Relatório da Disciplina de Matemática I

Relatório da Disciplina de Matemática I 2006-2007 Docentes Prof. Auxiliar Fernando Carapau, (flc@uevora.pt ) Departamento de Matemática, Universidade de Évora Assistente Fátima Correia, (mfac@uevora.pt ) Departamento de Matemática, Universidade de Évora Resumo Este relatório crítico está relacionado com a disciplina de Matemática I ministrada pelo Departamento de Matemática da Universidade de Évora às seguintes licenciaturas: Engenharia Agrícola, Biologia, Engenharia Biofísica, Engenharia de Recursos Hídricos, Engenharia de Recursos Geológicos, Engenharia Alimentar, Ensino de Biologia e Geologia, Engenharia Zootécnica e Ciências do Ambiente. Neste relatório o corpo docente tenta expor e analisar o trabalho realizado durante o ano lectivo 2006-2007. Programa da disciplina O programa da disciplina de Matemática I do ano lectivo 2006-2007 foi o seguinte:. Noções topológicas em R. Vizinhança de um ponto.2 Posição relativa entre um ponto e um conjunto não vazio

.3 Noção de conjunto aberto e de conjunto fechado 2. Cálculo diferencial em R 2. Conceito de derivada num ponto 2.2 Interpretação física 2.3 As regras usuais de derivação 2.4 Monotonia, concavidades, extremos e assímptotas 2.5 Teorema de Rolle, de Lagrange e de Cauchy 2.6 Regra de Cauchy e de L Hôpital 3. Primitivação 3. Definição e algumas propriedades 3.2 Primitivas imediatas 3.3 Primitivas por partes e por substituição 3.4 Primitivas de funções racionais 4. Integração 4. Integral de Darboux e de Riemann 4.2 Algumas propriedades do integral de Riemann 4.3 Teorema fundamental do cálculo integral e fórmula da Barrow 4.4 Integração por partes e substituição 4.5 Teoremas da média do cálculo integral 5. Aplicações do cálculo integral 5. Cálculo de áreas planas 5.2 Cálculo de comprimento de uma linha 5.3 Cálculo de volumes de sólidos de revolução 5.4 Cálculo de áreas de uma superfície de revolução 2

6. Integrais impróprios 6. Definição e generalidades 6.2 Teoremas e critérios de convergência 6.3 Convergência absoluta e simples 7. Séries numéricas 7. Definição e generalidades 7.2 Séries geométricas, aritméticas, Dirichlet e de Mengoli 7.3 Teoremas e critérios de convergência 7.4 Séries alternadas, convergência absoluta e simples 8. Séries de potências 8. Definição e generalidades 8.2 Intervalo e raio de convergência 8.3 Séries de Taylor e Mac-Laurin 9. Equações diferenciais ordinárias 9. Equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n 9.2 Equações diferenciais lineares não-homogéneas de ordem n 9.3 Aplicações Os pontos 2 9 deste programa fazem parte do programa mínimo acordado, há uns anos a esta parte, entre o Departamento de Matemática e as Comissões de Curso das seguintes licenciaturas: Engenharia Agrícola, Biologia, Engenharia Biofísica, Engenharia de Recursos Hídricos, Engenharia de Recursos Geológicos, Engenharia Alimentar, Ensino de Biologia e Geologia, Engenharia Zootécnica e Ciências do Ambiente. Além do programa mínimo o corpo docente acrescentou o ponto sobre as Noções Topológicas em R o qual deixou de fazer parte dos programas do ensino secundário. O programa proposto (pontos 9) foi cumprido na integra pelo corpo docente do ano lectivo 2006-2007 de uma forma profissional, exigente e rigorosa. 3

