OS PONTOS DE VISTA PRIVILEGIADOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NO ENSINO SUPERIOR DO BRASIL

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1 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas OSPONTOSDEVISTAPRIVILEGIADOSNOENSINODANOÇÃODEDERIVADADEUMA FUNÇÃONOENSINOSUPERIORDOBRASIL LúciaHelenaNobreBarros,MarleneAlvesDias,TâniaMariaMendonçaCampos UNIBAN.UniversidadeBandeirantesdeSãoPaulo Brasil Campodeinvestigación: Pensamentomatemáticoavançado Nivel: Superior Resumo.Oobjetivodessapesquisaéanalisarospontosdevistasobreanoçãodederivadade umafunçãodesenvolvidanoensinomédioequepodemservirdeapoioparaadisciplinade CálculoDiferencialeIntegralnoEnsinoSuperior.Paraisso,escolhemoscomoreferenciais teóricoscentraisospontosdevistadethurston(1995)eaabordagemteóricaemtermosde pontosdevistaderogalski(1995).paramelhoridentificarasdificuldadesassociadasao ensino e à aprendizagem da noção de derivada na transição Ensino Médio e Superior complementamosasanálisesutilizandoasabordagensteóricasemtermosdequadrosde Douady(1984)eníveisdeconhecimentodeRobert(1997)eateoriaantropológicadodidático deboschechevallard(1999).osresultadosencontradosmostramquepoucaatençãoédada ao trabalho desenvolvido noensino Médio, não se levando em conta os conhecimentos prévios dos estudantes, o que pode justificar as dificuldades encontradas por esses nos primeirosanosdoensinosuperior. Palavraschave: Pontos de vista, derivada, relações institucionais e pessoais, níveis de conhecimento Introdução AsdificuldadesapresentadaspelosestudantesnadisciplinadeCálculoDiferencialeIntegraltêm sidoobjetodeestudodeváriaspesquisas.emgeral,essaspesquisassedesenvolvemnoensino SuperiorenoBrasilaindanãoencontramosestudosreferentes,especificamente,aoprocessodee aprendizagemdanoçãodederivadadeumafunçãonatransiçãoentreoensinomédioesuperior. Naseqüênciaquandonosreferimosàderivada,tratasedaderivadadeumafunção. Alémdisso,observamosqueostrabalhosdeRogalski(1995)eThurston(1995)colocamem evidênciaaimportânciadanoçãodepontosdevistanotrabalhodomatemático.observamosque RogalskiapresentaumadefiniçãodepontosdevistaenquantoqueThurston,emseutrabalho, identificasetepontosdevistaparaadefiniçãodederivada.ambossãomatemáticoseescrevem sobresuaprópriarelaçãocomamatemática,lembrandoquethurstonfoimedalhafieldsem 1982.ApesardotrabalhodeThurstontersidopublicadodesde1995,nãoencontramosnoBrasil pesquisasqueconsideramospontosdevistaporeleapresentados,apenasdias(1998)outiliza ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 681

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 emsuapesquisasobrepontosdevistacartesianoeparamétricoemálgebralineardesenvolvida nafrança. Sendoassim,emfunçãodetrabalhosanterioresqueconsideramanoçãodepontosdevistano processodeensinoeaprendizagemdematemáticadecidimosestudar,maisespecificamente, quaispontosdevista,daquelesidentificadosporthurston,sãoprivilegiadosnoensinosuperior brasileiro.esseestudoéumapartedapesquisaqueestamosdesenvolvendosobreospontosde vistaemjogonatransiçãoentreoensinomédioesuperior. ParamelhorcompreenderoqueseesperadoestudantedoEnsinoSuperiorquandoseintroduza noçãodederivadadeumafunçãoescolhemosanalisarquaisasrelaçõesinstitucionaisesperadase existentesparaoensinoeaprendizagemdessanoçãonoensinosuperiorequaisasrelações pessoaisdesenvolvidaspelosestudantes. Para operacionalizar nossas análises escolhemos como referências teóricas de apoio as abordagensteóricasemtermosdeníveisdeconhecimentosesperadosdosestudantesderobert (1997),dequadroemudançadequadrodeDouady(1984),eateoriaantropológicadodidáticode BoscheChevallard(1999),quealémdedefinirrelaçãoinstitucionalepessoal,permiteidentificar asdiferentesrepresentaçõesemjogopormeiodasnoçõesdeostensivoenãoostensivo,eas necessidadesdeumdiscursoqueauxiliemnoplanejamento,execução,controleejustificativadas diferentestarefas,istoé,astecnologiasdastécnicaseastecnologiasdastecnologiasquesãopor elesdenominadasteoriasequepodemserpropostasnosplanosdeensinodoscursosdenível superior,ouseja,asrelaçõesinstitucionaisesperadas Paraidentificarasrelaçõesinstitucionaisexistentesconstruímosumagradedeanálise,queserá apresentada seguida de um exemplo, que permite identificar os diferentes tipos de tarefas, técnicas,tecnologiaseteoriasvialivrosdidáticosmaisutilizadosnoensinosuperior.verificamos, ainda, se existe coerência entre as relações institucionais existentes e as relações pessoais desenvolvidaspelosestudantesanalisandoumamacroavaliaçãopropostaparaoprimeiroeo últimoanodoensinosuperior. Apresentamosabaixo,umabreveexposiçãodosreferenciaisteóricosescolhidos. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 682

