A Utlzação da Fução Abtage de Nash os Modelos DEA CCR: Ua abodage a oetação cobada put/output sob a ótca da Teoa dos Jogos de Bagaha. Maco Auélo Res dos Satos - acoaueloes@ahoo.co.b Feado Augusto Slva Mas - fas@feg.uesp.b Valéo A. P. Saloo - saloo@feg.uesp.b Uvesdade Estadual Paulsta - UNESP Av. Abeto Peea da Cuha, 333 56-40 Guaatguetá - SP RESUMO U dos pcpas popóstos da utlzação do étodo DEA são as poeções dos alvos sobe ua fotea de efcêca dado supote ao toado de decsão quato as opotudades de elhoa. Etetato, os odelos adtvos que coba as oetações put/output, os esultados dos alvos pode sofe fluêca das udades de edda das vaáves até eso dca ua úca oetação. Este atgo popõe u ovo odelo coo solução deste poblea paa oetação cobada baseado a teoa dos ogos, as especfcaete o Poblea da Bagaha Coopeatva, alé de apeseta dos exeplos que lusta teessates popóstos de aplcação e pocessos de egocação. PALAVRAS CHAVE. DEA. Teoa dos Jogos. Poblea da Bagaha. ABSTRACT The a puposes of usg the DEA ethod ae the poectos of the tagets o a effcet fote suppotg the decso ae as the oppotutes fo poveet. Howeve, the addtve odels that cobe oet to put / output, the esults of tagets ca be flueced b the uts of easueet ad cosequetl t a dcates a sgle oetato. Ths atcle shows a ew odel that cobes the classcal Bagag Poble wth DEA ethod. Two exaples ae peseted ode to llustate teestg applcatos puposes. KEYWORDS. DEA. Gae Theo. Bagag Poble. 5
. Itodução Segudo Coo e Sefod (009), a edda de Efcêca te sdo u assuto de teesse paa as ogazações podutvas a edda e que elas vê lutado paa elhoa a podutvdade. Chaes et al. (978) desevolvea u étodo cohecdo coo Aálse Evoltóa de Dados - DEA (Data Evelopet Aalss) a pat do estudo da copaação de efcêcas de escolas públcas cosdeadas coo u couto de Udades Toadoas de Decsão - DMU (Decso Mag Uts). Desde que sugu, a DEA te tdo exceletes aplcações as eddas de desepeho e dvesas stuações tas coo aplcações e dústas, hosptas, escolas, uvesdades, cadea de supetos, estauates, bacos etc. Váos odelos paa tata de dfeetes abodages de edda de desepeho tê sdo desevolvdos pelos pesqusadoes co a faldade de potecalza as vatages da DEA a dfeetes aplcações (COOK e SEIFORD, 009). Segudo Coope et al. (000), u dos pcpas popóstos de u estudo DEA é a poeção das DMU efcetes sobe ua fotea de efcêca, foecedo supote ao toado de decsão a espeto dos alvos puts e outputs. Os alvos dca quas os íves de outputs e puts e que DMU efcetes deve alcaça paa que estas se toe efcetes. Ass há tês deções que pode se adotadas as poeções das DMU efcetes sobe a fotea de podução, cofoe lustado a Fgua. U pocedeto é chaado de oetação a put, cuo obetvo é za os puts equato pelo eos atê os íves atuas de outputs, outo é chaado de oetação a output, cuo obetvo é axza os íves de outputs atedo o eso cosuo atual de puts, ua tecea opção teta coba abas as oetações, o que pode se epesetado pelos odelos Adtvos (Addtve odels) ou baseados e folgas (Slac Based Measue). Fgua -Repesetação Gáfca paa o odelo DEA tês oetações do odelo (Adaptado de Mello et al. 005). Os odelos adtvos, ou baseados e folgas, busca estabelece u acodo ete duas pespectvas: - Ua sob poto de vsta de cosuo abusvo de puts, cuo obetvo é axza a pacela que pode se ecoozada (coespodete ao excesso); - Outa sob poto vsta de podução defcete