DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções Francisco Virtuoso 011/1
INDÍCE 1. Introdução... 1. Critério de cedência... 3 3. Critério de plasticidade... 9 3.1. Resistência a esforços isolados... 9 3.. Combinações de esforços. Diagramas de interacção... 13 3..1 Flexão composta... 13 3.. Flexão composta desviada... 3 3..3 Caso geral da interacção entre momento flector, esforço axial e esforço transverso... 8 3..4 Características dos diagramas de interacção... 30 4. Verificação da segurança de secções de acordo com o EC3... 31 4.1. Introdução... 31 4.. Esforços resistentes em secções das classes 1 e.... 35 4..1 Esforços isolados.... 35 4.. Interacção no caso da flexão composta e flexão composta desviada.... 35 4..3 Interacção do esforço transverso com o esforço axial e o momento flector.... 36 5. Referências... 39 Estruturas Metálicas Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções i
1. INTRODUÇÃO A verificação da segurança de estruturas é actualmente efectuada com base na filosofia dos estados limites últimos. No caso de secções a verificação da segurança pode ser traduzida de uma forma geral pela seguinte expressão E d R d (1.1) em que E d representa o valor de cálculo dos efeitos das acções e R d o valor de cálculo da resistência correspondente. Estando a analisar a resistência de secções as variáveis E d e R d podem representar os efeitos e as resistência associados a esforços isolados, como por exemplo um esforço axial, um momento flector ou um momento torsor, ou, de uma forma mais genérica, representar uma combinação de esforços, correspondendo neste caso à aplicação de curvas de interacção. Os valores de cálculo dos esforços actuantes são obtidos para os valores de cálculo das acções, p d, os quais resultam de se majorarem os valores característicos das acções, p k, pelos coeficientes parciais de segurança das acções 1, γ f, ou seja E d (p d ) = E d (γ f p k ) (1.) No caso de os esforços dependerem linearmente das acções, como acontece quando se admite que a estrutura tem um comportamento física e geometricamente linear, é numericamente indiferente majorar as acções ou os seus efeitos, tendo-se E d (p d ) = γ f E k (p k ) (1.3) em que E k representa o valor característico dos efeitos das acções, os quais são calculados para os valores característicos das acções. A utilização desta equivalência numérica, frequentemente aplicada na prática, não deve levar a esquecer que formalmente os coeficientes parciais de segurança γ f têm de ser aplicados às acções (equação 1.) e não aos seus efeitos (equação 1.3). Os valores de cálculo das resistências, R d, são calculados com base nos respectivos valores característicos, R k, minorados pelo coeficiente parcial de segurança das propriedades dos materiais, γ M, tendo-se R d = R k γ M (1.4) 1 A apresentação mais detalhada da filosofia dos estados limites últimos assim como a sua aplicação através da utilização de coeficientes parciais de segurança faz parte do programa da disciplina de Dimensionamento de Estruturas. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1
Os valores dos coeficientes parciais de segurança, γ f para as acções e γ M para as propriedades dos materiais, são em geral fixados nos regulamentos ou códigos de verificação da segurança de estruturas e dependem de diversos factores como por exemplo do tipo de acções, do tipo de verificação ou do modo de rotura associado. Por uma questão de simplicidade, e a menos de indicação explícita diferente, considera-se neste texto γ f =1,5 e γ M =1,0. Refira-se que o valor γ f =1,5 é um valor considerado em geral para as acções gravíticas nas verificações dos estados limites últimos de resistência e que o valor γ M =1,0 é o valor frequentemente utilizado para as tensões de cedência dos aços de estruturas metálicas, aplicável nas verificações dos estados limites últimos de resistência de secções. Para a verificação da segurança das secções admite-se, de um forma geral, como válida a hipótese da conservação da secções planas, hipótese de Bernoulli, ou seja, que as secções planas se mantém planas após a deformação, ou, no contexto da verificação da segurança, até que se atinja a rotura. A capacidade resistente de uma secção depende da relação σ-ε do material que a constitui. No caso de secções de aço admite-se uma relação elasto-plástica perfeita, representada na figura 1.1, caracterizada por um módulo de elasticidade E=10 GPa e por um valor característico da tensão de cedência, f y, que depende da classe de resistência do aço. Figura 1.1 Relação tensões deformações elasto-plástica perfeita Refira-se finalmente que se apresentam neste texto os métodos de verificação da segurança de secções adoptando critérios de cedência ou de plasticidade. Nos critérios de cedência admite-se que a capacidade resistente das secções é atingida quando se inicia a cedência, ou seja, quando a tensão máxima é igual à tensão de cedência. No caso corrente a verificação do início da cedência obriga à utilização de um critério de cedência, como por exemplo o critério de Mises-Henky, em que se utiliza uma tensão de comparação representativa do estado de tensão em cada ponto. Nos critérios de Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções
plasticidade admite-se que a rotura ocorre apenas quando a secção está totalmente plastificada.. CRITÉRIO DE CEDÊNCIA Quando se admite um critério de cedência considera-se que a capacidade resistente da secção se atinge quando o valor máximo da tensão na secção é igual à tensão de cedência. Considere-se uma secção solicitada apenas por um esforço axial e por momentos flectores aplicados segundo os eixos principais de inércia. A tensão normal numa fibra genérica de coordenadas (y; z) é, conforme se representa na figura.1, dada por σ = N A + M yz Ι y - M zy Ι z (.1) Figura.1 Tensões normais numa secção A cedência ocorre quando a tensão máxima for igual à tensão de cedência, ou seja, admitindo os esforços com sinais positivos, a secção verifica a segurança desde que σ max = N A + M yz max Ι y + M zy max Ι z f y (.) A equação. pode ser escrita em função dos valores dos esforços de cedência, o esforço axial e os momentos flectores que actuando isoladamente provocam a cedência da secção, tendo-se N N pl + M y M y.c + M z M z.c 1 (.3) Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 3
em que N pl representa o esforço axial plástico e M y.c e M z.c os momentos de cedência em torno dos eixos y e z, respectivamente, os quais são dados por N pl = A f y (.4) M y.c = Ι y z max f y =W y.el f y (.5) M z.c = Ι z y max f y =W z.el f y (.6) representando A a área da secção transversal da secção e W y.el e W z.el os módulos elásticos de flexão em torno dos eixos y e z, respectivamente. No caso particular da secção ser solicitada em flexão composta com M z =0 a equação.3 simplifica-se, podendo ser escrita da seguinte forma N N pl + M y M y.c 1 (.7) A equação.7 corresponde ao diagrama de interacção representado na figura.a. Figura. Diagrama de interacção em flexão composta e em flexão desviada de acordo com o critério de cedência No caso em que a secção é solicitada em flexão desviada com um esforço axial nulo a equação.3 reduz-se a M y M y.c + M z M z.c 1 (.8) a que corresponde o diagrama de interacção representado na figura.b. No caso geral da secção solicitada em flexão composta desviada o diagrama de interacção correspondente à cedência plástica da secção é definido pela equação.3, estando representado na figura.3. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 4
