UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA LAJE DE GRANDE PORTE ATRAVÉS DE MODELAGEM COMPUTACIONAL E ANÁLISE EXPERIMENTAL NICHOLAS APPES MOTA JUIZ DE FORA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF 2013

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIA DE FORA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARAIA CIVIL AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA LAJE DE GRANDE PORTE ATRAVÉS DE MODELAGEM COMPUTACIONAL E ANÁLISE EXPERIMENTAL NICHOLAS APPES MOTA JUIZ DE FORA 2013

3 NICHOLAS APPES MOTA AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA LAJE DE GRANDE PORTE ATRAVÉS DE MODELAGEM COMPUTACIONAL E ANÁLISE EXPERIMENTAL Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial à obtenção do título de Engenheiro Civil. Área de Conhecimento: Dinâmica das Estruturas Orientador: Profº. Flavio de Souza Barbosa, D.Sc. Co-orientador: Engº. Armando de Oliveira Motta Juiz de Fora Faculdade de Engenharia da UFJF 2013 I

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5 AGRADECIMENTOS Dedico os meus sinceros agradecimentos: Ao professor Flavio, pelos ensinamentos transmitidos, pela dedicação como orientador e pela amizade. Ao tio Armando, pelo conhecimento compartilhado e pela dedicação como coorientador. À Construtora Vereda por facilitar o acesso à obra. Aos meus pais Hélio e Jadetty e a minha irmã Yasmine, por todo o apoio e amor. À Carol, pelo amor e por estar sempre ao meu lado. A toda a minha família, pelo carinho e suporte incondicional. Aos meus queridos amigos, por tornarem tudo mais divertido e prazeroso. Ao PET Civil, por me proporcionar uma formação mais completa. Aos professores da Faculdade de Engenharia de Juiz de Fora que contribuíram para minha formação. A todos que contribuíram para que eu chegasse até aqui. III

6 RESUMO No projeto de construções sujeitas a ações dinâmicas, faz-se necessária uma análise refinada do comportamento da estrutura, considerando os efeitos inerciais, bem como as variações dependentes do tempo e das forças externas. Neste contexto, a Modelagem Computacional e a análise experimental de estruturas constituem ferramentas de fundamental importância para dar suporte técnico ao Engenheiro na tomada de decisões. Assim sendo, faz-se neste trabalho, uma avaliação do comportamento dinâmico de uma laje de grande porte através de Modelagem Computacional e análise experimental. Palavras-chave: Modelagem Computacional; Dinâmica das Estruturas; Análise Experimental de Estruturas IV

7 Sumário 1 INTRODUÇÃO Motivação Objetivos Dinâmica de Estruturas Conceitos Básicos Sistemas com Um Grau de Liberdade Determinação da Taxa de Amortecimento e da Frequência Natural de um Sistema de Um Grau de Liberdade Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade Determinação das Taxas de Amortecimento e das Frequências Naturais para Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade Análise Dinâmica de Estruturas via MEF O Método dos Elementos Finitos Elemento de Pórtico Espacial Testes Dinâmicos Aquisição e Análise de Dados Aplicação à Estrutura Ensaio Experimental Resultados Experimentais Modelos Computacionais Modelo Modelo Modelo Discussão dos Resultados Conclusões e Comentários Finais A Projeto Arquitetônico e Estrutural da Quadra 32 V

8 Lista de Figuras 1.1 Tripé do conhecimento moderno, adaptado de Shodor (2004) Edifício Burj Khalifa, em Dubai. (a) Edifício concluído em 2009 e (b) respectivo modelo numérico em elementos finitos Interação entre modelo, experimentação, simulações computacionais e teoria Vista externa da quadra poliesportiva (em reforma) da Escola Estadual Juscelino Kubitschek Vista interna da quadra poliesportiva (em reforma) da Escola Estadual Juscelino Kubitschek Construção da estrutura de suporte da área ampliada da quadra Componentes básicos de um sistema dinâmico com um grau de liberdade Vibrações livres em um sistema com amortecimento subcrítico (Clough, 1993) Exemplos de elementos utilizados no MEF: (a) elemento cúbico com 8 pontos nodais e(b)elementotetraédricocom10pontosnodais Exemplo de malha de elementos finitos aplicada em uma peça através do programa gerador de malhas Gmsh (e J. Remacle, 2013) Elemento de pórtico espacial Exemplo de ensaio com vibração forçada: excitador de rotação sendo utilizado para simular uma torcida de futebol durante testes realizados na construção do estádio Itaquerão, em São Paulo (IEME, 2013) Exemplo de ensaio com vibração livre: viga de concreto armado sendo ensaiada em laboratório para determinação de suas propriedades (Penner, 2002) Exemplos de equipamentos para aquisição de dados Exemplo de resposta no domínio do tempo e da frequência (Vale, 1996) Planta baixa simplificada da quadra. A área hachurada demarca a região de interesse Corte transversal genérico da quadra Região da quadra apoiada sobre estrutura Mapa do ensaio Aplicação da carga de excitação Acelerômetro fixado à laje com fita adesiva Sistema de aquisição de dados. Condicionador Lynx ADS 2000 à direita Palco e banheiros enrijecem a estrutura nas proximidades do ponto VI

