APLICAÇÃO DE NÚMEROS FIGURADOS NO ENSINO MÉDIO. Eixo Temático: A docência na escola e na formação de professores

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1 APLICAÇÃO DE NÚMEROS FIGURADOS NO ENSINO MÉDIO Bruna Thaís Silva Sozzo 1 * Marcos Antonio Mosca Túlio Oliveira de Carvalho 3 Eixo Temático: A docência na escola e na formação de professores Resumo Este trabalho apresenta um relato de atividades no âmbito do PIBID por uma aluna do curso de licenciatura em Matemática. A atividade foi desenvolvida com estudantes do ensino médio do Colégio Estadual Onze de Outubro, localizado no município de Cambé - PR. As atividades foram trabalhadas na Universidade Estadual de Londrina com a interveniência do Programa Novos Talentos. A metodologia utilizada foi a Resolução de Problemas, pois proporciona ao estudante maior interação com o conhecimento, conduzindo-o a se tornar sujeito ativo na construção de sua aprendizagem. A atividade foi pensada para possibilitar que os estudantes pudessem fazer análises, discussões, generalizações, conjecturas e formulação de conceitos e ideias. A seleção das situações problemas foi concebida para abordar um assunto pouco valorizado na educação básica, em particular no Ensino Médio, as Sequências Definidas Recursivamente. Com a finalidade de apresentar este assunto, inédito para a maioria dos estudantes, o trabalho apresentado expõe a caracterização de Números Figurados (triangulares, quadrangulares e hexagonais), e o desenvolvimento das atividades requer o uso de conceitos de recursividade, que foram adquiridos, pelos estudantes, por meio de conjecturas e formulação de conceitos. Para a execução das atividades foi proposto aos alunos para que se organizassem em grupos de até quatro pessoas e após a realização de cada atividade um aluno de cada grupo fez a exposição da sua resolução no quadro. Tal exposição tinha o intuito de provocar o início de uma discussão sobre o tema e comparação de resultados. A principal dificuldade observada foi em relação ao processo de generalização, mas houve bastante interesse, e a participação foi ativa. Percebemos que trabalhar com alunos da educação básica conceitos de generalização, formalização de conteúdo e conjecturas requer um esforço, que começa com o cuidado metodológico, e chega à necessidade de formalização dos conteúdos em linguagem matemática. Deste modo, o professor pode ajudar o estudante a conquistar certa maturidade matemática. Os obstáculos para tanto podem ser de natureza algébrica, e o trabalho terá continuidade no sentido de avaliar as raízes de tais dificuldades. Palavras-chave: Números Figurados. Recursividade. Resolução de Problemas. 1.INTRODUÇÃO Estudar funções no Ensino Médio é um processo que ocorre com base nas diretrizes curriculares e nos PCN, embora alguns conceitos, tais como, Função Afim e Função 1 Licencianda do curso de Matemática na Universidade Estadual de Londrina. Bolsista do projeto PIBID. brunasozzo@hotmail.com Mestre em Matemática pelo PROFMAT-UEL. Professor na rede pública de ensino do estado do Paraná e supervisor do PIBID-UEL. mamfisica@gmail.com 3 Prof. Dr., Universidade Estadual de Londrina (UEL), Departamento de Matemática. Coordenador de Área do PIBID. tcarvalho@uel.br

2 Quadrática sejam tratados já em anos anteriores. Essencialmente, é apresentado aos estudantes o conceito de função, e também algumas funções elementares como: Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e Trigonométrica. A proposta dos livros didáticos, quase que em sua totalidade, sugere que os estudos das sequências, que são funções, sejam abordados após o estudo de funções logarítmicas, trazendo uma abordagem bem rápida do conceito de sequências seguida do estudo de Progressão Aritmética (P.A.) e Progressão Geométrica (P.G.), trabalhados, geralmente, de modo superficial. A ideia central deste trabalho é usar o conceito de números figurados para abordar o tema de Sequências Definidas Recursivamente, embora este assunto não faça parte do currículo básico, entende-se que está é uma excelente oportunidade para os estudantes aprender novos assuntos historicamente fundamentados. O conceito de números figurados remontam à escola pitagórica, Eves (011, p. 100) "esses números, que expressam o número de pontos em certas configurações geométricas, representam um elo entre a geometria e a aritmética". Assim, utilizaremos a caracterização dos Números Figurados (triangulares, quadrados e hexagonais) para abordar o conteúdo de sequências definida por recorrência. Constantemente encontra-se, no cotidiano escolar, a disciplina de matemática sendo ensinada de forma mecânica, onde o professor limita-se a seguir o conteúdo do livro didático, e o método de ensino se restringe em aulas expositivas e aplicação de exercícios de fixação. Esta postura do professor faz com que os alunos apenas memorizem os conteúdos e fórmulas, resolvendo os exercícios de forma mecânica. Deste modo, acredita-se que ao expor um problema mais elaborado o aluno, sente-se incapaz de raciocinar e resolvê-lo. Consequentemente os alunos se tornam cada vez mais dependentes do professor, e com o único objetivo de conseguir notas para serem aprovados. Por isso neste trabalho destaca-se também a importância, por meio dessa atividade de permitir que os estudantes construam conceitos, elaborem seus caminhos e investiguem soluções, evitando o excesso de aulas expositivas e a total dependência do professor. Enfatizando o que consta nos Parâmetros Curriculares Nacionais em relação às competências e habilidades a serem adquiridas na aprendizagem da matemática no Ensino Médio, destaca-se: Formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas. [...] fazer validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelo, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades. (BRASIL. p. 46) E com a preocupação em relação aos péssimos índices no ensino de matemática, optou-se por trabalhar com a tendência da Resolução de Problemas. Segundo Schoder e Lester (1989, apud JUSTULIN, ONUCHIC, p. 3) esta tendência pode trilhar três caminhos