de outputs, cuo obetvo é axza a pacela que pode se acescetada (coespodete às defcêcas) aos íves atuas de outputs. Poé, devdo à atueza cofltate ete as duas oetações, os odelos baseados e folgas pecsa se calbados, po exeplo, po eo de atbução de pesos ou coefcetes de potâca elatva às pacelas a see otzadas, caso cotáo os esultados do odelo pode dca ua úca oetação, ou paa output ou put, cofoe seá lustado as adate. Este atgo popõe u ovo odelo coo solução deste coflto paa oetação cobada baseado a teoa dos ogos, as especfcaete o Poblea da Bagaha Coopeatva, ou da Negocação Coopeatva, poposto po Nash (950, 953). 5
Ua das vatages desta abodage é que o pocesso de calbação da otzação, dos dos agetes outputs e puts, pode se as obetvo do que a dos odelos baseados e folgas, ua vez que teta ecota ua solução óta paa os íves de outputs e puts que sea elho do que aqueles íves exgdos, ou poetdos ou aeaçados po estes agetes ates de estabelecee u acodo. Espea-se ofeece u auxílo a cocepção de udades podutvas que ão soete sea efcetes, as tabé efcazes. Segudo Coope et al. (000), efcáca plca a desteza de se alcaça obetvos deseados, equato a efcêca elacoa os beefícos ealzados co os ecusos utlzados. Potato, ua DMU que sea classfcada coo efcete ão sgfca ecessaaete que sea efcaz. Outa vatage que este odelo pode ofeece, cofoe seá lustado as adate, é que e casos de avalações de ogazações públcas, po exeplo, ode o gade desafo é axza os beefícos à população, dados os ecusos escassos, a oetação cobada pode se as teessate do que splesete aplca odelos co oetação a output, ua vez que udades efcetes pode, ada, see cosdeadas defcetes pela população e teos de efcáca. Cobado as duas oetações, pode-se egoca ua ecooa de ecusos as udades efcetes, a edda e que se busca atede exgêcas da população, de fato, o que pude se ecoozado podeá se eaplcado às udades efcetes, poé efcazes. Pode-se cta alguas abodages ecetes de utlzação da Teoa dos Jogos da Bagaha Coopeatva e couto co o étodo DEA, coo, po exeplo, Wu et al. (009) que popõe ua elhoa a avalação de desepeho baseado u pocesso de bagaha ete avalação obtda pelo odelo CCR e a avalação po eo da Efcêca Cuzada. Du et al. (0) utlza a Teoa dos Jogos da Bagaha o pocesso de avalação de efcêca o odelo DEA co dos estágos, ode a edda global de efcêca é obtda po eo de eddas pacas de efcêca bagahada e cada u dos dos estágos de ua udade podutva. O odelo aqu poposto, dfeeteete destas abodages ctadas, ão foca a edda de desepeho, as as poeções dos Alvos, pos se acedta que as teessate do que detfca o gau de efcêca de cada ua das DMU é apota as opotudades de elhoa de cada ua das DMU. O obetvo geal deste atgo é popo u odelo DEA co etoo costate de escala baseado o odelo clássco da Teoa dos Jogos Coopeatvos a oetação cobada put/output e lusta o odelo po eo de exeplos extaídos da lteatua. Este atgo está estutuado coo: a Seção os odelos DEA CCR e Adtvos são apesetados, a Seção 3 algus cocetos báscos do odelo da Bagaha é coetado, a Seção 4 é apesetada a foulação do odelo DEA poposto baseado a Teoa da Bagaha Coopeatva, a Seção 5 lusta-se a aplcação do odelo po eo de dos exeplos e, falete, estão as efeêcas.. Data Evelopet Aalss Efcêca técca é u coceto elatvo, copaa o que fo poduzdo, a pat dos ecusos dspoíves, co o que fo poduzdo pelas suas DMU cocoetes ou paceas as efcetes (becha). Quado há DMU, cada qual co puts e outputs, a efcêca elatva pode se obtda esolvedo o Poblea de Pogaação Facoal, () - (3): u o = Max θ = 0 () v x0 sueto a u = v x, () 53