9 4.9 Resposta de acelerações no tempo para o ponto Resposta de acelerações no tempo para o ponto Resposta de acelerações no domínio da frequência para os pontos 1 e Exemplos de estruturas modeladas no SAP2000 (CSI, 2013) Visão geral da interface do SAP2000: modelo, análise dinâmica e análise estática Visão geral da interface do SAP2000: (a) definição de materiais; (b) parâmetros das seções; (c) restrições nodais Lajota cerâmica de enchimento sendo pesada para determinar sua massa específica Modelo 1: (a) modelo; (b) corte transversal; (c) seção da laje; e (d) primeiro modo de vibração Corte longitudinal do modelo 2: translação impedida na região à direita Modelo 3: Corte longitudinal dos principais modos de vibração, dando destaque às amplitudes dos pontos 1 e Modelo 3: Principais modos de vibração VII

10 Lista de Tabelas 4.1 Resultados experimentais Resultados do modelo Resultados do modelo Resultados do modelo Comparação dos resultados experimentais e numéricos VIII

11 Capítulo 1 INTRODUÇÃO 1.1 Motivação A busca pelo crescimento econômico exige que tecnologias sejam constantemente desenvolvidas. Novos materiais e equipamentos eletrônicos, bem como novas técnicas e culturas surgem a todo momento. Na construção civil, esse desenvolvimento conduz a uma tendência de se projetar estruturas cada vez mais seguras, leves e esbeltas, com custos e prazos cada vez mais competitivos. Projetar e construir atendendo a tal demanda às vezes exige que se faça uma abordagem mais completa da estrutura, avaliando o seu comportamento dinâmico por exemplo. Neste cenário, a modelagem computacional vem tornando possível analisar problemas cada vez mais complexos, não só na construção civil, mas em diversos outros campos da ciência. Segundo Shodor (2004), a Modelagem Computacional é considerada uma das mais novas metodologias da pesquisa científica que, aliada à Teoria e à Experimentação, constituem o tripé do conhecimento moderno. Figura 1.1: Tripé do conhecimento moderno, adaptado de Shodor (2004). Antes da Modelagem Computacional, a análise de meios contínuos era feita essencialmente por resoluções diretas de sistemas de equações que, na maioria das vezes, se tornavam extensas e 1

12 exigiam o uso de artifícios matemáticos como séries de Fourier e derivadas parciais, e tornavam-se inviáveis à medida que se aumentava o número de Graus de Liberdade (GL) do sistema. Essa crescente necessidade de se resolver grandes quantidades de cálculos tem sido solucionada pelo desenvolvimento concomitante da computação. Transformar um problema científico em termos matemáticos, criando um modelo cujo algoritmo é expresso em código computacional e submetido ao processamento computacional, é o que chamamos de Modelagem Computacional. Na análise estrutural, o Método dos Elementos Finitos (MEF), que será tratado adiante, se destaca como um dos métodos numéricos computacionais mais utilizado, permitindo determinar os estados de tensões e deformações de um elemento de geometria qualquer submetido a cargas externas. Modelos computacionais permitem que uma estrutura passe por diferentes testes e situações antes mesmo de serem construídas. Isso viabiliza que, ao se projetar um edifício por exemplo seja feita uma sucessão de modificações e análises a fim de se obter a solução mais eficaz, segura e econômica características sempre almejadas na engenharia. Um exemplo é o edifíco Burj Khalifa, em Dubai (Figura 1.2). Considerado, em 2013, a construção mais alta do mundo, o arranha-céu só foi erguido após inúmeros testes computacionais. Figura 1.2: Edifício Burj Khalifa, em Dubai. modelo numérico em elementos finitos. (a) Edifício concluído em 2009 e (b) respectivo É verdade que, com o rápido avanço da informática e o desenvolvimento de microprocessadores cada vez mais velozes e acessíveis, estudar o comportamento de estruturas com modelos computacionais gradualmente ganhou o espaço antes dominado exclusivamente por ensaios experimentais. No entanto, para se produzir modelos confiáveis, é preciso submetê-los a etapas de calibração, verificação e validação. Para isto, a teoria e a experimentação são de fundamental importância. Na calibração, um modelo computacional recebe os parâmetros necessários para representar uma situação desejada. Por exemplo, modelos estruturais devem receber parâmetros como: o tipo 2

13 de vinculação entre as partes, materiais utilizados, fatores ambientais, propriedades do solo (no caso de fundações), entre outros. Verifica-se, então, se o modelo calibrado se comporta com base nas expectativas, ou seja, se há coerência entre os resultados numéricos e aqueles extraídos de ensaio. Finalmente, o modelo é validado através da comparação estatística dos seus resultados com dados provenientes de outros estudos, tanto teóricos quanto experimentais. Recorre-se aos ensaios experimentais sempre que um problema gera situações novas ou, ainda, pouco estudadas. Os comportamentos observados na experimentação ainda são a fonte de inspiração para o desenvolvimento de novas teorias e modelos, como acontece na análise dinâmica de estruturas, por exemplo. Nela, torna-se cada vez mais importante dispor de meios experimentais que permitam identificar os parâmetros caracterizadores do sistema dinâmico estrutural e, ao mesmo tempo, sirvam para calibrar os modelos de cálculo utilizados na análise do comportamento dos sistemas sob ações estáticas ou dinâmicas. Fica claro, então, que o conhecimento científico moderno demanda análises que tenham abrangência ampla, englobando Teoria, Experimentação e Modelagem Computacional, tal como sugere Shodor (2004). A figura 1.3, adaptada de Allen, Michael P. e Tildesley, Dominic J. (1989), ilustra a forma de interação entre esses pilares do conhecimento científico. Figura 1.3: Interação entre modelo, experimentação, simulações computacionais e teoria. Adaptado de Allen, Michael P. e Tildesley, Dominic J. (1989). 3