3 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Referencialteóricodapesquisa OreferencialteóricocentralparaessapesquisasãoospontosdevistaidentificadosporThurston, apuddias(1998)paraanoçãodederivada,cujadenominaçãosugereaescolhaparaadefinição dessanoção,comoépossívelobservarnotextoabaixo: Podemospensaraderivadacomo:1.Infinitesimal:arazãodamudançainfinitesimaldo valordafunçãopelamudançainfinitesimaldavariável.2.simbólico:aderivadadexné nxn1,aderivadasesenxécosx,aderivadadefºogéf ogxg,etc.3.lógica:f(x)=dsee somente se, para cada, existe um tal que se 0 < x < f ( xx) f( x) d então x.4.geométrico:aderivadaéainclinaçãodatangenteao gráfico,seográficotemumatangentenesseponto.5.taxa:avelocidadeinstantâneade f(t)setéotempo.6.aproximação:aderivadadeumafunçãoéamelhoraproximação lineardessafunçãopróximadoponto.7.microscópica:aderivadadeumafunçãoéolimite doqueseobservacomummicroscópioaumentandocadavezmais(thurston,1995,apud Dias,1998,p.39). Alémdisso,consideramosadefiniçãodadaporRogalski(1995)paraanoçãodepontodevista: Doispontosdevistadiferentessobreumobjetomatemáticosãodiferentesmaneirasde observálos,defazêlosfuncionar,eventualmentededefinílos.nessesentido,observarum objeto em diferentes quadros é considerar diferentes pontos de vista. Mas, podemse considerarváriospontosdevistaemummesmoquadro(rogalski,1995). Consideramos,ainda,aabordagemteóricasobreostrêsníveisdeconhecimentoesperadosdos estudantesconformedefiniçãoderobert(1997),asaber: Níveisdeconhecimentoesperadosdosestudantes:níveltécnicoqueestárelacionado principalmente às ferramentas e definições utilizadas em uma determinada tarefa. Exemplo:Determinaraderivadadafunçãof(x)=x2;nívelmobilizávelquecorrespondeaum iníciodejustaposiçãodesaberesdeumcertodomínio,podendoatécorresponderauma organização,nesseníveloquesequestionaéexplicitamentepedido.exemplo:determinara derivadadafunçãof(x)=x2utilizandoadefinição;níveldisponívelquecorrespondeasaber ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 683

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 respondercorretamenteoqueépropostosemindicações,esseníveldeconhecimentoestá associadoàfamiliaridade,aoconhecimentodesituaçõesdereferênciavariadas,aofatode dispordereferências,dequestionamentos,deumaorganização.exemplo:afunçãohorária domovimentodeumapartículaéf(t)=e2t1lnt.calculeavelocidadeescalarnoinstantet= 10(Robert,1997,apudNobreBarroseDias,2009,pp.45). AdefiniçãodeníveisdeconhecimentodeRobert(1997)conduzàsnoçõesdequadroemudança dequadrosdedouady(1984),asaber: [...]constituídodeobjetosdeumramodasmatemáticas,dasrelaçõesentreosobjetos,de suasformulaçõeseventualmentediversasedasimagensmentaisassociadasaessesobjetos eessasrelações.essasimagenstêmumpapelessencialefuncionamcomoferramentasdos objetosdodomínio.doisquadrospodemconterosmesmosobjetosediferirpelasimagens mentaiseproblemáticasdesenvolvidas(douady,1984,p.128). Amudançadequadroséumatransposiçãodotrabalhodomatemáticoparaadidáticaque Douady(1992)consideracomo: [...] um meio de obter formulações diferentes de um problema que sem ser, necessariamente,equivalente,permitemumnovoacessoàsdificuldadesencontradaspara fazerfuncionarasferramentasetécnicasquenãoseimpunhamnaprimeiraformulação. [...]Qualquerquesejamastraduçõesdeumquadroemoutro,elasterminamsempreem resultadosdesconhecidos,emnovastécnicas,nacriaçãodenovosobjetosmatemáticos,em suma,noenriquecimentodoquadrooriginaledosquadrosauxiliaresdetrabalhos(douady, 1992,pp ). Após essa breve descrição do referencial teórico considerado na pesquisa, apresentamos a metodologiaescolhidaparadesenvolverainvestigação. Metodologiadapesquisa Paraasanálisespropostasutilizamosaseguintemetodologia: Análisedosplanosdeensinodoscursosdelicenciaturadeuniversidadesbrasileiras públicaseprivadas,paraidentificarasrelaçõesinstitucionaisesperadas. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 684