u 0, v 0. (3) Este odelo que é cohecdo coo odelo CCR (CHARNES, COOPER, e RHODES pode se covetdo paa u Poblea de Pogaação Lea dado po (4) - (7): Max θ 0 = u o (4) sueto a = v, (5) u = u x 0 = v x 0, 0, v 0. (7) Este odelo é chaado de Modelo dos Multplcadoes, co oetação a put, que ve do fato de a efcêca se atgda co a edução de puts. Isso é elho epesetado o dual deste odelo, e (8) - (), cohecdo coo Modelo Evelope. (8) M θ 0 sueto a xoθ 0 xλ = x, o = = λ =, λ 0. () ode λ é o coefcete de potâca elatva da DMU ; θ 0 é a edda adal de efcêca técca da DMU 0 ; x é o valo do alvo paa o put da DMU 0 ; ax é o valo do alvo paa o output da DMU 0. Po see duas, os odelos (4) - (7) e (8) - () tê o eso valo paa a fução obetvo. Debeu (95) toduzu o coceto de edda adal de efcêca técca, ou coefcete de utlzação dos ecusos, que ede o gau de efcêca elatva de u couto de DMU. A edda adal de efcêca é u fato que, ao se ultplcado pelo veto puts ou outputs, pete (depedeteete da udade de edda): - A áxa edução equpopocoal de todos os puts; - A áxa expasão equpopocoal de todos os outputs. Até este poto, eque-se que o avalado escolha ete utlza u de dos odelos dsttos: oetado a output ou oetado a put. Chaes et al. (985) cobaa abas as oetações e u odelo sples chaado de Modelo Adtvo que é be póxa dos odelos típcos de Pogaação po Metas - GP (Goal Pogag) de Chaes e Coope (96). A dfeeça ete GP e DEA é que, equato a GP teta peve o desepeho futuo (ex-ate facto) zado os desvos as etas, a DEA avala o desepeho passado (ex-post facto) axzado os desvos ulateas dos atuas íves de outputs e puts, obtedo-se os alvos e abas as oetações (COOPER, 005). O Modelo Adtvo pete que se clua ulgaetos de valo de especalstas cohecedoes do ao de atvdades e caacteístcas das DMU po eo de pesos (w ), (9) (0) (6) 54
assocados às folgas cofoe () - (5), buscado-se atbu potâca dfeecada a avalação dos puts e outputs (FERREIRA e GOMES, 009). + + () Max w s + w s sueto a x o o s + s = = xλ = x, + = = = λ =, λ 0. (5) ode s - é a folga assocada ao put ; s + é a folga assocada ao output ; w - é o peso assocado a + potâca elatva do put ; w é o peso assocado a potâca elatva do output. Coope et al. (999) popusea utlza o veso das apltudes (Z - = x 0ao x 0eo ; Z + = oao 0eo ) paa toa o pocesso de axzação da fução obetvo depedete das udades de eddas dos puts e outputs. Desta foa, os pesos dos puts seão w - =/ Z - e dos outputs w + =/ Z +.. Baseado o coceto do coefcete de utlzação dos ecusos de Debeu (95), pode-se toduz dos coefcetes escalaes e depedetes das udades de edda: α e β, ode α popocoa a áxa edução de todos os puts, e β pete a áxa expasão de todos os outputs. Ass passa-se a def efcêca técca elatva cofoe (6): (3) (4) α v x α Efcêca = tal que β β u = x λ = x, = = λ = 0 0 vx u =, α, β, v v x, u = 0, u =, 0 (6) De foa aáloga, pode-se epeseta (6) pelo odelo (7) - (0), que te últplas soluções ótas epesetado as dvesas opções de poeções de output e put: (7) α M β sueto a x α x o o = β = λ = x λ =,, λ 0, α, β. (0) (8) (9) 3. Modelo do Poblea da Bagaha de Nash Aqu se coeta o Modelo de Jogos de Bagaha de Nash paa dos Jogadoes (NASH, 953), deotados pelo couto N={,} e u veto de paoff (U, U ) (epesetado os pagaetos ou as ecopesas de cada agete o ogo) defdo coo u eleeto o espaço Eucldao R. Sea u couto covexo S defdo coo u subcouto factível de paoffs, 55
