Correção da Unicamp ª fase - Matemática feita pelo Intergraus

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1 MATEMÁTICA 1. O transporte de carga ao porto de Santos é feito por meio de rodovias, ferrovias e dutovias. A tabela abaixo for ne ce al guns da dos re la ti vos ao trans por te ao por to no pri me i ro se mes tre de 007 e no pri me i ro semestre de 008, in di can do cla ra men te o au men to da par ti ci pa ção per cen tu al do trans por te fer ro viá rio nesse período. Com base nos da dos da ta be la, res pon da às ques tões aba i xo. Meio de trans port e Par ti ci pa ção no to tal trans por ta do ao por to Car ga trans por ta da (em mi lhões de to ne la das) Fer ro viá rio 18 % 4 % 6,8 8,8 Ro do viá rio 77 % 9,1 Du to viá rio a) De ter mi ne a car ga to tal (em mi lhões de to ne la das) trans por ta da ao por to no pri me i ro se mes tre de 007. Cal cu le tam bém quan tas to ne la das fo ram trans por ta das por du tos no pri me i ro se mes tre de 007. b) Sa ben do que, no pri me i ro se mes tre de 008, fo ram trans por ta das por ro do vi as,7 mi lhões de to ne la das a me nos do que o va lor re gis tra do pe lo mes mo me io de trans por te no pri me i ro se mes tre de 007, cal cu - le a par ti ci pa ção per cen tu al do trans por te ro do viá rio no pri me i ro se mes tre de 008. a) No pri me i ro se mes tre de 007: car ga to tal = x mi lhões de to ne la das 6,8 18% x = 6,8 x 7,8 0,18 Trans por te por du tos = 7,8 6,8 9,1 = 1,9 b) No pri me i ro se mes tre de 008: car ga to tal = y mi lhões de to ne la das 4% y = 8,8 y 8,8 0,4 Por ro do via: 9,1,7 = 6,4 6,4 Par ti ci pa ção per cen tu al do trans por te ro do viá rio: 100% 8,8 0, = % 7% 88 6,4 0,4 8,8 100% = a) A car ga to tal foi de 7,8 mi lhões t. Fo ram trans por ta das por du tos 1,9 mi lhões t. b) 7%

2 . Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$,00. Já uma lâmpada fluorescente de 4 W, que é capaz de ilu mi nar tão bem quan to a lâm pa da in can des cen te de 100 W, cus ta R$ 1,40. Res pon da às ques tões abaixo, lem bran do que, em uma hora, uma lâm pa da de 100 W con so me uma quan ti da de de ener gia equi - va len te a 100 Wh, ou 0,1 kwh. Em seus cál cu los, con si de re que 1 kwh de ener gia cus ta R$ 0,50. a) Le van do em con ta ape nas o con su mo de ener gia, ou se ja, des pre zan do o cus to de aqui si ção da lâm pa - da, de ter mi ne quan to cus ta man ter uma lâm pa da in can des cen te de 100 W ace sa por 750 ho ras. Fa ça o mes mo cál cu lo pa ra uma lâm pa da flu o res cen te de 4 W. b) Pa ra ilu mi nar to da a sua ca sa, João com prou e ins ta lou ape nas lâm pa das flu o res cen tes de 4 W. Fer - nan do, por sua vez, com prou e ins ta lou so men te lâm pa das in can des cen tes de 100 W pa ra ilu mi nar sua ca sa. Con si de ran do o cus to de com pra de ca da lâm pa da e seu con su mo de ener gia, de ter mi ne em quan tos di as Fer nan do te rá gas to ma is com ilu mi na ção que João. Su po nha que ca da lâm pa da fi ca ace - sa ho ras por dia. Su po nha, tam bém, que as ca sas pos su em o mes mo nú me ro de lâm pa das. a) Cus to (in can des cen te) = 0,1 0, = 7,50 re a is Cus to (flu o res cen te) = 0,04 0, = 9 re a is b) Ccon si de ran do x lâm pa das e d di as: Cus to 1 (João) = 1,40x + 0,04 0,50 d x Cus to (Fer nan do) = x + 0,1 0,50 d x. Pa ra cus to > cus to 1 de ve mos ter: x + 0,1 0,50 dx > 1,40x + 0,04 0,50 dx 0,15 d 0,06 d > 11,40 0,114 d > 11,40 d > 100 a) R$ 7,50 e R$ 9,00 b) A par tir do cen té si mo pri me i ro dia Fer nan do te rá gas to mais.

