Teoria Quântica de Campos I. Sandra S. Padula Sérgio F. Novaes

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1 Teoria Quântica de Campos I Sandra S. Padula Sérgio F. Novaes

2 Programa Parte II Processos Elementares da Eletrodinâmica Quântica Tecnologia dos Traços e Processos Não-Polarizados Estrutura de Helicidade Simetria de Crossing Espalhamento Compton Introdução às Correções Radiativas Bremsstrahlung Estrutura da Função de Vértice do Elétron Cálculo da Função de Vértice do Elétron Momento Magnético Anômalo Divergência Infravermelha e o Vértice do Elétron Desenvolvimentos Formais da Renormalização Renormalização do Campo Auto-energia do elétron Redução LSZ e Diagramas de Feynman Teorema Óptico Identidade de Ward-Takahashi Renormalização da Carga do Elétron Sistemática da Renormalização Contagem das Divergências Ultravioleta Teoria de Perturbação Renormalizada Renormalização da Eletrodinâmica Quântica Além da Leading Order : um Exemplo de Dois Loops Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 2

3 Introdução às s Correções Radiativas

4 Introdução Aprendemos a calcular diagramas a nível de árvore (tree-level) O próximo termo da expansão perturbativa em α em envolve diagramas que contém loops Esses diagramas possuem em geral divergências: devemos integrar sobre todos os possíveis valores do momento da partícula (não-observável) que corre no loop. Algumas dessas integrais divergem no ultra-violeta (k ). Essas divergências devem ser: Identificadas e isoladas (reguralização) Tratadas de forma sistemática e consistente para que os cálculos levem a grandezas físicas (finitas) mensuráveis (renormalização) Na QED existem 3 tipos distintos de diagramas de 1-loop: Correção do Propagador do Férmion (Auto-Energia): dá origem à renormalização da massa do férmion. Correção do Propagador do Fóton (Polarização do Vácuo): dá origem a renormalização da carga elétrica e a α(q 2 ). Correção de Vértice: dá origem ao momento magnético anômalo do férmion. Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 4

5 Algumas das divergências dos loops são infravermelhas (k0) Essas divergências são canceladas por outro tipo de processo radiativo: bremsstrahlung. Fótons com baixíssima energia podem ser radiados sem no entanto poderem ser observados por qualquer detector físico. Assim devem ser adicionados aos processos de espalhamento sem radiação. Vamos iniciar o estudo das correções radiativas da QED pelo processo de bremsstrahlung de baixa energia que possui divergência para k 0. Em seguida calcularemos o diagrama de correção de vértice que também possui uma parte que diverge no infravermelho Mostraremos como as divergências infravermelhas desses 2 processos se cancelam Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 5

6 Soft Bremsstrahlung Cálculo Quântico do Bremsstrahlung Vamos calcular a amplitude de um fóton sendo emitido de um elétron espalhado por uma fonte externa qualquer Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 6

7 Assumindo que o fóton seja soft (baixa energia), i.e. k << p -p, podemos ignorar o momento k no numerador e aproximar: Simplificando o numerador usando a Equação de Dirac: E o denominador: Temos: Amplitude Elástica Bremsstrahlung Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 7

8 Seção de choque para o processo com bremsstrahlung fica: Elástica Esp. Fase Bremsstrahlung A probabilidade do elétron radiar um único fóton de momento k fica: Escrevendo os momentos envolvidos como: Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 8

9 Temos: A probabilidade diferencial e total ficam: Para garantir que a aproximação para fótons soft permaneça válida, integramos a probabilidade apenas até q = p p Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 9

10 Apesar da aproximação válida para fótons com baixa energia, a integral dk/k é divergente no limite inferior (k=0) indicando que a probabilidade de emitir fóton muito soft é infinita. Aqui está a divergência infravermelha. Uma maneira de contornar esse problema é regularizar artificialmente a integral assumindo uma pequena massa fictícia µ para o fóton. Nesse caso o limite inferior torna-se 0 µ : onde: q = q 2 2 Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 10

11 Resolvendo agora a integral. O integrando tem picos para: k // v ˆ ˆ ( kv. = vcosθ 1 e kv. vv. ) ˆk v v k // v ˆ ( kv. = v cosθ 1 e ˆ kv. vv. ) v ˆk v O limite inferior não é crítico. Podemos por exemplo tomar O termo dominante não vai depender da escolha de x. Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 11

12 A integral fica: Obtemos um duplo log (-q 2 ), chamado de duplo logarítmo de Sudakov. A dependência em µ será discutida mais tarde: Exercício 6.1: Discuta o bremsstrahlung clássico (pag. 177 a 182 do Peskin). Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes 12

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