Espaços Quociente e sua Topologia

Universidade Federal da Rondônia Núcleo de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Matemática Curso de Matemática Espaços Quociente e sua Topologia Quéssia de Oliveira Gimenes 2014

Universidade Federal de Rondônia Núcleo de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Matemática Curso de Matemática Espaços Quociente e sua Topologia por Quéssia de Oliveira Gimenes sob orientação do Prof. MSc. Thiago Ginez Velanga Moreira Outubro de 2014 Porto Velho-RO ii

Universidade Federal de Rondônia Núcleo de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Matemática Curso de Matemática Espaços Quociente e sua Topologia por Quéssia de Oliveira Gimenes Monogra a apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal da Rondônia, como requisito para a obtenção do grau de Lincenciado em Matemática. Área de Concentração: Geometria/Topologia Aprovada por: Prof. Msc. Thiago Ginez Velanga Moreira - UNIR (Orientador) Prof. Dr. Abel Ahmed Ahbid Delgado Ortiz - UNIR (Membro Titular) Prof. Dr. Tomas Daniel Menéndez Rodriguez - UNIR (Membro Titular) iii

iv A minha mãe, com todo amor.

Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus, por esta conquista e por me dar forças e por colocar ao meu lado pessoas que me incentivaram a conclusão deste trabalho. A minha mãe, Francisca Ediane Brito de Oliveira, razão da minha vida, que sempre me apoiou, me motivou a seguir com meus estudos, a pessoa que me deu força para alcançar os meus objetivos, lutando por mim e comigo quando precisei e principalmente me dando amor e carinho que só uma mãe pode dar ao seu lho. Aos meus amigos e colegas acadêmicos que estiveram comigo ao longo dessa caminhada. Aos meus professores, que acreditaram em mim e me incentivaram a chegar até aqui. E, principalmente ao meu orientador, Prof. Ms. Thiago G. Velanga Moreira, que me deu todo apoio necessário para desenvolver este trabalho, dedicando muito do seu tempo e paciência. v

Resumo Este trabalho é o resultado de um estudo sobre os Espaços Quociente, também conhecido como espaço identi cação, e a sua Topologia. Serão mostrados alguns resultados preliminares em Teoria dos Conjuntos e Lógica, tendo como principal resultado nessa primeira parte o Teorema Fundamental das Classes de Equivalência. Logo em seguida, passando pela Topologia Geral, são enuciados conceitos básicos que se farão necessários para uma melhor compreensão do tema principal. Finalmente, apresentaremos os Espaços Quociente e a sua Topologia de nindo Topologia Quociente, Aplicação Quociente e Espaço Quociente, explicando o motivo dele também ser conhecido como espaço identi cação e a sua relação com o conceito de Conjunto Quociente dos cursos de Álgebra utilizando o Teorema Fundamental das Classes de Equivalêcia como vínculo. Como exemplo, mostraremos a construção do Toro e da Esfera e a topologia quociente existentes neles. Os resultados principais estão destacados na última seção. Palavras-Chave: Espaço quociente. Topologia Quociente. Aplicação quociente. Espaço Identi cação. Classes de Equivalência. vi

"Um monstro ou uma bela senhora, a forma como vemos a Matemática é produto dos nossos esforços." (Prof. Jerriomar Ferreira) vii

Sumário 1 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e Lógica 1 1.1 Relações................................... 1 1.1.1 Relações de equivalência e partições................ 1 2 Noções de Topologia Geral 6 2.1 Espaços Topológicos............................ 6 2.2 Bases para uma topologia......................... 7 2.3 A topologia produto sobre X Y..................... 9 2.4 Funções contínuas.............................. 10 2.5 Subespaços e topologia relativa...................... 11 2.6 Homeomor smos.............................. 12 2.7 Espaços de Hausdor............................ 13 3 Espaços Quociente e sua Topologia 14 3.1 A aplicação quociente............................ 14 3.2 A topologia quociente............................ 20 3.3 O espaço identi cação........................... 22 3.3.1 A esfera............................... 23 3.3.2 O toro................................ 26 3.4 Os principais resultados.......................... 28 3.4.1 Restrição de aplicações quociente................. 28 3.4.2 Composição de aplicações quociente................ 31 3.4.3 Produto cartesiano de aplicações quociente............ 32 3.4.4 Funções contínuas sobre espaços quociente............ 34 viii

Introdução Este trabalho de conclusão de curso é fruto de estudos realizados pela autora, em co-autoria com seu orientador professor MSc. Thiago Ginez Velanga Moreira, dentro do Grupo de Estudos e Pesquisa em Matemática Avançada (GEMA), em sua linha de pesquisa "Estudos em Topologia Algébrica", durante todo ano de 2014. Paralelamente, parte dele, especi camente, a construção algébrica e topológica do toro e da esfera, foi desenvolvida no projeto de iniciação cientí ca "Integrando a Amazônia"vinculado à Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Tal construção também foi apresentada no III Colóquio de Matemática da Região Norte (III CMRN 2014) em sua I Jornada de Iniciação Cientí ca como parte das atividades da autora no projeto, podendo também ser encontrado em http://www.dmat.unir.br/: O Capítulo 1 é básico, visto geralmente num primeiro curso de Álgebra ou Teoria dos Conjuntos, tem a pretensão de estabelecer o vínculo entre a Álgebra e a Topologia utilizadas neste trabalho, via Teorema Fundamental das Classes de Equivalência, resultado principal do capítulo. O Capítulo 2 reune alguns fatos básicos da Topologia Geral que se farão necessários para a compreensão de nosso resultado principal que se encontra no Capítulo 3. Neste último capítulo, atingimos nosso principal objetivo ao estudar os Espaços Quociente e sua topologia. Introduzimos o conceito de espaço quociente (também conhecido como espaço identi cação) e apresentamos aí um tratamento completo desses espaços e de sua topologia (a Topologia Quociente), passando por todas as de nições, propriedades e resultados que fundamentam a teoria, incluindo vários exemplos que a ilustram. Os principais exemplos do Capítulo 3 são o toro e a esfera, os quais construímos e os apresentamos como exemplos de espaço identi cação colocando seus abertos à mostra. Para nalizar, gostaríamos de incentivar o leitor a ir mais além ao lembrá-lo que este último capítulo é também um pré-requisito essencial para o estudo da Topologia Algébrica. Trata-se de uma poderosa ferramenta a ser utilizada neste vasto ramo da Topologia que, por sua vez, é amplamente estudado e cobrado em disciplinas e exames de quali cação de programas de mestrado e doutorado acadêmicos em matemática pura no Brasil e fora dele. Cumpridas estas etapas, o leitor estará apto a aplicar tais conhecimentos para ajudá-lo a compreender por exemplo [4], nossa principal referência para o estudo da área. ix

Capítulo 1 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e Lógica 1.1 Relações Não de niremos relações aqui, para maiores detalhes veja, por exemplo, [1]. 1.1.1 Relações de equivalência e partições De nição 1.1.1 Seja R uma relação de nida num conjunto A. Dizemos que R é uma relação de equivalência em A quando, para quaisquer x; y; z 2 A, as seguintes propriedades são satisfeitas: 1. xrx (Re exiva) 2. xry, yrx (Simétrica) 3. [xry e yrz] ) xrz (Transitiva) De nição 1.1.2 Uma classe de equivalência do elemento x 2 A com respeito à relação é o conjunto [x] = fa 2 A; a xg. De nição 1.1.3 O conjunto formado por todas as classes [x], com x 2 A, é chamado conjunto quociente de A pela relação de equivalência Proposição 1.1.4 Seja x; y 2 A. Então, ~ uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam 1. [x] = [y], x y; 2. [x] 6= [y] ) [x] \ [y] =?; 1

3. [ x2a [x] = A. Demonstração: 1. Suponha que[x] = [y], vamos mostrar que x y. Temos que x 2 [x] = [y] ) x 2 [y] ) x y. Suponha que x y, vamos mostrar que [x] = [y]. Mostraremos [x] [y] (1.1) e [y] [x]. (1.2) Seja a 2 [x], vamos mostrar que a 2 [y]. Temos a 2 [x] ) a x e, temos por hipótese que x y. Como é uma relação de equivalência, temos que a y ) a 2 [y]. Isso mostra (1.1). Para mostrar (1.2), a 2 [y] ) a y. Como x y, por simetria vale que y x. Assim, (a y e y x) ) a x ) a 2 [x], obtendo (1.2). Logo, obtemos a igualdade [x] = [y], provando o primeiro item. 2. Suponha que e seja a 2 [x] \ [y]. Então, Pelo item (1); segue que [x] = [y]. [x] \ [y] 6=? a 2 [x] e a 2 [y] ) [a x e a y] ) [x a e a y] ) x y 2

