Aulas Práticas de Matemática II

Aulas Práticas de Matemática II Curso de Arquitectura Resumo da Matéria com exercícios propostos e resolvidos Henrique Oliveira e João Ferreira Alves

Conteúdo 1 Derivadas parciais 4 Polinómios de Taylor de um campo escalar. 5.1 O primeiro polinómio de Taylor................................... 5. O segundo polinómio de Taylor.................................... 6.3 Extremos locais............................................ 8.4 Extremos absolutos.......................................... 1 3 Curvas e caminhos. 1 3.1 Comprimento de arco......................................... 13 3. Torsão e curvatura........................................... 15 3.3 Notas e exercícios complementares sobre curvas e sua parametrização.............. 15 4 Integrais duplos e triplos. 19 4.1 Integrais duplos............................................ 19 4. Integrais triplos............................................ 3 5 Integrais de linha e integrais de superfície. 7 5.1 Integrais de linha........................................... 7 5. Integrais de superfície........................................ 3 5.3 Teoremas de tokes e Gauss..................................... 3 6 Equações diferenciais. 35 7 Complementos 38 8 Teste Tipo 1 de Matemática II - Resolução 4 9 Teste Tipo de Matemática II - Resolução 4

Neste breve texto o aluno pode encontrar exemplos de resolução e os exercícios propostos para as práticas de Matemática II do Mestrado em Arquitectura. Estão previstas 13 aulas práticas de 9 minutos. Os capítulos podem ter a seguinte distribuição, que tenho seguido com pequenas variantes: Capítulo 1-1 aula Capítulo - aulas Capítulo 3 - aula Capítulo 4 - aulas Capítulo 5-3 aulas Capítulo 6 - aulas Capítulo 7-1 aula No final das folhas estão dois testes tipo que cobrem a matéria dada na Matematica II.

Aulas Práticas de Matemática II Mestrado em Arquitectura o emestre Ficha 1 1 Derivadas parciais 1 Calcule as derivadas parciais e o gradiente de f : R R quando: a f(x 1, x x 1 + 3x b f(x 1, x x 1 + 4x 1x c f(x 1, x sin(x 1 x3 / ( x + 1 d f(x 1, x sin(x 1 x cos(x 1 + x e f(x 1, x e 3x 1+5x f f(x 1, x log(x 1 + x + 1 Calcule as derivadas parciais e o gradiente de f : R 3 R quando: a f(x 1, x, x 3 3x 1 4x + x 3 b f(x 1, x, x 3 x 1 + x 1x x 3 c f(x 1, x, x 3 cos(x 1 x x 3 d f(x 1, x, x 3 sin(x 1 x / (cos(x 1 x 3 + e f(x 1, x, x 3 sin(x 1 x e 3x +5x 3 f f(x 1, x, x 3 log(x 1 + x + 1ex +x 3 3 eja f : R R definida por f(x 1, x (x 1 cos (x, x 1 sin (x. a Calcule a matriz jacobiana e o jacobiano de f em (a 1, a R. b Existirão (a 1, a R e (v 1, v R tais que f ((a 1, a ; (v 1, v (,? 4 eja f : R 3 R 3 definida por f(x 1, x, x 3 (x 1 cos (x, x 1 sin (x, x 3. a Calcule a matriz jacobiana e o jacobiano de f em (a 1, a, a 3 R 3. b Existirão (a 1, a, a 3 R 3 e (v 1, v, v 3 R 3 tais que f ((a 1, a, a 3 ; (v 1, v, v 3 (,,?

Ficha Polinómios de Taylor de um campo escalar. Recorde que os polinómios de Taylor são uma importante ferramenta para estudar o comportamento de uma função f : R n R numa vizinhança de um dado ponto a R n. ão particularmente úteis na identificação dos pontos de máximo e mínimo locais de f. e f : R n R tem derivadas parciais contínuas de qualquer ordem numa vizinhança de um ponto a R n, define-se o polinómio de Taylor de ordem k da função f no ponto a, com sendo: P k (x f(a + k i1 com a (a 1,..., a n e x (x 1,..., x n. 1 i! n j 1,j,...,j i 1.1 O primeiro polinómio de Taylor. Note que para k 1 temos: i f x j1 x ji (a.(x j1 a j1 (x ji a ji, P 1 (x f(a + f (a.(x 1 a 1 + + f (a.(x n a n x 1 x n x 1 a 1 f(a + Df(a., x n a n onde Df(a designa a matriz jacobiana de f em a, ou seja Df(a [ f x 1 (a f x n (a ]. Exercício: eja f : R R definida por f(x, y x + y. a Determine P 1 (x, y para a (, e identifique o plano tangente ao gráfico de f no ponto (,,. b Determine P 1 (x, y para a (1, 1 e identifique o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 1,. Resolução: a Temos e portanto f f (x, y x e (x, y y x y [ P 1 (x, y f(, + f f x (, + [ ] [ ] x y ] [ y (, x y. ]

Recorde que o gráfico de f é a superfície de R 3 definida por Como sabemos, o gráfico de P 1, ou seja G f { (x, y, z R 3 : z f(x, y } { (x, y, z R 3 : z x + y } G P1 { (x, y, z R 3 : z P 1 (x, y }, é o plano tangente em (,, f(, (,, ao gráfico de f. Assim basta ter em conta que P 1 (x, y para concluirmos que o plano tangente a G f em (,, é dado por b Para a (1, 1 temos P 1 (x, y f(1, 1 + G P1 { (x, y, z R 3 : z }. [ f f x (1, 1 + [ ] [ x 1 y 1 ] [ ] y (1, 1 x 1 y 1 ] + (x 1 + (y 1. O plano tangente em (1, 1, f(1, 1 (1, 1, ao gráfico de f é dado por G P1 { (x, y, z R 3 : z + (x 1 + (y 1 }. Exercício 1. eja f : R R definida por f(x, y log(x + y + 1. a Determine P 1 (x, y para a (, e identifique o plano tangente ao gráfico de f no ponto (,,. b Determine P 1 (x, y para a (1, e identifique o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,, log(. c Determine P 1 (x, y para a (, 1 e identifique o plano tangente ao gráfico de f no ponto (, 1, log(. olução: a P 1 (x, y, a equação do plano tangente é: z. b P 1 (x, y x + log( 1, a equação do plano tangente é: z x log( 1. c P 1 (x, y y + log( 1, a equação do plano tangente é: z y log( 1.. O segundo polinómio de Taylor. Para descrever o segundo polinómio de Taylor é conveniente introduzir a matriz Hessiana de f no ponto a R n f (a f x x 1 x 1 (a f x n 1 x 1 (a f x n x 1 (a f x 1 x (a f (a f x x n 1 x (a f x n x (a Hf(a....... f x 1 x n 1 (a f x x n 1 (a f x n 1 (a f x n x n 1 (a f x 1 x n (a f x x n (a f x n 1 x n (a f x n (a

Note que se as segundas derivadas parciais de f são contínuas então f x i x j (a f x j x i (a, pelo que Hf(a é uma matriz simétrica, ou seja Hf(a Hf(a T. Com esta notação podemos escrever: P (x P 1 (x + 1 n f (a.(x i a i (x j a j x i,j1 i x j x 1 a 1 f(a + Df(a. x n a n + 1 x 1 a 1 [ ] x1 a 1 x n a n Hf(a. x n a n Exercício: eja f : R R definida por f(x, y log(x + y + 1. Calcule o segundo polinómio de Taylor de f relativo ao ponto (,. Resolução: Temos: e Logo e e portanto f x (x, y x x + y + 1, f y (x, y y x + y + 1, f x (x, y y x + (x + y + 1, f y (x, y x y + (x + y + 1 f x y (x, y f 4xy (x, y y x Df(, Hf(, [ f f x (, [ f (, x (, f x y (x + y + 1. ] y (, [ ] f y x (, f y (, [ x P 1 (x, y f(, + Df(, y + [ ] [ x y ] [ ] ], ], P (x, y P 1 (x, y + 1 [ [ ] x x y Hf(, y + 1 [ ] [ ] [ ] x x y x + y. y ]

