Física estatística MEFT, IST. Nada existe excepto átomos e espaço vazio; tudo o resto é opinião. Demócrito, a.c. (?)

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1 Física estatística Introdução histórica MEFT, IST Nada existe excepto átomos e espaço vazio; tudo o resto é opinião Demócrito, a.c. (?)

2 Mecânica Estatística Feynman: o que escrever se só pudermos deixar uma frase sobre o nosso conhecimento às gerações futuras nas vésperas de um cataclismo? Mecânica estatística: explicar as propriedades macroscópicas (bulk) da matéria a partir do comportamento microscópico dos seus constituintes. Domínio de aplicação: ilimitado.. Permite estudar o equiĺıbrio e o não-equiĺıbrio (como é que um sistema num estado de não-equiĺıbrio evolui para o equiĺıbrio ao longo de t)

3 Mecânica Estatística Feynman: o que escrever se só pudermos deixar uma frase sobre o nosso conhecimento às gerações futuras nas vésperas de um cataclismo? Mecânica estatística: explicar as propriedades macroscópicas (bulk) da matéria a partir do comportamento microscópico dos seus constituintes. Domínio de aplicação: ilimitado.. Permite estudar o equiĺıbrio e o não-equiĺıbrio (como é que um sistema num estado de não-equiĺıbrio evolui para o equiĺıbrio ao longo de t)

4 Teoria cinética: pioneiros Demócrito ( 400 a.c.) Bernoulli (1738), Herapath (1821) e Joule (1851): fundamentos da teoria cinética dos gases (associação da pressão à influência das colisões das moléculas com as paredes do recipiente) Bernoulli e Herapath: lei de Boyle (p 1/V a T = cte). Bernoulli: tenta a correcção de 1 a ordem para o volume finito das moléculas b (V V b) [mas b é na verdade 4 o volume das moléculas, eq. de van der Waals].

5 Teoria cinética: pioneiros Demócrito ( 400 a.c.) Bernoulli (1738), Herapath (1821) e Joule (1851): fundamentos da teoria cinética dos gases (associação da pressão à influência das colisões das moléculas com as paredes do recipiente) Bernoulli e Herapath: lei de Boyle (p 1/V a T = cte). Bernoulli: tenta a correcção de 1 a ordem para o volume finito das moléculas b (V V b) [mas b é na verdade 4 o volume das moléculas, eq. de van der Waals].

6 Pioneiros (cont.) Joule: p v 2, v igual para todas as moléculas. Kröning (1856): Assume que, em cada t, 1/6 das moléculas viaja em cada uma das 6 direcções independentes (+x, x, +y, y, +z, z) Mostra que p = 1/3nmv 2 e deduz que a energia cinética é directamente proporcional à temperatura absoluta.

7 Pioneiros (cont.) A trajectória de cada molécula deve ser tão irregular que desafia todas as tentativas de cálculo. No entanto, de acordo com as leis das probabilidades, pode assumir-se um movimento totalmente regular em vez de um totalmente irregular! [Isto não é verdade, funciona para a pressão com alguma sorte, mas não no cálculo de coeficientes de difusão ou condutividade térmica.. ]

8 Clausius Obtém p = 1/3nmv 2 com hipóteses menos drásticas, v passa a ser a velocidade quadrática média das moléculas (1857). Introduz o conceito de livre percurso médio, que permite o estudo dos fenómenos de transporte (1859). Introduz o stosszahlansatz (hipótese sobre o número de colisões entre as moléculas) Considerado por Maxwell e Gibbs como o fundador principal da teoria cinética dos gases e pai da mecânica estatística, respectivamente.

9 Maxwell Interessa-se devido ao trabalho de Clausius. Deriva a famosa lei de distribuição de velocidades das moléculas (maxwelliana) Deduz a expressão a partir de princípios fundamentais das probabilidades (1860). Encontra uma dedução alternativa a partir da ideia que a distrbuição de equiĺıbrio de velocidades das moléculas, uma vez adquirida, deve manter-se invariante por colisões moleculares (1867). Equação de transporte de Maxwell: menos fundamental que a equação de Boltzmann, mas permite obter os mesmos resultados.