epesetado o couto fto de estatégas coopeatvas paa abos os ogadoes, e u poto d chaado de poto de desacodo (beadow pot ou dsageeet pot) coo u eleeto petecete ao couto factível de paoffs que é u ltate feo paa couto de estatégas coopeatvas S. A foulação sugeda po Nash (953) eque que o couto S sea covexo e copacto e, que cada eleeto do veto paoff petecete a S, sea ao ou gual aos íves de paoffs e que se ecota abos os agetes, ates de estabelecee u acodo (poto de desacodo). A déa é que cada ogado, supostaete se ehu tpo de epata ete s (ou de ustça ou de equdade), as co alto gau de acoaldade, patdo de ua ecopesa á gaatda (poto de desacodo), tetaa egoca ou bagaha estatégas coopeatvas de foa a ecota ua stuação elho do que aquela ates de chega ao acodo. A solução poposta po Nash (953), coo esultado da egocação, é aquela ecotada pela fução abtage F(N=, S, d) expessa e (): ax U S N = ( U ), U d d () Tal solução é que espeta satsfatoaete quato axoas os quas Nash foalza o Poblea da Bagaha: - Óto de Paeto - Cosdeado dos potos x, ϵ S, se >x etão f(s,d) x. Na solução ecotada, ehu dos agetes pode aueta o seu ível de paoff se que o do seu advesáo dua, ou sea, abos agetes á alcaçaa o áxo de beefíco se peudca o outo. Isto sgfca ecota ua solução de paoffs e S que sea usta paa abos os ogadoes; - Seta - Sea (S, d) u couto sétco d =d e [(U, U ) ϵ S se e soete se (U, U ) ϵ S]. Etão, f (S, d )= f (S, d ). Este axoa gaate a clusão de todos os paâetos elevates paa a bagaha. Nua epesetação gáfca, coo a da Fgua, vetedo-se os exos que epeseta U e U (que o caso da Fgua são Iput e Output), a solução deveá se equvalete à solução ogal; - Idepedêca das alteatvas elevates - se T Ϲ S e f(s,d) ϵ T, etão f(t,d)= f(s,d), o que dca que a solução ão deve se fluecada pela escolha de alteatvas elevates o pocesso de egocação; - Ivaâca po tasfoações leaes - (S, d), (S, d), a >0 S ={s / s =a s +b ϵ N} e d =a d +b ϵn f(s, d )=a f(s,d)+b, ϵn. Tal axoa eflete a dea de que a solução do ogo de bagaha deve se depedete de qualque escala utlzada. O últo axoa toa o Modelo da Bagaha teessate de se aplcado e couto co o DEA, u que vez que as poeções dos Alvos o odelo Adtvo são fluecadas pelas udades de edda dos puts e outputs. 4. Modelo da Bagaha o pocesso de Avalação de desepeho Aqu popõe-se a foulação de u odelo DEA baseado o odelo da Bagaha que busque avala o desepeho a pat de íves íos de outputs e áxos de puts poetdos, ou exgdos po abos agetes (que seão os outputs e os puts, ogadoes cosdeados o odelo), ates de chegae a u acodo coopeatvo que gaata íves áxos de outputs e íos de puts. Os íves íos de outputs e os íves áxos de puts, que ão def os potos de desacodo ou beadow pot, ão ecessaaete pecsa se os íves atuas, as pode se outos, supeoes aos outputs atuas, e feoes aos puts, desde que peteça ao couto de possbldades de podução. Desta foa, pode-se estabelece poeções de alvos que satsfaça 56