3 diferentes: teorizar sobre resolução de problemas; ensinar a resolver problemas; e ensinar matemática por meio da resolução de problemas. O professor que ensina sobre a resolução de problemas procura ressaltar o modelo proposto por Polya ou alguma variação dele. Ao ensinar para resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicado na resolução de problemas rotineiros e não rotineiros. Ensinar matemática através da resolução de problemas aparece resumido nos Parâmetros Curriculares Nacionais no seguinte princípio. [...] a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. [...] a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como uma aplicação de aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (BRASIL, p. 40) Optou-se assim, pela terceira ideia apresentada, isto é, a Resolução de Problemas é utilizada para introduzir os conceitos de números figurados, por meio da recorrência. Abaixo será apresentada a estrutura da oficina que foi trabalhada na UEL..DESENVOLVIMENTO DA OFICINA Objetivo geral Oferecer aos alunos a oportunidade de relacionar e identificar identidades algébricas apenas por meio de figuras, fugindo de aulas tradicionais (expositivas). Objetivo específico Estimular o raciocínio matemático de formas diversificadas, em particular na formação de conjecturas e na expressão da generalização, recorrendo a um tipo específico de raciocínio, o indutivo. O objetivo maior é que os jovens consigam fazer ligações de diferentes formas entre expressões matemáticas e representações figurativas, permitindo uma melhor compreensão da estrutura matemática. Procedimentos de ensino Será proposto aos alunos para que se organizem em grupos de no máximo quatro pessoas, de modo que o trabalho não seja feito individualmente. Em seguida será distribuído para cada grupo uma folha para cada uma das três tarefas, após a resolução da tarefa, será proposto aos alunos que cada grupo faça uma exposição da resolução no quadro, para assim iniciarmos uma discussão sobre as resoluções. 4 4 Nas atividades entregue aos alunos não haviam respostas.

4 1-ATIVIDADE PARA TRINTA MINUTOS DE OFICINA- TAREFA 1 Números figurados são números expressos como reunião de pontos (círculos) numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número. Deste modo um número natural que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero é chamado de número triangular. Figura 1- Números Triangulares a) Escreva cada número triangular: T 1 = 1 T = 3 T 3 = 6 T 4 = 10 b) Agora encontre: T 5 = 15 T 6 = 1 T 40 = 80 T 50 = 15 c) Dado um número triangular, o que você faz para encontrar o próximo? Resposta esperada: Dado um número triangular T n, adicionamos n+1 para encontrar T n+1, logo: T n+1 = T n + n + 1 Deste modo encontramos uma fórmula que calcula um número triangular dado a partir do anterior a chamamos de fórmula recursiva. d) Encontre uma fórmula geral, para que dado qualquer n N, sendo n o número de pontos da base do triângulo conseguimos encontrar T n. Designa-se por T n com n N um número triangular de ordem n, onde n é o número de pontos da base do triângulo. Deste modo: T 1 = 1 T = 1 + = 3 T 3 = = 6 T n = n =? Observa-se que T n nada mais é do que a soma dos n primeiros números naturais, segue que: T n = n(n + 1). e) Você consegue identificar que tipo de equação foi encontrada acima?