Saliente-se que os diagramas representados nas figuras.a e b, correspondentes às equações.7 e.8, representam as intersecções do diagrama da figura.3 com os planos definidos pelos eixos (M y /M y.c ;N/N pl ) e (M y /M y.c ; M z /M z.c ), respectivamente. Figura.3 Diagrama de interacção em flexão composta desviada de acordo com o critério de cedência Exemplo.1: Adoptando um critério de cedência pretende verificar-se a segurança de um perfil HEA00 S355 submetido a N = 800 kn e M y = 70 knm. HEA00 S355 - A=5380 mm ; W y.el=389x10 3 mm 3 ; W z.el=134x10 3 mm 3 ; f y=355 N/mm Tendo em consideração a equação. tem-se que σ max = 800x103 5380 + 70x106 389x10 3 = 148,7 + 179,9 = 38,6 355 N/mm Ou, de forma equivalente, usando a equação.7 N pl = 5380 x 355 x 10-3 = 1909,9 kn; M y.c = 389x10 3 x 355 x 10-6 = 138,1 knm 800 1909,9 + 70 = 0,419 + 0,507 = 0,96 1 138,1 Sugestão: verifique que adoptando o critério de cedência, e para um esforço axial N=800 kn, o momento máximo que se pode aplicar é de 80, knm. Exemplo.: Adoptando um critério de cedência pretende verificar-se a segurança de um perfil HEA00 S355 submetido a N = 500 kn; M y = 40 knm e M z = 15 knm. Tendo em consideração a equação. tem-se que σ max = 500x103 5380 + 40x106 389x10 3 + 15x106 134x10 3 = 9,9 + 10,8 + 111,9 = 307,6 355 N/mm Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 5
Ou, de forma equivalente, usando a equação.3 e os valores calculados no exemplo.1 M z.c = 134x10 3 x 355 x 10-6 = 47,6 knm 500 1909,9 + 40 138,1 + 15 = 0,61 + 0,90 + 0,315 = 0,866 1 47,6 Sugestão: verifique que adoptando o critério de cedência, e para um esforço axial N = 500 kn e M y = 40 knm, o momento máximo M z que se pode aplicar é de 1,4 knm. Nos casos correntes a secção é solicitada simultaneamente por esforços que dão origem a tensões normais, o esforço axial e os momentos flectores, e esforços que dão origem a tensões tangenciais, o momento torsor e os esforços transversos. Nestes casos a determinação do início da cedência efectua-se através da aplicação de critérios de cedência baseados no cálculo de uma tensão equivalente, função do estado de tensão, que se designa por tensão de comparação, σ comp. De entre os critérios de cedência o mais utilizado é o critério de Mises-Hencky de acordo com o qual a tensão de comparação é dada por σ comp = σ 1 + σ + σ 3 - σ 1 σ - σ σ 3 - σ 3 σ 1 (.9a) em σ 1, σ e σ 3 representam as tensões normais num ponto referidas aos eixos principais de tensão. De acordo com o critério de Mises-Hencky para um estado triaxial de tensão o início da cedência ocorre quando a tensão de comparação é igual à tensão de cedência, ou seja, quando σ comp = = σ 1 + σ + σ 3 - σ 1 σ - σ σ 3 - σ 3 σ 1 = f y (.9b) No caso particular de uma peça linear em que o estado de tensão possa ser reduzido a um estado plano de tensão e em que tensão normal segundo o eixo perpendicular ao eixo da peça é nula, a equação.9b pode ser reescrita na forma σ comp = σ x + 3τ = f y (.10) em que σ x e τ representam a tensão normal e tangencial numa faceta perpendicular ao eixo da peça, respectivamente. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 6
Exemplo.3: Adoptando um critério de cedência pretende verificar-se a segurança de um perfil HEA00 S355 submetido a N = 600 kn, M y = 45 knm e V z = 180 kn. A área e os módulos elásticos de flexão de um perfil HEA00 foram já indicados nos exemplos.1 e.. Na figura.4 indicam-se as dimensões da secção transversal de um HEA00 representando-se os diagramas de tensões normais e tangenciais devidos aos esforços aplicados, sendo os valores necessários à definição dos diagramas de tensões os seguintes: Figura.4 Perfil HEA00. Diagramas de tensões normais e tangenciais Tensão máxima devida ao esforço axial - σ N = N A = 600x103 5380 = 111,5 N/mm Tensões máxima devida ao momento flector - σ M = My = 45x106 3 = 115,7 N/mm W y.el 389 x10 Tensões devidas ao esforço transverso - τ = Vz Sy Ι yt l Ponto 1 no banzo junto à ligação à alma - τ 1 = 180x103 x( 100x10x90) 36,9 x10 6 x10 = 43,9 N/mm Ponto na alma a meia altura da secção - τ = 180x103 x( 00x10x90+90 x6,5/) 36,9 x10 6 x6,5 Ponto 3 na alma junto à ligação ao banzo - τ 3 = x43,9x10 6,5 = 135,1 N/mm = 154,8 N/mm A verificação da segurança efectua-se determinando o valor da tensão de comparação e comparando-a com a tensão de cedência, tendo-se no ponto 3, que é o ponto mais desfavorável, σ comp = ( 111,5 + 115,7) + 3x135,1 = 36, < 355 N/mm Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 7
A equação.10 pode ser reescrita em função de termos adimensionais, sendo a condição para que a tensão de comparação não ultrapasse o limite de cedência dada por σ x f y + 3 τ f y 1 (.11) A equação.11 permite resolver o problema genérico da verificação da segurança de uma secção. Note-se no entanto que, devido à relação não linear entre σ x e τ, não é fácil a partir da equação.11 obter diagramas de interacção entre esforços. Os diagramas de interacção entre o esforço axial N e os momentos flectores M y e M z apresentados nas figuras. e.3 podem ser utilizados no caso geral, embora de forma aproximada, mas conservativa, se for adoptada a seguinte metodologia: 1 - Determina-se o valor máximo da tensão tangencial na secção τ max. - Com base na equação.11 calcula-se um valor fictício da tensão de cedência f' y, dado por τ max f y f' y = 1-3 f y (.1) 3 - Adoptam-se os diagramas de interacção apresentados nas figuras. e.3, mas considerando os valores do esforço axial plástico N pl e dos momentos de cedência M y.c e M z.c calculados com base na tensão de cedência fictícia f' y. Realce-se que esta metodologia é simples de aplicar e é conservativa, uma vez que se admite que os valores máximos da tensão normal e da tensão tangencial ocorrem no mesmo ponto, situação que raramente se verifica. Exemplo.4: Apresenta-se neste exemplo a verificação da segurança apresentada no exemplo.3, mas considerando agora a metodologia apresentada recorrendo à tensão de cedência fictícia f' y. τ max = τ 3 = 154,8 N/mm f' y = 1-3 ( 154,8 355 ) 355 = 3,7 N/mm Verificação da segurança - σ max = 111,5 + 115,7 = 7, 3,7 N/mm = f' y Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 8
3. CRITÉRIO DE PLASTICIDADE 3.1. Resistência a esforços isolados Nos critérios de plasticidade considera-se que a capacidade resistente da secção se atinge apenas quando toda a secção está plastificada, pelo que os esforços resistentes são no mínimo iguais ou, no caso mais geral, superiores aos esforços obtidos quando se adopta um critério de cedência. Como o critério de plasticidade corresponde a considerar a secção totalmente plastificada a capacidade resistente das secções para os esforços actuando isoladamente é igual ao valor do respectivo esforço plástico. Tem-se assim para o esforço axial e para os momentos flectores N pl = A f y (3.1) M y,pl = W y,pl f y (3.) M z,pl = W z,pl f y (3.3) em que W y,pl e W z,pl representam os módulos de flexão plástica relativamente aos eixos y e z, respectivamente. Relativamente ao esforço transverso é também possível definir um valor do esforço transverso plástico o qual corresponde a admitir-se uma distribuição de tensões tangenciais τ=f y / 3 uniforme na secção e com o sentido do esforço transverso aplicado. Na figura 3.1 representam-se os diagramas com as distribuições de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção rectangular sujeita ao esforço transverso plástico na direcção z. No caso da distribuição elástica a tensão tangencial máxima é dada por τ max = V zs y.max Ι y b = V z(bh /8) (bh 3 /1)b = V z(bh /8) (bh 3 /1)b = 1,5V bh = 1,5V z A (3.4) Tendo em consideração que na distribuição plástica a tensão tangencial é uniforme, e dada por τ=f y / 3, o esforço transverso plástico é dado por V z,pl = A f y / 3. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 9