as codções ías que gaata a efcáca da DMU, desde que estas codções estea deto de u couto de estatégas factíves, ou sea, peteça ao couto de possbldades de podução; caso cotáo, o odelo ão possuá solução vável. Neste odelo, dado u couto de possbldades de podução P, o couto de estatégas coopeatvas factíves S seá u subcouto de P cofoe lustado a Fgua. Ass, P Ϲ S. Fgua -Repesetação Gáfca paa o odelo DEA sob a oetação do odelo da Bagaha Na Fgua, o poto C( v x 0, u 0 ) epeseta a DMU C avalada, o poto D(d,d ) epeseta o poto de desacodo paa DMU C e pode epeseta os íos íves exgdos de podução de output (d ) e a ía ecooa exgda paa os puts (d ). Os potos A, B e D delta a Regão de estatégas coopeatvas S (couto copacto e covexo). A egão deltada pelos potos A e B costtu a Regão de Bagaha. O poto E, petecete à egão de bagaha, epeseta a poeção dos alvos da DMU C que satsfaz os quato axoas foalzados po Nash. Tal solução pode se ecotada substtudo a fução obetvo (7), do odelo (7) - (0), pela fução abtage de Nash (953) coo está o odelo () - (5): () Max z = ( ε α)( β ε ) sueto a x α x o o = β = λ = x λ =,, λ 0, α ε, β ε. (5) ode ε v x0 = d ; ε u 0 = d ; ε =-ϕ /00; ε =+ϕ /00; ϕ é o pecetual ío exgdo de edução dos puts; ϕ é o pecetual ío exgdo de aueto dos outputs. Ua foulação equvalete está e (6) - (9): Max z = ε β + ε α αβ ε ε (3) (4) (6) 57
sueto a x α x o o = β = λ = x λ =,, λ 0, α ε, β ε. (9) No odelo CCR o etoo é costate de escala, e a efcêca elatva é obtda po eo da elação ete a podutvdade atual e a áxa podutvdade que se pode alcaça, que é sepe gual a paa qualque poeção dos alvos a cuva de efcêca. A podutvdade áxa é epesetada pelo coefcete agula da eta que epeseta a fotea de efcêca, sedo seu valo gual a tagete de 45º cofoe lustado a Fgua. Desta foa, paa o caso do odelo CCR, a efcêca obtda seá costate paa qualque oetação, sea oetado a put, sea oetado a output, ou sea, as duas oetações cobadas. Desta foa, pode-se afa que θ 0 =α/β. Ua vez cohecedo θ 0 po eo do odelo CCR clássco oetado a put, pode-se elaboa o odelo (30) - (33), cosdeado α= θ 0 β. (30) Max z = θ β + ( ε + θ ε β ε ε sueto a x α x o o = β = 0 0 ) λ = x λ =,, λ 0, α ε, β ε. (33) O coheceto pévo da efcêca técca θ 0 é ua foação útl ao toado de decsão, ua vez que os agetes só coseguão egoca ua elhoa os íves de outputs e de puts caso a DMU sea cosdeada efcete e a escolha do poto de desacodo satsfaça θ 0 ε / ε. Não sedo espetada esta codção, o odelo seá vável, pos qualque tetatva de elhoa estaá foa do couto de estatégas coopeatvas factíves. A fução obetvo (30) é ua equação do segudo gau que pode se leazada, ua vez que z teá valo áxo quado a sua devada e elação a β fo gual a zeo, cofoe lustado a Fgua 3. (7) (8) (3) (3) Fgua 3-Repesetação Gáfca da devada de z e elação a β. 58
A equação da devada de z e elação a β é epesetada e (34): dz = θ 0β + ε + θ0ε dβ (34) Pode-se obte u odelo de Pogaação Lea (35) - (39) equvalete ao odelo epesetado po (30) - (33): (35) Max β sueto a : x α x λ = x, o o = β = λ =, α = ε + θ0ε (38) λ 0, α ε, β ε. (39) Cobado o odelo CCR oetado a put, ve (8) - (), co o odelo baseado a Teoa dos Jogos de Bagaha, ve (35) - (39) te-se o odelo de (40) - (46): (40) Max β θ 0 sueto a o 0 = t, x θ x o = x α x o o t, = β = λ = x λ =,, α = ε + θ0ε (45) t 0e λ 0, α ε, β ε. (46) A pat de (45) pode-se chega a elação (47): ε α ε α = α θ0ε ε α = θ0β θ0ε θ0 = (47) β ε 5. Exeplo Nuéco Paa lusta o popósto do odelo, apeseta-se dos exeplos uécos de Feea e Goes (009) e Coope et al. (000), espectvaete. A Tabela osta os esultados obtdos pelo peo exeplo, que é ua aplcação do Modelo Adtvo, ve () - (5), e utlza o ctéo poposto po Coope et al. (999) paa atbução de pesos (w ) assocados às folgas de foa a toá-lo adesoal, as, o etato, obseva-se a Tabela que o alvo poetado paa o poduto da DMU_3 se ateve fxo, obtedose ass ua úca oetação (oetação a put). (36) (37) (4) (4) (43) (44) 59