14 1.2 Objetivos No contexto das informações apresentadas, este trabalho visa estudar o comportamento dinâmico de uma estrutura de concreto armado através de análises teóricas, experimentação e modelagem computacional. A quadra poliesportiva da Escola Estadual Juscelino Kubitschek (Figuras 1.4 e 1.5), situada no bairro Santa Luzia, em Juiz de Fora, Minas Gerais, está passando por um processo de ampliação, e uma estrutura de concreto armado (Figura 1.6) foi construída para apoiar a nova parte que se estende por um terreno inclinado. Tal estrutura, objeto de estudo deste trabalho, é constituída por pilares, vigas e uma laje de aproximadamente 400m 2, protegidos por uma cobertura metálica. Estruturas como essa podem, eventualmente, abrigar eventos como festas, bailes e shows. Nestes casos o carregamento é geralmente caracterizado por multidões que desenvolvem atividades do tipo pular, andar, bater palmas e dançar. Tais movimentos geram cargas dinâmicas que induzem vibrações importantes nessas estruturas. Tem-se observado nos últimos anos, níveis elevados de vibrações induzidas por pessoas, o que leva os usuários dessas edificações a questionarem sobre asegurançadasmesmas. Essesquestionamentos,emprincípio,podemserconsideradoscomo reações psicológicas de inquietação dos usuários, que devem ser evitadas para atender aos critérios de estrutura segura. O presente trabalho busca, então, aferir um modelo computacional através de teoria e experimentação. Espera-se que, ao fim deste estudo, se tenha em mãos um modelo computacional confiável da estrutura estudada que permita que as mais variadas situações de carregamento possam ser analisadas. Figura 1.4: Vista externa da quadra poliesportiva (em reforma) da Escola Estadual Juscelino Kubitschek. 4

15 Figura 1.5: Vista interna da quadra poliesportiva (em reforma) da Escola Estadual Juscelino Kubitschek. Figura 1.6: Construção da estrutura de suporte da área ampliada da quadra. 5

16 Capítulo 2 Dinâmica de Estruturas Neste capítulo, um resumo dos tópicos fundamentais relativos à dinâmica das estruturas aplicados neste trabalho é abordado. 2.1 Conceitos Básicos A análise dinâmica pode ser vista como uma abordagem mais abrangente da análise estrutural, uma vez que considera a variação do carregamento ao longo do tempo. Neste tipo de análise, é conveniente distinguirmos as componentes estáticas (constantes no tempo ) das compon dinâmicas (variantes no tempo) de um carregamento aplicado. O efeito total destas componentes atuando sobre uma estrutura é obtido pela superposição das mesmas quando se tratar de uma análise linear. A palavra dinâmica pode ser definida simplesmente como variação do tempo. Logo, considera-se um carregamento dinâmico como aquele para o qual existe variação de pelo menos uma das componentes desta grandeza vetorial, ou seja, módulo, direção, sentido ou ponto de aplicação. Além do fato de o carregamento variar com o tempo, um problema dinâmico diferencia-se de um problema estático, principalmente, devido ao aparecimento de forças inerciais que são contrárias à acelera ção (Barbosa, 2006). 2.2 Sistemas com Um Grau de Liberdade Em um sistema dinâmico modelado com um grau de liberdade, como mostrado na figura 2.1, o equilíbrio de forças atuantes no sistema é dado pela equação 2.1: p(t) =f I (t)+f D (t)+f S (t), (2.1) onde: f I (t) é a f o r ç a i n e r c i a l ; f D (t) é a f o r ç a d e a m o r t e c i m e n t o ; e f S (t) é a f o r ç a e l á s t i c a. 6

17 Figura 2.1: Componentes básicos de um sistema dinâmico com um grau de liberdade (a) e seu diagrama de corpo livre (b) (Clough, 1993). Na figura, k é a r i g i d e z d a m o l c, a ; a constante de amortecimento viscoso (proporcional à velocidade); m, a massa do sistema; x(t), o deslocamento do bloco e p(t), a força aplicada. Desta forma, assumindo que a força inercial é o produto da massa pela aceleração, que a força de amortecimento é o produto da velocidade pela constante de amortecimento e que a força elástica é o produto da rigidez da mola pelo deslocamento, determinar a resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade consiste, em última análise, em integrar uma equação diferencial do tipo: mẍ(t)+cẋ(t)+kx = p(t). (2.2) No caso de vibrações livres, quando a estrutura sofre uma perturbação inicial e depois vibra sem a atuação de um carregamento dinâmico externo, a equação fica: mẍ(t)+cẋ(t)+kx =0. (2.3) Clough (1993) mostram que, para um sistema com vibração livre e amortecimento subcrítico (0 < < 1), situação comum em estruturas civis, a solução da equação 2.3 é: x(t) = cos (! D t + )e!t, (2.4) onde: = = apple x(0) ẋ(0)+x(0)!! D tan 1 ẋ(0)+x(0)!! D ; x(0) 1 2 ;! D =! p 1 2 ; = c é c h a m a d o d e t a x a d e a m o r t e c i m e n t o ; 2!m q k! = é c h a m a d o d e f r e q u ê n c i a n a t u r a l d a e s t r u t u r a. m Para sistemas pouco amortecidos (! 0) os valores de! e! D tendem a ser iguais. A figura 2.2 esboça o gráfico da equação 2.4: 7