3. Mostraremos que Seja x 2 A qualquer. Vamos mostrar que [ x2a [x]. A [ x2a [x]. (1.3) x 2 A ) x 2 [x] ) x 2 [ x2a [x], mostrando que [ [x]. Por outro lado dado a 2 [ [x], então existe x 0 2 A tal x2a x2a que a 2 [x 0 ] = fa 2 A; a x 0 g mostrando que ) a 2 A, [ [x] A: (1.4) x2a De (1.3) e (1.4), vem que [ x2a [x] = A e a proposição está provada. De nição 1.1.5 (Partição) Uma partição de um conjunto A é uma coleção de subconjuntos não-vazios e disjuntos de A cuja união é igual a A. Mais explicitamente, dizemos que uma coleção P P (A) é uma partição do conjunto A quando forem satisfeitas as seguintes condições: (i) Para todos B 1 ; B 2 2 P, com B 1 6= B 2, tem-se que B 1 \ B 2 =?; (ii) [ B2P B = A. Proposição 1.1.6 Seja A um conjunto. Dada uma partição P do conjunto A existe uma única relação de equivalência sobre A tal que A= = P Demonstração: De na sobre A a seguinte relação: x; y 2 A; x y, 9B 2 P; x; y 2 B. A relação é re exiva pois, dado x 2 A temos pela condição (ii) da De nição 1.1.5 que x 2 [ B2P B. Logo, existe B 2 P tal que x 2 B, mostrando que x x; 8x 2 A. Para ver que a relação é simétrica, sejam dados x; y 2 A tais que x y. Então, existe B 2 P tal que x; y 2 B. Assim, y x, mostrando a simetria. Mostraremos agora a 3

transitividade da relação. Sejam dados x; y; z 2 A arbitrários. Suponha que x y e y z. Então, existem B 1 ; B 2 2 P tais que x; y 2 B1 y; z 2 B 2 =) y 2 B 1 \ B 2. Segue da condição (i) da De nição 1.1.5 que B 1 = B 2. Pondo B = B 1 = B 2, obtemos que x; z 2 B, com B 2 P. Daí, vem que x z. Falta mostrar a igualdade Por de nição, temos que Seja dado C 2 A=. Existe x 2 A tal que A= = P. A= = f[x] ; x 2 Ag : C = [x] = fy 2 A; y xg. Como x 2 A = [ B, existe B = B x 2 P tal que x 2 B x. A rmamos que C = B x 2 P. B2P De fato, y 2 B x ) y; x 2 B x, com B x 2 P ) y x ) y 2 [x] = C. Por outro lado, y 2 C = [x] ) y x ) 9B 0 2 P; y; x 2 B 0. Como x 2 B x, segue que B x \ B 0 6=?, com B x ; B 0 2 P. Então, segue da condição (i) da De nição 1.1.5 que y 2 B 0 = B x, donde vem que C = B x 2 P: Reciprocamente, seja C 2 P: Existe x 2 C, para algum x 2 A (pois C é subconjunto não-vazio de A). Mostraremos que C = [x] 2 A= : De fato, Por outro lado, y 2 C ) y; x 2 C, com C 2 P ) y x ) y 2 [x] y 2 [x] ) y x ) 9B 2 P; y; x 2 B Como x 2 C, segue que x 2 B \ C onde B; C 2 P. Novamente pela condição (i) da De nição 1.1.5, y 2 B = C, mostrando que C = [x] 2 A=. Portanto, concluímos que A= = P: Prova da Unicidade: Suponhamos que existem duas relações de equivalência R 1 e R 2 sobre A tais que A=R 1 = P=A=R 2 : 4

Mostraremos que Basta mostrar que R 1 = R 2 : yr 1 x, yr 2 x, para todos x; y 2 A. De fato, sejam dados x; y 2 A quaisquer e, ponha E 1 = fz 2 A; zr 1 xg e E 2 = fz 2 A; zr 2 xg. Então, E 1 2 A=R 1 e E 2 2 A=R 2. Segue da hipótese que E 1 ; E 2 2 P e, como x 2 E 1 \E 2, segue que E 1 = E 2 : Assim, para todos x; y 2 A. Concluímos que yr 1 x, y 2 E 1 = E 2, yr 2 x R 1 = R 2 : Podemos então enunciar agora o Teorema Fundamental das Classes de Equivalência Teorema 1.1.7 Seja A um conjunto não vãzio. (1) Se de ne uma relação de equivalência sobre A então o conjunto quociente A= := f[x]; x 2 Ag das classes de equivalência de forma uma partição de A. (2) Se P é uma partição de A então, existe uma única relação de equivalência sobre A cujas classes de equivalência são exatamente os elementos da partição P. Isto é, A= = P. Demonstração: Consequência imediata das proposições 1.1.4 e 1.1.6: 5

Capítulo 2 Noções de Topologia Geral Neste capítulo, reunimos alguns fatos básicos da Topologia Geral que se farão necessários para a compreensão de nosso resultado principal, que são os Espaços Quociente e sua topologia. Alguns resultados encontram-se apenas enunciados, sem demonstração. Para um estudo mais detalhado neste assunto recomendamos [8], [9], [5], [11] e [10], nesta ordem de prioridade. Muitas vezes usaremos ao longo de todo trabalho e, sem mencionar, resultados básicos da teoria de conjuntos e funções. O leitor em dúvida poderá (e deverá) consultar [6, Capítulo 1]. 2.1 Espaços Topológicos Lembremos da de nição de espaços topológicos. De nição 2.1.1 Seja X um conjunto qualquer. Uma topologia em X é uma coleção de subconjuntos de X, chamados conjuntos abertos, que satisfaz: a) A união qualquer de elementos de é também um elemento de ; b) A interseção nita de elementos de é também um elemento de ; c) X e? pertencem a Dizemos que (X; ) é um espaço topológico, que abreviaremos para X quando não houver possibilidade de confusão. De nição 2.1.2 Se X é um espaço topológico e E X, dizemos que E é fechado em X se, e somente se, seu complementar X E é aberto. De nição 2.1.3 Dado um subconjunto A de um espaço topológico X, de nimos o fecho de A como sendo a interseção de todos os subconjuntos fechados de X contendo A. O fecho de A é denotado por A. 6

De nição 2.1.4 Seja X um espaço topológico e seja x 2 X. Uma vizinhança de x é qualquer subconjunto U X aberto que contém x. Um exercício fácil e útil é o seguinte: Proposição 2.1.5 Sejam dados um espaço topológico X e um subconjunto A X. Então, A é fechado em X se, e somente se, A = A. De nição 2.1.6 Um ponto de acumulação de um conjunto A em um espaço topológico X é um ponto x 2 X tal que cada vizinhança de x contém algum ponto de A, diferente de x. O conjunto A 0 formado por todos os pontos de acumalação de A é chamado derivado de A. Proposição 2.1.7 Tem-se que A = A [ A 0. 2.2 Bases para uma topologia De nição 2.2.1 Seja X um conjunto. Uma base para uma topologia em X é uma coleção B de subconjuntos de X (chamados elementos básicos) que cumpre as seguintes condições: 1. Para cada x 2 X, existe B 2 B tal que x 2 B: 2. Dados x 2 X e B 1 ; B 2 2 B tais que x 2 B 1 \ B 2, existe B 3 2 B tal que x 2 B 3 B 1 \ B 2 : A partir de uma base B, de nimos a topologia gerada por B como segue: De na uma coleção de subconjuntos U X tais que Note que B. 8x 2 U; 9B x 2 B tal que x 2 B x U. Mostraremos que é uma topologia em X. De fato, (i)? e X 2? 2 (por vacuidade). Agora, dado x 2 X, pelo item (1) da De nição 2.2.1, existe B = B x 2 B tal que x 2 B x X, mostrando que X 2. 7

n\ (ii) Dados U 1 ; :::; U n 2, tem-se U i 2 : i=1 Primeiro provaremos que se U 1 ; U 2 2 então (U 1 \ U 2 ) 2. De fato, tome x 2 U 1 \ U 2. Então x 2 U 1 e x 2 U 2. Como U 1 ; U 2 2, existem B 1 ; B 2 2 B tais que x 2 B1 U 1 x 2 B 2 U 2 ) x 2 B 1 \ B 2 U 1 \ U 2 : Pelo item (2) da De nição 2.2.1, existe B 3 2 B tal que x 2 B 3 B 1 \ B 2 U 1 \ U 2, provando que U 1 \ U 2 2. Por indução, mostraremos que dados n 2 N e n\ U 1 ; U 2 ; :::; U n 2, tem-se U i 2. Isto concluírá (ii). De fato, se n = 1 i=1 a propriedade é claramente satisfeita. Suponha que a propriedade seja verdadeira para n > 1, isto é n\ (U 1 ; U 2 ; :::; U n 2 ) ) U i 2 (hipótese de indução): i=1 Devemos mostrar que (U 1 ; U 2 ; :::; U n ; U n+1 2 ) ) De fato, segue da hipótese de indução que n\ U i 2. i=1 n+1 \ U i 2 (tese) i=1 Pela primeira parte da demosntração obtem-se n+1 n\ \ U i = U i \ [ n+1 2 i=1 i=1 concluindo a prova e provando (ii). (iii) Seja fu i g i2i uma família de elementos U i 2. Mostraremos que [ U i 2. i2i De fato, dado x 2 [ U i existe i 0 2 I tal que x 2 U i0. Como U i0 2, existe i2i B x = B 2 B tal que x 2 B U i0 [ U i i2i ) x 2 B [ U i, i2i mostrando que [ U i 2 e concluindo (iii). i2i 8

Segue de (i), (ii) e (iii) que é topologia. De nição 2.2.2 A topologia de nida em X logo acima é chamada topologia gerada pela base B em X. 2.3 A topologia produto sobre X Y Sejam X e Y espaços topológicos. Mostraremos que é possível de nir uma topologia em X Y que tem como base o conjunto B= fu V X Y ; U é aberto em X e V aberto em Y g. Tal topologia será chamada topologia produto (ou box topology) sobre X Y. De fato, mostraremos que B é base para uma topologia em X Y. Para isso, mostraremos que valem os itens (1) e (2) da De nição 2.2.1. Prova de (1): Seja dado (x; y) 2 X Y. Pondo B = X Y, temos que B 2 B tal que (x; y) 2 B. Isto prova (1). Prova de (2): Sejam dados (x; y) 2 X Y e B 1 ; B 2 2 B tais que Mostraremos que existe B 3 2 B tal que Temos que (x; y) 2 B 1 \ B 2 : (x; y) 2 B 3 B 1 \ B 2. B 1 = U 1 V 1 e B 2 = U 2 V 2, com U 1 ; U 2 abertos em X e V 1 ; V 2 em abertos em Y. Por hipótese, (x; y) 2 (U 1 V 1 ) \ (U 2 V 2 ) = (U 1 \ U 2 ) (V 1 \ V 2 ). Pondo B 3 = (U 1 \ U 2 ) (V 1 \ V 2 ) segue que B 3 2 B tal que (x; y) 2 B 3 = B 1 \ B 2 ; provando (2). Assim, concluímos que B é base para uma topologia em X Y: De nição 2.3.1 A topologia em X Y que tem a coleção B= fu V X Y ; U é aberto em X e V aberto em Y g como base, é chamada topologia produto (ou box topology) de X Y Teorema 2.3.2 Seja (X; ) um espaço topológico no qual sua topologia é gerada por uma base B. Então, para cada U 2, existe C B tal que U = [ V 2C V Em outras palavras, cada aberto da topologia pode ser representado como união de elementos da base. 9