Figura 3.1 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção rectangular. Ao considerar-se uma distribuição plástica das tensões tangenciais nem sempre a área total da secção contribuí para a resistência ao esforço transverso. Na figura 3. representa-se uma secção em Ι indicando-se as distribuições de tensões tangenciais e elástica e plástica para um esforço transverso segundo o eixo z. Figura 3. - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção Ι. Esforço transverso segundo o eixo z. Como se ilustra nos diagramas apresentados na figura 3., tratando-se de uma secção de parede fina a direcção das tensões tangenciais coincide com a direcção da linha média da secção. Note-se que a resultante das tensões na alma tem de ser estaticamente equivalente ao esforço transverso aplicado. A principal diferença entre os dois diagramas apresentados é que a distribuição elástica depende das características de toda a secção, incluindo os banzos, enquanto que o valor do esforço transverso plástico só depende da área da alma. Tem-se neste caso Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 10
V z,pl = A v f y 3 com A v = A w (3.5) em que A w representa a área da alma. A área A v representa a área resistente ao corte, designação que, embora indevidamente, é frequentemente abreviada para área de corte ( shear area na designação inglesa). Saliente-se que a área resistente ao corte depende apenas da parte da secção que contribui para a resistência ao corte, não tendo o mesmo significado nem o mesmo valor da área de corte, usualmente representada por A, que se considera para a determinação da contribuição das deformações por corte no cálculo das deformações de peças lineares. Na figura 3.3 representa-se uma secção Ι solicitada por um esforço transverso na direcção do eixo y, indicando-se as distribuições elástica e plástica de tensões. Figura 3.3 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção Ι. Esforço transverso segundo o eixo y. As distribuições de tensões tangenciais apresentadas na figura 3.3 são idênticas às da secção rectangular, apresentadas na figura 3.1, sendo apenas necessário ter em consideração que a resistência ao esforço transverso é assegurada pelos dois banzos. Para o esforço transverso plástico tem-se neste caso V y,pl = A v f y 3 com A v = A banzos = A A w (3.6) em que A banzos representa a área dos banzos. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 11
O mesmo tipo de abordagem pode ser utilizado de forma semelhante para outros tipos de secções. A título de exemplo representam-se na figura 3.4 as distribuições de tensões elástica e plástica para os casos das secções tubulares rectangulares e circulares. No caso da secção tubular rectangular a área resistente ao corte é, à semelhança da secção I, igual às áreas das almas. No caso da secção tubular circular é necessário ter em consideração a variação da direcção da linha média da secção, obtendo-se V pl = A v f y 3 com A v = A π (3.7) deixando-se a cargo do leitor verificar o valor de A v indicado. A resistência plástica à torção, embora possa ser determinada com base na mesma abordagem adoptada para o esforço transverso, não é tratada no presente texto. Figura 3.4 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica em secções tubulares rectangulares e circulares Exemplo 3.1: Adoptando um critério de plasticidade pretende calcular-se a resistência ao esforço axial, aos momentos flectores e aos esforços transversos actuando isoladamente num perfil HEA00 S355. HEA00 S355 A = 5380 mm ; W y,pl = 430x10 3 mm 3 ; W y,el = 04x10 3 mm 3 ; f y = 355 N/mm Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1
O esforço axial e os momentos plásticos são calculados de acordo com as equações 3.1 a 3.3, tendo-se N pl = A f y = 5380x355x10-3 = 1909,9 kn M y,pl = W y,pl f y = 430x10 3 x355x10-6 = 15,7 knm M z,pl = W z,pl f y = 04x10 3 x355x10-6 = 7,4 knm Os esforços transversos plásticos calculam-se de acordo com as equações 3.5 e 3.6, tendo-se A z,v = A w = A - bt f = 580 - x00x10 =1380 mm V z.pl = 1380 x 355 3 x 10-3 = 8,8 kn A y,v = A banzos = x00x10 = 4000 mm V y.pl = 4000 x 355 3 x 10-3 = 819,8 kn 3.. Combinações de esforços. Diagramas de interacção 3..1 Flexão composta Na prática raramente uma secção é solicitada por um dos esforços actuando isoladamente pelo que é necessário determinar a sua capacidade resistente quando solicitada por combinações de dois ou mais esforços. Nestes casos a capacidade resistente tem de ser determinada tendo em consideração a interacção entre os diferentes esforços actuantes, designando-se por diagramas de interacção as curvas ou superfícies que representam a referida interacção. Estes diagramas são, de uma forma geral, definidos em função dos valores resistentes de cada um dos esforços actuando isoladamente apresentados no 3.1. Secção Rectangular Considere-se a secção rectangular representada na figura 3.5 na qual se representam também as distribuições plásticas de tensões normais correspondentes ao esforço axial N pl (figura 3.5b) e ao momento flector M y.pl (figura 3.5c). Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 13
Figura 3.5 - Distribuição de tensões normais numa secção rectangular em flexão composta Na figura 3.5d representa-se uma situação genérica da secção submetida um esforço axial N e a um momento M y. Tendo em conta as características geométricas da secção o diagrama de tensões pode ser decomposto em duas parcelas, uma simétrica (N 0 e M=0), que corresponde ao esforço axial, e outra anti-simétrica (N=0 e M 0), que corresponde ao momento flector. A parcela estaticamente equivalente ao esforço axial é definida pela altura a, sendo a/ a distância do centro de gravidade à linha neutra plástica. Com base nos diagramas apresentados na figura 3.5 tem-se que N = ba f y = a h N pl com N pl = bh f y (3.8) M = h-a b h - h-a 4 f y = 1 - N N pl M pl com M pl = bh 4 f y (3.9) A equação 3.9 pode ser escrita em função do quociente entre os esforços na secção e os correspondentes valores plásticos, tendo-se M + M pl N N pl = 1 (3.10) A equação 3.10 define a curva de interacção plástica numa secção rectangular em flexão composta a qual é representada na figura 3.6. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 14
Figura 3.6 Diagrama de interacção de uma secção rectangular em flexão composta Na figura 3.6 representa-se também o diagrama de interacção elástico, correspondente ao início da cedência, sendo assim possível a sua comparação com o diagrama de interacção plástico. Quando o momento flector é nulo o esforço axial resistente é igual ao esforço axial plástico, independentemente do critério de rotura adoptado. Pelo contrário, quando o esforço axial é nulo o momento resistente é igual ao momento de cedência, se o critério for o elástico, ou igual ao momento plástico, se o critério for o plástico. O diagrama de interacção elástica é linear uma vez que resulta da combinação linear dos efeitos do esforço axial e do momento flector (reveja-se a equação.7 e o correspondente diagrama de interacção). O diagrama de interacção plástica é não linear (equação 3.10) sendo a curva convexa. Secção tubular circular Considere-se agora a secção circular tubular representada na figura 3.7 na qual se representam também as distribuições plásticas de tensões normais correspondentes ao esforço axial N pl (figura 3.7b) e ao momento flector M y.pl (figura 3.7c). Note-se que se admite tratar-se de uma secção de parede fina, em que se pode considerar que as tensões são uniformes na espessura, sendo a distribuição de tensões na secção definida apenas pela sua distribuição ao longo da linha média da secção. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 15