18 Figura 2.2: Vibrações livres em um sistema com amortecimento subcrítico (Clough, 1993) Determinação da Taxa de Amortecimento e da Frequência Natural de um Sistema de Um Grau de Liberdade Da figura 2.2 percebe-se que a envoltória dos picos da resposta é aproximadamente exponencial. Dividindo a equação 2.5 pela 2.6 e tomando-se o logaritmo neperiano de ambos os lados chegase a: onde: Desta forma, tem-se: x 1 = e!t 1, (2.5) x 2 = e!t 2. (2.6) Lembrando que (t 2 De maneira geral fica: p, q, n 2 N e n = p q. ln x1 x 2 = e!(t 2 t 1 ). (2.7) t 1 )=T (período de oscilação) e que! = 2, pode-se chegar facilmente a: T = 1 2 ln = 1 2 n ln x1 x 2 xp x q. (2.8), (2.9) A equação 2.9 permite, então, a identificação da taxa de amortecimento de um sistema com 1GL, partindo da resposta em vibrações livres. Observando a figura 2.2, tem-se aproximadamente o tempo transcorrido entre dois picos consecutivos da oscilação, denominados período natural T. De posse de T, o valor da frequência natural pode ser obtida diretamente:! =2 f = 2 T. (2.10) 8

19 2.3 Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade Para pequenas amplitudes de vibração em torno de uma configuração de equilíbrio e com a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se tratar um sistema com múltiplos graus de liberdade de maneira análoga ao sistema apresentado no item 2.2. Assim, determinar a resposta dinâmica de um sistema com n graus de liberdade consiste, em última análise, em integrar n equações diferenciais acopladas do tipo da equação 2.2. Desta forma, pode-se representar as forças matricialmente: Mẍ(t)+Cẋ(t)+Kx(t) =P (t), (2.11) onde: M, C, K são respectivamente a matriz de massa, a matriz de amortecimento e a matriz de rigidez; ẍ(t), ẋ(t) ex(t) são,respectivamenteovetordedeslocamentos,ovetordevelocidadeseovetor de acelerações dos GLs; P (t) éovetordeforçasexternas Determinação das Taxas de Amortecimento e das Frequências Naturais para Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade Através do Método da Superposição Modal é possível escrever as n equações diferenciais acopladas mostradas na equação 2.11 na forma: M m q(t)+c m q(t)+k m q(t) =P m (t), (2.12) onde: M m = T M chamada de matriz de massa modal; K m = T K chamada de matriz de rigidez modal; C m = T C chamada de matriz de amortecimento modal; P m = T P chamada de vetor de forças modal; q = T x é o v e t o r d e d e s l o c a m e n t o s m o d a i s ; q = T ẋ é o v e t o r d e v e l o c i d a d e s m o d a i s ; q = T ẍ é o v e t o r d e a c e l e r a ç õ e s m o d a i s ; sendo: amatrizcujascolunassãoauto-vetoresdoproblema(k! 2 M) =0. A grande vantagem de se resolver as equações 2.12 ao invés das equações 2.11 é que o sistema de equações diferenciais presentes na equação 2.12 é desacoplado, permitindo que se resolva n equações diferenciais semelhantes à apresentada para um sistema com 1GL, simplificando significativamente a solução do problema. Desta forma, para a solução do problema de identificação de frequências naturais e taxas de amortecimento para um sistema com múltiplos graus de liberdade, faz-se um procedimento semelhante ao apresentado no item 2.2.1, para cada equação desacoplada. 9

20 2.4 Análise Dinâmica de Estruturas via MEF À medida em que os graus de liberdade de um problema crescem, o sistema gerado aumenta de maneira proporcional. Isto torna inviável tratar problemas reais de engenharia de maneira puramente analítica. Até mesmo o tratamento matricial efetuado manualmente com rigoroso critério podem gerar resultados ineficientes, com erros consideravelmente altos (Jones, 2011). O Método dos Elementos Finitos é um dos métodos numéricos mais utilizados para tratar este tipo de problema, pois permite automatizar e processar computacionalmente os dados O Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de contorno (Problemas de Valor de Contorno), epossivelmentecomcondiçõesiniciais(paraproblemasvariáveisnotempo). OMEFébastante genérico e pode ser aplicado na solução de inúmeros problemas da engenharia (Souza, 2003). A principal ideia desse método é dividir o domínio do problema em sub-regiões de geometria simples (formato triangular, quadrilateral, cúbico, etc.). Essas sub-regiões recebem o nome de elementos finitos (Figura 2.3). Os nós, ou pontos nodais, conectam os elementos finitos utilizados na subdivisão do domínio do problema. O conjunto de elementos finitos e pontos nodais recebe o nome de malha de elementos finitos (Figura 2.4). Diversos tipos de elementos finitos já foram desenvolvidos. Estes apresentam formas geométricas diversas, por exemplo triangular, quadrilateral, cúbico, etc. em função do tipo e da dimensão do problema (uni, bi, ou tridimensional). A precisão do método depende de alguns fatores como: a quantidade de nós (refinamento da malha); o tipo de elemento; e as funções de interpolação. Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito à sua convergência. Quanto menor for o tamanho e maior for o número de elementos em uma determinada malha, mais precisos serão os resultados da análise. O item apresenta o elemento de pórtico espacial, que é utilizado neste trabalho. Figura 2.3: Exemplos de elementos utilizados no MEF: (a) elemento cúbico com 8 pontos nodais e(b)elementotetraédricocom10pontosnodais. 10