2.4 Funções contínuas De nição 2.4.1 Sejam X e Y espaços topológicos e seja f : X! Y uma função. Então f é continua em x 0 2 X se e somente se para cada vizinhança V de f(x 0 ) em Y, existir uma vizinhança U de x 0 em X tal que f(u) V: Dizemos que f é contínua em X quando f for contínua em cada ponto de X. Teorema 2.4.2 Se X e Y são espaços topológicos e f : X! Y é uma função, as seguintes a rmações são equivalentes: (a) f é contínua; (b) para cada aberto H em Y, temos que f 1 (H) é aberto em X; (c) para cada fechado K em Y, temos que f 1 (K) é fechado em X; (d) para cada E X, f(cl X (E)) Cl Y (f(e)). Proposição 2.4.3 Seja f : X! Y uma função entre espaços topológicos e suponha que a topologia de Y é dada por uma base B. A m de mostrar que f é contínua, é su ciente mostrar que f 1 (B) é aberto em X,8B 2 B: (2.1) Demonstração: De fato, suponha que a topologia de Y seja gerada pela base B e que f cumpra a condição (2.1). Mostraremos que f é contínua. Dados U aberto em Y, pelo Teorema (2.3.2) existe C B tal que Logo, U = [ V 2C V: f 1 (U) = f 1 ( [ V 2C V ) = [ V 2C f 1 (V ) Como f satisfaz (2.1), segue que f 1 (V ) é aberto em X, para cada V 2 C: Portanto, f 1 (U) = [ V 2C f 1 (V ) é aberto em X. Isto mostra que f é contínua. Teorema 2.4.4 Se X; Y e Z são espaços topológicos e f : X! Y e g : Y! Z são funções contínuas, então a composta g f : X! Z é contínua. Demonstração: Seja dado H é aberto em Z. Sabemos que (g f) 1 (H) = f 1 g 1 (H). Como g é contínua, temos que g 1 (H) é aberto em Y. Como f é contínua, obtemos que (g f) 1 (H) = f 1 g 1 (H) é aberto em X. A continuidade da composta (g f) segue portanto do Teorema 2.4.2: 10

2.5 Subespaços e topologia relativa De nição 2.5.1 Se (X; ) é um espaço topológico e A X, a coleção 0 = fg\a; G 2 g é uma topologa em A, chamada topologia relativa. Um subconjunto A de um espaço topológico (X; ), com a topologia relatica, é chamado subespaço. Teorema 2.5.2 Seja A um subespaço de um espaço topológico X. Então, (a) H A é aberto em A se, e somente se, H = G \ A, com G aberto em X; (b) F A é fechado em A se, e somente se F = K \ A, com K fechado em X; (c) Se E A, então Cl A (E) = A \ Cl X (E); (d) Se x 2 A, então, V é uma vizinhança de x em A se, e somente se, V = U \ A, onde U é uma vizinhança de x em X; (e) Se x 2 A e se B x é uma base de vizinhanças para x 2 X, então fb \ A; B 2 B x g é uma base de vizinhanças para x em A; (f) Se B é base para X então, fb \ A; B 2 Bg é uma base para A. Exercício 2.5.3 Mostre que se Y é subespaço de X, e A Y, então a topologia que A herda como subespaço de Y é a mesma topologia que A herda como subespaço de X: Demonstração: Ponhamos (X; ) e (Y; Y ), com Y subespaço de X. Suponha A Y e sejam 1 e 2 as topologias que A herda como subespaço de Y e X, respectivamente. Mostraremos que 1 = 2. De fato, G 2 1, G = A \ U, com U 2 y, G = A \ (Y \ V ), com V 2, G = A \ V, com V 2, G 2 2, mostrando que 1 = 2. (pois Y é subespaço de X) (pois A Y ) Teorema 2.5.4 Seja X um espaço topológico e Y X fechado em X. Um subconjunto F Y é fechado em Y se, e somente se, F é fechado em X. Demonstração: X tal que Como Y é fechado em X, segue que Suponha F Y fechado em Y. Então, existe K X fechado em F = K \ Y: F = K \ Y é fechado em X. Reciprocamente, se F Y é fechado em X então, F = F \ Y, com F fechado em X. Logo, F é fechado em Y. 11

Observação 2.5.5 Note que o Teorema 2.5.4 também é verdadeiro com "aberto"no lugar de "fechado": De nição 2.5.6 Se f : X! Y e A X, denotaremos por fj A a restrição de f a A, ou seja, a função fj A : A! Y dada por fj A (a) = f(a), para cada a em A: Proposição 2.5.7 Se A X e f : X! Y é contínua então, fj A : A! Y é contínua. Demonstração: Se H é aberto em Y; então (fj A ) 1 (H) = f 1 (H)\A, e este conjunto é aberto na topologia relativa de A. Teorema 2.5.8 Se X = A [ B, com A e B abertos (ou ambos fechados) em X, e f : X! Y é uma função tal que fj A e fj B são contínuas, então f é contínua. Demonstração: Suponha A e B ambos abertos em X e seja H aberto em Y. Como f 1 (H) = (fj A ) 1 (H) [ (fj B ) 1 (H); e como (fj A ) e (fj B ) são contínuas, temos que (fj A ) 1 (H) e (fj B ) 1 (H) são abertos em A e B, respectivamente. Como A e B são abertos em X, segue que (fj A ) 1 (H) e (fj B ) 1 (H) são também abertos em X. Daí f 1 (H) é aberto em X, pois é união de abertos. Exercício 2.5.9 Suponha Y Z e f : X! Y. Mostre que f é contínua se, e somente se, f vista como função de X em Z é contínua. 2.6 Homeomor smos De nição 2.6.1 Se X e Y são espaços topológicos, f : X! Y é contínua, bijetiva e f 1 é contínua, dizemos que f é um homeomor smo e que X e Y são homeomorfos. Se f : X! Y é injetiva e f : X! f(x) é um homeomor smo, dizemos que f é um mergulho de X em Y; e que X está mergulhado em Y por f: Teorema 2.6.2 Se X e Y são espaços topológicos e f : X! Y a rmações são equivalentes: é bijetiva, as seguintes (a) f é um homeomor smo; (b) se G X, então f(g) é aberto em Y se e somente se G é aberto em X; (c) se F X, então f(f ) é fechado em Y se e somente se F é fechado em X; (d) se E X, então f(cl X (E)) = Cl Y (f(e)) 12

2.7 Espaços de Hausdor De nição 2.7.1 Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Hausdorjj se, para cada x 1 e x 2, elementos distintos de X, existem abertos disjuntos que separam x 1 e x 2. Em R, considere a topologia do complementar nito, isto é = fu R; (R U) é nito ou (R U) = Rg Seja F R um subconjunto nito de R. Digamos F = fx 1 ; :::; x n g. Então, (R F ) 2, donde vem que F é fechado. De nição 2.7.2 Dizemos que um espaço topológico X satisfaz o axioma T 1 quando todo subconjunto nito de X é fechado. Teorema 2.7.3 Seja X um espaço topológico. Se X é Hausdor então, X satisfaz o axioma T 1. A recíproca nao é verdadeira em geral. Considere (R; ), onde é a topologia do complementar nito. Temos que R satisfaz o axioma T 1 mas (R; ) não é Hausdor. Para provar (R; ) não é hausdor. Tome x 1 ; x 2 2 R, com x 1 6= x 2. Sejam dados A 1 ; A 2 abertos arbitrários em X tais que x 1 2 A 1 e x 2 2 A 2. Mostraremos que A 1 \ A 2 6=?: De fato, como A 1 ; A 2 6=? então (R A 1 ); (R A 2 ) 6= R. Logo, devemos ter (R A 1 ) e (R A 2 ) ambos nitos. Suponha agora, por absurdo, que fosse A 1 \ A 2 =?. Então, R = R (A 1 \ A 2 ) = (R A 1 ) [ (R A 2 ) donde vem que R seria um conjunto nito, um absurdo. 13

Capítulo 3 Espaços Quociente e sua Topologia 3.1 A aplicação quociente Nesta seção apresentaremos o conceito chave de aplicação quociente e, em seguida, apresentamos sua versão equivalente para conjuntos fechados. De nição 3.1.1 Sejam X e Y espaços topológicos e seja p : X sobrejetora. Dizemos que p é uma aplicação quociente quando! Y uma aplicação para todo subconjunto U Y. p 1 (U) é aberto em X, U é aberto em Y, Observação 3.1.2 Ao substituir "aberto"por "fechado"na de nição acima, obtemos de nições equivalentes. Para ver isto, basta lembrar que p 1 (Y U) = X p 1 (U); para todo subconjunto U Y. A igualdade acima é um fato elementar em teoria de conjuntos. Uma prova pode ser encontrada, por exemplo, em [6, pág. 20]. É possível, e também útil, caracterizar aplicações quocientes via conjuntos saturados, os quais de niremos logo abaixo. De nição 3.1.3 Seja p : X! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos quaisquer. Um subconjunto C X é dito saturado (com respeito à aplicação sobrejetiva p) quando C contém cada conjunto p 1 (fyg) que o intersecta. Em símbolos: C p 1 (fyg); sempre que p 1 (fyg) \ C 6=?: Note que na de nição acima não foi exigido que X e Y sejam espaços topológicos. Basta que sejam conjuntos quaisquer. 14