Figura 3.7 - Distribuição de tensões normais numa secção tubular circular em flexão composta À semelhança do procedimento adoptado para a secção rectangular representa-se na figura 3.7d a distribuição plástica de tensões para uma situação genérica da secção submetida um esforço axial N e a um momento M y. Aquela distribuição de tensões é decomposta em duas parcelas, uma simétrica (N 0 e M=0), que corresponde ao esforço axial, e outra anti-simétrica (N=0 e M 0), que corresponde ao momento flector. A posição da linha neutra é definida pelo ângulo β sendo a parcela estaticamente equivalente ao esforço axial a corresponde ao comprimento da linha média definida pelo ângulo β. Com base nos diagramas apresentados na figura 3.7, e tendo em conta a área e a posição do centro de gravidade de um arco de circunferência, tem-se que N = 4βRt f y = β π N pl com N pl = πrt f y (3.10) M = (θrt f y ) ( R senθ θ ) = 4R t f y cosβ = cosβ M pl com M pl = 4R t f y (3.11) As equações 3.10 e 3.11 podem ser reunidas numa única através da eliminação do parâmetro β obtendo-se π arcsen M M pl + N N pl = 1 (3.1) A equação 3.1 define a curva de interacção plástica numa secção tubular circular em flexão composta a qual é representada na figura 3.8. Para um arco de circunferência definido pelo ângulo θ tem-se Área A = Rθt Momento estático S = -θ θ tr cosα dα = t R senθ Centro de gravidade y g = S A = R senθ θ Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 16
Figura 3.8 Diagrama de interacção de uma secção tubular circular em flexão composta Na figura 3.8 representa-se também o diagrama de interacção elástico, correspondente ao início da cedência, sendo assim possível a sua comparação com o diagrama de interacção plástico, sendo a análise desta comparação idêntica à já apresentada para a secção rectangular. Exemplo 3.: Considere-se um perfil CHS 19.1x10 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende determinar-se o valor do máximo momento que o tubo pode resistir quando sujeito a um esforço axial de 1000 kn. Raio da linha média R = 19,1-10 = 104,55 mm A = πrt = πx104,55x10 = 6569 mm N pl = A f y = 6569x355x10-3 = 33 kn W pl = 4R t = 4x104,55 x10 = 4378 mm 3 M pl = W pl f y = 4378x355 x10-6 = 155, knm Para N = 1000 kn e tendo em consideração a curva de interacção definida pela equação 3.1 obtém-se M sen π - π x 1000 x155, = 139, knm 33 Sugestão: represente os diagramas de interacção (M;N), elástico e plástico, de um CHS 19.1x10 S355. Verifique que usando um critério elástico para um N = 1000kN o máximo momento que é possível aplicar é de 69,6 knm. Secção em Ι ou H Com excepção de alguns casos particulares, como a secção rectangular e a secção tubular circular anteriormente apresentadas, não é possível obter uma única equação explícita para o diagrama de interacção. No entanto, para as secções mais correntes é possível obter os diagramas de interacção como um conjunto de equações cujo domínio de validade depende das características geométricas da secção, como se exemplifica de seguida para o caso das secções em Ι ou H. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 17
No caso de uma secção em Ι a determinação da curva de interacção tem de ter em conta o facto de a secção ser composta por uma alma e dois banzos. Neste caso a curva de interacção tem de ser determinada de forma diferente consoante a alma seja ou não suficiente para resistir ao esforço axial. Considerem-se as situações limites de a secção estar totalmente plastificada por flexão em torno do eixo y e por esforço axial. Para cada uma destas situações, e conforme se ilustra na figura 3.9, decomponham-se os esforços nas parcelas absorvidas pelos banzo e pela alma, identificadas pelos índices f e w, respectivamente. Figura 3.9 Secção em Ι. Decomposição do N pl e do M y.pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma. No caso do esforço axial tem-se N f = bt f f y (3.13) N w = ht w f y (3.14) N pl = N f + N w = (bt f + ht w ) f y (3.15) No caso do momento flector tem-se M f = bt f h f y (3.16) M w = t wh 4 f y (3.17) M y,pl = M f + M w = (bt f h + t wh 4 ) f y (3.18) Com base nos valores apresentados nas equações 3.13 a 3.18 é possível definir o diagrama de interacção (M y /M y,pl ; N/N pl ) para uma secção Ι que se representa na figura 3.10. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 18
Figura 3.10 Secção em Ι. Diagrama de interacção plástica (M y/m y,pl, N/N pl) No diagrama de interacção representado na figura 3.10 os pontos A e C correspondem à secção totalmente plastificada por flexão e por esforço axial, respectivamente. O ponto B corresponde à situação em que o esforço axial total é igual ao esforço axial plástico da alma N w e o momento flector total é igual ao momento flector plástico dos banzos M f. Entre os pontos B e C o diagrama de interacção é linear. Com efeito, quando se aumenta o esforço axial para valores superiores a N w os banzos deixam de estar totalmente disponíveis para resistir ao momento flector. Como a redução da área dos banzos disponível para resistir ao momento flector varia linearmente com o esforço axial o diagrama de interacção é também linear entre os pontos B e C. O diagrama de interacção entre os pontos A e B depende apenas da variação da contribuição da alma para a resistência ao momento flector e ao esforço axial. Como a alma é uma secção rectangular, de altura h e espessura t w, a curva de interacção entre os pontos A e B é dada por M f + M M - M f + y,pl M w N N M w 1 para N < N w M w (3.19) y,pl Nesta equação M f /M y,pl representa a abcissa do ponto B definindo a parcela do momento resistido pelos banzos. A segunda parcela do 1º termo da equação 3.19 tem em consideração o momento flector resistido pela alma, afectado do termo entre parênteses rectos, que não é mais do que a curva de interacção plástica da alma determinada com base na equação 3.10, definida para secções rectangulares. Assim verifica-se que a curva de interacção entre os pontos A e B é definida pela curva de interacção de uma Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 19
secção rectangular aplicada à alma da secção e afectada do efeito de escala para ter em consideração que a alma é apenas uma das componentes da secção transversal. Considere-se agora a determinação da curva de interacção da flexão composta de uma secção Ι solicitada por um momento flector segundo o eixo z. Adoptando a mesma metodologia utilizada anteriormente apresenta-se na figura 3.11 a decomposição do momento plástico e do esforço axial nas parcelas resistidas pelos banzos e pela alma. Figura 3.11 - Secção em Ι. Decomposição do N pl e do M z,pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma. Tendo em consideração os diagramas apresentados na figura 3.11 verifica-se que os esforços axiais absorvido pela alma, pelo banzo e pela totalidade da secção são os definidos pelas equações 3.13 a 3.15. Relativamente aos momentos flectores tem-se M f = t fb 4 f y (3.0) M w = 0 (3.1) M z,pl = M f + M w = t fb f y (3.) Com base nos valores apresentados nas equações 3.13 a 3.15 e 3.0 a 3. pode definir-se o diagrama de interacção (M z /M z,pl ; N/N pl ) para uma secção Ι que se representa na figura 3.1. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 0