21 Figura 2.4: Exemplo de malha de elementos finitos aplicada em uma peça através do programa gerador de malhas Gmsh (e J. Remacle, 2013) Elemento de Pórtico Espacial Um dos elementos mais usados para modelar estruturas de concreto armado compostas por pilares e vigas é o elemento de pórtico espacial (Figura 2.5). Figura 2.5: Elemento de pórtico espacial. Analisando o equilíbrio do elemento de pórtico espacial, chega-se à equação: onde: M el ẍ(t)+c el ẋ(t)+k el x(t) =P el (t), (2.13) 11

22 M el é a m a t r i z d e m a s s a d o e l e m e n t o ; M el = Aa a a a a rx rx a 0 8a a 0 6a a a a a a a a a rx rx a 0 6a a 0 8a a a a a 2 3, (2.14) 7 5 sendo: A aáreadaseçãotransversal; é a d e n s i d a d e ; a é a m e t a d e d o c o m p r i m e n t o d o e l e m e n t o ; rx 2 = Ix, sendo I A x omomentodeinérciadaseçãoemrelaçãoaoeixox. K el é a m a t r i z d e r i g i d e z d o e l e m e n t o d e p ó r t i c o e s p a c i a l n o r e f e r e n c i a l l o c a l ; 2 K el = 6 4 EA X EA 3 L X L EI 0 Z 6EI L Z 12EI L 2 0 Z 6EI Z L L EI Y 6EI L 3 0 Y 12EI L Y 12EI L 3 0 Y L 3 0 GI X GI L X L 0 0 6EI 0 0 Y 4EI L 2 0 Y 6EI Y 2EI L L 2 0 Y 0 L 6EI 0 Z 4EI L Z 6EI 0 Z 2EI L L Z L EA X EA L X, L EI 0 Z 6EI L Z 12EI L 2 0 Z 6EI Z L L EI Y 6EI L 3 0 Y 12EI L Y 12EI L 3 0 Y L 3 0 GI X GI L X L 0 0 6EI 0 0 Y 4EI L 2 0 Y 6EI Y 2EI L L 2 0 Y 0 7 L 5 6EI 0 Z 4EI L Z 6EI 0 Z 2EI L L Z L (2.15) sendo: E o módulo de elasticidade longitudinal; G omódulodeelasticidadetransversal; A X aáreadaseçãotransversaldabarranormalaoeixox; I Z omomentodeinérciadabarraemrelaçãoaoeixoz; I Y o momento de inércia da barra em relação ao eixo Y. C el é a matriz de amortecimento do elemento de viga no referencial local, geralmente tomado como: C el = M el + K el ( e são números reais); P el são as forças externas atuantes no elemento, em um referencial local, associadas aos elementos dinâmicos d(t) =[d 1 (t),d 2 (t),d 3 (t),...,d 12 (t)] T. As matrizes de Massa, Rigidez e Amortecimento de uma estrutura, discretizada em elementos finitos, são obtidas pelo somatório das contribuições de cada elemento, tomadas em um referencial global. De forma simbólica fica: 12

23 M = NX i=1 M el i ; (2.16) K = C = P = NX i=1 NX i=1 NX i=1 K el i ; (2.17) C el i ; (2.18) P el i. (2.19) 13

24 Capítulo 3 Testes Dinâmicos Os ensaios dinâmicos experimentais em estruturas são constituídos basicamente por dois tipos: monitoramento e prova de carga. Os ensaios de monitoramento são caracterizados pela medida da resposta da estrutura quando submetida a carregamentos sobre os quais não se tem controle de sua natureza no espaço e no tempo. Já as provas de carga são caracterizadas pela medida da resposta da estrutura submetida a carregamentos sobre os quais são conhecidos tanto sua natureza quanto a sua ocorrência no espaço e no tempo. As principais provas de cargas dinâmicas são os ensaios de vibração livre e os ensaios de vibração forçada. Em ensaios de vibrações forçadas, a estrutura é excitada por carregamentos dinâmicos controlados, geralmente senoidais (Figura 3.1). Em ensaios de vibrações livres (Figura 3.2), a estrutura deve ser perturbada a partir de sua configuração estática de equilíbrio e liberada de forma que possa vibrar livremente, ou seja, sem ação de nenhuma força externa. Figura 3.1: Exemplo de ensaio com vibração forçada: excitador de rotação sendo utilizado para simular uma torcida de futebol durante testes realizados na construção do estádio Itaquerão, em São Paulo (IEME, 2013). 14

25 Figura 3.2: Exemplo de ensaio com vibração livre: viga de concreto armado sendo ensaiada em laboratório para determinação de suas propriedades (Penner, 2002). 3.1 Aquisição e Análise de Dados Registrar a resposta de uma sistema solicitado dinamicamente consiste em captar, através de transdutores instalados em locais estratégicos, as respostas da estrutura. Transdutores são equipamentos que transformam grandezas físicas em sinais de outra natureza, tais como elétricos, acústicos, ópticos ou mecânicos. Em ensaios dinâmicos estruturais utiliza-se, na maioria das vezes, os acelerômetros, que são transdutores que transformam acelerações em sinais elétricos. Os sinais elétricos gerados pelos transdutores são enviados por meio de cabos aos condicionadores de sinais, equipamentos eletrônicos que, ligados a um computador, são responsáveis por tratar os sinais e apresentá-los de maneira mais conveniente, atendendo aos interesses do experimentador. No condicionador de dados é possível amplificar ou atenuar os sinais, filtrar ruídos, definir a frequência de amostragem, entre outros. A figura 3.3 ilustra alguns equipamentos comumente utilizados em ensaios experimentais. Os dados coletados são gravados no computador e são compostos geralmente por pares ordenados da resposta em função do tempo. Esses dados podem ser exportados e tratados de diversas maneiras com o auxílio de outros programas computacionais, como o Matlab e o Excel. Neste momento, em alguns casos, é conveniente realizar a análise no domínio da frequência ao invés do tempo. No domínio da frequência, é possível observar um comportamento particular em torno de alguns pontos, mais ou menos bem definidos, devido à formação de picos (Figura 3.4). Neste domínio, é possível identificar facilmente a contribuição de cada componente para o estado final de vibração, tornando possível isolar, por exemplo, as frequências naturais da estrutura. A aplicação da Transformada Discreta de Fourier (TDF) é um dos métodos muito utilizados para converter o domínio do tempo em domínio da frequência. 15