Proposição 3.1.4 Seja p : X! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos e seja C X. Se C é a imagem inversa, via p, de algum subconjunto de Y então, C é saturado (com respeito a p). Demonstração: Suponha que exista U Y tal que Seja dado y 2 Y tal que mostraremos que Temos que Assim Agora, C = p 1 (U): p 1 (fyg) \ C 6=?, C p 1 (fyg): (3.1)? 6= p 1 (fyg) \ C = p 1 (fyg) \ p 1 (U) = p 1 (fyg \ U). p 1 (fyg \ U) 6=? ) (fyg \ U) 6=? ) y 2 U. x 2 p 1 (fyg) ) x 2 X; p (x) 2 fyg ) x 2 X; p (x) = y 2 U ) x 2 p 1 (U), mostrando (3.1) e, portanto, concluindo a prova. Proposição 3.1.5 Seja p : X! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos e seja C X. Se C X é saturado em X (com respeito à aplicação sobrejetiva p : X! Y ), então, C é a imagem inversa de algum subconjunto U Y. Demonstração: Ponha U = p(c). Mostraremos que C = p 1 (U): Já sabemos que a inclusão () sempre ocorre (para qualquer função) pois, x 2 C ) p(x) 2 p(c) ) x 2 p 1 (p(c)) Basta mostrar que p 1 (p(c)) C. De fato, x 2 p 1 (p(c)) ) p(x) 2 p(c) ) p(x) = p(x 0 ), para algum x 0 2 C ) x 0 2 p 1 (fp(x)g) \ C 15

e, como C é saturado em X, segue que C p 1 (fp(x)g), e, portanto, x 2 p 1 (fp(x)g) C, concluindo a demonstração. Podemos agora enunciar a seguinte caracterização dos conjuntos saturados. Proposição 3.1.6 Seja p : X! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos X e Y quaisquer. Um subconjunto C X é saturado (com respeito a p) se, e somonte se, C = p 1 (p(c)): A partir de agora, precisaremos exigir que os conjuntos X e Y sejam espaços topológicos. Daremos, a seguir, uma caracterização de aplicação quociente utilizando o conceito de conjunto saturado. Proposição 3.1.7 Seja p : X! Y uma aplicação sobrejetiva entre espaços topológicos. Então, p é uma aplicação quciente se, e somente se, p é continua e leva aberto saturado de X (respectivamente, saturado fechado de X) em aberto de Y (respectivamente, fechado de X). Demonstração: Suponha p uma aplicação quociente. Da própria De nição 3.1.1 segue que p é contínua. Além disso, se C X é aberto saturado em X então, pela Proposição 3.1.6, p 1 (p(c)) = C: Como C é aberto em X e p é aplicação quociente, segue da De nição 3.1.1 que p(c) é aberto em Y. Reciprocamente, suponha que p : X! Y é contínua e leva aberto saturado de X em aberto de Y. Seja dado U Y arbitrário. Como p é continua obtemos que U aberto em Y ) p 1 (U) é aberto em X. (3.2) Pondo C = p 1 (U), segue de (3.2) e da Proposição 3.1.4 que C é aberto saturado (com respeito a p) em X. Da hipótese e do fato de p ser sobrejetiva obtemos que mostrando que U = p(p 1 (U)) = p(c) é aberto em Y, p 1 (U) é aberto em X ) U é aberto em Y (3.3) De (3:2) e (3:3) segue que p é uma aplicação quociente. 16

De nição 3.1.8 Uma aplicação f : X! Y entre espaços topológicos é chamada aplicação aberta quando, para cada aberto U de X, o conjunto f(u) é aberto em Y. De nição 3.1.9 Uma aplicação f : X! Y entre espaços topológicos é chamada aplicação fechada quando, para cada fechado U de X, o conjunto f(u) é fechado em Y. Observação 3.1.10 De agora em diante, neste trabalho, consideraremos apenas aplicações entre espaços topológicos, a menos que algo seja mencionado em contrário. Proposição 3.1.11 Se uma aplicação p : X! Y é sobrejetiva, contínua e aberta (ou fechada), então, p é uma aplicação quociente. Demonstração: Mostraremos que p 1 (U) é aberto em X, U é aberto em Y, (3.4) para todo subconjunto U Y: A implicação (() segue da hipótese de que p é contínua: Para mostrar ()), suponha que p 1 (U) seja aberto em X, com U Y. Como p é sobrejetiva, U = p(p 1 (U)). Como p é aberta, segue queu = p(p 1 (U)) é aberto em Y. Isto conclui (3.4), mostrando que p é aplicação quociente. Mostraremos agora que (3.4) também é verdade quando p é uma aplicação fechada. De fato, temos novamente que implicação (() é consequência da hipótese de p ser contínua. Para mostrar ()), suponha que p 1 (U) seja aberto em X, com U Y. Então, X p 1 (U) é fechado em X. Como e p é sobrejetiva, tem-se que X p 1 (U) = p 1 (Y U) Y U = p(x p 1 (U)) é fechado em Y, pois p é fechada: Segue que U é aberto em Y. Isto prova (3.4) e, portanto, conclui que p é uma aplicação quociente. Observação 3.1.12 A recíproca da Proposição 3.1.11 não é verdadeira. Isto é, existem aplicações quociente que não são abertas nem fechadas. O Exercício 3 de [8, pág. 145] traz um contra-exemplo: A seguir um exemplo de aplicação quociente fechada que não é aberta. 17

Exemplo 3.1.13 Considere o subespaço X = [0; 1] [ [2; 3] de R, e seja Y = [0; 2] subespaço topológico de R. De na a aplicação p : X! Y dada por p(x) = x, se x 2 [0; 1] x 1, se x 2 [2; 3] : Vejamos primeiro que p está bem de nida. De fato, sejam dados x; y 2 X quaisquer com x = y. Se for x 2 [0; 1] obtemos p (x) = p (y). Se for x 2 [2; 3], obtemos p(x) = x 1 = y 1 = p(y). Em todo caso, tem-se p (x) = p (y), mostrando que p está bem de nida. A continuidade de p segue do Teorema 8.8 de [9]. Para ver que p é sobrejetiva, tome y 2 [0; 2] arbitrário. Se for y 2 (1; 2], escolhendo x = y + 1, tem-se que x 2 (2; 3] X com y = x 1 = p(x): Se for y 2 [0; 1], basta escolher x = y e obter que y = x = p (x). Em todo caso, existe x 2 X tal que y = p (x), mostrando que p é sobrejetora. Mostraremos agora que p é uma aplicação fechada. De fato, seja dado F X fechado em X = [0; 1] [ [2; 3]. Existe K R fechado em R tal que F = K \ X. Temos daí que, p (F ) = p (K \ X) = p (K \ ([0; 1] [ [2; 3])) = p ((K \ ([0; 1]) [ (K \ [2; 3])) = p(k \ ([0; 1]) [ p(k \ [2; 3]) = (K \ ([0; 1]) [ p(k \ [2; 3]) O último membro da igualdade acima é fechado em Y. Para ver isso, primeiro note que p(k \ [0; 1]) = K \ [0; 1]; que é fechado em Y, pois (K \ [0; 1]) = (K \ [0; 1]) \ Y, com (K \ [0; 1]) fechado em R. Para mostrar que p(k \ [2; 3]) também é fechado em Y, note que a restrição pj [2;3] é um homeomor smo de [2; 3] em [1; 2] (Veja os cálculos na Observação 3.1.14 logo abaixo). Pelo Teorema 2.6.2, segue que p (K \ [2; 3]) = pj [2;3] (K \ [2; 3]) 18

é fechado em [1; 2]. Do Teorema 2.5.4, segue que pj [2;3] (K \ [2; 3]) é fechado em Y. Daí, p(f ) = (K \ [0; 1]) [ p(k \ [2; 3]) é fechado em Y, mostrando que p é aplicação fechada. Com isso, temos concluído até aqui que p é contínua, sobrejetora e fechada. Segue da Proposição (3.1.11) que p é uma aplicação quociente. Mostraremos agora que p não é aberta. De fato, o conjunto [0; 1] é aberto em X = [0; 1] [ [2; 3] pois, [0; 1] = 1 2 ; 3 \ X, 2 onde 1 2 ; 3 2 é aberto em R. Como Y [0; 1] = (1; 2] não é fechado R, segue do Teorema (2.5.4) que Y [0; 1] não é fechado em Y e, porntanto, p([0; 1]) = [0; 1] não é aberto em Y. Isto mostra que p não é uma aplicação aberta. Observação 3.1.14 Mostraremos que a restrição pj [2;3] : [2; 3]! Y x 7! (x 1) é um merguho de [2; 3] em Y. De fato, sabemos da Proposição 2.5.7 que pj [2;3] é contínua. Temos também que pj [2;3] é injetora. Para ver isso, dados x; y 2 [2; 3] quaisquer tem-se pj [2;3] (x) = pj [2;3] (y) =) p(x) = p(y) =) x 1 = y 1 =) x = y e a restrição é injetora. Restringindo o contra-domínio Y a [1; 2] = pj [2;3] ([2; 3]) Y, obtemos que a função é uma bijeção contínua, cuja inversa pj [2;3] : [2; 3]! pj [2;3] ([2; 3]) x 7! (x 1) pj [2;3] 1 : [1; 2]! [2; 3] y 7! (y 1) é também contínua. Segue que pj [2;3] : [2; 3]! pj [2;3] ([2; 3]) é um homeomor smo. Exemplo 3.1.15 Considere o conjunto A = [0; 1)[[2; 3] subespaço de X e seja q = pj A a restrição da aplicação p do exemplo anterior ao conjunto A. Então, q : A! Y é contínua e sobrejetiva. Como [2; 3] = q 1 ([1; 2]), segue que [2; 3] é um conjunto saturado de X e, como 3 [2; 3] = 2 ; 4 \ X, 19