3 . Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais pró xi mos das bor das da ban de ja fo ram pos tos em for mi nhas azu is, en quan to os bri ga de i ros do interior da ban de ja fo ram pos tos em for mi nhas ver me lhas. n colunas Legenda m brigadeiros por coluna forminhas azuis forminhas vermelhas a) Sa ben do que m = n/4 e que a pes soa gas tou o mes mo nú me ro de for mi nhas ver me lhas e azu is, de ter - mi ne o nú me ro de bri ga de i ros da ban de ja. b) Se a pes soa com pra a mas sa do bri ga de i ro já pron ta, em la tas de 1 li tro, e se ca da bri ga de i ro, an tes de re ce ber o cho co la te gra nu la do que o co bre, tem o for ma to de uma es fe ra de cm de diâ me tro, quantas la tas ela tem que com prar para pro du zir 400 bri ga de i ros? (Dica: lem bre-se de que 1 li tro cor res pon de a 1000 cm.) a) quan ti da de de bri ga de i ros = m n Nas for mi nhas ver me lhas: m n (m )(n ) Co mo m n vem: n 4 8 n 4 (n ) Daí vem: n 8n + = 0 e ob te mos n = 8. Então, m = 6 e m n = 48. b) Vo lu me dos 400 bri ga de i ros: cm 1, cm 1,68 a) Há 48 bri ga de i ros. b) São ne ces sá ri as la tas.

4 4. Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios en - tre vis ta dos, 150 não pre ten dem vo tar. Den tre os en tre vis ta dos que es tão dis pos tos a par ti ci par da eleição, 40 só ci os vo ta ri am ape nas no can di da to A, 70 vo ta ri am ape nas em B, e 100 vo ta ri am ape nas no can di da to C. Além dis so, 190 dis se ram que não vo ta ri am em A, 110 dis se ram que não vo ta ri am em C, e 10 só ci os es - tão na dúvida e po dem vo tar tan to em A como em C, mas não em B. Fi nal men te, a pes qui sa re ve lou que 10 entrevistados vo ta ri am em qual quer can di da to. Com base nes ses da dos, per gun ta-se: a) Qu an tos só ci os en tre vis ta dos es tão em dú vi da en tre vo tar em B ou em C, mas não vo ta ri am em A? Den - tre os só ci os con sul ta dos que pre ten dem par ti ci par da ele i ção, quan tos não vo ta ri am em B? b) Qu an tos só ci os par ti ci pa ram da pes qui sa? Su po nha que a pes qui sa re pre sen te fi el men te as in ten ções de vo to de to dos os só ci os do clu be. Esco lhen do um só cio ao aca so, qual a pro ba bi li da de de que ele vá par ti ci par da ele i ção mas ain da não te nha se de ci di do por um úni co can di da to? (Su ges tão: uti li ze o di a gra ma de Venn for ne ci do aba i xo) Não A = x = 190 x = 0 A 40 y B 70 Não C = y = 110 y = 0 a) (B ou C) e não A = x = 0 Não B = = C x b) To tal = = P(in de ci so) = a) 0 em dú vi da; 150 não vo ta ri am em B. b) 400 só ci os par ti ci pa ram; a pro ba bi li da de é 1 10.

5 5. Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno co bra uma taxa fixa de R$ 0,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela co bra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 00 km, ou seja, o cliente pode percorrer 00 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 00 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Pa ra ca da lo ca do ra, re pre sen te no grá fi co aba i xo a fun ção que des cre ve o cus to diá rio de lo ca ção em ter mos da dis tân cia per cor ri da no dia. b) De ter mi ne pa ra qua is in ter va los ca da lo ca do ra tem o pla no ma is ba ra to. Su pon do que a lo ca do ra Sa tur - no vá man ter inal te ra da a sua taxa fixa, in di que qual deve ser seu novo cus to por km ro da do para que ela, lu cran do o má xi mo pos sí vel, te nha o pla no mais van ta jo so para cli en tes que ro dam qua is quer distâncias. Custo de locação (R$) Mercúrio Saturno a) Cus to Sa tur no: S(x) = 0 + 0,40 x 90,se x 00 Cus to Mer cú rio: M (x) 90 0,60(x 00), se x 00 b) Se x 00: S = M 0 + 0,4x = 90 x = 150 Se x > 00: S = M 0 + 0,4x = 0,6x 0 x = 00 Obser van do o grá fi co: M < S 150 < x < Distância percorrida (km) Pa ra que o Cus to Sa tur no se ja sem pre van ta jo so, bas ta que seu cus to pa ra 00 km não su pe re 90 re a is. Assim, 0 + c c 0,0. O ma i or lu cro se rá com um cus to de R$ 0,0 por km ro da do. a) grá fi co b) Mer cú rio tem pla no ma is ba ra to ape nas para dis tân ci as en tre 150 km e 00 km. O no vo cus to de ve ser R$ 0,0 por km ro da do.