10 Boltzmann Generaliza a distribuição de Maxwell para o caso de moléculas poliatómicas e para o efeito de forças exteriores ( ). Factor de Boltzmann, exp ( E kt ), E energia total do sistema. Obtém o teorema da equipartição da energia. Mostra que a nova distribuição (Maxwell-Boltzmann) também é estacionária relativamente a colisões moleculares.

11 Boltzmann (cont.) Teorema H (1872): tendência dos sistemas de evoluirem para o equiĺıbrio e aí permanecerem (comportamento irreversível dos sistemas físicos!) Ligação profunda entre as abordagens microscópica (mecânica estatística) e macroscópica/fenomenológica (termodinâmica) Cálculo da entropia apenas a partir de considerações microscópicas Mostra que a distribuição Maxwell-Boltzmann é a única a permanecer estacionária relativamente a colisões moleculares. Equação de transporte de Boltzmann (1876)

12 Boltzmann (cont.) Ataques cerrados ao trabalho de Boltzmann Loschmidt ( ): como conciliar o teorema H com o carácter reversível das equações do movimento das moléculas. Zermelo (1896): como conciliar o teorema H com o comportamento quase-periódico dos sistemas fechados (teorema da recorrência de Poincaré). Outras críticas Mach: crítica às próprias bases da teoria cinética (descrição molecular) [movimento Browniano]. Kelvin: nuvens sobre as teorias dinâmicas da luz [æter] e do calor [equipartição da energia].

13 Boltzmann (cont.) Ataques cerrados ao trabalho de Boltzmann Loschmidt ( ): como conciliar o teorema H com o carácter reversível das equações do movimento das moléculas. Zermelo (1896): como conciliar o teorema H com o comportamento quase-periódico dos sistemas fechados (teorema da recorrência de Poincaré). Outras críticas Mach: crítica às próprias bases da teoria cinética (descrição molecular) [movimento Browniano]. Kelvin: nuvens sobre as teorias dinâmicas da luz [æter] e do calor [equipartição da energia].

14 Boltzmann (cont.) Estou convencido que os ataques à teoria cinética se baseiam em mal-entendidos. Em minha opinião seria um rude golpe para a ciência se a oposição actual levasse a que a teoria cinética caísse no esquecimento, que foi o destino da teoria ondulatória da luz através da autoridade de Newton. Estou consciente da fraqueza de um indivíduo contra as correntes de opinião prevalecentes. De modo a garantir que não seja necessário redescobrir muito quando as pessoas voltarem a estudar a teoria cinética, irei apresentar as partes mais mal compreendidas do assunto de maneira tão clara quanto consigo [Introdução ao segundo volume das Vorlesungen über gastheorie (1898)] Suicida-se em

15 Boltzmann (cont.) Estou convencido que os ataques à teoria cinética se baseiam em mal-entendidos. Em minha opinião seria um rude golpe para a ciência se a oposição actual levasse a que a teoria cinética caísse no esquecimento, que foi o destino da teoria ondulatória da luz através da autoridade de Newton. Estou consciente da fraqueza de um indivíduo contra as correntes de opinião prevalecentes. De modo a garantir que não seja necessário redescobrir muito quando as pessoas voltarem a estudar a teoria cinética, irei apresentar as partes mais mal compreendidas do assunto de maneira tão clara quanto consigo [Introdução ao segundo volume das Vorlesungen über gastheorie (1898)] Suicida-se em

16 Mecânica estatística Baseia-se na noção de conjunto estatístico (ensemble) O estado dinâmico de um sistema, caracterizado por coordenadas generalizadas q i e momentos generalizados p i é representado por um ponto de fase G(q i, p i ) num espaço de fase de dimensão apropriada. A evolução no tempo do sistema dinâmico é representada pela trajectória do ponto G no espaço de fase. A geometria da trajectória é governada pelas equações do movimento do sistema e pela natureza das restrições físicas nele impostas.

17 Mecânica estatística Consideramos o sistema dada e um número infinitamente grande de cópias mentais do mesmo, i.e., um ensemble de sistemas idênticos e sujeitos às mesmas restrições. No espaço de fase, temos uma nuvem ou enxame de pontos G, que se movem ao longo das suas respectivas trajectórias. Formulação expĺıcita: Maxwell 1879; uso da ideia: Boltzmann Quantidade mais importante: função densidade de pontos G no espaço de fase, ρ(p, q; t) Função estacionária ( ρ t = 0) corresponde a um ensemble estacionário e a um sistema em equiĺıbrio.