Figura 3.1 Secção em Ι. Diagrama de interacção plástica (M z/m z,pl, N/N pl) Os pontos A e C correspondem à secção totalmente plastificada por flexão e por esforço axial, respectivamente. O ponto B corresponde à situação em que o esforço axial total é igual ao esforço axial plástico da alma N w e o momento flector total é igual ao momento flector plástico dos banzos M f. Entre o ponto A e o ponto B o diagrama de interacção é definido por uma recta vertical, correspondente a M z /M z,pl =1, uma vez que a alma não contribui para a resistência ao momento flector. Entre os pontos B e C o diagrama de interacção depende apenas da variação da contribuição dos banzos para a resistência ao momento flector e ao esforço axial. Como os banzos são secções rectangulares, de altura b e espessura t f, a curva de interacção entre os pontos B e C é dada por M + M pz,pl N - N w N pl - N w 1 (3.3) Esta equação corresponde à curva de interacção plástica dos banzos, determinada com base na equação 3.10, definida para secções rectangulares, tendo ainda em conta que o esforço axial total resulta da soma da parcela absorvida pelos banzos com a parcela absorvida pela alma. Exemplo 3.3: Considere-se um perfil HEA00 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende obter-se o diagrama de interacção em flexão composta para o momento segundo o eixo y (M y/m y,pl; N/N pl). HEA00 S355 A = 5380 mm ; W y.pl = 430x10 3 mm 3 ; f y = 355 N/mm O esforço axial e o momento plástico são calculados de acordo com as equações 3.1 e 3., tendo-se N pl = A f y = 5380x355x10-3 = 1909,9 kn Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1
M y,pl = W y,pl f y = 430x10 3 x355x10-6 = 15,7 knm A w = A - bt f = 580 - x00x10 =1380 mm M f = bt fh f y = 00x10x180x355x10-3 = 17,8 knm N w N pl = Aw A = 1380 580 = 0,61 M f = 17,8 M pl,y 15,7 = 0,847 M w = 1-0,847 = 0.153 M pl,y Com base nestes valores obtém-se o diagrama de interacção representado na figura 3.13 o qual é definido por Se N/N pl < 0,61 M f + M y - M f + M y,pl M w ( N N w ) M y +,46 M y,pl ( N N pl) 1 M w 1 0,847+ M y,pl M y - 0,847 + M y,pl ( N N pl) 1 0,61 x 0,153 1 Se N/N pl 0,61 0,87 My M y,pl + N N pl 1 Figura 3.13 - Diagrama de interacção plástica (M y/m y,pl; N/N pl) para um HEA 00 S355 Com base nas curvas de interacção definidas tem-se, por exemplo, para esforços axiais de 00 e 1000 kn os seguintes valores dos momentos flectores M y N = 00 kn M y 1,46 x ( 00 ) 1909,9 x 15,7 M y 148,9 knm N = 1000 kn M y ( 1 1000 1909,9 ) x 15,7 My 83,4 knm 0,87 Exemplo 3.4: Considere-se um perfil HEA00 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende obter-se o diagrama de interacção em flexão composta para o momento segundo o eixo z (M z/m z,pl; N/N pl). HEA00 S355 W z.pl = 04x10 3 mm 3 ; f y = 355 N/mm O momento plástico é calculado de acordo com a equação 3.3, tendo-se M z,pl = W z,pl f y = 04x10 3 x355x10-6 = 7,4 knm Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções
N w N pl = 0,61 Com base nestes valores obtém-se o diagrama de interacção representado na figura 3.14 o qual é numericamente definido por Se N/N pl > 0,61 M z + M pl,z ( N - N w N pl - N w) M z + M z.pl ( N/N pl,z - 0,61 0,739 ) 1 Mz + M z.pl ( N/N pl,z - 0,61 1-0,61 ) 1 1 Se N/N pl 0,61 M z M z,pl 1 Figura 3.14 - Diagrama de interacção plástica (M z/m z,pl, N/N pl) para um HEA 00 S355 Com base nas curvas de interacção definidas tem-se, por exemplo, para esforços axiais de 00 e 1000 kn os seguintes valores dos momentos flectores M z N = 00 kn M z 7,4 knm N = 1000 kn M z 1,15-1,831 ( 1000 ) 1909,9 x 7,4 M z 45,1 knm 3.. Flexão composta desviada No caso da flexão composta desviada, em que a secção é solicitada simultaneamente por um esforço axial e por momentos flectores segundo os dois eixos no plano da secção, não é possível, de uma forma geral, obter os diagramas de interacção exactos. Recorrese neste caso a diagramas de interacção aproximados, os quais são obtidos a partir dos Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 3
diagramas de interacção em flexão composta, considerando a flexão apenas num plano, que foram apresentados no 3..1. Considere-se o diagrama de interacção (M y /M y,pl ; M z /M z,pl ; N/N pl ) representado na figura 3.15. Figura 3.15 Diagrama de interacção (M y/m y,pl; M z/m z,pl; N/N pl) Conforme se pode verificar na figura 3.15 no caso de M z ser nulo o diagrama de interacção reduz-se à curva de interacção ; N M, ou seja, uma curva de flexão y,pl N pl composta com flexão apenas segundo o eixo y. Da mesma forma, no caso de M y =0 o M z diagrama reduz-se à curva de interacção ; N M, ou seja, uma curva de interacção em z,pl N pl flexão composta com flexão apenas segundo o eixo z. Estas duas curvas de interacção podem ser obtidas analisando as distribuições plásticas de tensões como foi apresentado no 3..1. Conhecidas as duas curvas de interacção, cada uma das quais com momentos apenas M y M z num dos eixos, ; N M e y,pl N pl ; N M, o problema resume-se a definir a interacção para z,pl N pl as situações em que os dois momentos, M y e M z, são simultaneamente não nulos. Conforme se pode observar na figura 3.15 a superfície de interacção ; M z ; N M y,pl M z,pl N pl M y M y Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 4
pode ser definida através das curvas de nível correspondentes a valores de N N pl constantes. Definam-se como M N,pl,y e M N,pl,z os momentos segundo os eixos y e z, respectivamente, associados à plastificação da secção para um dado valor de N N e representados na pl figura 3.16. Figura 3.16 - Definição do diagrama de interacção (M y/m y,pl; M z/m z,pl; N/N pl) através de curvas de interacção para N=cte. A curva de nível que define a interacção entre ; M N,y,pl definida por M y M z M y M z M N.z,pl pode ser genericamente α + M N.y.pl M β = 1 (3.4) N.z.pl A aproximação da curva definida desta forma aos valores reais de um curva de interacção pode ser efectuada através da calibração dos parâmetros α e β. Com efeito, e conforme se ilustra na figura 3.17, fazendo variar os parâmetros α e β de forma independente e para valores entre 1,0 e é possível definir curvas de interacção desde uma recta (α = β = 1,0) até um quadrado (α = β = ), assim como qualquer curva de interacção intermédia entre aquelas duas curvas extremas. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 5
Figura 3.17 Influência dos expoentes α e β na forma das curvas de interacção. Na figura 3.18 representam-se as projecções no plano ; M N.y.pl M y M z M N.z.pl das curvas de interacção para N/N pl =0 e para um valor genérico de N/N pl diferente de zero. Os valores de α e β são determinados numericamente tendo em consideração as características geométricas das secções. No quadro 3.1 indicam-se os valores de α e β para o caso das secções mais correntemente utilizadas em flexão composta desviada (EC3 [1]). Figura 3.18 Projecção no plano ( M y M z ; M N.y.pl M N.z.pl) das curvas de interacção para N = cte. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 6