26 (a) (b) (c) (d) Figura 3.3: Exemplos de equipamentos para aquisição de dados. (a) acelerômetro, (b) célula de carga, (c) extensômetro elétrico e (d) condicionador de sinais e computador (KYOWA, 2013; LYNX, 2013). Figura 3.4: Exemplo de resposta no domínio do tempo e da frequência (Vale, 1996). 16

27 Capítulo 4 Aplicação à Estrutura Tendo como base as informações apresentadas, foi feita a avaliação do comportamento dinâmico da quadra da Escola Estadual Juscelino Kubitschek via testes experimentais e modelagem computacional. Foi possível obter as frequências dos seus principais modos de vibração natural, além de uma ideia qualitativa das suas formas modais. A quadra possui 1000m 2 de área total, sendo que uma parte se apoia diretamente sobre o solo e a outra sobre uma estrutura de concreto armado, recém construída em uma reforma de ampliação. Ésabido,combasenoprojetoestrutural (apêndice A), que estas duas regiões trabalham de forma desacoplada. Isso possibilitou limitar o estudo à parte estruturada, correspondente a 400m 2 de área, onde o comportamento dinâmico é mais evidente. As figuras 4.1 e 4.2 ilustram a situação descrita. Figura 4.1: Planta baixa simplificada da quadra. A área hachurada demarca a região de interesse. 17

28 Figura 4.2: Corte transversal genérico da quadra. Figura 4.3: Região da quadra apoiada sobre estrutura. 18

29 4.1 Ensaio Experimental Oensaioconsistiuemperturbaraestruturafazendo-avibrarlivremente.Paraisso,umahastede madeira de aproximadamente 25kg caia livremente de uma altura fixa de aproximadamente 30cm (Figura 4.5). As vibrações verticais foram captadas por um acelerômetro AS-2GA da marca Kyowa (Figura 4.6) conectado ao condicionador de sinais ADS 2000 da marca Lynx (Figura 4.7), operando com uma taxa de amostragem de 3000Hz. Este mesmo procedimento foi realizado em dois pontos distintos de maneira não simultânea, mas com o carregamento sempre na mesma posição. Isto permitiu relacionar, qualitativamente, as amplitudes atingidas em cada ponto e identificar os modos de vibração. Os pontos sensoriados foram escolhidos para que não coincidissem com os nós dos modos de vibração da estrutura. Nestas regiões, o sensor não conseguiria registrar acelerações, prejudicando os resultados. Estes pontos foram previamente estimados com base em um modelo computacional simplificado descrito no item 4.2. A figura 4.4 apresenta um mapa geral do ensaio. Figura 4.4: Mapa do ensaio: (Ponto 1) acelerômetro, (Ponto 2) acelerômetro e (Ponto 3) aplicação da carga. Observa-se a existência de um palco e dois banheiros próximos ao ponto 1. Esses elementos provocam um aumento de rigidez na região e podem ser vistos na figura

30 Figura 4.5: Aplicação da carga de excitação. Figura 4.6: Acelerômetro fixado à laje com fita adesiva. 20

31 Figura 4.7: Sistema de aquisição de dados. Condicionador Lynx ADS 2000 à direita. Figura 4.8: Palco e banheiros enrijecem a estrutura nas proximidades do ponto 1. 21

32 Os dados coletados foram devidamente tratados e a resposta típica à excitação da estrutura em cada ponto é mostrada nas figuras 4.9 e aceleração (g) tempo (s) Figura 4.9: Resposta de acelerações no tempo para o ponto aceleração (g) tempo (s) Figura 4.10: Resposta de acelerações no tempo para o ponto 2. Na figura 4.11, as respostas obtidas nos pontos 1 e 2 são apresentadas no domínio da frequência. Figura 4.11: Resposta de acelerações no domínio da frequência para os pontos 1 e 2. 22