Exercício. eja f : R R definida por f(x, y (x + 3y exp(1 x y. a Determine P (x, y para a (,. b Determine P (x, y para a (1,. c Determine P (x, y para a (, 1. d Determine P (x, y para a ( 1,. e Determine P (x, y para a (, 1. olução: a P (x, y 1 [ ] [ ] [ ] e x x y ex 6e y + 3ey. b P (x, y 1 + 1 [ ] [ ] [ ] 4 x 1 x 1 y 1 (x 1 4 y + y. c P (x, y 3 + 1 [ ] [ ] [ ] 4 x x y 1 3 x 1 y 1 6 (y 1. d P (x, y 1 + 1 [ ] [ ] [ ] 4 x + 1 x + 1 y 1 (x + 1 + y 4 y. e P (x, y 3 + 1 [ ] [ ] [ ] 4 x x y + 1 3 x 1 y + 1 6 (y + 1..3 Extremos locais. No que se segue assumimos que f : R n R tem terceiras derivadas parciais contínuas em qualquer ponto de R n. Dado um ponto a R n, dizemos que f tem um máximo local em a (resp. mínimo local em a se existir uma bola de centro em a e raio r > tal que f(a f(x (resp. f(a f(x para qualquer x B r (a. Dizemos que a é um ponto crítico de f se a matriz jacobiana de f em a for a matriz nula. Por outras palavras, a é um ponto crítico de f se [ ] f f f x 1 (a x n 1 (a x n (a [ ]. O teorema que se segue é uma consequência simples das definições: Teorema1: e f tem em a um máximo ou mínimo local, então a é um ponto crítico de f.

Notemos no entanto que podem existir pontos críticos de f que não são pontos de máximo nem de mínimo local. Tais pontos chamam-se pontos de sela de f. A noção de segundo polinómio de Taylor desempenha um papel determinante na demonstração do seguinte resultado, que em muitas situações permite classificar os pontos críticos de f. Teorema : Para qualquer ponto crítico, a, de f tem-se: a e a matriz Hf(a é definida positiva, então f tem um mínimo em a. b e a matriz Hf(a é definida negativa, então f tem um máximo em a. c e a matriz Hf(a é indefinida, então a é um ponto de sela de f. Exercício: Identifique e classifique os pontos críticos de f : R R definida por Resolução: Porque temos f(x, y x3 3 + y3 3 x y. f x (x, y x 1 e f y (x, y y 1, Df(x, y [ x 1 y 1 ]. Vemos assim que os pontos críticos de f são: (1, 1, ( 1, 1, (1, 1 e ( 1, 1. Por outro lado a matriz hessiana de f é [ ] f (x, y f [ ] Hf(x, y x y x (x, y x f x y (x, y f, x (x, y y tendo-se em particular: [ Hf(1, 1 [ ] Hf(1, 1 e Hf( 1, 1 ] [, Hf( 1, 1 ], [ Com isto podemos concluir que f tem pontos de sela em ( 1, 1 e (1, 1, já que as matrizes Hf( 1, 1 e Hf(1, 1, tendo valores próprios com sinal contrário, são indefinidas. No ponto (1, 1 temos um mínimo local pois a matriz Hf(1, 1, tendo todos os valores próprios positivos, é definida positiva. No ponto ( 1, 1 temos um máximo local pois a matriz Hf( 1, 1, tendo todos os valores próprios negativos, é definida negativa. ]. Exercício 3. Identifique e classifique os pontos críticos de f : R R quando: a f(x, y x y + xy; b f(x, y x 3xy + 5x y + 6y + 8; c f(x, y exp(1 + x y ; d f(x, y e x cos y; e f(x, y y + x sin y; f f(x, y (x + 3y exp(1 x y.

.4 Extremos absolutos Recordemos que um cunjunto R n diz-se limitado se existir um número r > tal que x r, para qualquer x. eja f : R n R uma função contínua e R n um conjunto limitado e fechado. Nestas condições demonstra-se que existem pontos a e b de tais que f(a f(x, para qualquer x e f(x f(b, para qualquer x. Dizemos então que f(a é o valor máximo de f em, e que a é um ponto de máximo absoluto de f em. Analogamente, dizemos que que f(b é o valor mínimo de f em, e que b é um ponto de mínimo absoluto de f em. O teorema que se segue é muitas vezes útil na determinação dos valores máximos e mínimos de uma função f : R n R num conjunto R n. Teorema 3. eja f : R n R uma função com primeiras derivadas parciais contínuas, e R n um conjunto limitado e fechado. eja ainda a um ponto de máximo absoluto de f em, e b um ponto de mínimo absoluto de f em. Então tem-se: 1 e a não pertence à fronteira de então a é um ponto crítico de f; e b não pertence à fronteira de então b é um ponto crítico de f. Exercício: eja f : R R definida por f(x, y e 1 x y, e { (x, y R : x + y 1 } Calcular o valor máximo e o valor mínimo de f em. Resolução: Comecemos por notar que as primeiras derivadas parciais de f: f x (x, y xe1 x y e f y (x, y ye1 x y são contínuas no seu domínio, e que (, é o único ponto crítico de f. Notemos também que o conjunto é limitado e fechado com fronteira Estamos assim em condições de aplicar o teorema 3. { (x, y R : x + y 1 }.

Consideremos então um ponto a de máximo absoluto e um ponto b de mínimo absoluto. Pelo Teorema 3, e porque (, é o único ponto crítico de f em, temos: (a ou a (, e (b ou b (,, consequentemente (f (a 1 ou f (a e e (f (b 1 ou f (b e. Assim, porque f(a é o valor máximo de f em, e f(b é o valor mínimo de f em, teremos necessariamente máximo de f em f(a e, e mínimo de f em f(b 1, como se pretendia calcular. Exercício: eja f : R R definida por f(x, y e 1 x y, e { (x, y R : 1 x + y 4 } Calcular o valor máximo e o valor mínimo de f em. Resolução: Notemos que neste caso não existem pontos críticos de f em. Notemos também que o conjunto é limitado e fechado com fronteira { (x, y R : x + y 1 } { (x, y R : x + y 4 }. Consideremos então um ponto a de máximo absoluto e um ponto b de mínimo absoluto. Pelo Teorema 3 temos: a e b, consequentemente ( f (a 1 ou f (a e 3 e ( f (b 1 ou f (b e 3, e portanto e máximo de f em f(a 1, mínimo de f em f(b e 3, como se pretendia calcular.

Ficha 3 3 Curvas e caminhos. Recorde que um caminho em R 3 é uma função contínua c : [a, b] R R 3. Um subconjunto C R 3 é uma curva se existir um caminho c : [a, b] R 3 tal que C {c (t : t [a, b]}, dizemos então que o caminho c é uma parametrização da curva C. Exemplo 1. Qualquer segmento de recta é uma curva. O caminho c : [, 1] R 3 definido por c(t (x + t(x 1 x, y + t(y 1 y, z + t(z 1 z é uma parametrização do segmento de recta com extremidades em (x, y, z R 3 e (x 1, y 1, z 1 R 3. Exemplo. A circunferência C { (x, y, z R 3 : x + y 1 e z } é uma curva. O caminho c : [, π] R 3 definido por é uma parametrização da circunferência. c(t (cos(t, sin(t, Exemplo 3. A elipse C é uma curva. O caminho c : [, π] R 3 definido por é uma parametrização da elipse. } {(x, y, z R 3 : x a + y b 1 e z c(t (a cos(t, b sin(t, Exemplo 4. O arco de parábola C { (x, y, z R 3 : y x, x [ 1, 1] e z } é uma curva. O caminho c : [ 1, 1] R 3 definido por c(t (t, t, é uma parametrização do arco de parábola. Exercício 1. Determine uma parametrização da curva C quando:

a C é o segmento de recta de extremidades (1,, 1 e (1,, ; b C { (x, y, z R 3 : x + y 9 e z } ; { } c C (x, y, z R 3 : x 4 + y 9 1 e z ; d C { (x, y, z R 3 : y sin(x, x [, π] e z }. 3.1 Comprimento de arco. No que se segue admitimos que o caminho c : [a, b] R 3 t (c 1 (t, c (t, c 3 (t é continuamete diferenciável no seu domínio. Recordemos que a matriz jacobiana de c em t é definida por c c 1 (t (t c (t. c 3 (t A esta matriz (ou ao vector (c 1 (t, c (t, c 3 (t chamamos vector velocidade de c em t. Notemos que se c é uma parametrização da curva C, então a recta tangente a C no ponto c(t tem a direcção do vector c (t. Em particular a equação vectorial da recta tangente a C no ponto c(t é r(t c(t + (t t c (t. O vector velocidade desempenha um papel fundamental no cálculo do comprimento de uma curva. Com efeito, o espaço percorrido por c(t para t t t 1 é dado por t1 l c (t t1 dt [c 1 (t] + [c (t] + [c 3 (t] dt. t Exercício. Calcular o comprimento da curva C quando: a C é parametrizada por ( cos(t, sin(t, com t π; b C é parametrizada por ( cos(t, sin(t, t com t π; c C é parametrizada por (t, t, com 1 t 1. ugestão para a alínea c: Verifique que x + a dx 1 [ x x + a + a log(x + ] x + a Nota 1 abemos que a fórmula de mudança de variável na primitiva é I f (t dt f (t (u t (u du, quando se faz t t (u. t eja a + t dt, como calcular esta primitiva? Há diferentes caminhos, vamos utilizar uma substituição do tipo t a sinh u, u log (t + t + a log a. + k.