5 Ao desenvolver a equação vemos que T n = n(n+1) do segundo grau. = n²+n, ou seja, chegamos a uma equação - ATIVIDADE PARA TRINTA MINUTOS DE OFICINA TAREFA Um número natural que pode ser representado na forma de um quadrado é chamado de número quadrado. Figura -Números Quadrados a) Escreva cada número quadrado: Q 1 = 1 Q = 4 Q 3 = 9 Q 4 = 16 b) Agora encontre: Q 5 = 5 Q 6 = 36 Q 1 = 144 Q 0 = 400 c) Encontre uma fórmula geral, para que dado qualquer n N, sendo n o número de pontos do lado do quadrado conseguimos encontrar Q n. Designa-se por Q n com n N um número quadrado de ordem n, onde n é o número de pontos do lado do quadrado. Deste modo: Q 1 = 1 Q = + = 4 Q 3 = = 9 Q n = n + n + + n = nn = n² d) Agora teste a fórmula encontrada para Q 1, Q e Q 0. Tem-se: Q 1 = 1² = 1, Q = ² = 4 e Q 0 = 0² = ATIVIDADE PARA TRINTA MINUTOS DE OFICINA TAREFA 3 Um número natural que pode ser representado na forma de um hexágono regular é chamado número hexagonal.

6 Figura 3- Números Hexagonais a) Escreva cada número hexagonal: H 1 = 1 H = 7 H 3 = 19 H 4 = 37 b) Agora encontre: H 5 = 61 H 6 = 91 H 10 = 71 H 0 = 1141 c) Encontre uma relação entre o número triangular de ordem, ou seja, T, e o número hexagonal de ordem 3, H 3. Para facilitar faça o desenho. H 3 = 6T + 1 d) Encontre uma relação entre o número triangular de ordem 3, ou seja, T 3, e o número hexagonal de ordem 4, H 4. Para facilitar faça o desenho. H 4 = 6T e) Agora encontre a relação entre o número triangular de ordem n, ou seja, H n, e o número hexagonal de ordem n-1, T n 1. H n = 6T n f) Então para confirmar, observe a sequência de números hexagonais e encontre uma fórmula geral que calcule H n para qualquer n N. Figura 4 - Números Hexagonais associados aos Números Triangulares Por meio da Figura 4, encontra-se a seguinte relação entre os números triangulares e os números hexagonais. H 1 = 1 H = 6T 1 + 1

7 Deste modo temos: 6T n = H 3 = 6T + 1 H 4 = 6T H n = 6T n Mas, T n = n(n+1), logo T n 1 = (n 1)n. 6(n 1)n + 1 = 6n² 6n + = 3n² 3n + 1. Logo, a equação para calcular o valor de um número hexagonal de ordem n é: H n = 3n² 3n + 1. Outra forma de encontrar a fórmula geral para H n com n N Observando a Figura 3, conseguimos construir a seguinte sequência de números hexagonais: ou seja, assim, H 1 = 1 H = H 3 = H 4 = H n =?, H 1 = 1 H = H 3 = H 4 = H n =?, H 1 = 1 H = H 3 = H 4 = H n = 1 + n(3n 3). Fazendo uma manipulação algébrica, pode-se escrever: H n = 3n² 3n + 1.

8 .. Relato detalhado das atividades e seu desenvolvimento A oficina foi realizada no laboratório de Física da Universidade Estadual de Londrina (UEL), com a participação dos alunos do ensino médio do Colégio Estadual Onze de Outubro, localizado na cidade de Cambé, região metropolitana de Londrina, no âmbito do Projeto Novos Talentos financiado pela Capes. Esses alunos se dispuseram a comparecer à Universidade no período do contraturno, comparecendo um total de cinco alunos. Assim que os alunos chegaram foi feita uma breve a apresentação dos estagiários e dos estudantes. Além disso, os alunos foram informados sobre os encaminhamentos metodológicos da oficina proposta. A primeira atividade desenvolvida pelos alunos foi relacionada ao conceito de números triangulares. Foi apresentado o conceito de número figurado, e uma figura com uma sequência de números triangulares, a alternativa a do problema pedia para que os alunos registrassem seus valores, este momento não suscitou dúvidas, pois bastava que eles contassem os pontos de cada número triangular apresentado na figura; já a alternativa b pedia para que eles calculassem os dois números triangulares consecutivos da sequência anterior, o que entra a questão de recursividade, após resolverem a alternativa c, concluíram que era possível encontrar um número triangular de ordem n, utilizando o número triangular de ordem n-1, ainda na alternativa b pediu-se que fossem calculados dois números triangulares de ordem um pouco elevada, o que daria muito trabalho desenhar os pontos, assim este exercício foi uma motivação para que eles procurassem uma forma de encontrar o número de pontos, ou seja, o número triangular de ordem elevada sem ter que desenhar e contar seus pontos, eles perceberam então com o auxílio dos estagiários que o valor de um número triangular era a soma de uma Progressão Aritmética de razão igual a 1. Como mostra na foto abaixo, a resolução de uma aluna do 3º ano. Figura 5- Foto de uma resolução