6 6. Um casal convidou seis ami gos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era su ce di da pela pol tro na da mes ma fila, que, por sua vez, era su ce di da pela pol tro na, e assim por di an te. a) Su po nha que as oi to pes so as re ce be ram in gres sos com nu me ra ção con se cu ti va de uma mes ma fi la e que os in gres sos fo ram dis tri bu í dos en tre elas de for ma ale a tó ria. Qu al a pro ba bi li da de de o ca sal ter re ce bi do in gres sos de pol tro nas vi zi nhas? b) Su po nha que a pri me i ra fi la do te a tro te nha 8 ca de i ras, a se gun da fi la te nha ca de i ras a ma is que a pri - me i ra, a ter ce i ra fi la te nha ca de i ras a ma is que a se gun da e as sim su ces si va men te até a úl ti ma fi la. De ter mi ne o nú me ro de ca de i ras da sa la em fun ção de n, o nú me ro de fi las que a sa la con tém. Em se - gui da, con si de ran do que a sa la tem 144 ca de i ras, cal cu le o va lor de n. a) Ca sos pos sí ve is: 8! (é o nú me ro de mo dos de dis tri bu ir os in gres sos) Ca sos fa vo rá ve is: 7! 6! (o ca sal re ce be pol tro nas vi zi nhas) A pro ba bi li da de é: 7! 6! 1 8! 8 4 b) Te mos a pro gres são arit mé ti ca: 8, 10, 1,... Então: an a 1 (n 1) r 8 (n 1) n 6 (a1 a n )n (n 14)n Sn (n 7) n n 7n n 7n 144 n 7n n 0) n = 9 RESPOSTAS: a) 1 4 b) (n + 7n) ca de i ras ; n = 9

7 7. O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou du rante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Cel sius) no in te rior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é T(t) = (T 0 T ext ) 10 t/4 + T ext, onde T 0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T ext é a temperatura externa (que supomos constante du rante toda a viagem). Sabendo que T 0 = 1 C e T ext = 0 C, responda às questões abaixo. a) Cal cu le a tem pe ra tu ra no in te ri or do ôni bus trans cor ri das 4 ho ras des de a que bra do sis te ma de ar con - di ci o na do. Em se gui da, es bo ce aba i xo o grá fi co de T(t). b) Cal cu le o tem po gas to, a par tir do mo men to da que bra do ar con di ci o na do, pa ra que a tem pe ra tu ra su - bis se 4 C. Se ne ces sá rio, use log 10 0,0, log 10 0,48 e log , ,1 T ( C) t (h) t a) T(t) = (1 0) t T(t) = T(4) = = 9,1 C b) T(t) = = 5 C t = 5 t 10 4 = 5 9 t 4 log 5 log 5 log 9 t = 4 (0,70 0,48) = 1,04 h a) 9,1 C; grá fi co b) 1,04 h

8 8. Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em duas papelarias, Pe dro des co briu que a pa pe la ria A co bra R$,00 pelo con jun to de bor ra chas, lá pis e ca ne tas, enquanto a pa pe la ria B co bra R$ 5,00 pelo mes mo ma te ri al. Em seu le van ta men to, Pe dro des co briu que a papelaria A co bra R$ 1,00 pela bor ra cha, R$,00 pelo lá pis e R$,00 pela ca ne ta e que a pa pe la ria B co bra R$ 1,00 pela bor ra cha, R$ 1,00 pelo lá pis e R$ 4,00 pela ca ne ta. a) For ne ça o nú me ro de lá pis e de bor ra chas que Pe dro pre ci sa com prar em fun ção do nú me ro de ca ne tas que ele pre ten de ad qui rir. b) Le van do em con ta que x 1, y 1 e z 1, e que es sas três va riá ve is são in te i ras, de ter mi ne to das as pos sí ve is quan ti da des de lá pis, bor ra chas e ca ne tas que Pe dro de se ja comprar. a) x y z x y z ~ x y 4z 5 y z y = z x = (z ) z x = 7 5z b) z 1 z 7 5z 1 5z 6 z 5, Co mo z é in te i ro, só po demos ter z = ou z = 4 ou z = 5. a) São z ca ne tas, (z ) lá pis e (7 5z) bor ra chas. b) As pos sí ve is quan ti da des de bor ra chas, lá pis e ca ne tas, nes ta or dem, são (1, 1, ), (7,, 4) e (,, 5).

