TRANSFERÊNCIA DE CALOR II

TRANSFERÊNCIA DE CALOR II Profa. Mônica F. Naccache h1p://naccache.usuarios.rdc.puc- rio.br/cursos/ Trans_Calor_II.html Sala 153- L naccache@puc- rio.br 1

Termodinâmica: estuda as interações de energia entre um sistema e a vizinhaça (calor e trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação. Transferência de calor: estuda os mecanismos de transferência de calor, e relações para o cálculo das taxas de transferência de calor. Exemplos: Projetos de paredes refratárias, calor perdido em equipamentos, trocadores de calor, etc. 2

Modos de transferência de calor 3

Condução Mecanismo: movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos) Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por condução 1 D: q" = k x fluxo calor por unid.area(w / m2) dt dx condutividade térmica(w / mk ) gradiente temperatura 4

Convecção Mecanismo: difusão + energia transferida pelo movimento macroscópico do fluido (advecção) Convecção forçada: movimento do fluido é causado por agentes externos (bombas, ven_ladores, etc.) Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a forças de empuxo, que surgem devido a diferenças de densidade, causadas por diferenças de temperatura Convecção mista: natural+forçada Evaporação/Condensação: casos especiais de convecção, onde a energia é transferida na forma de calor latente. 5

Convecção (cont.) Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção q"= h(t s T ) h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/m 2 K) T s - temperatura da superecie T - temperatura do fluido Exemplo: Em convecção natural, h ar 10 W/m 2 K e h água 100 W/m 2 K q água > q ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo, um corpo na água perde mais calor do que um no ar) T água =20 0 C T ar =20 0 C 6

Convecção (cont.) Ordem de grandeza de h (W/m 2 K): Convecção natural: gases - 2 a 25 líquidos - 50 a 1000 Convecção forçada: gases - 25 a 250 líquidos - 50 a 20000 Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000 7

Radiação Energia emi_da pela matéria (sólido, líquido ou gás) a temperatura finita. O transporte ocorre por ondas eletromagné_cas. Não é necessário um meio material para a propagação de energia. Lei de Steffan- Boltzman: Fluxo máximo de radiação que pode ser emi_da por uma superecie q"= σt s 4 σ = 5.67x10 8 W /m 2 K 4 cte Steffan Boltzman A superecie que emite radiação de acordo com esta relação é chamada de corpo negro 8

Radiação (cont.) Para uma superecie real: q"= εσt s 4 ε emissividade 0 ε 1 Radiação incidente: q" inc = q" ref +q" trans +q" abs 1 = q" ref q" inc = ρ refletividade + q" trans q" inc =τ transmissividade + q" abs q" inc =α absortividade 9

Princípios Fundamentais Equações de conservação: massa, quan_dade de movimento linear, energia, conservação de massa de espécies químicas Equações cons_tu_vas: lei de Fourier, lei da viscosidade de Newton, lei de Newton da convecção, lei de Stefan- Boltzman 10

Hipótese de cononuo Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas caracterís_cas Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, ) e variáveis (p, v, T, ) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc 11

Consequências da hipótese de cononuo Mecanismos de transporte: Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u Mecanismo de transporte molecular : contribuição de superecie nas eqs. momentum e energia. Na formulação cononua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular Incerteza nas condições de contorno 12

Derivada material ou convectada Volume material V m (t): volume arbitrário que contém um certo número de pontos materiais em t=0. V m (t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superecie é zero: D Dt [ Vm ρdv ] = 0 ( t ) U(x) n Derivada no tempo da massa total associada a Vm Derivada material ou convectada: DB Dt = B t + u B expressa a variação com o tempo seguindo uma par5cula material V m (0) S m (0), U s =u(x) t V m (t) S m (t) n 13

Derivada parcial com relação ao tempo: B t $ B ' & ) % t ( z expressa a variação com o tempo, numa posição fixa Derivada total: DB Dt = B t + v B expressa a variação com o tempo em relação a um material arbitrário 14