Nota: a expressão em segundo lugar deduz-se sabendo que t a sinh u a eu e u, temos assim t ae u a e u teu ae u a ae u te u a, que é uma equação do segundo grau para e u. Queremos u como função de t. Aplicando a fórmula resolvente destas equações teremos e u t ± 4t + 4a 1 (t + t a a + a, note-se que apenas a raiz positiva faz sentido. O resultado obtém-se aplicando o logaritmo u log 1 (t + t a + a log (t + t + a log a. Vamos utilizar a fórmula da mudança de variável na primitiva I: a I + t dt a + (a sinh u (a sinh u du a ( 1 + sinh u a cosh u du. Da fórmula fundamental da trigonometria hiperbólica temos que cosh u sinh u 1, de onde a primitiva acima se simplifica para I a cosh u a cosh u du a cosh u du. Como a primitiva fica ( e I a u + e u + 1 4 Aqui notamos que sinh u 4 ( e cosh u + e u u eu + e u + 1 4, eu e u 8 de onde resulta que a primitiva pretendida é I a ( 1 sinh u cosh u + u du a ( e u e u 8 + u 1 e u e u e u + e u + K a ( sinh u + K a + u + K. 4 1 sinh u cosh u, ( sinh u 1 + sinh u + u + K. Neste ponto é necessário regressar à variável t, sabemos como u se relaciona com t, sabemos ainda que sinh u t a o que resulta imediatamente em ( I a t 1 + t ( a a + log t + t + a log a + K ( a t a + t a a + log (t + t + a + K a log a 1 ( t a + t + a log (t + t + a + k 1 ( t t + a + a log (t + t + a + k.

3. Torsão e curvatura. eja c : [a, b] R 3 um caminho com derivadas de qualquer ordem e tal que c (s 1 e c (s, para qualquer s. Nestas condições podemos definir os vectores T(s c (s, N(s T (s T (s e B(s T(s N(s, a que chamamos respectivamente, vector tangente unitário, vector normal e vector binormal no ponto c(s. Note-se que os vectores T(s, N(s e B(s são unitários e ortogonais entre si, ou seja constituem uma base ortonormada de R 3. Demonstra-se em particular que existem números reais únicos κ e τ tais que T (s κn(s, N (s κt(s + τb(s e B (s τn(s. Aos números κ e τ chamamos respectivamente curvatura e torsão de c no ponto c(s. Exercício 3. Demonstre que a curvatura de uma circunferência em qualquer dos seus pontos coincide com o inverso do seu raio. Exercício 4. Demonstre que se uma curva está contida num plano então tem torsão nula em qualquer ponto. 3.3 Notas e exercícios complementares sobre curvas e sua parametrização Comprimento de arco. eja r (t (x (t, y (t, z (t o vector posição sobre uma curva γ, parametrizado por t [, A]. O comprimento de arco sobre a curva, medido desde ζ até ζ t, é t s (t t r (ζ dζ x (ζ + y (ζ + z (ζ dζ. Exemplo 1. eja a hélice x (t r cos t y (t r sin t z (t a t, t [, A], obtém-se r (ζ x (t r sin t y (t r cos t, t [, A], z (t a E logo x (ζ + y (ζ + z (ζ ( r sin ζ + (r cos ζ + a r + a. Assim o comprimento de arco é t s (t r + a dζ t r + a. Representação canónica. Nesta representação utiliza-se o comprimento de arco como parâmetro na representação paramétrica da curva. Dada uma parametrização calcula-se s s (t, resolve-se para t t (s (inverte-se e substitui-se t como função de s na representação original.

Exemplo 1. (continuação Neste caso s como função de t é s (t t r + a, ou seja, invertendo t (s s r + a. ubstitui-se nas equações paramétricas e obtém-se r (s, o vector posição sobre a curva γ cujas coordenadas são x (s s r cos r +a y (s s r sin r +a, s [, L], z (s a s r +a em que L s (A é o comprimento total da curva. Vector tangente unitário. Derivando a parametrização r (s em ordem a s obtemos o vector tangente unitário t (s r (s. Exemplo 1 (cont.. Na curva γ o vector tangente unitário é dado por t x (s x (s r r +a t y (s y (s r r +a s r +a s r +a, s [, L]. t z (s z a (s r +a Exercício 5. Verifique que t (s, no exemplo considerado, é unitário. Vector normal principal e primeira fórmula de Frenet-erret. Obtém-se o vector normal à curva derivando t (s em ordem a s; no entanto, em geral, este vector não é unitário, para obter o vector unitário normal à curva n (s, ou vector normal principal, recorremos à expressão t (s n (s t (s r (s r (s. A quantidade κ (s t (s r (s tem um papel muito importante na teoria das curvas, é a curvatura de γ em s. A expressão da normal principal pode escrever-se n (s t (s κ (s, que é a primeiro fórmula de Frenet-erret, usualmente escrita t (s κ (s n (s. Exemplo 1 (cont.. Na curva γ o vector normal unitário é obtido derivando o vector t (s : x (s r cos r +a y (s r sin r +a z (s s r +a s r +a, s [, L].

O vector (x (s, y (s, z (s tem a norma κ (s : κ (s (x (s + (y (s + (z (s ( r r + a cos s ( + r r + a r + a sin s r + a ( r r + a r r + a, que é a curvatura (constante da hélice circular. A normal principal, n (s t (s t (s, tem representação n x (s s cos r +a n y (s s sin r +a n z (s, s [, L]. Binormal e segunda fórmula de Frenet-erret. O vector binormal unitário b (s é ortogonal aos vectores tangente t (s e normal principal n (s. É obtido muito simplesmente recorrendo ao produto externo de t (s e de n (s b (s t (s n (s. Os três vectores: t (s, n (s e b (s formam um triedro ordenado. A torção é obtida a partir da segunda fórmula de Frenet-erret b (s τ (s n (s. Exemplo 1 (cont.. Cálculo da binormal para a hélice circular: b (s t (s n (s r sin 1 r + a r cos a a sin 1 r + a a cos r s r +a s r +a s r +a s r +a. cos sin s r +a s r +a A torção é obtida recorrendo apenas a uma coordenada da segunda fórmula de Frenet-erret, b (s τ (s n (s, usando primeira coordenada b x (s esta grandeza terá de igualar τ (s n x (s, ou seja a r + a cos a r + a cos s r + a, s r + a τ (s ( cos s r + a

de onde se conclui que τ (s a r + a. Nota - é evidente que qualquer coordenada da a equação de Frenet-erret serve para calcular a torção. Exercício 6. Calcular a torção recorrendo à a coordenada, b y (s, da binormal e à a coordenada da normal, n y (s. Terceira fórmula de Frenet-erret. A terceira fórmula de Frenet-erret relacciona todas as grandezas importantes no estudo de curvas, pode ser utilizada para confirmar cálculos ou quando uma das grandezas é difícil de obter sabendo todas as outras: n (s κ (s t (s + τ (s b (s. Exercício 7. Confirmar a terceira fórmula de Frenet-erret para a hélice circular. Exercício 8. eja uma escada de caracol que vence uma altura de 3m. Pretende-se um espelho por degrau de cm. A escada desenvolve-se em torno de um pilar com 1m de raio e tem m de raio exterior. Calcule: a O número de degraus. b A constante a. c O cobertor interior e exterior de cada degrau. d A curvatura interior e exterior das hélices que limitam a escada. e A torção interior e exterior das hélices que limitam a escada. Que conclusões tira? A escada é confortável e segura para o utilizador?