9 9. A figura abaixo, à esquerda, mostra um sapo de ori gami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a c e c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As par tes destacadas correspondem à parte su pe rior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir. a) Qu a is de vem ser as di men sões, em cen tí me tros, do re tân gu lo de pa pel usa do pa ra con fec ci o nar um sa - po cu ja par te su pe ri or tem área igual a 1cm? b) Qu al a ra zão en tre os com pri men tos das ares tas a e b da pa ta di re i ta do sa po? c c/4 c/4 c/ a) c c 1 c c c c/4 c/4 c = 64 c = 8 (c > 0). As di men sões do re tân gu lo são 8 cm por 16 cm. b) b r a r + (b + r) = r + (r + r) = r ( + ) a = r c parte superior c/4 c/4 b + r pata a r b r r a b = a) 8 cm por 16 cm b)

10 10. Uma caixa d água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a fi gu ra aba i xo, na qual são apre sen ta das as me di das re fe ren tes ao in te ri or da caixa. m topo da caixa d água nível d água m base da caixa d água 1 m a) Qu al o vo lu me to tal da ca i xa d á gua? b) Se a ca i xa con tém (1/6) m de água, a que al tu ra de sua ba se es tá o ní vel d á gua? m a) 4 1 a a 1 topo da caixa d água V ca i xa = V v V ca i xa = V ca i xa = 6 m 1 b) Lem bran do que V H v te mos: h 1 1 x 1 Vágua v V 16 a) 6 m 1 b) m x 1 7 x 1 x m V nível d água base da caixa d água a v x 1 m 1 m

11 11. A circunferência de centro em (, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida pela equação x + y = 4, e pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 0 com o eixo-x, conforme a fi - gu ra aba i xo. C y P 0 x a) De ter mi ne as co or de na das do pon to P. b) Cal cu le a área da re gião som bre a da. (x ) y 4 (I) a) As co or de na das de P são ta is que: y x (II) C y 0 60 P x (x > 0) Subs ti tu in do (II) em (I), ob te mos 4x x 1 0 x. Por tan to, y. b) S 1 = área da in ter sec ção = S S som bre a da = S1 4 a) P(, ) b) 4

12 1. Seja f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 um polinômio de grau n tal que a n 0 a j IR para qualquer j en tre en tre 0 e n. Seja g(x) = na n x n 1 + (n 1) a n 1 x n + + a x + a 1 o polinômio de grau n 1 em que os coeficientes a 1,a,... a n são os mesmos empregados na definição de f(x). h f(x h) f(x) a) Su pon do que n =, mos tre que gx, para todo x, h IR, h 0. h b) Su pon do que n = e que a = 1, de ter mi ne a ex pres são do po li nô mio f(x), sa ben do que f(1) = g(1) = f( 1) = 0. a) f(x) = a x + a 1 x + a 0 f(x + h) = a (x + h) + a 1 (x + h) + a 0 = a (x + xh + h ) + a 1 x + a 1 h + a 0 Lo go, f(x + h) f(x) = a xh + a h + a 1 h = h(a x + a h + a 1 ) g(x) = a x + a 1 h h g x ax + a 1 = a x + a h + a 1. Então: f(x h) f(x) h gx, pa ra to do x, h IR, h 0. h b) Do enun ci a do, f(x) = x + a x + a 1 x + a 0 e g(x) = x + a x + a 1. Te mos en tão: f(1) 0 a a1 a 0 1 f( 1) 0 a a1 a0 1 a 1; a 1 1; a0 1 g(1) 0 a a1 a) De mons tra ção aci ma. b) f(x) = x x x + 1

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