5 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Análisedoslivrosdidáticosindicadosnabibliografiabásicadosplanosanalisados,para identificar as possíveis relações institucionais existentes e verificar se essas são coerentescomaspropostasdeensino. AnálisedeumamacroavaliaçãoparaoprimeiroeoúltimoanodoEnsinoSuperior, para verificar se existe a possibilidade de identificar as marcas das relações institucionaissobreasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelosestudantes. Paraefetuarasanálisespropostasacima,construímosaseguintegradedeanálise. Agradedeanálise Agradedeveservircomouminstrumentoparaanalisarasrelaçõesinstitucionaisexistenteseas marcasdessasrelaçõessobreasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelosestudantesparaoobjeto deestudodanossapesquisa,istoé,anoçãodederivada. Essagradepermiteidentificaràsseguintesvariáveisdastarefasusualmenteencontradasparaa introduçãodaderivadadeumafunção. Pontosdevistaemjogonatarefa; Ostensivosassociadosaospontosdevistaconsiderados; Quadroemqueatarefaéenunciada: Quadroparasoluçãodatarefa; Níveisdeconhecimentoesperadosdosestudantes. TAREFA: Determinar o coeficiente de variação de uma função, dada por seu gráfico, em um determinadopontoutilizandoanoçãodederivada. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 685

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 EXEMPLO: OgráficomostradonafigurafornecearelaçãoentreopercentualdodesempregoUeocorrespondente percentualdainflaçãoi.useográficoparaestimarataxanaqualimudacomrespeitoau,quandoonível dedesempregofor3%,enovamentequandoelefor10%. SOLUÇÃO: Da figura, estimamos a inclinação da reta tangente no ponto (3, 15), correspondendo a U=3, em aproximadamenteiguala14.istoé,quandoodesempregoéde3%,ainflaçãoiédecrescenteaumataxa de14pontospercentuaisparacadapontodeaumentonodesempregou. Noponto(10,0),ainclinaçãodaretatangenteécercade0,4,oquesignificaque,quandohá10%de desemprego,ainflaçãoédecrescenteàtaxadesomente0,4pontospercentuaisparacadapontopercentual deaumentonodesemprego. Figura1.Inflaçãoemfunçãododesemprego,(Eisner,1974,p.173apudHoffmann,1999,pp.6970) Pontosdevistaemjogonatarefa:Pontosdevistageométricoeaproximação; Ostensivosassociadosaospontosdevistaconsiderados:Ostensivoderepresentação escritasimbólicaexplícitaederepresentaçãográficadeumafunção; Quadroemqueatarefaéenunciada:economia; ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 686

7 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Quadrooudomínioparasoluçãodatarefa:análisematemática,emparticularestudodas funçõesdeumavariávelrealavaloresreais; Níveisdeconhecimentoesperadosdosestudantes: Mobilizávelemrelaçãoànoçãodederivadaenquantotaxadeaproximação,istoé, opontodevistaaproximação; Disponívelemrelaçãoàarticulaçãoentreanoçãodeporcentagemeanoçãode derivadaesuaspropriedades,istoé,crescimentoedecrescimentoesinalda primeiraderivada. Resultadosencontrados A análise das relações institucionais esperadas mostra que não existe uma preocupação em introduziranoçãodederivadanoensinosuperiorutilizandoospontosdevistajádesenvolvidos noensinomédio,mesmoseaspropostasprivilegiamasrepresentaçõesgráficasquepermitem umamelhorvisualizaçãodoconceitoantesdetrabalharospontosdevistainfinitesimal,simbólico elógico.omesmoocorreparaasrelaçõesinstitucionaisexistentesemqueobservamosquese privilegiaapassagemdarepresentaçãosimbólicadafunçãopararepresentaçãográficautilizando anoçãodederivadaeadeterminaçãodafunçãodadoseugráfico.mas,poucaatençãoédadaà passagemdográficodaderivadaparaográficodafunçãoqueterminasendoumadasquestões pedidas na macroavaliação Exame Nacional de Desempenho de Estudantes (ENADE) para o primeiroeoúltimoanodoensinosuperior,comomostraoextratoabaixo. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 687