Tabela -Copaatvo dos esultados ete o odelo DEA Adtvo e o Modelo DEA da Bagaha. No etato, ao aplca a avalação segudo o odelo da Bagaha de Nash, ve (40) - (46), e patdo de u beadow pot ε(,), obté-se u aueto de 5% (-β) o ível dos podutos e ua edução de 6,7% (-α) o ível de suos paa a DMU_3. Tal stuação pode epeseta u pocesso de egocação ete o poduto da DMU_3, que busca ecooza a quatdade de suos utlzados, e o clete da DMU_3, que busca deada ua quatdade cescete do Poduto ofetado pelo poduto da DMU_3. Ilustado, supoha-se que o Clete da DMU_3 ecesste aueta o cosuo do poduto e pelo eos 0% e o poduto da DMU_3 esolva cota gastos co suos e pelo eos 5%. Paa o odelo poposto, o poto de desacodo coespodete paa DMU_3 seá ε(0,95;,). Note-se que as codções exgdas satsfaze as codções de vabldade (θ 3 =0,6667 0,95/,=0,8636). Ass, quato ao o ível de efcêca, ao o pode de egocação dos ogadoes. A Tabela osta o ovo esultado da poeção dos alvos paa DMU_3 co as ovas codções exgdas po abos os ogadoes da DMU_3. Tabela -Resultados do Modelo DEA da Bagaha paa as Novas Codções Exgdas paa DMU_3. Pela Tabela, a solução obtda pelo odelo da bagaha é aueta a podução da DMU_3 e 6,5% e eduz o seu ível de suos e 5,85%, ua stuação elho paa abos os ogadoes do que aquela exgda ates de estabelecee u acodo. No exeplo, Coope et al. (000) avala a efcêca de hosptas ode os puts são o úeo de édcos e efeeos, e os outputs são o úeo de pacetes ão teados e o úeo de pacetes teados (cada u e udades de 00 pessoas/ês). Aplcou-se o odelo CCR oetado a put e depos o odelo CCR oetado a output. E seguda, os autoes fzea ua cobação de abas as poeções co pesos de / paa cada oetação, estabelecedo u coposso gual paa abos os agetes. Aplcado o odelo aqu poposto, co u beadow pot de ε(;), obté-se o eso esultado (cofoe lustado a Tabela 3) co a vatage de aplca u úco odelo. 530
Tabela 3-Resultados do Modelo DEA da Bagaha paa o caso de Hosptas. Coo lustação, supodo que a deada eal do hosptal A é de 0 pacetes ão teos e de 9 pacetes teos, as que, etetato só te codções de atede 00 e 90 espectvaete, cofoe lustado a Tabela 3. O hosptal A pode se cosdeado efcete (θ A =) poé ão é efcaz. Neste caso ão se pode egoca ua elhoa, as algua quatdade de édcos e efeeos, que pode se eduzda os Hosptas efcetes, podeá se ealocada paa o Hosptal A e, desta foa, pode-se aueta a capacdade de Atedeto do Hosptal A se que ele dexe de se efcete. Co os alvos poetados do odelo poposto e adcoado as 3 édcos paa o hosptal A (poveete de algu hosptal efcete), as édcos paa os hosptas B e D e as 5 efeeos paa os Hosptas A, B e D e aplcado o odelo CCR oetado a output, obté-se ua elhoa a capacdade de atedeto destes tês hosptas, cofoe lustado a Tabela 4. De fato, co os auetos dos ecusos huaos estes tês hosptas cosequeteete eles se toa efcetes, as os hosptas cosdeados efcetes o peo odelo co utlzação de ecusos e íves de