Ficha 4 4 Integrais duplos e triplos. 4.1 Integrais duplos Exemplo Calcule o integral duplo (x y + y 3 xdxdy, com R [, 1] [ 1, ]. abemos que R R (x y + y 3 xdxdy 1 ( (x y + y 3 xdx dy ( 1 (x y + y 3 xdy dx. Assim, porque obtemos (x y + y 3 xdx [ x y + y 3 x ] 1 ( y 3 + y3 y 3 + y3, R (x y + y 3 xdxdy 1 1 [ y ( (x y + y 3 xdx dy ( y 3 + y3 dy 6 + y4 4 ] 1 1 6 1 4 5 1. Alternativamente, porque obtemos 1 [ x (x y + y 3 y xdy R (x y + y 3 xdxdy ] ( + xy4 x 4 1 + x x x, ( 1 ( x (x y + y 3 xdy x [ x3 6 x 4 ] 1 1 6 1 4 5 1. dx dx Exercício 1. Calcule os integrais duplos: a (3x y + 8xy 3 + dxdy, com R [, 1] [, 1]. R

b R c d R R Exemplo 3 (1xy 5 + 3y 1 dxdy, com R [ 1, 1] [1, ]. cos(x + ydxdy, com R [, π] [, π]. (xye x+y dxdy, com R [, 1] [ 1, ]. Calcular o volume do sólido { (x, y, z R 3 : x [, 1] y [, ] z e x+y}. Consideremos a função f : [, 1] [, ] R +, definida por f(x, y e x+y. Note que é o conjunto dos pontos do espaço que ficam por baixo do gráfico de f. Logo teremos Volume( f(x, ydxdy, com R [, 1] [, ], e portanto Alternativamente, teríamos Volume( Vol me( R ( ( [e x+y ] e x+y dy dx dx ( e x+ e x dx [ e x+ e x] 1 ( e 3 e ( e 1 e 3 e e + 1. ( ( [e x+y ] 1 e x+y dx dy dy ( e 1+y e y dy [ e 1+y e y] ( e 3 e (e 1 e 3 e e + 1. Exercício Calcule o volume do sólido definido por: { (x, y, z R 3 : x 1 y 1 z x + y }. Exercício 3 Calcule o volume do sólido definido por: { (x, y, z R 3 : x 1 y 1 x 3 + y 3 z x + y }.

Exemplo 4 Calcule o integral xydxdy, com { (x, y R : x 3 y x }. abemos que Assim, porque temos Alternativamente temos e portanto xydxdy x ( x xydy dx x 3 [ xy xydy x 3 3 y y xydxdy [ yx xydx xydxdy ] x ( 3 y xydx dy. y x 3 x3 x7, ( x xydy dx x 3 1 ( x 3 x7 dx [ ] x 4 1 8 x8 16 1 8 1 16 1 16. ] 3 y y y 5 3 y3, ( 3 y xydx dy y ( y 5 3 y3 [ 3y 8 3 16 y4 8 ] 1 dy 3 16 1 8 1 16. Exercício 4 Calcule o integral (x + y dxdy quando: a { (x, y R : x 1 y x } ; b { (x, y R : x 1 x 3 y x } ; c { (x, y R : y 1 x y 3}.

Exemplo 5 Calcule, mediante uma mudança de variáveis adequada, o integral (x + y dxdy, com { (x, y (x, y R : x + y 4 }. Consideremos a transformação T : [, + ] [, π] R, definida por T (r, θ (r cos θ, r sin θ. abemos que onde f(x, ydxdy f(t (r, θ. det(dt (r, θ drdθ, T 1 ( e T 1 ( {(r, θ [, + ] [, π] : T (r, θ } {(r, θ [, + ] [, π] : (r cos θ, r sin θ } { } (r, θ [, + ] [, π] : (r cos θ + (r sin θ 4 { (r, θ [, + ] [, π] : r 4 } [, ] [, π], [ cos θ r sin θ det (DT(r, θ det sin θ r cos θ ] r(cos θ + r(sin θ r. Assim, porque f(x, y x + y, temos f(t(r, θ f (r cos θ, r sin θ r, e portanto (x + y dxdy [,] [,π] [,] [,π] π 8π. ( πr 3 dr f(t (r, θ. det(dt (r, θ drdθ r r drdθ r 3 dθdr Exercício 5 Mediante uma mudança de variáveis adequada, calcule: a xdxdy, com { (x, y (x, y R : x + y 1 }. b x + y dxdy, com { (x, y (x, y R : x e y e x + y 1 }. c e x +y dxdy, com { (x, y (x, y R : 1 x + y 4 }.

Exemplo 6 eja [, 1] [, 1] uma placa bidimensional com densidade de massa f(x, y e x+y. Calcular a massa e o centro de massa de. abemos que a massa da placa, e as coordenadas do seu centro de massa, (c 1, c, são dadas por massa( f(x, ydxdy, c 1 xf(x, ydxdy yf(x, ydxdy, c massa(. massa( Logo, das igualdades: e obtemos f(x, ydxdy xf(x, ydxdy yf(x, ydxdy ( ( ( e x+y dydx (e 1, xe x+y dydx e 1, ye x+y dydx e 1, massa( (e 1 e c 1 c e 1 (e 1 1 e 1. 4. Integrais triplos Exemplo 7 Calcular o integral triplo P (x + y + zdxdydz, com P [, 1] [ 1, 1] [ 1, ]. Recorde que o cálculo de um integral triplo pode reduzir-se ao cálculo de um integral duplo. Mais precisamente, se considerarmos as funções a : R 1 [, 1] [ 1, 1] R, b : R [, 1] [ 1, ] R, c : R 3 [ 1, 1] [ 1, ] R, definidas respectivamente por a(x, y então temos Assim, porque P a(x, y 1 (x + y + z dz, b(x, z 1 (x + y + z dy, c(y, z (x + y + z dx, (x + y + zdxdydz a(x, ydxdy R 1 b(x, zdxdz R c(y, zdydz. R 3 1 (x + y + z dz ] ( [xz + yz + z x y + 1 x + y 1 1,

vem P (x + y + zdxdydz a(x, ydxdy R 1 ( x + y 1 R 1 ( 1 dxdy ( x + y 1 ( [ xy + y y (( x + 1 1 (x 1 dx [ x x ] 1 (1 1. ] 1 1 dy dx dx ( x + 1 + 1 dx Alternativamente, podíamos calcular e portanto c(y, z P [ x (x + y + z dx (x + y + zdxdydz 1 ] 1 + xy + xz 1 + y + z, c(y, zdydz R 3 ( 1 R 3 + y + z dydz ( ( 1 + y + z 1 1 1 ( [z z + yz + ( 1 ] 1 [ y ydy 1 ] 1 ( 1 y + 1 dz dy dy dy 1 1, como anteriormente.

Exercício 6. Calcule os integrais triplos: a (xyzdxdydz, com P [ 1, ] [, 1] [ 1, 1]. P b P c e x+y+z dxdydz, com P [, 1] [, 1] [, 1]. cos(x + y + zdxdydz, com P [, π] [, π] [ π, ]. P Exemplo 8 Calcular o integral (x + y + zdxdydz, com { (x, y, z R 3 : (x, y [, 1] [, 1] e z x + 1 }. Note que neste caso o domínio de integração,, não é um paralelipípedo. e considererarmos um paralelipípedo P que contenha, seja por exemplo P [, 1] [, 1] [, ], temos (x + y + zdxdydz P f(x, y, zdxdydz, onde f : P [, 1] [, 1] [, ] R está definida por { f(x, y, z x + y + z se (x, y, z se (x, y, z P e (x, y, z /. Para calcular o integral P f(x, y, zdxdydz, podemos considerar a função a : R [, 1] [, 1] R, definida por a(x, y x +1 f(x, y, zdz (x + y + z dz [ xz + yz + z ] x +1 ( x ( x + 1 + y ( x + 1 + ( x + 1 x 4 + x 3 + yx + x + x + y + 1.

abemos que P f(x, y, zdxdydz a(x, ydxdy R (x 4 + x 3 + yx + x + x + y + 1dxdy R ( (x 4 + x 3 + yx + x + x + y + 1dx dy ( 1 [x 5 ] 1 5 + x4 4 + yx3 3 + x3 3 + x + xy + x dy (( 1 5 + 1 4 + y 3 + 3 + 1 + y + 1 dy ( 4 3 y + 157 dy 6 [ 3 y + 157y ] 1 6 3 + 157 6. Exercício 7 Calcular o integral xdxdydz, com { (x, y, z R 3 : (x, y [, 1] [, 1] e z x + 1 }. Exercício 8 Calcular o integral ydxdydz, com { (x, y, z R 3 : (x, y [, 1] [, 1] e y 3 + 1 z y + 1 }.