com 3; 4 aberto em R, segue que [2; 3] é aberto saturado de X. Porém, q([2; 3]) = [1; 2] 2 não é aberto em Y. De fato, seu complementar Y [1; 2] = [0; 1) não é fechado em R e, pelo Teorema (2.5.4), Y [1; 2] não é fechado em Y. Portanto q([2; 3]) = [1; 2] não é aberto em Y. Segue da Proposição 3.1.7 que q não é uma aplicação quociente. 3.2 A topologia quociente Mostraremos agora como a noção de aplicação quociente pode ser usada para construir uma topologia num conjunto qualquer. Proposição 3.2.1 Sejam X um espaço topológico, A um conjunto qualquer e p : X! A uma aplicação sobrejetiva. Existe (e é única) uma topologia em A com relação a qual p é uma aplicação quociente. Demonstração: De na p = G A; p 1 (G) é aberto em X : Mostraremos que p é uma topologia em A. De fato, temos que p 1 (;) = ; o qual, por sua vez, é aberto em X e, portanto, ; 2 p. Temos também que p 1 (A) = X, que é aberto em X, mostrando portanto que ;; A 2 p. Sejam dados G 1 ; G 2 ; G 3 ; :::; G n 2 p, mostraremos que n \ i=1 G i 2 p : (3.5) Para cada i = 1; 2; :::; n, temos que G i A tal que p 1 (G i ) é aberto em X. Como X é um espaço topológico, obtemos n\ p 1 G i = \ n p 1 (G i ), i=1 i=1 o qual é aberto em X. Isso conclui (3.5). Seja agora (G ) 2L uma família de elementos de p. Mostraremos que [ G 2 p : (3.6) 2L Temos que G A tal que p 1 (G ) é aberto em X, para cada 2 L. Como X é espaço topológico, obtemos que p 1 [ G = [ p 1 (G ), 2L 2L 20

o qual é aberto em X. Isso conclui (3.6). Segue que p é uma topologia em A. Vamos mostrar agora que p é uma topologia em A com relação à qual p é uma aplicação quociente. Para ver isto, basta notar que p : X! (A; p ) é uma aplicação sobrejetiva entre espaços topológicos que satisfaz a De nição 3.1.1. A Unicidade da topologia p. Suponha que exista uma outra topologia em A com relação a qual p é a aplicação quociente. Mostraremos que = p : Da hipótese temos que p : X! (A; ) é uma aplicação quociente. Daí, pela De nção 3.1.1 sempre que U A. Daí, mostrando que as topologias coincidem. U 2, p 1 (U) é aberto em X, U 2, U 2 p De nição 3.2.2 (Topologia Quociente) Sejm X um espaço topológico, A um conjunto qualquer e p : X! A uma função sobrejetiva. Vimos que a coleção p := G A; p 1 (G) é aberto em X é a única topologia em A que torna p uma aplicação quociente. Esta topologia p é chamada topologia quociente induzida por p em A. Exemplo 3.2.3 Considere o conjunto A = fa; b; cg e de na p : R! A dada por 8 < a, se x > 0 p(x) = b, se x < 0 : c, se x = 0 Observe que p é sobrejetora. Vamos determinar a topologia quociente p = G A; p 1 (G) é aberto em R induzida por p em A. A coleção de todos os subconjuntos de A é dada por 2 A = f?; A; fag ; fbg ; fcg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cgg. Temos que p 1 (fag) = (0; +1), que é aberto em R; p 1 (fbg) = ( 1; 0), que é aberto em R; p 1 (fcg) = f0g, que não é aberto em R; p 1 (fa; bg) = ( 1; 0) [ (0; +1), que é aberto em R; p 1 (fa; cg) = f0g [ (0; +1) = [0; +1), que não é aberto em R; p 1 (fb; cg) = ( 1; 0) [ f0g = ( 1; 0], que não é aberto em R: Portanto, p = f?; A; fag; fbg; fa; bgg: 21

3.3 O espaço identi cação Existe uma situação especial na qual a topologia quociente ocorre com frequência. A situação é a seguinte: De nição 3.3.1 (Espaços Quociente) Seja X um espaço topológico e seja X uma partição de X em subconjuntos disjuntos não-vazios cuja união é igual ao X todo. Seja p : X! X a aplicação sobrejetiva que leva cada ponto x 2 X no elemento (subconjunto de X) de X que o contém. Quando X está munido com a topologia quociente induzida por p, dizemos que (X ; p ) é um espaço quociente de X. O conceito de Espaço Quociente que apresentamos acima está intimamente relacionado com o conceito de Conjunto Quociente que aprendemos nos cursos de Álgebra. A conexão entre os dois é feita pelo Teorema Fundamental das Classes de Equivalência (Teorema 1.1.7), da seguinte maneira: Sejam X um espaço topológico e X o seu espaço quociente. O Teorema 1.1.7 nos garante a existência de uma relação de equivalência de nida sobre X cuja coleção X= = f[x]; x 2 Xg de suas classes de equivalência coincide com X, isto é X= = X. Por este motivo o espaço quociente X é também conhecido como espaço identi cação (ou ainda espaço decomposição) do espaço X, pois X pode ser obtido a partir de X "identi cando"os pontos que pertencem a uma mesma classe de equivalência. Lema 3.3.2 Todo subconjunto U X é uma coleção de classes de equivalência cuja imagem inversa p 1 (U) é exatamente a união das classes de equivalência pertencentes a U. Demonstração: Seja dado U X. Sabemos do Teorema 1.1.7 que existe (e é única) a relação de equivalência sobre X tal que X= = X. Assim, podemos escrever U = ([x ]) 2L X. Mostraremos que [ [x ] = p 1 (U). (3.7) 2L De fato, provando (3.7). x 2 [ [x ] 2L, 9 0 2 L tal que x 2 [x 0 ], 9 0 2 L tal que p(x) = [x 0 ], p(x) 2 A, x 2 p 1 (A) 22

A seguir apresentamos uma caracterização da topologia (quociente) de X : Proposição 3.3.3 Sejam X um espaço topológico e X seu espaço quociente. Um aberto (respec. fechado) em X é uma coleção de classes de equivalência cuja união é um aberto (respect. fechado) de X. Demonstração: Seja dado A = ([x ]) 2L X um aberto de X. Segue do Lema 3.3.2 que [ [x ] = p 1 (A). 2L Pela de nição da topologia quociente de X obtemos que [ [x ] = p 1 (A) 2L é aberto em X. Reciprocamente, suponha que A seja uma coleção de classes de equivalência A = ([x ]) 2L X cuja união [ 2L [x ] é um aberto em X. Pelo Lema 3.3.2 obtemos que [ [x ] = p 1 (A). 2L Como [ [x ] é aberto em X, segue que A é aberto em X (na topologia quociente). 2L A prova para os fechados é idêntica, basta substituir a palavra "aberto"por "fechado"onde houver. 3.3.1 A esfera A esfera como espaço identi cação do círculo Seja X = f(x; y) 2 R 2 ; x 2 + y 2 1g a bola unitária fechada no R 2 e, seja X a partição de X formada por todos os conjuntos unitários f(x; y)g intx e pela fronteira S 1 = f(x; y) 2 R 2 ; x 2 + y 2 = 1g do círculo X. Considere a aplicação p : X! X dada por f(x; y)g ; se (x; y) 2 (X S p (x; y) = 1 ) S 1 ; se (x; y) 2 S 1. Note que p é a aplicação sobrejetora que leva cada ponto de X no elemento da partição (portanto, subconjunto de X) que o contém. Munindo X com a topologia quociente induzida por p, obtemos o espaço quociente X do círculo X. Acontece que identi car 23

os pontos equivalentes, isto é, aqueles que pertencem a uma mesma classe (elemento da partição) de X, é o mesmo que construir a esfera (superfície de uma bola no R 3 ) a partir do disco X colidindo toda sua fronteira S 1 a um único ponto; veja Figura 1. Figura 1 A topologia quociente da esfera Note que a restrição pj (X S 1 ) : (X S 1 )! X é injetora. Mostraremos agora que subconjuntos de X, da forma como U e V abaixo (regiões hachuradas da Figura 2), são abertos saturados (com respeito a p) em X. Figura 2 1. Vejamos que o conjunto V da Figura 2 é aberto e saturado (com respeito a p) em X. De fato, V é uma bola aberta de R 2 com V X S 1. Como V = X \ V; com V aberto em R 2, segue que V é aberto em X. Da gura pode ser visto que V é saturado, pois V = q 1 (V ), (3.8) onde V = ff(x; y)g; (x; y) 2 V g. Para provar (3.8) primeiro note que b 2 [ ff(x; y)gg, 9(x 0; y 0 ) 2 B tal que b 2 ff(x 0 ; y 0 )gg (x;y)2v, b = f(x 0 ; y 0 )g; com (x 0 ; y 0 ) 2 V,, b 2 V 24

mostrando que Agora, como V X V = [ ff(x; y)gg. (x;y)2v S 1, obtemos que p 1 (V ) = p 1 ( [ ff(x; y)gg) (x;y)2v = [ p 1 (ff(x; y)gg) (x;y)2v = [ f(x; y)g (x;y)2v = V, provando (3.8) e, portanto, concluindo, pela Proposição 3.1.4, que V é conjunto saturado (com respeito a p) de X. 2. Conjuntos como U da Figura 2 são abertos e saturados (com respeito a p) em X. De fato, note que o conjunto U da gura pode ser escrito como U = X (B [ S 1 ), para alguma bola fechada B em R 2 contida em X S 1 : Então, U = X (B [ S 1 ) = (X B) \ (X S 1 ), que é aberto em X (interseções de abertos em X). Para ver que U é saturado em X, de na U = ff(x; y)g; (x; y) 2 Ug. Basta mostrar que Temos Por outro lado, p 1 (U ) = U: (3.9) (x; y) 2 U ) (x; y) 2 X tal que p(x; y) = f(x; y)g 2 U ) (x; y) 2 p 1 (U ). (x; y) 2 p 1 (U ) ) (x; y) 2 X tal que p(x; y) 2 U ) 9(a; b) 2 U X S 1 tal que p(x; y) = f(a; b)g : Então, pj X S 1(x; y) = p(x; y) = f(a; b)g = p(a; b) = pj X S 1(a; b) e, como a restrição pj (X S 1 ) é injetora, vem que (x; y) = (a; b) 2 U. Logo, (x; y) 2 X tal que p(x; y) = f(x; y)g 2 U e, portanto, (x; y) 2 p 1 (U ). Isto conclui a prova de (3.9). Pela Proposição 3.1.4 obtemos que U é saturado. 25