sevços efcetes acaba se toado efcetes (Tabela 4). Tabela 4-Resultados do Modelo DEA CCR oetado a output a pa de dados poetados o Modelo DEA da Bagaha e ecusos ealocados. Lebado que, paa o hosptal A, paa que ele sea cosdeado efcaz, ele deve possu ua capacdade de Atedeto de pelo eos 0 pacetes ão teos e 9 pacetes teos. Co tês édcos e 5 efeeos adcoas, o hosptal A cosegue atede co u desepeho efcete, 3 pacetes ão teos e 9 pacetes teos, ve Tabela 4, toadose ass efcete e efcaz. Ass, paa u caso de Gestão Públca de Saúde, ode ão se é usual cota ecusos que á são escassos, toa-se teessate egoca elhoas e udades de atedeto de saúde 53
efcetes, cotado gastos excessvos paa eaplcá-los e udades efcetes, ao eso tepo e que se teta aueta a qualdade dos sevços ofeecdos, cofoe ua deada ía de sevços exgda pela população. 6. Coclusões Este atgo apeseta a utlzação de u odelo DEA copoado cocetos da Teoa dos Jogos. A oetação cobada baseou-se o Poblea da Bagaha de Nash paa poeção dos Alvos. Po eo de exeplos uécos pôde-se copaa a vatage do ovo poposto co a abodage do odelo Adtvo e da abodage da cobação lea covexa dos Alvos poetados os odelos oetados a put e oetados a output. Alé dsso, os dos exeplos uécos lusta potecas e teessates aplcações pátcas. Coo futuas deções de pesqusa sugee-se a valdação deste odelo po eo de aplcações e casos pátcos. Outa deção de pesqusa é a utlzação do odelo de etoo vaável de escala. Refeêcas Bae, R., Chaes, A. e Coope, W. W. (984), Soe odels fo estatg techcal ad scale effceces data evelopet aalss. Maageet Scece, 30 (9), 078 09. Chaes, A., Coope, W., W. (96), Maageet Models ad Idustal Applcatos of Lea Pogag. Wle: New Yo. Chaes, A., Coope, W., W. e Rhodes, E. (978), Measug the Effcec of Mag Uts. Euopea Joual of Opeatoal Reseach, (6), 49-444. Chaes, A., Coope, W., W., Gola, B., Sefod, L. M., Stutz, J. (985), Foudatos of data evelopet aalss fo paeto-oopas effcet epcal poducto fuctos. Joual of Ecooetcs, 30, 9-07. Coope, W. W., Pa, K. S., Pasto, J. T. (999), A age adusted easue of effcec fo use wth addtve odels, ad elatos to othe odels ad easues DEA. Joual of Poducto Aalss,, 5-4. Coope, W. W., Sefod, L. M. e Toe, K. (000) Data Evelopet Aalss: a copehesve text wth odels, applcatos, efeeces ad DEA solve softwae, Kluwe Acadec Publshe. Coope,W. W. (005), Ogs, Uses of, ad Relatos Betwee Goal Pogag ad Data Evelopet Aalss. Joual of Mult-Ctea Decso Aalss, 3, 3-. Coo, W. D. e Sefod, L. M. (009), Data Evelopet Aalss (DEA) Tht eas o. Euopea Joual of Opeatoal Reseach, 9, -7. Debeu, G. (95), The coeffcet of esouce utlzato. Ecooetca, 9, 73-9. Du, J., Lag L. Che, Y., Coo, W. D. e Zhu, J. (0), A bagag gae odel fo easug pefoace of two-stage etwo stuctues. Euopea Joual of Opeatoal Reseach, 0, 390-397. Feea, C. M. C. e Goes, A. P. (009), Itodução à Aálse Evoltóa de Dados Teoa, Modelos e Aplcações, Edtoa UFV. Mello, J. C. C. B. S., Meza, L. A., Goes, E. G. e Neto, L. B. (005), Cuso de Aálse de Evoltóa de Dados. I: Spóso Basleo de Pesqusa Opeacoal, 37. Gaado. Aas: Socedade Baslea de Pesqusa Opeacoal, 50-547. Nash, J. F. (950), The bagag poble. Ecooetca, 8, 55-6. Nash, J. F. (953), Two-peso coopeatves gaes. Ecooetca,, 8-40. Wu, J., Lag, L., Yag, F., Ya, H. (009), Bagag gae odel the evaluato of decso ag uts. Expet Sstes wth Applcatos, 36, 4357-436. 53