Teorema do Transporte de Reynolds O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1- D, quando ambos integrando e limites de integração variam D Dt [ B ( x(t),t )dv ] & Vm ( t ) lim ' 1 δt 0 ( δt Adicionando e subtraindo o termo: [ B( t + δt)dv - B ( t )dv ] ) Vm ( t +δt ) Vm * ( t ) + Vm ( t ) B( t + δt)dv D Dt [ B ( x(t),t )dv ] Vm ( t ) lim 1 δt 0 δt [ B( t + δt)dv - B ( t + δt )dv ] Vm ( t +δt ) Vm ( t ) ' * ) [ V B( t +δt)dv m( t+δt ) Vm( t ) ], = lim 1 ( δt + [ ] + 1 B( t + δt)dv δt V m B ( t )dv ( t ) Vm ( t ) V m( t ) B t dv 15

% lim 1 & ' δt ( [ Vm ( t +δt ) V m ( t ) B( t + δt)dv ]) * = lim % 1 & ' δt Am ( t ) ( [ Am ( t ) B( t + δt)u nδda ]) * = B( t)u nδda Usando o teorema da divergêngia, chega- se a forma final para o Teorema de Transporte: D Dt [ B ( x,t )dv ] = % B Vm ( t ) & ' t + Bu Vm ( t ) ( ) ( ) * dv Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u: D * Dt * [ B( x,t V )dv ] = % B * m ( t ) & ' t + Bu* V * m ( t ) D * Dt * t + u* ( ) ( ) * dv 16

Equação de Conservação de Massa A equação de conservação de massa (con_nuidade) pode ser derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte: D Dt [ Vm ρdv ] = & ρ ( t ) t + ( ρu ) ) ' ( * + dv = 0 V m ( t ) ρ t + ρu ( ) = 0 ou Dρ Dt + ρ u ( ) = 0 (ρu) = ρ u + u ρ 17

Em coordenadas cartesianas: ( ) ρ t + ρu x + ( ρv ) y + ( ρw ) z = 0 Em coordenadas cilíndricas: ( ) ρ t + rρu r r r + ( ρu ) θ r θ + ( ρu ) z z = 0 18

Casos par_culares Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,t); fluido incompressível, boa hipótese quando M= u /u som <<1) Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido Regime permanente: u div u = 0 ρu div ρu = 0 19

Taxa de deformação A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas 20

Tensor taxa de deformação # taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = j D ij = $ % metade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i j D = 1 [( 2 v ) + ( v) T ] parte simétrica de v ( v) = D+ W ( ) W : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ( v)) W ij ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j vetor vor_cidade: representação polar de W w tr( ε W) = ε ijk W kj e i = 1 & 2 ( ε ijk ' v k z j ε ijk v j z k ) + e = ε i ijk * v k e i = rot( v) z j 21

A direção de w é a do eixo de rotação do fluido Primeiro Teorema de Cauchy: O componente do vetor vor_cidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sen_do da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra w = 0 w 0 esc. irrotacional esc. rotacional Se podemos escrever v = P w = 0 pois rot α ( ) = 0 sempre 22

Tensor Taxa de Deformação: D = 1 2 γ 23

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Equação de conservação de momentum Da Segunda Lei de Newton: " taxa variação quantidade % " soma das forças% $ ' $ ' $ movimento linear num corpo ' = $ agindo sobre o ' # $ em relação a um ref inercial &' # $ corpo &' Aplicando num volume material de fluido: D Dt [ Vm ρudv ] ( t ) $ soma das forças ' = & ) % agindo em V m (t)( 25

Tipos de força Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional. Forças de contato ou de superecie: forças do material fora de V m (t) sobre V m (t) 26

Segunda Lei de Newton para V m D $ ' ρudv Dt %& Vm ( t ) () taxa variação QML em V m Vm ( t ) = ρgdv força gravitacional Am ( t ) + tda força agindo sobre a superfície de V m Vetor tensão t: força local de superecie por unidade de área Usando o Teorema do Transporte & ( ρu) ) ( + ( ρuu) ρg+ dv = tda V m ( t )' t A * m ( t ) 27