Secção α β Observações Ι, H 5n β 1-1,66 1,66 α, β 6 1-1,13n 1-1,13n Quadro 3.1 Valores dos parâmetros α e β para definir as curvas de interacção entre momentos flectores em função do nível de esforço axial (n= N/N pl) (Adaptado do EC3 [1]) Note-se que no caso em que um dos termos M y ou M z é nulo a expressão 3.4 se reduz às expressões da verificação da resistência de secções solicitadas em flexão composta não desviada. Da análise dos valores dos parâmetros α e β apresentados no quadro 3.1 salientam-se os seguintes aspectos: - o parâmetro β depende do esforço axial reduzido uma vez que as curvas de interacção são dependentes do nível de esforço axial, ou seja, as curvas de interacção para diferentes valores de n= N/N pl não são em geral homotéticas; - no caso particular de secções com simetria radial, como por exemplo secções tubulares circulares, os valores de α e β tomam o valor de, ou seja, para um valor de fixo de n = N/N pl as curvas de interacção são circunferências uma vez que os momentos flectores resistentes são iguais em todas as direcções. Exemplo 3.5: Para o perfil HEA00 S355 já considerado nos exemplos 3.3 e 3.4 pretende determinar-se a curva de interacção para N = 400kN e, com base nessa curva de interacção, o valor do momento resistente M y quando M z = 0kNm: N pl = A f y = 5380x355x10-3 = 1909,9 kn M y.pl = W y.pl f y = 430x10 3 x355x10-6 = 15,7 knm M z.pl = W z.pl f y = 04x10 3 x355x10-6 = 7,4 knm n = N N pl = 400,0 1909,9 = 0,09 a = Nw N pl = 0,61 (ver exemplo 3.) M N. y.pl = 15,7 ( 1 -,46x0,09 ) = 137,7 knm (ver exemplo 3.) Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 7
M N. z.pl = M z.pl = 7,4 knm (note-se que n<a; ver exemplo 3.3) α = ; β = 5n = 5x0,09 = 1,045 (ver quadro 3.1) A curva de interacção é dada por M ( y 138,8) + ( M z 7,4 ) 1,045 1 M z=0,0 knm M y 1 - ( 0,0 7,4 ) 1,045 x 138,8 M y 117, knm 3..3 Caso geral da interacção entre momento flector, esforço axial e esforço transverso Nas 3.1 e 3.. analisaram-se as situações de interacção envolvendo apenas tensões normais, ou seja, em termos de esforços, os diagramas de interacção para secções em flexão composta, simples ou desviada. Analisam-se agora as situações em que, para além dos esforços associados a tensões normais, é ainda necessário considerar os esforços associados a tensões tangenciais, em particular os esforços transversos. Saliente-se que a interacção de esforços envolvendo o esforço transverso raramente é condicionante uma vez que, para o tipo de estruturas em que se adoptam perfis metálicos, a resistência das secções é em geral condicionada apenas pelo esforço axial e pelo momento flector. Para além disso, as secções mais correntemente adoptadas para os perfis metálicos, Ι, H ou tubos rectangulares, são secções cuja geometria está adaptada de forma a que os banzos assegurem a maior parte da resistência à flexão e a alma assegure a resistência ao esforço transverso, minimizando-se assim os efeitos da interacção entre aqueles dois esforços. Para a determinação do diagrama de interacção plástica entre o momento flector e o esforço transverso pode adoptar-se a mesma metodologia que foi utilizada para estudar a interacção entre o momento flector e o esforço axial e que consiste em separar as partes da secção cuja capacidade plástica contribui para a resistência a cada um dos esforços. Esta repartição é ilustrada na figura 3.19 para o caso de uma secção rectangular, sendo a separação entre a zona sujeita a tensões normais e tensões tangenciais efectuada de forma a maximizar o momento resistente. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 8
Figura 3.19 Interacção entre o momento flector e o esforço transverso numa secção rectangular. Adoptando a mesma metodologia usada para a determinação do diagrama de interacção N-M de uma secção rectangular, apresentada no 3..1, obtém-se para este caso M + M pl V V pl = 1 (3.5) equação esta que define a curva de interacção representada na figura 3.0. Figura 3.0 Diagrama de interacção entre o momento flector e o esforço transverso numa secção rectangular. No caso de uma secção Ι ou H o diagrama de interacção pode ser definido tendo em consideração as características geométricas das secções, em particular quando a secção é solicitada no plano da alma. Neste caso, e à semelhança do considerado na análise dos diagramas de interacção esforço axial - momento flector, pode separar-se a contribuição da alma e dos banzos para a resistência da secção como se representa na figura 3.1. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 9
Figura 3.1 Interacção entre o momento flector M y e o esforço transverso V z numa secção Ι ou H. Com base na contribuição dos banzos e da alma para a resistência ao esforço transverso define-se o diagrama de interacção M y -V z de uma secção Ι ou H representado na figura 3., em que o troço não linear corresponde à interacção entre o esforço transverso e o momento flector da alma, o qual é definido adaptando a equação 3.5 ao rectângulo definido pela alma do perfil, obtendo-se M - M f + M pl - M f V V pl = 1 (3.6) Figura 3. - Diagrama de interacção entre o momento flector M y e o esforço transverso V z numa secção Ι ou H. 3..4 Características dos diagramas de interacção Pode demonstrar-se que os diagramas de interacção plástica são sempre convexos. Esta propriedade tem uma importância fundamental na determinação aproximada de curvas de interacção e na aplicação prática dessas mesmas curvas. Com efeito, o facto de as curvas de interacção serem convexas permite afirmar que uma curva de interacção obtida através duma poligonal definida por pontos sobre a solução exacta é sempre uma Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 30
solução conservativa relativamente à curva exacta. Como nas situações correntes não é possível obter a solução analítica exacta uma forma de obter a curva de interacção é determinar um conjunto de pontos, em número dependente da curvatura da curva e do grau de aproximação pretendido, e uni-los por segmentos de recta. Outro aspecto importante das curvas de interacção é que se a tensão de cedência em tracção e compressão forem iguais em valor absoluto, o que em geral acontece, em particular no caso dos aços, e desde que exista simetria em relação a pelo menos um dos eixos da secção transversal, o que em geral também acontece, então as curvas de interacção são simétricas em relação a qualquer um dos eixos coordenados. Assim, nos casos em que se verificam aquelas duas condições é suficiente determinar a curva de interacção para os valores positivos dos esforços. 4. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE SECÇÕES DE ACORDO COM O EC3 4.1. Introdução Conforme se apresentou na introdução geral deste texto ( 1) a verificação da segurança aos estados limites últimos é de uma forma genérica definida pela inequação E d R d (equação 1.1) em que E d e R d representam os valores de cálculo dos efeitos das acções e das resistências, respectivamente. Tendo em conta as propriedades mecânicas do aço e as características geométricas das secções a inequação que traduz a verificação da segurança aos estados limites últimos de resistência de secções pode ser expressa em termos de tensões ou dos esforços considerados de uma forma isolada ou, no caso mais geral, de variáveis que representam os efeitos da combinação de dois ou mais esforços. Nos projectos de estruturas a verificação da segurança é efectuada através da aplicação de regulamentos ou códigos estruturais. No caso dos países europeus aplicam-se actualmente os Eurocódigos Estruturais, dos quais o Eurocódigo 3 [1], referido abreviadamente por EC3, se aplica às estruturas metálicas em aço. A verificação da segurança da resistência das secções baseia-se na aplicação dos resultados da resistência de materiais, apresentados nos capítulos anteriores enquadrados na filosofia dos estados limites. Algumas vezes este procedimento é acompanhado de algumas simplificações que, embora retirem alguma exactidão e formalismo à verificação da segurança, permitem a sua mais fácil aplicação. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 31