33 4.1.1 Resultados Experimentais A partir do gráfico de acelerações no domínio da frequência (Figura 4.11), em que os picos identificam as principais frequências de vibração da estrutura, obteve-se os resultados mostrados na Tabela 4.1. Frequência Natural de Vibração (Hz) Modo 1 20,14 Modo 2 22,71 Modo 3 26,37 Tabela 4.1: Resultados experimentais. Com base na relação qualitativa de amplitudes modais entre os pontos 1 e 2, admitindo que o carregamento foi idêntico nas duas medições efetuadas, podem ser feitas as seguintes considerações: No primeiro modo, o ponto 2 apresenta grande valor de amplitude modal, enquanto o ponto 1pareceserumnódoprimeiromododevibração. No segundo modo, os pontos 1 e 2 possuem as mesmas amplitudes, aproximadamente, porém não é possível afirmar se elas ocorrem no mesmo sentido, pois os dois pontos não foram ensaiados simultaneamente. No terceiro modo, o comportamento assemelha-se ao primeiro modo, porém o ponto 1 também identificou a frequência principal. 4.2 Modelos Computacionais Os modelos computacionais da estrutura foram desenvolvidos com a utilização do software comercial SAP O SAP, abreviação de Structural Analysis Program, é um poderoso programa de análise estrutural fundamentado em elementos finitos, capaz de efetuar análises estáticas e dinâmicas dos mais diversos tipos de estruturas, como mostra a figura Programas como este oferecem uma interface gráfica e intuitiva que facilita a entrada de dados e a visualização dos resultados pelo usuário. O SAP2000 possui uma biblioteca de elementos pré definidos que devem ser escolhidos adequadamente de acordo com a estrutura a ser modelada. O elemento utilizado no modelo deste trabalho foi o de pórtico espacial, como mostrado no item Fica a cargo do usuário definir parâmetros como as resistências dos materiais, dimensões das barras, carregamentos e restrições. Matrizes locais e globais, vetores de conectividade e combinações de carregamento são gerados automaticamente e tratados de maneira semelhante a apresentada no item 2.3. Os resultados são apresentados de forma conveniente, com diagramas, cortes e animações, facilitando a compreensão do comportamento da estrutura. A figura 4.13 mostra uma estrutura sendo modelada no SAP e 1 SAP2000 é desenvolvido pela Computers and Structures, Inc. CSI (2013) e comercializado no Brasil pela Multiplus Softwares Técnicos. 23

34 suas respectivas análises. Na figura 4.14 é possível observar janelas de entrada de parâmetros do programa. Assim como sugere o capítulo 1, o modelo final não foi definido em uma única etapa. Primeiramente, um modelo simplificado foi gerado e os resultados foram utilizados para planejar o teste experimental. A partir dos resultados experimentais, esse modelo foi refinado até que se obtivesse um resultado mais próximo do esperado. Figura 4.12: Exemplos de estruturas modeladas no SAP2000 (CSI, 2013). Figura 4.13: Visão geral da interface do SAP2000: modelo, análise dinâmica e análise estática. 24

35 (a) (b) (c) Figura 4.14: Visão geral da interface do SAP2000: (a) definição de materiais; (b) parâmetros das seções; (c) restrições nodais. 25

36 4.2.1 Modelo 1 Oprimeiromodelofoicriadocomelementosdepórticoespacial,respeitando-seasdimensõesdo projeto estrutural da quadra (apêndice A). O material foi definido com as seguintes características: Resistência característica do concreto fck = 25MPa; Módulo de elasticidade inicial do concreto Ec i =28000MPa; Coeficiente de Poisson do concreto =0, 2; Peso específico do concreto armado c =25kN/m 3 ; Peso específico da lajota cerâmica de enchimento lajota =6, 17 kn/m 3. A laje pré fabricada foi representada por vigotas de seção T, desprezando-se a rigidez dos blocos cerâmicos de enchimento. A massa desses blocos foi calculada separadamente (Figura 4.15) eacrescentadacomocarregamentolinearmentedistribuído,respeitandosuasáreasdeinfluência. Além disso, o deslocamento horizontal relativo entre os nós das vigotas foi restringido, simulando um diafragma rígido. Esta hipótese considera a laje infinitamente rígida no seu plano, garantindo um comportamento mais real da estrutura. Aspectos do modelo 1 podem ser vistos na figura Figura 4.15: Lajota cerâmica de enchimento sendo pesada para determinar sua massa específica. Omodelo1forneceuosseguintesresultados: Frequência Natural de Vibração (Hz) Modo Experimental Modelo 1 Diferença 1 20,14 15,28 31,8% 2 22,71 15,85 43,3% 3 26,37 16,73 57,6% Tabela 4.2: Resultados do modelo 1. Observa-se que estas frequências são menores do que as obtidas experimentalmente (Tabela 4.1). Isto indica que a estrutura real é mais rígida do que o modelo 1. Com esta informação, alterações foram feitas, gerando o modelo 2. 26

37 (a) (b) (c) (d) Figura 4.16: Modelo 1: (a) modelo; (b) corte transversal; (c) seção da laje; e (d) primeiro modo de vibração. 27

38 4.2.2 Modelo 2 A estrutura foi, inicialmente, modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas. Segundo o item da NBR 6118, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista. Para duas vigas retangulares de mesma altura, o aumento da inércia em relação ao eixo horizontal da seção é maior para a mais estreita. Assim, foram adotados os multiplicadores de inércia iguais a 1,5 e 2 para as vigas de 20x60 e 15x60, respectivamente. Foi observado no local do ensaio que a extremidade direita da estrutura praticamente se apoia no terreno. No modelo, os nós dessa região tiveram a translação impedida, como evidenciado na figura Além disso, as vigas de bordo estão restringidas verticalmente por paredes de alvenaria que se estendem até o nível da fundação. Por este motivo, estas vigas tiveram a altura da seção alterada para 2m, simulando barras de altíssima rigidez. Figura 4.17: Corte longitudinal do modelo 2: translação impedida na região à direita. Omodelo2forneceuosseguintesresultados: Frequência Natural de Vibração (Hz) Modo Experimental Modelo 2 Diferença 1 20,14 20,11 0,1% 2 22,71 20,94 8,6% 3 26,37 22,67 16,3% Tabela 4.3: Resultados do modelo 2. Ainda que os valores tenham se aproximado dos resultados experimentais (Tabela 4.1), um terceiro modelo foi gerado na tentativa de refinar ainda mais o seu comportamento Modelo 3 Segundo o item da NBR 6118, de maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos espaciais, pode-se reduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração utilizando-se 15% da rigidez elástica. Este procedimento foi aplicado às vigas do modelo 2, gerando o terceiro, e último, modelo. Além disso, foram adicionadas barras com alta rigidez para simularem as paredes dos banheiros próximos ao ponto 1 (Figura 4.4 e figura 4.8). 28