Observação 3.3.4 Nos itens (1) e (2) acima, mostramos que conjuntos da forma como U e V na Figura 2 são os abertos saturados do disco unitário X. Segue da Proposição 3.1.7 que as imagens de tais conjuntos via p são abertos no espaço quociente X (são os abertos da esfera). 3.3.2 O toro Considere o retângulo X = [0; 1] [0; 1]. De na uma partição X de X constituída por subconjuntos de X da forma: (a) Conjuntos unitários f(x; y)g, onde (x; y) 2 (0; 1) (0; 1); (b) Conjuntos com dois elementos f(x; 0) ; (x; 1)g, onde 0 < x < 1; (c) Conjuntos com dois elementos f(0; y) ; (1; y)g, onde 0 < y < 1; (d) Conjunto dos vétices V e = f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g : Uma aplicação sobrejetora p : X! X que leva cada ponto de X no elemento da partição X que o contém, pode ser de nida pondo 8 f(x; y)g ; se (x; y) 2 (0; 1) (0; 1) >< f(x; 0) ; (x; 1)g se (x; y) 2 A p (x; y) = 1 [ A 2, f(0; y) ; (1; y)g se (x; y) 2 B 1 [ B 2 >: V e se (x; y) 2 V e onde A 1 ; A 2 e B 1 ; B 2 são os pares de lados do retângulo X V paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy, respectivamente (veja Figura 3). Agora podemos munir X com a topologia quociente induzida por p. Isto nos fornece o espaço quociente X do retângulo X. Note que, identi car os pontos de X que pertencem a um mesmo elemento (classe de equivalência) da partição X também nos fornece o toro (superfície de uma "rosquinha", ou doughnut em inglês). Isto pode ser feito "colando"apropriadamente os lados A 1 com A 2 do retângulo X e, em seguida, "colando"os lados B 1 com B 2. O resultado nal é o toro; veja Figura 3. Figura 3 26

A topologia quociente do toro Nosso objetivo aqui é reconhecer os abertos saturados de X e, com isso, usar as proposições 3.1.7 e 3.3.3 para apresentar os abertos do toro X. A rmamos que conjuntos como U; V e W da Figura 4 (apenas as regiões sombreadas) abaixo são abertos saturados de X. Figura 4 Conforme de nimos acima, temos que p : X! X é dada por 8 f(x; y)g ; se (x; y) 2 (0; 1) (0; 1) >< f(x; 0) ; (x; 1)g ; se (x; y) 2 A p (x; y) = 1 [ A 2, f(0; y) ; (1; y)g ; se (x; y) 2 B 1 [ B 2 >: V e ; se (x; y) 2 V e onde: A 1 = f(x; y) 2 X; 0 < x < 1 e y = 0g A 2 = f(x; y) 2 X; 0 < x < 1 e y = 1g B 1 = f(x; y) 2 X; x = 0 e 0 < y < 1g B 2 = f(x; y) 2 X; x = 1 e 0 < y < 1g V e = f(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1)g. Observação 3.3.5 Faremos o estudo apenas para o conjunto U da Figura 4, os demais conjuntos devem ser estudados de maneira análoga. Note primeiro que o conjunto U da Figura 3 é da forma U = 4 [ j=1 (X \ B j ) ; para algum raio 0 < r < 1 e bolas abertas de R 2 8 B 1 = B((0; 0); r) >< B 2 = B((0; 1); r) B 3 = B((1; 0); r) >: B 4 = B((1; 1); r) centradas nos vértices do retângulo X. Segue daí que U é aberto em X. Para ver que U é saturado (com respeito a p) em X, considere U X a coleção de toda as classes de equivalência da forma: 27

(a) [a x ] = f(x; 0); (x; 1)g, onde 0 < x < r (b) [a y ] = f(0; y); (1; y)g, onde 0 < y < r (c) [a y ] = f(0; y); (1; y)g, onde 1 r < y < 1 (d) [a x ] = f(x; 0); (x; 1)g, onde 1 r < x < 1 (e) V e = f(0; 0); (1; 0); (0; 1); (1; 1)g (f) f(x; y)g, onde (x; y) 2 U (A 1 [ A 2 [ B 1 [ B 2 ). Do Lema 3.3.2 obtemos que p 1 (U) = [ [a x ] [ [ [a y ] [ [ x2(0;r) y2(0;r) [ V e [ [ f(x; y)g (x;y)2u (A 1 [A 2 [B 1 [B 2 ) = U, y2(1 r;1) [a y ] [ [ [a x ] x2(1 r;1) [ mostrando que U é saturado (com respeito a p) em X. Como p é aplicação quociente devemos ter da Proposição 3.1.7 que p (U) (analogamente p(v ) e p (W )) é aberto em X. Se enxergarmos X como um toro (espaço identi cação do retângulo X), isto é, procedendo como na Figura 3, obtemos seus abertos Figura 5 Resumindo: a forma como descrevemos X enquanto espaço quociente é exatamente a maneira matemática de dizer o que expressamos nos desenhos quando colamos os lados de um retângulo para formar um toro. 3.4 Os principais resultados 3.4.1 Restrição de aplicações quociente Seja p : X! Y uma aplicação quociente e seja A subespaço de X. A aplicação q : A! p(a) obtida restringindo p, pode não ser uma aplicação quociente. Lembre que subespaços não se comportam bem. Estamos diante dos seguintes problemas: 28

Problem 3.4.1 Dado G aberto em p(a), deverá ser q 1 (G) aberto em A? Daí, Assumindo G aberto em p(a), existe U aberto em Y tal que G = p(a) \ U. q 1 (G) = q 1 (p(a) \ U) = q 1 (p(a)) \ q 1 (U) e, se U * p(a), não tem sentido escrever q 1 (U). Problem 3.4.2 Dado G p(a), com q 1 (G) aberto em A, a m de saber se a restrição q : A! p(a) é uma aplicação quociente, perguntamos se G é aberto em p (A). Sabemos que a resposta é a rmativa quando G é aberto em Y. Então surge a pergunta: Será que G é aberto em Y? Assumindo q 1 (G) aberto em A, existe V aberto em X tal que e, como q é sobrejetiva, q 1 (G) = A \ V G = q(a \ V ) q(a) \ q (V ). (3.10) O primeiro obstáculo é que apenas um lado da inclusão () em 3.10 é verdade, em geral (a menos que q seja injetiva). Depois, ainda que tivéssemos tal igualdade, qual a garantia de que q(v ) seria aberto em Y? O próximo resultado nos diz sob quais condições a restrição q : A! p(a) será uma aplicação quociente. Teorema 3.4.3 Seja p : X! Y uma aplicação quociente e seja A um subconjunto saturado de X com respeito a p. Considere a aplicação q : A! p(a) obtida restringindo p ao conjunto A. Então, (1) Se A é aberto ou fechado em X;então q é aplicação quociente; (2) Se p é aberta ou fechada, então q é aplicação quociente. Demonstração: 1 Passo: Mostraremos que q 1 (V ) = p 1 (V ), sempre que V p(a) p(u \ A) = p(u) \ p(a), sempre que U X (3.11) Suponha V p(a), como A é saturado p 1 (V ) p 1 (p(a)) = A q 1 (V ) q 1 (p(a)) = A 29

Assim, x 2 q 1 (V ), p(x) = q(x) 2 V, x 2 p 1 (V ) mostrando a primeira igualdade de (3.11). Para provar a segunda igualdade de (3.11), sabemos que a inclusão p(u \ A) p(u) \ p(a) sempre é verdadeira (para qualquer função). Por outro lado, tomando y 2 p(u) \ p(a) existem u; a 2 X tais que y = p(u); com u 2 U y = p(a); com a 2 A. Assim, a 2 p 1 (fyg), donde vem que p 1 (fyg) \ A 6=?. Como A é saturado, segue que Como u 2 p 1 (fyg) A, concluímos que p 1 (fyg) A., y = p(u), com u 2 U \ A ) y 2 p(u \ A) ; provando que p(u \ A) p(u) \ p(a), e a segunda igualdade de (3.11) segue. 2 Passo: Suponha que A é fechado em X ou p fechada. Mostraremos que q é aplicação quociente. Primeiro soponha que A seja fechado em X. Basta mostrar que dado V p(a) tem-se q 1 (V ) é fechado em A, V é fechado em p(a). (3.12) De fato, seja dado V p(a). Se q 1 (V ) é fechado em A então, como A é fechado em X, obtemos que q 1 (V ) é fechado em X. Daí e de (3.11) vem que p 1 (V ) = q 1 (V ) é fechado em X. Como p é aplicação quociente, segue que V é fechado em Y. Assim, V = p(a) \ V, com V fechado em Y ) V é fechado em p(a). Reciprocamente, suponha que V seja fechado em p(a). Existe F fechado em Y tal que V = p(a) \ F. Usando (3.11) e o fato de A ser saturado, obtemos q 1 (V ) = p 1 (V ) = p 1 (p(a) \ F ) = p 1 (p(a)) \ p 1 (F ) = A \ p 1 (F ). 30