De acordo com o EC3 [1] as secções são classificadas da classe 1 à classe 4 consoante a forma como atingem a sua resistência máxima e portanto o seu estado limite último de resistência. Nas secções das classes 1 e o estado limite último de resistência é atingido quando a secção está totalmente plastificada. No caso das secções das classes 3 e 4 a capacidade de deformação da secção (a sua extensão axial, no caso de um esforço axial, ou a sua curvatura, no caso de um momento flector) é limitada pela ocorrência de fenómenos de encurvadura local. No caso das secções da classe 3 a ocorrência da encurvadura local apenas impede o desenvolvimento de esforços plásticos na secção, sendo a capacidade resistente definida pelo início da cedência, num estado uniaxial ou multiaxial de tensões, em qualquer ponto da secção. Nas secções da classe 4 a ocorrência de fenómenos de encurvadura local das secção são de tal forma condicionantes que o estado limite de resistência da secção ocorre para esforços inferiores aos esforços de cedência calculados de acordo com a teoria da resistência de materiais. A avaliação da capacidade resistente de secções de classe 4 exige uma análise aprofundada dos fenómenos de encurvadura local de secções, pelo que não é abordada no presente texto. Excluindo-se as secções da classe 4 tem-se que o estado limite de resistência de uma secção é definido pelo início da cedência, no caso de uma secção da classe 3, ou pela sua plastificação total, no caso de secções das classes 1 ou. Sendo o critério de cedência mais conservativo do que o critério de plasticidade a sua aplicação é possível a qualquer tipo de secção, sendo genericamente definido por σ x.ed f y /γ M0 σ z.ed + f y /γ M0 - σ x.ed f y /γ M0 σ z.ed f + 3 τ Ed y /γ M0 f y /γ M0 em que, e sempre referido a um ponto, 1 (EC3.1.1 6.1) 3 (4.1) σ x.ed - representa o valor de cálculo da tensão normal segundo x (eixo do elemento); σ z.ed - representa o valor de cálculo da tensão normal segundo z (eixo perpendicular ao eixo do elemento e que, juntamente com este, define o plano de carregamento); 3 - Por uma questão de referência aos textos dos Eurocódigos identifica-se, quando apropriado, o documento e o número da equação nesse documento. Por exemplo a equação 4.1 deste texto é idêntica à equação 6.1 do Eurocódigo 3 Parte 1.1 [1]. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 3
τ Ed - representa o valor de cálculo da tensão tangencial. A equação 4.1 corresponde à aplicação a um estado plano de tensão do critério de Mises-Hencky, que permite definir o início da cedência num estado de tensão genérico, sendo a tensão de cedência dividida pelo coeficiente parcial de segurança γ M0 4. Nos casos correntes de elementos metálicos a tensão σ z.ed é nula, ou não sendo nula é suficientemente pequena para poder ser desprezada, caso em que a equação 4.1 se reduz a σ x.ed f y /γ M0 τ Ed + 3 f y /γ M0 1 (4.) Note-se que as equações 4.1 e 4. permitem definir a ocorrência da cedência numa secção de uma peça linear uma vez que as tensões σ x.ed, σ z.ed e τ Ed têm de ser calculadas tendo em consideração os esforços que actuam na secção: esforço normal, momentos flectores, esforços transversos e momento torsor. Conforme já foi referido a capacidade resistente das secções das classes 1 e não se esgota com o início da cedência, podendo para as secções destas classes considerar-se a sua plastificação total. A determinação dos esforços associados à plastificação total das secções, seja no caso dos esforços actuando isoladamente, seja no caso de combinações de esforços, foi já apresentada no 3. Para a determinação dos esforços correspondentes aos estados limites últimos de resistência de acordo com o EC3 [1] é apenas necessário considerar o coeficiente parcial de segurança das resistências que, e uma vez que se trata de situações em que a resistência é condicionada pela plasticidade, é neste caso γ M0. Os elementos das estruturas metálicas têm de ser ligados entre si. Estas ligações podem ser efectuadas através de soldaduras, de parafusos ou, em alguns casos particulares, com rebites. Nestes últimos casos os elementos têm de ser furados de modo a permitirem a colocação dos elementos ligadores. A existência dos furos reduz a área da secção definindo-se uma secção útil, que se designa por A net, cuja resistência pode ser condicionante. Saliente-se que no caso das secções das classes 1 e a resistência da secção útil também é calculada com base numa distribuição plástica de tensões, mas definida pela 4 - Os coeficientes parciais de segurança são definidos nos Anexos Nacionais de cada país. Neste texto consideram-se os valores recomendados no Eurocódigo 3 Parte 1.1 [1], ou seja, γ M0 = γ M1 = 1,0; γ M = 1,5. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 33
tensão última f u e não pela tensão de cedência f y. No caso das secções correntes a resistência plástica é calculada com base na tensão de cedência, permitindo assim assegurar que o comprimento do elemento em que as secções estão totalmente plastificadas é infinitesimal, uma vez que nas secções adjacentes os esforços serão sempre inferiores aos esforços plásticos. No caso da verificação da resistência das secções úteis admite-se que a tensão pode atingir o valor da tensão última f u, afectada de um coeficiente de redução, que de acordo com o EC3 [1] é de 0,90, uma vez que secção útil existe apenas num pequeno comprimento ao longo do eixo da peça, pelo que à sua plastificação não está associada nenhuma plastificação nas zonas do elemento fora das secções reduzidas pela existência dos furos. No EC3 [1] a verificação da secção útil é apresentada apenas para o caso da tracção. Note-se que no caso de esforços de compressão o problema da secção útil não se coloca pois assume-se que o furo está preenchido com o ligador, um parafuso ou um rebite. No caso de esforços de flexão, ou mais geralmente de flexão composta, a determinação da capacidade resistente da secção útil pode efectuar-se tendo em consideração as regras de cálculo da resistência da secção aplicadas apenas à parte traccionada da secção. Por exemplo, no caso de uma secção em I ou H em flexão simples a regra da verificação da resistência da secção útil aplica-se apenas ao banzo traccionado. Refira-se finalmente que, estando a determinação da capacidade resistente das secções úteis associada ao estado limite último de resistência das ligações, o coeficiente parcial de segurança que se considera é o γ M ( de acordo com o EC3.1.1 [1] recomenda-se que se considere γ M = 1,5). A verificação da segurança das secções úteis pode ser condicionante na verificação da capacidade resistente das secções de um elemento de uma estrutura metálica uma vez que, por razões relacionadas com a economia e com a montagem das estruturas, as ligações entre elementos estruturais se efectuam nas extremidades das barras, ou seja, nas secções em que, frequentemente, os esforços são máximos. Apresentam-se em seguida e de uma forma resumida as regras para a determinação de acordo com o EC3.1.1 [1] da capacidade resistente das secções das classes 1 e. Recorde-se que as secções das classes 1 e são aquelas que em que é possível determinar os valores de cálculo dos esforços resistentes com base em distribuições plásticas de tensões. As letras maiúsculas usadas para as variáveis permitem identificar o tipo de esforço. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 34