Tensor das tensões Seja l a dimensão caracterís_ca de Vm. Quando l 0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim, da eq. de momentum aplicada ao tetraedro: Logo: lim l 0 tda 0 A m ( t ) Princípio de equilíbrio da tensão t(n) ΔA n t(e 1 ) ΔA 1 t(e 2 ) ΔA 2 t(e 3 ) ΔA 3 = 0 28

ΔA i = ΔA n Então: ( n e i ) i =1,2,3 [ t(n) t(e 1 ) ( n e 1 ) t(e 2 ) ( n e 2 ) t(e 3 ) ( n e 3 )]ΔA n = 0 No limite l 0: Então: [( ) + ( e 2 t(e 2 )) + ( e 3 t(e 3 ))] t(n) = n e 1 t(e 1 ) t(x p,n) = n T(x p ) Tensor das tensões T tda = n TdA = T A m ( t ) A m ( t ) V m ( t ) ( ) dv 29

Equação de momentum linear A equação de momentum fica então: ( ) & ρu ) ( + ( ρuu) ρg T+ dv = 0 V m ( t )' t * Como V m é arbitrário, o integrando tem que ser nulo: ρu ( ) t + ρuu ( ) = ρg + T Combinando a eq. acima com a eq. con_nuidade: % ρ' u & t ( ) + u u ( ) ( * = ρg + T ) Equação de Cauchy 30

Equação de momento angular Observando as equações de massa e momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações Generalização da Segunda Lei de Newton: D Dt Vm ( t ) ( x ρu)dv = soma dos torques agindo sobre V m Taxa de variação de momento angular em V m 31

Assim: D Dt ( x ρu)dv = Am [ x ( n T) + r] da + V m [ x ρg + ρc] ( t ) ( t ) Vm ( t ) dv Torque forças superfície Torque forças corpo Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c 0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência:. ' x ( ρu ) * 1 / ) + ( ρuu) ρg T, + ε T2 0 ( t + 3 dv = 0 V m ( t ) # +1 se (ijk) for permutação par de (123) % ε ijk = $ -1 se (ijk) for permutação ímpar de (123) % & 0 qualquer outro caso (algum índice igual) Usando a Eq. momentum linear e considerando que V m é arbitrário, chega- se a ε T=0, e portanto: T=T T, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c 0, ε T- ρc=0, e T não é simétrico. 32

Equação de conservação de Energia A taxa de variação de energia com o tempo, das energias interna e ciné_ca de um corpo, com relação às estrelas fixas é igual a taxa de trabalho das forças que agem sobre ele mais a taxa de transferência de energia para o corpo E at = E e E s + E g 33

D # 2 ρv & % + ρu( dv Dt Vm ( t ) $ 2 ' taxa de variação de energia em V m * Taxa de trabalho, = + feito sobre V m pelas, - forças externas. * Fluxo de calor. * Taxa de energia.,,,,, / + + através das / + + gerada /,, 0 - fronteiras de V,, m 0 - internamente, 0 v 2 = v v : velocidade local do meio cononuo ρu: energia interna (representa en. ciné_ca adicional a nível molecular) Primeira Lei da Termodinâmica 34

Equação de conservação de energia na forma diferencial D Dt # 2 ρv & % + ρu( dv = V m [ t(n) v]da + ( t ) $ 2 A ' m [(ρg) v]dv [ q n]da + q dv ( t ) Vm ( t ) Am ( t ) Vm ( t ) q: vetor fluxo de calor (cruza a superecie de V m ). Posi_vo quando calor é transferido a V m Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência, e igualando o integrando a zero: ( ρe) t taxa var. en. ( ) + div ρe v = fluxo en. por convecção e = u + v 2 / 2 q em. gerada ( ) = vdivt+ tr( Tgradv) div Tv divq + ρ v g + fluxo calor cond. trab. força gravitacional ( ) div Tv trab. forças viscosas e de pressão 35