Como p é aplicação quociente e F é fechado em Y, segue que p 1 (F ) é fechado em X. Logo, q 1 (V ) = A \ p 1 (F ) é fechado em A. Isto conclui (3.12) e prova que q é aplicação quociente. Suponha agora que p seja aplicação fechada. Mostraremos que também valerá (3.12): De fato, seja dado V p(a) arbitrário. Se q 1 (V ) é fechado em A, existe F X fechado em X tal que q 1 (V ) = F \ A. Usando (3.11) obtemos que p 1 (V ) = q 1 (V ) = F \ A. Usando (3.11) novamente e o fato de p ser sobrejetora, obtemos que V = p(p 1 (V )) = p(f \ A) = p(f ) \ p(a). Como p é aplicação fechada, obtemos p(f ) fechado em Y. Logo, V é fechado em p(a). Reciprocamente, suponha que V seja fechado em p(a). Existe F X fechado em X tal que V = p(a) \ F. Daí, usando (3.11) e o fato de A ser saturado, obtemos q 1 (V ) = p 1 (V ) = p 1 (p(a) \ F ) = p 1 (p(a)) \ p 1 (F ) = A \ p 1 (F ) Como p é aplicação quociete e F é fechado em X, segue que p 1 (F ) é fechado em X. Portanto, q 1 (V ) = A \ p 1 (F ) é fechado em A. Isso conclui (3.12) e, portanto, q é aplicação quociente. Até aqui mostramos que se A for fechado em X ou p for uma aplicação fechada então, q : A! p(a) será uma aplicação quociente. 3 Passo: A prova para A aberto em X ou q aberta é obtida substituindo a palavra "fechado"pela palavra "aberto"em todo o 2 passo. 3.4.2 Composição de aplicações quociente Composições de funções se comportam bem. Veri caremos a seguir que a composta de aplicações quocientes é também uma aplicação quociente. 31

Teorema 3.4.4 Se p : X! Y e q : Y! Z são aplicações quociente então, a composta q p : X! Z também o é. Demonstração: De fato, considere a composta Mostraremos que para cada U Z, vale q p : X! Z. (q p) 1 (U) é aberto em X), (U é aberto em Z). Para isso, seja dado U 6 Z arbitrário. Se U é aberto em Z, temos (q p) 1 (U) = p 1 (q 1 (U)). Como q é quociente e U é aberto em Z, obtemos q 1 (U) aberto em Y. quociente e q 1 (U) aberto em Y, obtemos Como p é (q p) 1 (U) = p 1 (q 1 (U)) aberto em X. A recíproca se faz de modo análogo. 3.4.3 Produto cartesiano de aplicações quociente Começamos de nindo o produto cartesiano de funções. Em seguida, veremos que tais produtos não se comportam bem. De nição 3.4.5 Sejam f : A! B e g : C! D funções. De nimos a função produto cartesiano de f por g como sendo a função 7 f g : A C! B D (a; c)! (f g)(a; c) = (f(a); g(c)) Observação 3.4.6 Note que, sendo f e g funções, o produto f g ca bem defenido. O resultado seguinte trata da continuidade de tais funções. Proposição 3.4.7 Sejam f : A! B e g : C! D funções contínuas. Então, o produto cartesiano f g : A C! B D é uma funcão contínua. Demonstração: Seja V um aberto básico de B D. Então, existem abertos V B em B e V D em D tais que V = V B V D. Temos que (a; c) 2 (f g) 1 (V B V D ), (f g)(a; c) 2 (V B V D ), (f(a); g(c)) 2 (V B V D ), f(a) 2 V B e g(c) 2 V D, a 2 f 1 (V B ) e c 2 g 1 (V D ), (a; c) 2 f 1 (V B ) g 1 (V D ), 32

mostrando que Daí, (f g) 1 (V B V D ) = f 1 (V B ) g 1 (V D ). (f g) 1 (V ) = (f g) 1 (V B V D ) = f 1 (V B ) g 1 (V D ) que é aberto (básico) de A C. Segue da Proposição 2.4.3 que (f g) é contínua. O produto cartesiano de aplicações quociente pode não ser uma aplicação quociente. Um bom contra-exemplo é [8, p. 143, Exemplo 7]. No entanto, quando as aplicações quociente forem abertas teremos uma resposta a rmativa. É o que diz a Proposição 3.4.8 Sejam f : X! Y e g : A! B aplicações quociente e abertas. Então o produto (f g) : (X A)! (Y B) é uma aplicação quociente. Demonstração: Mostraremos que (f g) é contínua, sobrejetora e aberta. Como f e g são contínuas, a Proposição 3.4.7 nos dá que (f g) é contínua. Para mostrar que (f g) é sobrejetora, mostraremos primeiro que (f g)(u V ) = f(u) g(v ), para todo subconjunto U V X A. De fato, (w; s) 2 (f g)(u V ), 9(u; v) 2 (U V ) tal que (w; s) = (f g)(u; v), w = f(u),com u 2 U e s = g(v), com v 2 V, w 2 f(u) e s 2 g(v ), (w; s) 2 f(u) g(v ) Em particular, Como f e g são sobrejetivas, vem que (f g)(x A) = f(x) g(a). (f g)(x A) = f(x) g(a) = A B mostrando que (f g) é sobrejetiva. Vamos mostrar que (f g) é aberta. Basta mostrar que (f g)(g) é aberta em Y B, para todo G aberto básico de X A. Assim, tome G aberto básico de X A. Então, existem U aberto de X e V aberto de A tal que G = U V. Daí, como vimos, (f g)(g) = (f g)(u V ) = f(u) g(v ). Como f e g são aplicações abertas, segue que f(u) é aberto em Y e g(v ) é aberto em B. Daí, (f g)(g) = f(u) g(v ) é aberto (básico) de Y B. Pela Proposição 3.1.7 o resultado segue. 33

Observação 3.4.9 A m de mostrar que uma aplicação f : X! Y entre espaços topológicos é aberta, é su ciente mostrar que f leva aberto básico de X em aberto de Y. 3.4.4 Funções contínuas sobre espaços quociente Talvez o problema mais importante no estudo dos espaços quociente seja a construção de funções contínuas de nidas num espaço quociente. Nesta seção, estabeleceremos critérios para determinar quando uma aplicação f : X! Z, "saindo"de um espaço quociente, será contínua. Veremos também aqui que a condição de Hausdor é outro assunto que não se comporta bem no estudo dos espaços quociente. Seja X um espaço topológico e X seu espaço quociente. Mesmo que X seja Hausdorf, não há motivos para que X também o seja. Encontrar razões que assegurem que X seja Hausdor é uma das questões mais delicadas sobre espaços quocientes. Por outro lado existe uma razão que assegura que X cumpra o axioma T 1 : Proposição 3.4.10 Se cada elemento da partição X é fechado em X, então, X cumpre o axioma T 1. Demonstração: Mostramos na Proposição 3.3.3 que um conjunto F X é fechado em X se, e somente se, a reunião de seus elementos (classes de equivalentes) é fechado em X. Assim se F X é um subconjunto nito, digamos então, pelo Lema 3.3.2, F = f[x 1 ]; : : : ; [x n ]g, p 1 (F ) = n [ j=1 [x j ] e, sendo cada [x j ], j = 1; : : : ; n é fechado em X, obtem-se que p 1 (F ) é fechado em X (pois é uma união nita de fechados). Como p é aplicação quociente, segue que F é fechado. O resultado segue. Teorema 3.4.11 Seja p : X! Y uma aplicação quociente e seja g : X! Z uma aplicação entre espaços topológicos que é constante em cada subconjunto p 1 (fyg), com y 2 Y. A aplicação g induz uma aplicação f : Y! Z tal que g = f p. Além disso, f é contínua se, e somente se, g é contínua; f é quociente se, e somente se, g é quociente. Demonstração: Primeiro vamos de nir f : Y! Z. Dado y 2 Y, como g é constante em p 1 (fyg), poremos g(p 1 (fyg)) = fc y g, com C y constante em Z: (3.13) De na agora f : Y! Z dada por y 7! f(y) = C y. Mostraremos que f está bem de nida. Isto é, dados y 1 ; y 2 2 Y vale y 1 = y 2 ) C y1 = C y2. (3.14) 34

De fato, supondo y 1 = y 2 tem-se que p 1 (fy 1 g) = p 1 (fy 2 g). Conforme de nimos em (3.13), obtemos que fc y1 g = g(p 1 (fy 1 g)) = g(p 1 (fy 2 g)) = fc y2 g donde vem que C y1 = C y2, provando (3.14) e mostrando que f está bem de nia. Mostraremos que f p = g. De fato, dado x 2 X existe (único) y 2 Z tal que y = p(x). Então, x 2 p 1 (fyg). Da da de nição de f e de 3.13 obtemos que g(x) = C y = f(y) = f(p(x)) = (f p) (x), para cada x 2 X. Isso mostra que (f p) = g. Mostraremos que f é contínua se, e somente se, g é contínua. Vimos que f p = g. Se f é contínua, como p é continua (pois p é quociente), segue do Teorema 2.4.4 que g também o é. Reciprocamente, suponha g contínua. Mostraremos que vale o item (b) do Teorema 2.4.2 para f. Para isso, tome U Z aberto em Z. Como g é contínua, tem-se que g 1 (U) é aberto em X. Daí, g 1 (U) = (f p) 1 (U) = = p 1 (f 1 (U)) é aberto em X. Como p é aplicação quociente, f 1 (U) é aberto em Y. Pelo Teorema 2.4.2 segue que f é contínua. Mostraremos que f é quociente se, e somente se, g é quociente. Temos que g = f p. Se f é quociente, como p é quociente então, pelo Teorema 3.4.4, g também o é. Reciprocamente, suponha g quociente. Primeiro veremos que f é sobrejetora. Temos Z = g (X) (pois g é sobrejetora) = (f p)(x) = f(p(x)) = f(y ) (pois p é sobrejetora) mostrando que f é sobrejetora. Falta mostrar que f 1 (U) é aberto em Y, (U é aberto em Z), (3.15) para cada subconjunto U Z. A prova de (() sai do fato de f ser contínua. Para provar ()), tome U Z tal que f 1 (U) seja aberto em Y. Mostraremos que U é aberto em Z. Como p é quociente p 1 (f 1 (U)) é aberto em X. Dai, g 1 (U) = (f p) 1 (U) = p 1 (f 1 (U)) é aberto em X. Como g é aplicação quociente obtemos que U é aberto em 6 Z. Isso conclui (3.15) e prova, portanto, que f é aplicação quociente. 35