Ficha 5 5 Integrais de linha e integrais de superfície. 5.1 Integrais de linha Exemplo 1 eja f : R 3 R o campo escalar definido por f(x, y, z x + y + z, e c : [, π] R 3 o caminho definido por c(t (cos(t, sin(t, t. Pretende-se calcular o integral de linha de f ao longo de c. Recorde que o integral de linha de um campo escalar f : R 3 R ao longo de um caminho c : [a, b] R 3 representa-se por fds e define-se por Neste caso concreto temos: e Logo c fds c (t ( sin(t, cos(t,, c (t b a c f(c(t c (t dt. sin (t + cos (t + 4 5, para t [, π] f(c(t f(cos(t, sin(t, t cos (t + sin (t + t 1 + t, para t [, π]. c fds π π f(c(t c (t dt (1 + t 5dt 5 [( t + t ] π 5 ( π + 4π. Exercício 1 Calcule o integral de linha do campo escalar f : R 3 R ao longo do caminho c : [a, b] R 3 quando: a f(x, y, z x + y + z e c(t (sin(t, cos(t, t com t [, π]. olução: π ( + 8 3 π. b f(x, y, z x + y + z e c(t (cos(t, sin(t, t com t [, π]. olução: π. c f(x, y, z x cos(z e c(t (t, t, com t [, 1]. olução: 5 1 5 1 1. Exemplo eja F : R 3 R 3 o campo vectorial definido por F (x, y, z (x, y, z, e c : [, π/] R 3 o caminho definido por c(t (cos(t, sin(t,. Pretende-se calcular o integral de linha de F ao longo de c. Recorde que o integral de linha de um campo escalar F : R 3 R 3 ao longo de um caminho c : [a, b] R 3 representa o trabalho realizado pelo campo F quando uma partícula percorre o caminho c. Este integral denota-se por F.ds e define-se por c F.ds c b a F (c(t.c (tdt.

Neste caso concreto temos: e portanto Logo c (t ( sin(t, cos(t,, F (c(t F (cos(t, sin(t, (cos(t, sin(t,, para t [, π/], F (c(t.c (t (cos(t, sin(t,.( sin(t, cos(t, c F.ds cos(t sin(t sin(t cos(t + cos(t sin(t π π F (c(t.c (tdt cos(t sin(tdt [ cos (t ] π/ cos (π/ cos ( 1. Exercício Calcule o integral de linha do campo vectorial F : R 3 R 3 ao longo do caminho c : [a, b] R 3 quando: a F (x, y, z ( x, xy, 1, c(t (t, t, 1 com t [, 1]. olução: 11 15. b F (x, y, z (cos(z, e x, e y, c(t (1, t, e t com t [, ]. olução: e + 1 e4 1. c F (x, y, z (x, y, z, c(t (sin(t, cos(t, t com t [, π]. olução: π. Exemplo 3 Considere o campo vectorial F (x, y, z (yz cos(xyz, xz cos(xyz, xy cos(xyz. a Mostre que existe φ : R 3 R tal que φ F. b Calcule o integral de linha de F ao longo do caminho c(t (sin(t, sin(te t π/, t /π, t [, π/]. a Determinemos φ : R 3 R tal que φ F. Por outras palavras pretendemos determinar a solução φ : R 3 R do sistema de equações φ x (x, y, z yz cos(xyz φ y (x, y, z xz cos(xyz. (1 φ z (x, y, z xy cos(xyz Porque φ (x, y, z yz cos(xyz φ(x, y, z sin(xyz + c(y, z x vemos que φ(x, y, z sin(xyz + c(y, z é solução do sistema (1 se e só se c(y, z é tal que { xz sin(xyz + c y (y, z xz cos(xyz xy sin(xyz + z c ou (y, z xy cos(xyz ainda Isto significa que existem soluções de (1 e todas elas são da forma { c y c z (y, z. (y, z φ(x, y, z sin(xyz + c, onde c designa uma constante real.

b Na alínea anterior ficou demonstrado que o campo escalar φ(x, y, z sin(xyz é tal que φ F. Podemos então recorrer à igualdade c F.ds φ(c(b φ(c(a, válida para qualquer caminho c : [a, b] R 3, para calcular o integral pretendido. Porque c(t (sin(t, sin(te t π/, t /π, com t [, π/], temos consequentemente c( (,, e c(π/ (1,, π/4, F.ds φ(c(π/ φ(c( c φ(1,, π/4 φ(,, sin(π/ sin( 1. Exercício 3 Considere o campo vectorial F (x, y, z (y, x,. a Mostre que existe φ : R 3 R tal que φ F. olução: φ(x, y, z xy + c. b Calcule o integral de linha de F ao longo do caminho c(t (t 4 /4, sin 3 (tπ/,, t [, 1]. olução: 1 4. Exercício 4 Considere o campo vectorial F (x, y, z ( xyz, x z, x y. a Mostre que existe φ : R 3 R tal que φ F. olução: φ(x, y, z x yz + c. b Calcule o integral linha de F ao longo de um caminho com ponto inicial (1, 1, 1 e ponto final (1,, 4. olução: 7. Exercício 5 Considere o campo gravitacional GMx GMy GMz F (x, y, z (,,, (x + y + z 3 (x + y + z 3 (x + y + z 3 onde G e M designam constantes positivas. a Mostre que existe φ : R 3 \ {(,, } R tal que φ F. olução: φ(x, y, z c+gm/ x + y + z. b Mostre que o trabalho realizado por F ao longo de um caminho com início em (x 1, y 1, z 1 e fim em (x, y, z apenas depende de x 1 + y 1 + z 1 e x + y + z.

5. Integrais de superfície Exemplo 4. Considere a superfície { (x, y, z R 3 : z x + y x + y 1 }. Pretende-se calcular a área de, e a massa que esta superfície teria se a sua densidade de massa fosse dada por f(x, y, z 4z + 1. Comecemos por recordar que se Φ : [a, b] [c, d] R 3 (u, v (X(u, v, Y (u, v, Z(u, v é uma parametrização de então a área de é dada por Área( b d a c T u (u, v T v (u, v dvdu, ( onde T u (u, v T v (u, v denota o produto externo dos vectores tangentes à superfície T u (u, v ( X Y (u, v, u u Z (u, v, (u, v u e T v (u, v ( X Y (u, v, v v Z (u, v, (u, v. v Recorde ainda que se f : R designa a densidade de massa da superfície, então a massa de é dada pelo integral de f ao longo de, ou seja Massa( fd b d Comecemos então por notar que a aplicação a c f (X(u, v, Y (u, v, Z(u, v T u (u, v T v (u, v dvdu. Φ : [, 1] [, π] R 3 (r, θ ( r cos θ, r sin θ, r é uma parametrização de. Os correspondentes vectores tangentes são dados por tendo-se ainda T r (r, θ (cos θ, sin θ, r e T θ (r, θ ( r sin θ, r cos θ,, T r (r, θ T θ (r, θ det e 1 e e 3 cos θ sin θ r r sin θ r cos θ ( r cos θ, r sin θ, r (3 e T r (r, θ T θ (r, θ 4r 4 + r r 4r + 1.