39 Oterceiro,eúltimo,modeloforneceuosseguintesresultados: Frequência Natural de Vibração (Hz) Modo Experimental Modelo 3 Diferença 1 20,14 20,04 0,5% 2 22,71 20,90 8,6% 3 26,37 23,15 13,9% Tabela 4.4: Resultados do modelo 3. As figuras 4.18 e 4.19 apresentam os aspectos dos principais modos de vibração encontrados: (a) Modo 1(20,04Hz) (b) Modo 2 (20,90Hz) (c) Modo 3 (23,15Hz) Figura 4.18: Modelo 3: Corte longitudinal dos principais modos de vibração, dando destaque às amplitudes dos pontos 1 e 2. 29

40 (a) Modo 1(20,04Hz) (b) Modo 2 (20,90Hz) (c) Modo 3 (23,15Hz) Figura 4.19: Modelo 3: Principais modos de vibração. 30

41 4.3 Discussão dos Resultados Observa-se que as frequências naturais obtidas através de modelagem computacional são coerentes com as frequências obtidas através da experimentação. A relação destes resultados encontra-se na Tabela 4.5: Frequência Natural de Vibração (Hz) Modo Experimental Modelo 3 Diferença 1 20,14 20,04 0,5% 2 22,71 20,90 8,6% 3 26,37 23,15 13,9% Tabela 4.5: Comparação dos resultados experimentais e numéricos. Além disso, as amplitudes modais dos pontos 1 e 2, mostradas nas figura 4.18, podem ser relacionadas, ainda que qualitativamente, ao comportamento descrito nos resultados experimentais (4.1.1): Modo 1: No ponto 2, o ensaio registrou grande amplitude, enquanto que no ponto 1, nenhuma amplitude foi registrada. No modelo, o ponto 2 também apresenta amplitude significativamente maior do que o ponto 1. Modo 2: Tanto no teste experimental, quanto no modelo, os pontos 1 e 2 apresentam amplitudes com valores próximos em módulo. Modo 3: Para esse modo, a relação de amplitudes não foi considerada satisfatória, apesar de ter sido detectada a frequência de 26,37Hz em ambos os pontos medidos. 4.4 Conclusões e Comentários Finais Através dos resultados obtidos experimental e computacionalmente, conclui-se que há uma satisfatória coerência no que diz respeito ao comportamento dinâmico entre a estrutura real e o modelo computacional. Foi obtida, portanto, uma ferramenta confiável à qual o Engenheiro poderá recorrer sempre que necessitar analisar situações variadas de carregamentos atuantes na quadra poliesportiva. Ao longo do desenvolvimento do modelo, de todos os parâmetros considerados tais como características dos materiais e condições de engastamento das vigotas, vigas, pilares e fundação observou-se que o principal determinante no ajuste do comportamento dinâmico deste modelo foi omomentodeinérciadasvigas,semprerespeitandoascaracterísticasdoprojeto. Além disso, segundo o item 23.3 da NBR 6118, o comportamento dinâmico de ginásios esportivos sujeitos a vibrações pode ser considerado satisfatório quando a frequência natural da estrutura for maior que 9,6Hz. Isto coloca a quadra analisada em situação confortável, uma vez que a sua primeira frequência natural é de 20,14Hz. Para trabalhos futuros, são sugeridos estudos do comportamento dinâmico da estrutura considerandose a influência da cobertura metálica e a aplicação de carregamentos harmônicos. 31

42 Apêndice A Projeto Arquitetônico e Estrutural da Quadra As plantas utilizadas como referência neste trabalho encontram-se a seguir: 32

43 33

44 34

45 35

46 Referências Bibliográficas Allen, Michael P. e Tildesley, Dominic J. (1989). Computer simulation of liquids. Oxford university press. Barbosa, F. S. (2006). Apostilia de Análise Experimental em Dinâmica das Estuturas. Universidade Federal de Juiz de Fora. Clough, R. W. e Penzien, J. (1993). Dynamics of Structures. McGraw-Hill. CSI (2013). SAP2000: Structural Analysis Program. Webpage acessada em julho de e J. Remacle, C. G. (2013). Gmsh: A three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. Webpage acessada em julho de IEME (2013). Foto: Vibrodina no Itaquerão. acessado em maio de Jones, C.A.; Reynolds, P. e. P. A. (2011). Vibration serviceability of stadia structures subjected to dynamic crowd loads: A literature review. Journal of Sound and Vibration, 330(8): KYOWA (2013). Stress measurement equipments - Webpage acessada em junho de LYNX (2013). Testing and Measurements Systems - Webpage acessada em junho de Penner, E. e Belo, I. (2002). Avaliação das Propriedades Estáticas e Dinâmicas de Vigas de Concreto Armado. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná CEFET/PR. Shodor, editor (2004). Shodor Educational Foundation. Webpage acessada em maio de Souza, R. M. (2003). O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor. Universidade Federal do Pará. Vale, C. A. (1996). Comparação entre modelos numéricos e experimentais em análise dinãmica de placas. Universidade do Porto. 36