Os índices que afectam cada uma das variáveis permitem caracterizar os esforços de acordo com as seguintes regras: t - esforços associados a tensões de tracção; c - esforços associados a tensões de compressão ou tracção e compressão; u - esforços na secção útil (estados limites últimos de resistência); pl - esforço plástico; R d - valores de cálculo dos esforços resistentes; E d - valores de cálculo dos esforços actuantes. 4.. Esforços resistentes em secções das classes 1 e. 4..1 Esforços isolados. Na tabela 4.1 apresentam-se as expressões propostas no EC3 [1] para a determinação da resistência aos estados limites últimos no caso dos esforços actuando isoladamente. Refira-se que no caso particular do momento torsor em perfis com secções de parede fina abertas a resistência é assegurada pela torção de Saint-Venant (torção uniforme) e pela torção não uniforme. Não sendo considerada a contribuição da torção não uniforme a verificação da segurança ao estado limite último de resistência da secção nas situações que envolvam esforços de torção, isolados ou combinados com outros esforços, deve ser efectuada adoptando o critério de cedência definido pelas equação 4.1 ou 4.. 4.. Interacção no caso da flexão composta e flexão composta desviada. As regras gerais para a determinação dos diagramas de interacção de secções solicitadas em flexão composta em flexão composta desviada foram apresentadas no 3.. Estas regras são adoptadas no EC3 [1] para as situações mais correntes, em alguns caso com a introdução de algumas hipóteses simplificativas de forma a permitirem a sua mais fácil utilização, salientando-se que as expressões apresentadas no EC3 [1] estão escritas em função dos valores de cálculo dos esforços actuantes e resistentes identificados através dos índices E d e R d, respectivamente. No quadro 4.1 apresentam-se também as expressões propostas no EC3 [1] para a verificação da segurança de secções das classes 1 e tendo em consideração a interacção entre o esforço normal e um momento flector, ou seja, em flexão composta. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 35
No caso mais geral de uma secção solicitada em flexão composta desviada os diagramas de interacção são definidos através da seguinte equação M y,ed M z,ed α + M N,y,Rd M β 1 (EC3.1.1 6.41) (4.3) N,z,Rd em que M N,y,Rd e M N,z,Rd representam os valores de cálculo dos momentos flectores resistentes tendo em consideração os valores do esforço axial, calculados em flexão composta. Os valores dos parâmetros α e β estão definidos no Quadro 3.1. 4..3 Interacção do esforço transverso com o esforço axial e o momento flector. Conforme se apresentou no 3 nos casos correntes, e devido às características geométricas das secções, o esforço transverso actuante é, em geral, suficientemente pequeno em comparação com o seu valor resistente para que não seja necessário considerar a sua interacção com os esforços que produzem tensões normais, o esforço normal e o momento flector. No entanto, e conforme também se apresentou no 3, a consideração simultânea do esforço transverso e dos momento flectores ou do esforço axial pode obrigar à consideração do efeito esforço transverso na análise da interacção de esforços. No EC3 [1] a interacção entre o esforço transverso e o momento flector ou o esforço axial é considerada de forma aproximada. Esta aproximação toma como referência o parâmetro ρ, definido por V Ed ρ = - 1 V pl.rd se V Ed /V pl.rd > 0,5 (4.4a) ρ = 0 se V Ed /V pl.rd 0,5 (4.4b) (4.5) Se ρ=0, o que corresponde a admitir que V Ed /V pl.rd 0,5, não é necessário considerar a interacção. Se ρ > 0, o que corresponde a V Ed /V pl.rd > 0,5, o efeito do esforço transverso na determinação do momento flector ou do esforço axial resistente é considerado através da redução do valor da tensão de cedência através da seguinte expressão f y.red = (1 - ρ) f y em que f y.red representa um valor reduzido da tensão de cedência. Saliente-se que no EC3 [1] não existe nenhuma referência a f y.red, sendo sempre indicado de forma explicita (1-ρ)f y. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 36
Esforço axial tracção Esforço axial compressão Momento flector Esforço transverso N t.ed /N t.rd 1,0 N c.ed /N c.rd 1,0 M Ed /M c.rd 1,0 Secções da classe 1 e Esforços isolados N t.rd = N pl.rd = Af y /γ M0 N u.rd = 0,9A net f u /γ M N c.rd = N pl.rd = Af y /γ M0 M c.rd = M pl.rd = W pl f y /γ M0 V Ed /V c.rd 1,0 V c.rd = V pl.rd = A v f y / 3/γ M0 A v h w t w Flexão Composta Secções rectangulares N Ed M N.Rd = M pl.rd 1- N pl.rd Se n 0,5 e n 0,5a Se n>0,5 ou n>0,5a Se n a Se n>a Secções em I ou H M N.y.Rd = M pl.y.rd M N.y.Rd = M pl.y.rd 1-n 1-0,5a M pl.y.rd M N.z.Rd = M pl.z.rd M N.z.Rd = M pl.z.rd 1- n-a 1-a n = N Ed N pl.rd a = A - bt f A h wt w A Secções tubulares ou em caixão M N.y.Rd = M pl.y.rd 1-n 1-0,5a w M pl.y.rd M N.z.Rd = M pl.z.rd 1-n 1-0,5a f M pl.z.rd n = N Ed N pl.rd a w = (A - bt f )/A 0,5 n = N Ed N pl.rd a f = (A - ht w )/A 0,5 Quadro 4.1 Determinação de esforços axiais, momentos flectores e curvas de interacção definidas no EC3 [1] para secções das classes 1 e. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 37
As expressões apresentadas no Quadro 4.1 também são aplicáveis nos casos em que é necessário ter em consideração o efeito do esforço transverso, sendo nestes casos suficiente determinar os esforços plásticos da secção com base no valor reduzido da tensão de cedência f y.red, definido na equação 4.5. Se o esforço transverso actuante for inferior a metade do correspondente valor resistente, o valor reduzido da tensão de cedência é igual à própria tensão de cedência. No caso de o esforço transverso actuante ser igual ao esforço transverso resistente o valor reduzido da tensão de cedência é nulo, ou seja, a secção esgota toda a sua capacidade resistente no esforço transverso, não tendo nenhuma reserva para a resistência ao momento flector ou ao esforço normal. Com base na aproximação adoptada no EC3 [1] consegue evitar-se a necessidade de considerar a interacção do esforço transverso com o momento flector ou com o esforço axial para esforços transversos pouco significativos, permitindo simultaneamente que, nos casos em que a interacção não pode deixar de ser desprezada, os momentos flectores ou os esforços axiais sejam calculados através de uma simples correcção do valor da tensão de cedência para o seu valor reduzido. No caso particular das secções em I ou H, e tirando partido das características geométricas destas secções, em que no caso de a secção ser solicitada em flexão com esforço transverso no plano da alma os banzos asseguram a resistência ao momento flector e a alma a resistência ao esforço transverso, a aproximação adoptada no EC3 [1] pode ser aplicada apenas à alma, conduzindo neste caso a M y.v.rd = W pl.y - ρa w 4t w γ M0 f y com A w = h w t w (EC3.1.1 6.30) (4.6) Tendo em conta que W pl.y = W pl.f + W pl.w com W pl.w = A w 4t w (4.7) em que W pl.f e W pl.w representam os módulos plásticos de flexão do banzo e da alma, respectivamente, a equação 4.6 pode ser reescrita na forma M y.v.rd = W pl.f f y γ M0 + (1 - ρ) W pl.w f y γ M0 (4.8) ou seja o momento flector resistente total é a soma do momento flector plástico do banzo, o qual nunca é afectado pelo efeito do esforço transverso, com o momento flector Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 38
resistente da alma afectado do coeficiente (1 - ρ), para ter em consideração a interacção com o esforço transverso. 5. REFERÊNCIAS [1] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. EN 1993-1-1; May 005. Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 39