Balanço de Energia Mecânica: u (eq. Cauchy) Balanço de Energia Térmico: subs_tuindo a eq. acima na Eq. conservação energia ρ Du Dt variação en. interna por un. vol. ρ Dv 2 2 Dt = q geração en. por un. vol. = ( ρg) v+ v ( divt) divq ganho en. por condução p div v + tr τ v aumento rev. de en. int. por compressão ( ) aumento irrev. en. int. por dissipação viscosa T = pι + τ D 1 2 ( v+ vt ) ( ) v 1 v+ vt + 1 v+ vt = D+ W 2 2 parte simétrica ( ) parte anti-simétrica D:Tensor taxa de deformação W: Tensor vor_cidade 36

Usando a entalpia específica: h u+p/ρ o balanço de energia térmico fica: ρ Dh Dt = q div q + Dp + tr( τ v) Dt Novas incógnitas: u (ou h), q Relações entre u (ou h) e θ e p podem ser ob_das assumindo o equilíbrio termodinâmico:,. dh = C P dθ + 1 & ( 1/ ρ) ) - θ( + /. ρ ' θ * Dh Dt = C P Dθ Dt + p 0. 1 2. dp,. 1 & ( 1/ ρ) ) - θ( + /. ρ ' θ * p 0. 1 2. Dp Dt 37

Equação de energia em termos da temperatura A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração): ρc p Dθ Dt = ( ) tr τ v dissipação viscosa div q ( lnv + Dp * - ) lnθ, p Dt trabalho de compressão ρc v Dθ Dt = ( ) tr τ v dissipação viscosa div q θ p divv θ v trabalho de compressão 38

Segunda Lei da Termodinâmica Princípio da desigualdade de entropia D Dt ( ρs) dv + V m ( t ) Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: ρ Ds Dt + % q ( ' * 0 & θ ) Usando relações termodinâmicas, chega- se a: n q da 0 A m ( t ) θ 1 θ ( tr ( τ v ) + p v ) q θ θ 2 0 39

Comentários A solução de problemas de mecânica dos fluidos é ob_da com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações cons_tu_vas para τ e q Incógnitas: u (3), τ (9), q (3), θ e p (total:17) Equações: Conservação de massa (1), momento linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas τ ij para 6). Temos então 14 incógnitas e 5 equações Equações cons_tu_vas para τ e q 40

Equações cons_tu_vas Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio cononuo Equações cons_tu_vas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/ temperatura) 41

Princípios que devem ser sa_sfeitos Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma parocula não influencia a tensão nesta parocula Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações cons_tu_vas) têm que ser indiferentes ao referencial 42

Equação cons_tu_va para q: Lei de Fourier A equação foi proposta a par_r da observação de que q = K Tensor condutividade térmica, > 0 θ ( ) q = q θ,derivadas de θ de maior ordem A equação sa_sfaz ao princípio de obje_vidade (indiferença ao referencial) Processo de troca de calor é considerado instantâneo Fluido é considerado homogêneo A equação proposta foi validada experimentalmente 43

Lei de Fourier de condução de calor Para um fluido isotrópico, o fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI): q = k θ A Segunda Lei impõe que k>0 Lei de Fourier 44

Equação cons_tu_va para o tensor das tensões - Fluido Newtoniano T + pi = τ ( u, termos de maior ordem de derivadas em u) τ: tensão desviadora Considerando que τ sa_sfaz ao princípio de obje_vidade, é simétrico e depende apenas da história do movimento: τ = τ( D) D: parte simétrica de Ω: parte an_- simétrica de u : 1 2 u : ( u + ) ut 1 2 ( u ) ut 45

Equação cons_tu_va para Fluidos Newtonianos A forma mais geral para Τ é: T = x 0 Ι + x 1 D+ x 2 D D x k = x k ( Ι D,ΙΙ D,ΙΙΙ D ) A forma linear mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é: T = ( p + λtrd)i + 2µD Equação ConsLtuLva para Fluidos Newtonianos 46

Se o fluido for também incompressível: trd = u = 0 T = pi + 2µD A equação cons_tu_va é sa_sfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares Observa- se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é sa_sfeita por T e q A Segunda Lei é sa_sfeita se: # % λ + 2 $ 3 µ & ( ' viscosidade de bulk 0, µ 0, k 0 47