Podemos então concluir por ( que Área( π 6 Para calcular a massa basta ter em conta (3 Massa( π π π π π T r (r, θ T θ (r, θ dθdr r 4r + 1dθdr πr 4r + 1dr [ (4r + 1 3/ ] 1 π 6 ( 5 3 1. f ( r cos θ, r sin θ, r T r (r, θ T θ (r, θ dθdr ( 4r + 1 r 4r + 1dθdr r ( 4r + 1 3/ dθdr πr ( 4r + 1 3/ dr π 8r ( 4r + 1 3/ dr 8 [( π 4r + 1 ] 5/ 1 π ( 1 5. 4 5/ 4 5 Exercício 6 abendo que uma superfície cónica é parametrizada por Φ : [, 3] [, π] R 3, com Φ(r, θ ( 3 r cos(θ, 3r sin(θ, r, calcule: a Represente numa figura a superfície. b A área da superfície. olução: 5π c A massa da superfície se esta tiver densidade de massa dada por f(x, y, z z. olução: 4 13π. Exercício 7 Considere a calote esférica { (x, y, z R 3 : x + y + z 4 z }. abendo que esta superfície é parametrizada por Φ : [, π/] [, π] R 3, com Φ(θ, φ ( sin(θ cos(φ, sin(θ sin(φ, cos(θ, calcule: a A área da superfície. b A massa da superfície se esta tiver densidade de massa dada por f(x, y, z z. Res. a É necessário calcular d.

Devido à simetria esférica do problema utiliza-se o sistema de coordenadas esféricas, x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ. A parametrização Φ da calote esférica será obtida fazendo, precisamente r nestas equações com θ [, π/] e φ [, π]. Os vectores tangentes à superfície serão (no caso de toda a parametrização de uma superfície esférica: T θ (θ, φ (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ T φ (θ, φ ( r sin θ sin φ, r sin θ cos φ,, o produto vectorial fundamental é: P (θ, φ T θ (θ, φ T φ (θ, φ r cos θ cos φ r cos θ sin φ r sin θ r sin θ sin φ r sin θ cos φ r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ sin θ, cuja norma é T θ (θ, φ T φ (θ, φ r sin θ e que no nosso caso é 4 sin θ. O integral de área é A d π π 4 sin θdθdφ π.4. [ cos θ] π 8π, o que é metade da área da esfera de raio que seria 16π. Res. b Neste caso toda a mecânica do cálculo do integral é igual à da alínea a mas agora com uma função integranda, que em coordenadas esféricas vale z f(θ, φ cos θ. O integral é M 8π fd π π 5.3 Teoremas de tokes e Gauss π sin θdθ 8π π cos θ4 sin θdθdφ 8π [ ] π cos θ 8π. sin θ cos θdθ Exercício 8 Considere a calote esférica { (x, y, z R 3 : x + y + z 1 z } e F : R 3 R 3 definido por F (x, y, z (y, x, e zx. a Calcule o rotacional de F. b abendo que é parametrizada por Φ : [, π/] [, π] R 3, com mostre que ( F. d Φ(θ, φ (sin(θ cos(φ, sin(θ sin(φ, cos(θ, π π ( sin(θ cos(θ sin(θ cos(φe sin(θ cos(θ cos(φ + dθdφ.

c Conclua pelo teorema de tokes que π π ( sin(θ cos(θ sin(θ cos(φe sin(θ cos(θ cos(φ + dθdφ π. Res a F (x, y, z x y z f 1 (x, y, z f (x, y, z f 3 (x, y, z x y z y x e zx ze zx Res b É necessário calcular F sobre a superfície, ou seja, com a parametrização indicada: F (θ, φ cos θe cos θ sin θ cos φ Recordamos que a parametrização utiliza de novo as coordenadas esféricas com r 1, logo o produto vectorial fundamental já foi calculado no exercício anterior, d n d P (θ, φdθdφ sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ sin θ. dθdφ.. Assim ( F. d π π π π cos θe cos θ sin θ cos θ sin θ cos φ. sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ sin θ ( sin θ cos φe cos θ sin θ cos φ + dθdφ dθdφ. Res c O integral pedido é, como visto na alínea anterior: I π π ( sin(θ cos(θ sin(θ cos(φe sin(θ cos(θ cos(φ + dθdφ ( F. d Recordando o teorema de tokes, uma vez que tanto F, como a circunferência de raio 1, estão nas condições do teorema F.ds ( F. d Neste caso podemos utilizar qualquer superfície que seja circunscrita no sentido positivo pela circunferência. A superfície mais simples possível é o círculo unitário 1 { (x, y, z R 3 : x + y 1 z }. A parametrização nem sequer é importante porque sobre esta superfície F (,, e d n d (,, 1 d. Assim ( F. n d. d d π, 1 1 1 1 porque a área do círculo unitário é π. O integral I é o simétrico de π. A resposta é I π.

Exercício 9 Considere o campo vectorial F : R 3 R 3 definido por F (x, y, z (,, z(z 1e yx. a Calcule a divergência de F. b Mostre que se é a superfície orientada representada na figura, então F.d. b Conclua pelo teorema de Gauss que (z 1 e xy dxdydz.

Ficha 6 6 Equações diferenciais. Exercício 1 Determine a solução de cada um dos seguintes problemas: a y sin(xy e y( 1. olução: y(x e 1 cos(x b y + ( x + 1 x3 1 y e y( e. olução: y(x e 3 x c e x y y e y( 1. olução: y(x e 1 e x d y /(cos(x + xy e y( e 1. olução: y(x e x +x sin x+cos x Exercício Considere a equação diferencial linar não homogénea y + a(xy b(x, (4 onde a : R R e b : R R designam funções contínuas. Considere a função µ : R R definida por µ(x exp( a (x dx, onde, como habitualmente, a (x dx designa uma primitiva de a. a Mostre que (µy µ (y + ay, para qualquer função diferenciável y : R R. b Mostre que y : R R é uma solução de (4 se e só se µy é primitiva de µb. c Mostre que y : R R é uma solução de (4 se e só se existir uma constante c R tal que y µ (x b (x dx µ (x + c µ (x. Exercício 3 Com base no exercício anterior, determine a solução de cada um dos seguintes problemas: a y + y 1 e y(. olução: y(x 1 e x. b y + xy x e y( 1. olução: y(x 1 + 1 e x. c y + y x e y(. olução: y(x e x + x 1. Exercício 4 Considere a equação diferencial cos(x + yy. (5 a Mostre que a equação é exacta. b Determine φ : R R tal que.φ(x, y (cos(x, y. c Mostre que uma função diferenciável y : ]a, b[ R é solução de (5 se e só se a função ]a, b[ R x φ(x, y (x é constante. d Determine a única função y : R R que é solução de (5 e verifica y(.

olução: y(x 4 sin(x. Exercício 5 Considere a equação diferencial x + e y y. (6 a Mostre que a equação é exacta. b Determine φ : R R tal que.φ(x, y (x, e y. c Mostre que uma função diferenciável y : ]a, b[ R é solução de (6 se e só se a função ]a, b[ R x φ(x, y (x é constante. d Determine a única função y : ] 1, 1[ R que é solução de (6 e verifica y(. olução: y(x log(1 x. Exercício 6 Considere a equação diferencial ye xy 1 + xe xy y. (7 a Mostre que a equação é exacta. b Determine φ : R R tal que.φ(x, y (ye xy 1, xe xy. c Mostre que uma função diferenciável y : ]a, b[ R é solução de (7 se e só se a função ]a, b[ R x φ(x, y (x é constante. d Determine a única função y : ], + [ R que é solução de (7 e verifica y(1. olução: y(x log(x/x. Exercício 7 Considere o sistema de equações diferenciais: { 3y1 4y y 1 y 1 3y y (8 a Determine uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de P tais que [ ] A P DP 1 3 4, com A. 3 b Calcule exp(xa. c Determine a única solução (y 1 (x, y (x de (8 que verifica (y 1 (, y ( (1, 1. [ ] [ 1 1 olução: D, P 1 1 1 (y 1 (x, y (x (e x, e x. ] [ e, exp(xa x e x e x + e x e x e x e x + e x ],

Exercício 8 Considere o sistema de equações diferenciais { 4y1 y y 1 3y 1 y y (9 a Determine uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de P tais que A P DP 1, com A [ 4 3 1 b Calcule exp(xa. c Determine a única solução (y 1 (x, y (x de (9 que verifica (y 1 (, y ( ( 1,. ]. [ ] [ ] [ 1 e olução: D, P, exp(xa x + 3e x e x e x 1 1 3 3e x + 3e x 3e x e x (y 1 (x, y (x (6e x 7e x, 9e x 7e x. ], Exercício 9 Utilize o método da separação de variáveis para resolver os problemas: a u x u t e u(, x ex e 3x. olução: u(t, x e t+x e 3t+3x. b u x u t e u(t, e t + 3e t. olução: u(t, x e t x + 3e t+x. c u x u t e u(t, et + e t. olução: u(t, x e t+x + e t 4x. d u x u t + u e u(, x ex e x. olução: u(t, x e x e t+x. e u x u t + 3u e u(t, e t + e t/. olução: u(t, x e x t + e (4x t/.