Corolário 3.4.12 Seja g : X! Z uma aplicação sobrejetiva. Seja X a seguinte coleção de subconjuntos de X: X = fg 1 (fzg); z 2 Zg: Considere X munido com a topologia quociente. Então, (a) A aplicação g induz uma bijeção contínua f : X! Z, que será um homeomor smo se, e somente se, g for uma aplicação quociente; (b) Se Z é Hausdor, então X também o é. Demonstração: Primeiro vamos de nir a aplicação f : X! Z que seja bijeção e contínua. Lembre que p : X! X é a aplicação que leva cada x 2 X no elemento de partição X que o contém. Assim, dado z 2 Z tem-se que De fato, p 1 (fg 1 (fzg)g) = g 1 (fzg). (3.16) x 2 p 1 (fg 1 (fzg)g), p(x) 2 fg 1 (fzg)g, p(x) = g 1 (fzg), x 2 g 1 (fzg) (pela de nição da p) Outra forma de ver (3.16) é lembrar que, dado U X, o conjunto p 1 (U) é a união das classes (elementos da partição X ) que pertencem a U (veja Lema 3.3.2). Veremos agora que g é constante em cada conjunto p 1 (fyg), com y 2 X. Tome p 1 (fyg), com y 2 X. Para este y existe z 0 2 Z tal que y = g 1 (fz 0 g). Segue de (3.16) que p 1 (fyg) = g 1 (fz 0 g). Como g é sobrejetora, g(p 1 (fyg)) = fz 0 g; mostrando que g é constante em cada conjunto p 1 (fyg). Pelo Teorema 3.4.11, g induz uma aplicação f : X! Z tal que g = f p, onde f é de nida por f(y) = f(g 1 (fzg)) = z: Como g é cntinua, segue do mesmo teorema que f também o é. Veremos que f é bijeção. Sendo g e p sobrejeções então, Z = g (X) (pois g é sobrejetora) = (f p)(x) = f(p(x)) = f(x ) (pois p é sobrejetora) 36

mostrando que f é sobrejetora. Para ver que f é injetora, dados y 1 ; y 2 2 X existem z 1 ; z 2 2 Z tais que y 1 = g 1 (fz 1 g) e y 2 = g 1 (fz 2 g).assim, f(y 1 ) = f(y 2 ) ) f(g 1 fz 1 g) = f(g 1 fz 2 g) ) z 1 = z 2 ) g 1 fz 1 g = g 1 fz 1 g ) y 1 = y 2 mostrando que f é injetora. Até aqui, obtemos uma aplicação f : X contínua.! Z bijeção e Mostraremos que f é homeomor smo se, e somente se, g é uma aplicação quociente. Se f é homeomor smo, temos f sobrejetiva, contínua e aberta. Pela Proposição 3.1.11 obtemos que f é quociente. Como g = f p é composta de duas quociente, segue do Teorema 3.4.4 que g também o é. Reciprocamente, se g é quociente, pelo Teorema 3.4.11, f também é quociente. Para mostrar que f é homeomor smo, basta mostrar que f(g) é aberto em Z, G é aberto em X, (3.17) para todo subconjunto G X. Dado G Z, suponha f(g) aberto em Z. Como f é contínua e injetora, G = f 1 (f(g)) é aberto em X. Se G aberto em X, como G = f 1 (f(g)) segue que G é aberto saturado em X (com respeito a f). Como f é quociente, segue da Proposição 3.1.7 que f(g) aberto em Z. Isso conclui (3.17) e, pelo Teorema 2.6.2 segue que f é homeomor smo. Concluí-se a prova de (a). Prova de (b): Suponha Z Hausdor. Sejm dados y 1 ; y 2 2 X com y 1 6= y 2. Encontraremos abertos U 1 e U 2 em X contendo y 1 e y 2, respectivamente, tais que U 1 \ U 2 =?. De fato, existem z 1 ; z 2 2 Z tais que y 1 = g 1 (fz 1 g) e y 2 = g 1 (fz 2 g). Como y 1 6= y 2, devemos ter z 1 6= z 2. Sendo Z Hausdor existem abertos V 1 ; V 2 em Z com z 1 2 V 1 e z 2 2 V 2 tais que V 1 \ V 2 =?. Pondo U 1 = f 1 (V 1 ) e U 2 = f 1 (V 2 ) obtemos que U 1 ; U 2 são abertos e, além disso, f(y1 ) = f(g 1 (fz 1 g)) = z 1 2 V 1 f(y 2 ) = f(g 1 (fz 2 g)) = z 2 2 V 2 y1 2 f ) 1 (V 1 ) = U 1 y 2 2 f 1 (V 2 ) = U 2 : 37

Os abertos U 1 e U 2 são disjuntos, pois U 1 \ U 2 = f 1 (V 1 ) \ f 1 (V 2 ) = f 1 (V 1 \ V 2 ) =?. Isto mostra que X é Hausdor : Note que a demonstração do teorema anterior contém demonstrações para as duas seguinte observações, que são muitas vezes úteis. Observação 3.4.13 Se f : X! Y é aplicação entre espaços topológicos que é quociente e injetora, então f é homeomor smo. Observação 3.4.14 f : X! Z injetora e contínua. Hausdor. Então, Z Hausdor ) X é Neste próximo exemplo utilizaremos resultados básicos do cálculo de várias variáveis. Para maiores detalhes recomendamos [7], [2] e [3]. Exemplo 3.4.15 Seja X o subespaço do R 2 que é a união de todos os segmentos de reta [0; 1] fng, com n 2 Z + ; e, considere o conjunto Z = X = 1 [ n=1 ([0; 1] fng) n x; x o ; x 2 [0; 1] e n 2 Z +. n Note que Z é a união enumerável de segmentos de reta que têm uma extremidade em comum. De fato, dado n 2 Z +, o segmento de reta de extremos (0; 0) e 1; n 1 é o conjunto r n = (1 x) (0; 0) + x 1; 1 ; 0 x 1 : n O leitor em dúvida nesse ponto poderá consultar [7, pág. 13]. Assim, De na agora a função Z = 1 [ n=1 r n. g : X! Z (x; n) 7! (x; x n ). 7 7 g é claramente sobrejetiva e contínua. A continuidade de g é consequência de que suas funções componentes g 1 : X R 2! R (x; n)! g 1 (x; n) = x e g 2 : X R 2! R (x; n)! g 2 (x; n) = x n 38

são ambas contínuas em X. Seja agora X a seguinte partição de X: X = fg 1 (fzg); z 2 Zg. Note que g 1 (f0; 0g) = f0g Z + : Pelo Corolário 3.4.12, g induz uma bijeção contínua f : X! Z. Porém f não é homeomor smo. Considere a sequência (x n ) n2n de pontos x n = ( 1 ; n) 2 X, para cada n 2 N. O conjunto n A = fx n ; n 2 Ng X é fechado em X: Basta mostrar que A X é fechado em R 2. Para isso, mostraremos que A = A. De fato, pela Proposição 2.1.7, tem-se A = A [ A 0. Note que R 2 R 2 A 0. De fato, dado x 2 R 2, temos que x 2 A ou x =2 A. No primeiro caso, existe n 0 2 N tal que x = x n0. Pondo B = B(x n0 ; 1 ) (bola aberta com centro em 2 x n0 e raio 1), obtemos que B é vizinhana de x tal que B \ A = fxg e, portanto, x =2 2 A0. No segundo caso, é possível encontrar uma vizinhança B de x tal que B \ A =? e, consequentemente, também ocorre x =2 A 0. Fica provado que R 2 R 2 A 0. Tomando complementares, obtemos A 0 =?. Segue que A = A: Além disso, A é saturado com respeito a g. Por outro lado g (A) não é fechado em Z, uma vez que 1 g (A) = z n = n ; 1 ; n 2 Z n 2 + e este conjunto tem a origem como sendo um ponto de acumalação. Segue da Proposição 3.1.7 que g não é aplicação quociente e, portanto, do item (a) do Corolário 3.4.12 concluímos que f não é homeomor smo. 39

Referências Bibliográ cas [1] GONÇALVES, A. - Introdução à álgebra, 5.ed., Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 2007 [2] GUIDORIZZI, H. L. - Um curso de cáculo, vol. 2, Rio de Janeiro: LTC, 2008 [3] GUIDORIZZI, H. L. - Um curso de cáculo, vol. 3, Rio de Janeiro: LTC, 2008 [4] HATCHER. A. - Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001 [5] LAGES. E, - Elementos de Topologia Geral, Rio de Janeiro: Editora SBM, 2009 [6] LAGES. E - Curso de Análise, Vol. 1. 11. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006 [7] LAGES. E - Curso de Análise, Vol. 2. 9. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006 [8] MUNKRES, J. R. - Topology, Second Edition. Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2000 [9] PELLEGRINO, D. M. - Notas de Aula: Topologia Geral. Departamento de Matemática, UFPB, 2007 [10] SIMMONS, G. - Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963 [11] WILLARD, S. - General Topology. Addison-Wesley Publishing Company, 1970 40