A ano B º ano A º ano B

34 34 9º ano A º ano B Com base nesses dados, qual foi a média aritmética, desvio médio, padrão e a variância de cada turma? Este primeiro problema é caracterizado pelas três primeiras ações da ASP, visto que no mesmo os alunos deveriam ser capazes de ler e compreender os dados descritos na tabela e saber relacionar esses dados (1ª ação), com base nesses dados, construir os modelos solicitados pelo problema, que seriam eles a aplicação das fórmulas da média aritmética, desvio médio, desvio padrão e da variância (2ª ação), para assim serem capazes de encontrar as respostas corretas, solicitadas pelo mesmo (3ª ação). Problema 2 Em uma cidade foi feito pelo governo um levantamento dos preços à vista de gasolina e de álcool em nove postos da cidade, está mostrado na tabela abaixo (em R$) os resultados desse levantamento: Postos/ Combustível Gasolina Álcool Posto 1 2,61 1,90 Posto 2 2,64 1,79 Posto 3 2,56 1,88 Posto 4 2,61 1,81 Posto 5 2,60 1,81 Posto 6 2,58 1,88 Posto 7 2,59 1,84 Posto 8 2,65 1,84 Posto 9 2,63 1,90 Com base na tabela desse levantamento responda os itens abaixo: a) Qual é a média, o desvio padrão e a variância dos preços de cada combustível?

35 35 b) Quais dos combustíveis que tem seus preços mais homogêneos? O segundo problema é composto por dois itens (a e b) os quais em conjunto exigem dos estudantes as quatro ações da ASPM, entretanto o item a) sozinho exige apenas as três primeiras ações, visto que os estudantes deveriam compreender e serem capazes de extrair os dados encontrados na tabela e relacionar os mesmo com as fórmulas até então estudadas (média aritmética, desvio padrão e variância), só então assim eles seriam capazes de obter as respostas para o problema, realizando assim as três primeiras ações da ASP. Enquanto isso, o item b) exigia apenas a quarta ação da ASPM, pois o mesmo solicitava apenas que os estudantes fizessem uma interpretação dos valores encontrados sobre o desvio padrão dos respectivos tipos de combustíveis. Problema 3 A passagem de 40 veículos por uma barreira eletrônica, em uma rodovia, registrou as velocidades abaixo (em km/h) a) Determine sua média, desvio padrão e a variância. b) Se esta barreira eletrônica foi regulada dando um desconto de 5 km/h nas velocidades dos veículos, qual é a verdadeira média? O último problema da prova exigia a solução de dois itens (a e b) os quais em conjunto buscavam satisfazer as quatro ações da ASPM, onde o primeiro item buscou atender os três primeiros, quando se fazia as exigências de que os alunos deveriam antes de tudo compreender e extrair os dados necessários para a resolução do problema (1º ação) em seguida relacionar esses dados com as formulas convenientes para a resolução (2º ação) para só assim obterem as respostas solicitadas (3ª ação).

36 36 O segundo item exigia as quatro ações da ASPM, porém com uma certa particularidade, visto que antes de tudo, exigia uma interpretação da resposta do item anterior e posteriormente a execução das outras três ações da ASPM, assim sendo eles capazes de responder corretamente o problema. As provas aplicadas foram corrigidas em caráter quantitativo/qualitativo, nas quais foram buscado avaliar o desempenho dos estudantes na execução das quatro ações da atividade de situação problema e sobre o processo de assimilação de formação por etapas das ações mentais de Galperin. Com base nisso foi adotado um critério de pontuação que varia de 1 a 5 para caracterizar de forma quantitativa os aspectos qualitativos referentes ao desempenho dos estudantes sobre cada ação da ASPM executada durante a resolução dos problemas, sabendo-se que cada problema exigia certas ações e por sua vez operações para a sua resolução, a seguinte será apresentado quais foram os critérios estabelecidos que os estudantes deveriam realizar para a obter esses pontos que variam de 1 a 5 sobre cada problema, sobre esta pontuação, assim fica ela definida: Se todos os indicadores estão incorretos, obterá a qualificação de um (1). Se o indicador essencial estiver impreciso ou parcialmente incorreto e/ou existe pelo menos outros indicadores parcialmente correto, obterá a qualificação de dois (2). Se o estudante tem somente correto o indicador essencial obterá a qualificação de três (3). Se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto, obterá a qualificação de quatro (4). Se todos os indicadores estão corretos, obterá a qualificação de cinco (5). Com base nesses critérios, então foi estabelecido os indicadores essenciais de cada problema, visto que eles podem variar, já que os mesmos dependem exclusivamente do que se trata o problema em questão, entretanto será apresentado um quadro referente aos aspectos dos indicadores de modo mais geral.

37 37 Ação Indicador Indicador essencial 1ª a) O aluno extrai os dados do problema b) O alunos determina as condições do problema? c) c) O estudante define o(s) objetivos do problema? 2ª a) Determinar as variáveis e incógnitas. b) Nominar as variáveis, incógnitas com suas medidas c) Construir o modelo matemático a partir das c) variáveis, incógnitas e condições d) Realizar análises das unidades de medidas do modelo matemático e critério de aprovação 3ª a) Selecionar o(s) método(s) para solucionar o modelo a) matemático. 4ª a) Interpretar a solução b) Extrair os resultados significativos que tenham reação com o(s) objetivo(s) do problema c) Dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema. c) a seguir então será apresentado os resultados das provas em conjunto com os critérios de pontuação estabelecidos em suas respectivas tabelas.