Ficha 7 7 Complementos Exercício 1 a Desenhe com régua e esquadro um rectângulo dourado com base 1cm. b Desenhe uma espiral de razão dourada com compasso inscrita no rectângulo anterior. c Deduza a expressão para a razão dourada sabendo que quando se retira um quadrado com lados iguais à altura do rectângulo, o rectângulo remanescente mantém a mesma proporção entre a nova base (altura do rectângulo original e a nova altura. Exercício Desenhe com régua e compasso um quadrado de lado l, a diagonal é l. Com este método obtenha as raízes de 3, 4 e 5. Exercício 3 a abendo que no início de um ano há 1 casal de coelhos recém nascidos e que estes se reproduzem dando origem a outro casal quando atingem meses, reproduzindo-se então todos os meses, quantos casais de coelhos há ao fim de um ano? b Explique o que é uma sequência de Fibonacci. Dê dois exemplos de sequências de Fibonacci. Exercício 4. abendo que o Modulor de Le Corbusier tem como base 183 cm para a sequência vermelha {M v (j} j Z e.6 para a sequência azul {M a (j} j Z. abendo que os termos das sequências satisfazem as relações recorrência M v ( 1.89cm M v (n + 1 Φ M v (n + 1, em que Φ 1 + 5, M a (.6cm M a (n + 1 Φ M v (n + 1, em que Φ 1 + 5, calcule: a Uma tabela, elaborada da forma que quiser, (de preferência com gosto artístico como na figura de Le Corbusier anexa em que sejam explícitos os termos da sequência azul M a ( 5, M a ( 4, M a ( 3, M a (, M a ( 1, M a (, M a (1, M a (, M a (3, M a (4, M a (5 e da sequência vermelha M v (j, j 5,...,,... 5.

Exemplo de res.: M v (1 Φ M v ( 1+ 5 1.89, M v ( Φ M v ( ( 1 M v ( 1 Φ M v ( 1+ 5 1.89. ( 1+ 5 1.89, b Dê exemplos de objectos de utilização humana, e em particular na arquitectura, que se enquadrem nas dimensões fornecidas pelo Modulor de Le Corbusier. c Deduza uma fórmula geral para o Modulor de Le Corbusier. d Prove que o Modulor é uma sequência de Fibonacci. Tabela com elementos das "séries"vermelha e azul de Le Corbusier....... Φ v 6.1194 Φa 6.15961 Φ v 5.164938 Φa 5.385 Φ v 4.6687 Φa 4.39757 Φ v 3.431796 Φa 3.533547 Φ v.698645 Φa.86379 Φ v 1 1.1341 Φa 1 1.39679 Φ v 1.89 Φa.6 Φ v 1.9593 Φa 1 3.65668 Φ v 4.78818 Φa 5.91651 Φ v 3 7.7478 Φa 3 9.5791 Φ v 4 1.5351 Φa 4 15.489......

8 Teste Tipo 1 de Matemática II - Resolução 1. Considere a seguinte função f : R 3 R 3 definida por f(x 1, x, x 3 (x 1 sin (x, x 1 cos (x, x 3. (a Df (x 1, x, x 3 f 1 x 1 f f 1 x f f 1 x 3 f x 1 f 3 x f 3 x 3 f 3 x 1 x x 3 x 1 sin (x x 1 cos (x x 1 cos (x x 1 sin (x x 3. (b J (x 1, x, x 3 det Df (x 1, x, x 3 4x 3 1 x 3 (c Para que o sistema a 1 sin (x a 1 cos (a a 1 cos (a a 1 sin (a a 3 v 1 v v 3 tenha soluções diferentes de zero para todos os vectores (v 1, v, v 3 emr 3 é necessário que J (x 1, x, x 3, por consequência, para além das soluções triviais, tem de se ter 4a 3 1 a 3, ou seja: no plano a 1 ou no plano a 3. Note-se que se a 3 v 3 e que se a 1 v 1 v.. Problemas de extremos e polinómio de Taylor. (a f : R R, f(x, y x + y x y. i. P (x, y f (, + f x (, x + f y (, y + f xx (, x + f yy (, y + f xy (, xy!! + + + x + y +. ii. (1v. Identifique e classifique o ponto (, de f. Como as primeiras derivadas se anulam e a matriz hessiana H (, é: [ ] H (,, 4 logo definida positiva (tem valores próprios positivos, então f (x, y tem um mínimo local em (,. (b Como h (x, y, uma função infinitamente diferenciável, não tem tem zeros da derivada no interior de, que é um conjunto compacto, os extremos encontram-se na fronteira. Como a função assume a mesma imagem sobre cada circunferência de raio r centrada na origem basta calcular h (x, y em x + y 6, em que vale e e em x + y 4, em que vale 1, valor superior ao anterior. Assim h assume o seu máximo absoluto na circunferência 1 { (x, y R : x + y 4 } e o seu mínimo absoluto é atingido na circunferência { (x, y R : x + y 6 }. (a s (t t Entre e π será s (π 1π. c (ξ dξ t 16 + 9 sin (ξ + 9 cos (ξdξ 5t.

i. Como t 5 s 4s, teremos c (s ( 5, 3 sin( 5 s, 3 cos( 5 s e T(s c (s ( 4 5, 3 5 cos( 5 s, 3 5 sin( 5 s. ii. Primeiro há que derivar T(s, T (s (, 5 3 sin( 5 s, 5 3 cos( 5 s. egundo, calcular a norma T 3 (s 3 5 5. N(s T (s T (s (, sin( 5 s, cos( 5 s. iii. B(s T(s N(s ( 4 5, 3 5 cos(s 5, 3 5 sin(s 5 (, sin(s 5, cos(s 5 e 1 e e 3 4 3 5 5 cos( 5 s 3 5 sin( 5 s sin( s 5 cos( s 5 ( 35, 45 cos(s5, 45 sin(s5. É um vector unitário porque é o produto externo de dois vectores unitários. (Alternativamente podia-se calcular a norma e verificar que era 1. (b Das fórmulas de Frechet sabemos que a curvatura κ é apenas a norma T (s 5 3 calculada na alínea b ii. Das terceira fórmula de Frechet podemos calcular a torção τ B j (s N j (s usando, por exemplo, uma das componentes diferentes de zero, j, de cada um destes vectores: como B (s (, 4 5 sin( s 5, 4 5 cos( s 5. Usando a componente pode constatar-se que τ 4 5 sin( s 5 sin( s 5 5 4. Nota - as fórmulas de Frenet são:t (s κn(s, N (s κt(s + τb(s e B (s τn(s. 3. Integrais múltiplos e centróides. (a Nota-se que 1 1 (x + ydxdy 1 1 xdxdy + ydxdy, 1 1 uma vez que se tratam de integrais de funções ímpares em regiões simétricas em torno da origem. (b (x 3 + ydxdy dx x 3 ( x 3 + y dy [ ] 1 x 3 dx yx 3 + y [ ] 1 3x 6 dx 3x 7 1 14 3 14. (c Faz-se a mudança para coordenadas polares. x r cos θ y r sin θ. O jacobiano da transformação é r. O valor da função integranda é r. A região é o quarto quadrante, correspondente a 3 π θ π, e r. Ficamos com (x + y dxdy π 3π r 3 dθdr π r 3 dr π [ r 4 4 ] π. (d É necessário calcular os pontos de intersecção da parábola com o eixo dos xx, 4 x x x. Calcular o centróide corresponde a calcular o centro de massa com uma densidade unitária.

Vejamos as coordenadas x e y xdxdy ydxdy x C, y C. dxdy dxdy Por causa da simetria do problema o primeiro integral é nulo, a parábola é simétrica relativamente ao eixo dos yy, ou seja relativamente à recta x. É necessário calcular apenas y C : e ainda ydxdy 8 3.5 4 x [ y dx ydy dx ( [ x 4 x 5 dxdy 4x + 8 dx ] 4 x ] 1 4x3 3 + 8x ( 4 x dx 4 x ( dx dy 4 x dx ] [4x x3 5 3 3. Dividindo os valores obtemos: R.: (x C, y C (, 8 5. y C 8 3.5 5 3 8 5. 9 Teste Tipo de Matemática II - Resolução 1. Integrais de linha (a (v. Calcule o integral de linha do campo escalar f : R 3 R ao longo do caminho c : [a, b] R 3 quando: f(x, y, z x, c(t ( sin(t, cos(t, com t [, π]. R.: A função integranda é x sin(t. A derivada da parametrização é dc(t dt ( cos(t, sin(t,, a sua norma vale dc(t dt O integral é simplesmente: ( cos(t + ( sin(t 4 cos (t + 4 sin (t 4.