9 O que já conseguiram concluir na alternativa d, no entanto não foram todos os alunos que chegaram a esta resposta, uma aluna do 1º ano resolveu a atividade fazendo os desenhos e depois contando seus pontos. Após o término das resoluções foram expostas no quadro duas resoluções, a que está ilustrada na figura 5 e a que foi resolvida por meio de desenho. Foi feito uma discussão das resoluções sanando as possíveis dúvidas encontradas pelos alunos. Ressaltando as duas fórmulas para encontrar um número triangular de ordem n, a fórmula recursiva T n = T n 1 + n, e a fórmula geral T n = n(n+1), discutindo a situação mais adequada para a utilização de cada uma. A atividade que se referia aos números quadrados foi realizada pelos alunos com menor tempo e apresentando poucas dificuldades, uma vez que eles relacionaram seus conhecimentos de área do quadrado e aplicaram sobre os desenhos, a fórmula geral n² foi encontrada rapidamente, logo em seguida foi dado um exercício para que eles testassem a validade da fórmula. No final da atividade uma aluna apresentou suas resoluções no quadro, e foi aberto um debate em relação à sua forma de solucionar as questões. A atividade 3 se referia aos números hexagonais, a alternativa a que era apenas o registro da sequência apresentada na figura 3 e foi resolvida com facilidade, mas logo na alternativa b, os alunos encontraram muitas dificuldades, alguns tentaram relacionar um número hexagonal com o próximo, outros procuraram encontrar a fórmula geral, mas sem grande sucesso. Então lhes foi entregue as alternativas c, d e e, esses enunciados relacionavam os números hexagonais com os números triangulares, as alternativas c e d os levaram a conclusão da alternativa e, que H n = 6T n 1 + 1, o que os deixaram satisfeitos, mas foi propostos alguns questionamentos: o número hexagonal encontrado está em função do número triangular? Para encontrar o número hexagonal primeiro temos que encontrar o número triangular? É possível encontrar o valor do número hexagonal apenas sabendo o número de pontos de um lado do hexágono? Os alunos fizeram um momento de reflexão e chegaram à resposta, substituindo o número triangular de ordem T n 1, pela sua fórmula que está em função de n, neste momento os alunos sentiram muita dificuldade para encontrar T n 1, o tempo de oficina estava terminando, então sem a apresentação das resoluções foi sistematizada e discutida a fórmula geral para encontrar um número hexagonal de ordem n.

10 3.CONSIDERAÇÕES FINAIS A escolha do um conteúdo envolvendo sequências, recursividade e números figurados, foi motivada essencialmente pela pouca ou nenhuma ênfase que tal assunto se dá no Ensino Médio. Um segundo ponto de grande importância foi encontrar atividades que funcionassem como uma construção de conhecimentos. A sequência didática criada mostrou ser um método de ensino bastante eficiente e ainda, através dele, pode-se detectar também o nível de compreensão e as dificuldades que os estudantes apresentam quando trabalham com a linguagem científica, em particular a linguagem matemática, principalmente na álgebra. Ao longo de todo trabalho o acúmulo de aprendizagem foi bastante vasto, primeiramente começou ao escolher o tema e estudar o assunto Por seguir uma tendência diferente da tradicional, ou seja, a oficina não sendo aplicada como uma aula expositiva nos faz repensar sobre este método, e nos ajuda criar iniciativa para que posteriormente apliquemos tendências diferenciadas em nossa futura profissão, já a regência em si nos permite a experiência da condução de uma sala de aula, percebe-se ainda que ao trabalhar novas tendências matemáticas, despertou no aluno um interesse maior. Sendo um grande objetivo do Projeto PIBID, intensificar e qualificar futuros professores, colocando-os em contato com sua futura profissão, o trabalho apresentado superou os objetivos pressupostos. REFERÊNCIAS BRASIL. Secretária de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP. Editora da Unicamp JUSTULIN, A.M., ONUCHIC, L, R. A. Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas: uma proposta para a formação de professores grupos de trabalho. Disponível em: acesso em: 16/10/015. NELSEN, R. B. Proofs Without Words. Washington: The Mathematical Association of America POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro. Editora Interciência Andresa Maria Justulin1 Lourdes de la Rosa Onuchic.