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 figura2.enade(brasil,2005) Consideraçõesfinais Emgeral,anoçãoéintroduzidaapósoestudodasfunçõesafim,quadrática,exponenciale logarítmicaeospontosdevistataxaegeométricosãoutilizadoscomomeiosparaainterpretação degráficosdessasfunções.essetrabalhojátinhasidoefetuadonoensinomédio,masnãoexiste nenhumareferênciaaosestudosrealizadosanteriormente,istoé,elessãorevisitados,mesmoque implicitamente,epermitemqueosestudantesenriqueçam,diferenciem,elaboremeadquiram maisestabilidadeemtermosdossignificadosdospontosdevistaconsideradosesejamcapazesde compreendermelhorosnovospontosdevistaquedevemserintroduzidosnaseqüência. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 688

9 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Apesardeexistirumacoerênciaentreasrelaçõesinstitucionaisesperadaseexistentesquandose consideram os pontos de vista identificados por Thurston para a noção de derivada e considerandoaindaquemesmoimplicitamentesãoconsideradosconhecimentospréviossupostos disponíveis,umavezqueseesperatenhamsidodesenvolvidosnoensinomédio,nãoseobservao mesmoresultadonasmacroavaliações. Issomostraqueénecessárioumtrabalhoárduoparaqueosestudantespossamrealmentedar significadoparaosdiferentespontosdevistaeaplicálosdeformaautônomaquandonecessário, ouseja,paraqueelespossamutilizaressesconhecimentosdeformadisponívelcomoéocasodo exemplodetarefaencontradonamacroavaliaçãoqueterminadeixandomuitosestudantessem condiçõesderesolvêlo. Referênciasbibiliograficas Bosch, M. & Chevallard, Y., (1999) La sensibilité de l activité mathématique aux ostensifs. Recherchesendidactiquedesmathématiques,19(1), Brasil, Ministério da Educação (2005). Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior (SINAES) ExameNacionaldeDesempenhodoEstudante(ENADE).MinistériodaEducação InstitutoNacionaldeEstudosePesquisasEducacionaisAnísioTeixeira(INEP) Brasília:MEC. Disponívelnodia10/02/2009: Chevallard,Y.,(1992).Conceptsfondamentauxdeladidactique:perspectivesapportéesparune approcheanthropologique.grenoble:recherchesendidactiquedesmathématiques,12(1), Dias,M.A.(1998).Lesproblèmesd articulationentrepointsdevue«cartésien»et«paramétrique»dansl enseignementdel algèbrelinéaire.thèsededoctorat,paris,universitéparisvii. Douady, R. (1984). Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l enseignement des mathématiques.thèsededoctorat,paris,universitédeparisvii. Douady,R.(1992)IngénierieDidactiqueetevolutiondurapportausavoir.Paris.RepéresIREM,6, ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 689

10 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Hoffmann,L.D.&Bradley,G.L.(1999).Cálculo:umcursomodernoesuasaplicações.Riode Janeiro:LivrosTécnicoseCientíficosEditora. NobreBarros,L.H.&Dias,M.A.,(2009).OspontosdevistadisponíveisparaaIntroduçãode DerivadadeumaFunçãonaTransiçãodoEnsinoMédioeSuperior[CDROOM].In:Anaisdo EncontrodeEducaçãoMatemáticadeOuroPreto,4.OuroPreto:UniversidadeFederaldeOuro Preto. Robert,A.(1997).Quelquesoutilsd analyseepistemologique etdidactiquedeconnaissances mathématiquesàenseigneraulycéeetàl université.actesdelaixécoled étédedidactiquedes mathématiques Rogalski,M.(1995).NotasmanuscritasdoSemináriodeSãoPaulo.Brasil. Thurston,W.P.(1995)PreuveetprogrèsenMathématiques.Paris.RepéresIREM,21,526 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 690