π π sin(t dt 4 sin(t dt 4 [ cos(t] π (b Considere o campo vectorial F (x, y, z (x + yz, y + xz, xy. 4 [1 ( 1] 8. i. (v. Mostre que existe φ (x, y, z : R 3 R tal que φ (x, y, z F. Calcule φ (x, y, z. R.: O rotacional de F deve ser zero para existir um potencial. Assim: F x y z F 1 (x, y, z F (x, y, z F 3 (x, y, z F 3 (x,y,z y F 1 (x,y,z z F (x,y,z x F (x,y,z z F 3(x,y,z x F 1(x,y,z y x x y y z z como rotf existe φ (x, y, z tal que φ (x, y, z F (x, y, z. Para obter o potencial podemos primitivar por exemplo F 1 (x, y, z em ordem a x : φ (x, y, z F 1 (x, y, z dx + C (y, z (x + yz dx + C (y, z x + xyz + C 1 (y, z. Fazendo o mesmo em ordem a y para F (x, y, z temos: φ (x, y, z F (x, y, z dy + C (x, z (y + xz dy + C (x, z y + xyz + C (x, z. Fazendo o mesmo em ordem a z para F 3 (x, y, z temos: φ (x, y, z F 3 (x, y, z dz + C 3 (x, y xydz + C 3 (x, y xyz + C 3 (x, y. Comparando o mesmo potencial φ (x, y, z obtido em cada um dos casos determinamos as funções C 1 (y, z, C (x, z e C 3 (x, y : φ (x, y, z xyz + x + C 1 (y, z xyz + C (x, z + y xyz + C 3 (x, y. Neste caso C 1 (y, z y + c, C (x, z x + c e C 3 (x, y x + y + c, fazendo c obtemos o potencial: φ (x, y, z xyz + x + y ii. (1v. Calcule o integral de linha de F quando o ponto inicial é (1, 1, 1 e o ponto final é (, 1, 3. R.: Basta calcular φ (x, y, z φ (x 1, y 1, z 1.1.3 + + 1 ( 1.1.1 + 1 + 1 8.,

. Integrais de superfície (a (v. eja a superfície V { (x, y, z R 3 : x + y z e z } e a função densidade de massa ρ (x, y, z z. Calcule a massa do cone. R.: É necessário calcular a norma do produto vectorial fundamental. Uma parametrização do cone será: logo Φ (r, θ Φ (r, θ Φ (r, θ P (r, θ r θ A norma de P (r, θ é P (r, θ x r cos θ y r sin θ z r cos θ sin θ 1 r sin θ r cos θ r, θ π, r cos θ r sin θ r cos θ + r sin θ r cos θ r sin θ r ( r cos θ + ( r sin θ + r r cos θ + r sin θ + r r + r r r. A densidade ρ (r, θ r, vindo a massa do cone dada pelo integral: π r. r drdθ π r dr π [ r 3 3 ] 16 π. 3 (b (v. Considere { (x, y, z R 3 : x + y + z 9 } uma esfera orientada com a normal a apontar para o exterior da superfície. eja F (x, y, z. I F n d, n representa o vector normal unitário a. Calcule este integral. R.: É um dos exercícios mais simples do teste. Como a esfera é uma superfície fechada, regular e orientável e a função é diferenciável, o teorema de Gauss afirma: F n d div F dv, onde V é o volume do sólido encerrado pela superfície esférica de raio 3. A divergência de F (x, y, z é F 1 (x,y,z x + F (x,y,z y + F 3(x,y,z z x x + y y + z z 1 + 1 + 1 3. Assim o integral vale F n d div F dv 3 dv 3 dv 3 vol (esfera 3 4 3 π33 18π. 3. Resolva as equações diferenciais V V V V.

(a (v. y (t + t y (t t, com y ( 1. R.: É uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo y (t + a (t y (t b (t (mas também é separável e pode ser resolvida de outra forma. O factor integrante é µ (t e tdt e t, a solução é y (t 1 ( ( ( Cte + b (t µ (t dt e t Cte + te t dt e t Cte + e t e t Cte+1. µ (t O problema de Cauchy tem solução Ou seja y (t 1. y ( 1 Cte + 1 1 Cte. (b (v. t y (t + t y (t ( 1 + t y (t, com y (1 e. R.: Esta é uma equação separável t y (t + t y (t ( 1 + t y (t t y (t t y (t + ( 1 + t y (t t y (t ( 1 t + t y (t y (t y (t 1 t + t t y (t y (t 1 t 1 + t, primitivam-se ambos os membros e obtém-se log y (t log t t + t + Cte y (t elog t t+ t +Cte y (t Ate t+ t em que A e Cte. O problema de Cauchy tem solução y (1 e e A.1.e 1+ 1 e Ae 1 A e 3. (c (v. Uma casa estava a uma temperatura (T ( de dez graus no início da manhã. Entretanto a temperatura exterior (T ext é de 3 graus. A constante de inércia térmica é de α.3465h 1. Quanto tempo demorou a casa a atingir os vinte graus? Para resolver o problema necessita de saber que log 1, 693 e a equação diferencial a resolver dt (t é dt α (T (t T ext. Considere como unidade a hora. R.: Primeiro há que resolver a equação diferencial, que é uma equação separável: dt (t dt α (T (t T ext dt (t (T (t T ext dt α primitivndo ambos os membros obtém-se log T (t T ext αt + Cte T (t T ext e αt+cte T (t T ext + Ae αt, em que A e Cte, substituímos as constantes conhecidas T (t 3 + Ae.3465t. Falta resolver o problema de Cauchy, em t a temperatura era de 1 o C, logo T ( 1 3 + Ae A o C.

Figura 1: Rectângulo dourado. Primeira fase da construção. A solução fica T (t 3 e.3465t, o tempo que a casa demora a atingir os o C é obtido resolvendo a equação 3 e.3465t e.3465t 1 t log 1, 693.3465.3465 horas. 4. (1v. Desenhe uma espiral com cinco trocos inscrita num rectângulo dourado com lado menor de 8cm. Nota: Os desenhos não estão à escala. 5. (1v. Tendo como unidade dez centímetros, represente com régua e compasso as raízes de cinco e seis. A figura não está à escala.

Figura : A espiral dourada. Neste caso temos mais do que os cinco troços pedidos.

Raízes de, 3, 4, 5 e 6. Desenhadas com régua e compasso. 6. (1.v. Indique, segundo o modulor de Le Corbusier, quais seriam, no seu entender, as alturas de uma secretária, um estirador, a altura do assento de uma cadeira e de uma mesa de cabeceira. Indique quais os elementos do modulor usado e se pertencem à sequência encarnada (base 1.89m ou sequência azul (base.6m. R.: A sequência do modulor vermelho é a coluna da esquerda, a do Modulor Azul corresponde à coluna da direita...... Φ v 6.1194 Φa 6.15961 Φ v 5.164938 Φa 5.385 Φ v 4.6687 Φa 4.39757 Φ v 3.431796 Φa 3.533547 Φ v.698645 Φa.86379 Φ v 1 1.1341 Φa 1 1.39679 Φ v 1.89 Φa.6 Φ v 1.9593 Φa 1 3.65668 Φ v 4.78818 Φa 5.91651 Φ v 3 7.7478 Φa 3 9.5791 Φ v 4 1.5351 Φa 4 15.489...... A secretária que tenho em casa corresponde a Φ a 3.533547m, o meu estirador corresponde a Φ v.698645m (outras medidas poderiam ser aceitáveis o assento terá a altura Φv 3.431796m e a mesa de cabeceira poderá ser de Φ a 3.533547m se o leito for ligeiramente inferior em altura. 7. (v. Demonstre que a sequência do modulor de Le Corbusier é de Fibonacci. R.: Basta considerar que qualquer termo da série azul ou vermelha obedece à relação Φ n φ Φ n 1, n Z,