18 Mecânica estatística Consideramos o sistema dada e um número infinitamente grande de cópias mentais do mesmo, i.e., um ensemble de sistemas idênticos e sujeitos às mesmas restrições. No espaço de fase, temos uma nuvem ou enxame de pontos G, que se movem ao longo das suas respectivas trajectórias. Formulação expĺıcita: Maxwell 1879; uso da ideia: Boltzmann Quantidade mais importante: função densidade de pontos G no espaço de fase, ρ(p, q; t) Função estacionária ( ρ t = 0) corresponde a um ensemble estacionário e a um sistema em equiĺıbrio.

19 Mecânica estatística A média de uma grandeza f no conjunto estatístico, f, tomada em qualquer t é igual à média no tempo de um qualquer elemento do conjunto estatístico, f. f é o valor que se espera medir, f o que se pode prever teoricamente! Temos as bases para uma dedução alternativa da termodinâmica a partir da descrição microscópica! Gibbs (1902): método de cálculo do conjunto de quantidades termodinâmicas de um dado sistema a partir das propriedades mecânicas dos elementos microscópicos que o formam.

20 Mecânica estatística A média de uma grandeza f no conjunto estatístico, f, tomada em qualquer t é igual à média no tempo de um qualquer elemento do conjunto estatístico, f. f é o valor que se espera medir, f o que se pode prever teoricamente! Temos as bases para uma dedução alternativa da termodinâmica a partir da descrição microscópica! Gibbs (1902): método de cálculo do conjunto de quantidades termodinâmicas de um dado sistema a partir das propriedades mecânicas dos elementos microscópicos que o formam.

21 A revolução dos quanta Planck 1900 Mecânica estatística não escapa às repercussões da revolução. Bose (1924): deduz a expressão da radiação do corpo negro como um gás de fotões. Ideia de base: quantos estados têm um determinado número de fotões (por oposição a distribuir cada fotão pelos vários estados). Einstein traduz o artigo de Bose e percebe a importância do assunto, propondo-se desenvolver a teoria quântica de um gás ideal.

22 A revolução dos quanta Planck 1900 Mecânica estatística não escapa às repercussões da revolução. Bose (1924): deduz a expressão da radiação do corpo negro como um gás de fotões. Ideia de base: quantos estados têm um determinado número de fotões (por oposição a distribuir cada fotão pelos vários estados). Einstein traduz o artigo de Bose e percebe a importância do assunto, propondo-se desenvolver a teoria quântica de um gás ideal.

23 Estatística de Bose-Einstein Quantos fotões estão nos vários estados de energia vs que fotão está em que estado tratar os fotões como indistinguíveis Einstein sugere que isso deve ser verdade também para as partículas materiais. 1925: Estatística de Bose-Einstein (vs Maxwell-Boltzmann); condensação de Bose-Einstein.

24 Estatística de Bose-Einstein Quantos fotões estão nos vários estados de energia vs que fotão está em que estado tratar os fotões como indistinguíveis Einstein sugere que isso deve ser verdade também para as partículas materiais. 1925: Estatística de Bose-Einstein (vs Maxwell-Boltzmann); condensação de Bose-Einstein.

25 Estatística de Fermi-Dirac Princípio de exclusão de Pauli (1925) Fermi (1926): impondo o limite de ocupação de cada nível quântico a uma partícula obtém-se uma estatística diferente, Fermi-Dirac. Dirac (1926): mostra que as funções de onda de sistemas de partículas idênticas obedecendo às estatísticas B-E (F-D) devem ser simétricas (anti-simétricas) na troca de duas partículas. Sommerfeld (1928): teoria dos electrões nos metais.

26 Mecânica quântica Física estatística é revolucionada pelo conceito de partículas indistinguíveis A própria natureza da mecânica quântica é probabiĺıstica fazer médias duas vezes. Função densidade matriz densidade (Landau 1927, von Neumann 1927) Ligação entre estatísticas e spin (Belinfante 1939, Pauli 1940)

27 Mecânica quântica Física estatística é revolucionada pelo conceito de partículas indistinguíveis A própria natureza da mecânica quântica é probabiĺıstica fazer médias duas vezes. Função densidade matriz densidade (Landau 1927, von Neumann 1927) Ligação entre estatísticas e spin (Belinfante 1939, Pauli 1940)