2 Complemento e Material de apoio No início do ano lectivo foi apresentado aos alunos os seguintes manuais didácticos da autoria do docente responsável pelas aulas teóricas:. Carapau, F., Matemática I, Manuais da Universidade de Évora, Área Departamental de Ciências Exactas, (89 páginas), 2005. Prefácio: Este manual - que tem como base a bibliografia recomendada - é uma forma de auxiliar o estudo dos alunos na disciplina de Matemática I das licenciaturas - Engenharia Agrícola, Ciências do Ambiente, Biologia, Engenharia Biofísica, Engenharia Alimentar, Engenharia Zootécnica, Ensino de Biologia e Geologia - ministrada pelo Departamento de Matemática da Universidade de Évora. O curso a desenvolver será rigoroso e exigente, como tal, o estudo deste manual é, sem dúvida alguma, importante, mas por si só não basta, é necessário consultar outros livros (ver bibliografia) e estudar as matérias propostas. Neste manual o leitor não irá encontrar exercícios resolvidos sobre a matéria exposta porque tais resoluções estão reservadas para as aulas teóricas e práticas. Por este motivo é importante ir a todas as aulas e estar atento aos assuntos expostos, para assim poder perceber as resoluções dos exercícios e tentar resolver outros por iniciativa própria. No final de cada capítulo existem exercícios propostos para as aulas teóricas, aulas práticas e também para trabalho de casa dos alunos. Numa disciplina como Matemática I é necessário fazer um estudo profissional e diário, não deixe o estudo para a véspera dos testes. Ter dúvidas é normal, todos nós somos simples mortais, o que não é normal é não tentar combater essas dúvidas por iniciativa própria. Sempre que uma dúvida teimar em não se dissipar pode recorrer aos atendimentos semanais dos docentes da disciplina. Gostaria de alertar os alunos para o seguinte facto: o ensino universitário é um ensino em que os alunos não podem ter apenas por base o que lhes é ensinado nas aulas é necessário trabalhar arduamente extra aulas para assim refinar o conhecimento sobre determinado assunto. Quero terminar expressando a minha gratidão aos colegas e amigos que contribuiram com os seus comentários pertinentes, sugestões e correcções que permitiram a melhoria desde livro didáctico. 2. Carapau, F., Primitivas, Integrais e suas Aplicações, Publidisa, (77 páginas), 2006. Prefácio: Este livro tem como objectivo auxiliar o estudo dos alunos do ensino universitário e politécnico, na área das ciências exactas, nos assuntos relacionados com primitivas, integrais e suas aplicações. Ao longo do texto, os conteúdos teóricos, de extrema relevância, serão apresentados sem os demonstrar, remetendo tais demonstrações para a bibliografia, dando assim mais importância à resolução de problemas concretos. Pretendese que tais resoluções tenham princípio, meio e fim contribuindo assim para que o leitor adquira uma estratégia lógica e uma forma apurada de pensar sobre os assuntos que lhe 4

são colocados. É claro que, para adquirir tal capacidade de análise, o leitor tem que ter uma sólida formação de base na área da Matemática. Mas, não basta ter apenas uma sólida formação de base é necessário mais, por exemplo: é necessário um estudo diário apaixonado, consultar diferentes bibliografias, refinar a capacidade de análise e estratégia de acção, resolver exercícios por iniciativa própria, estudar em grupo e claro não deixar o estudo para a véspera dos testes. Ao longo do texto apresentado os assuntos a estudar, são sempre que possível, abordados de forma informal, pretendendo-se assim uma leitura alegre e não de obrigação, contribuindo, desta forma, para uma assimilação positiva dos conceitos propostos. Quero terminar expressando a minha gratidão aos colegas e amigos que contribuiram com os seus comentários pertinentes, sugestões e correcções que permitiram a melhoria desde livro didáctico. No início do ano lectivo o docente das aulas teóricas propôs aos alunos um curso livre de 3h sobre o software científico MAPLE o qual funcionou na última semana do semestre. A ideia foi explorar sempre que possível as matérias a estudar na disciplina de Matemática I (e outras) em termos de MAPLE. Penso que foi positivo para os alunos tal abordagem. Todas as semanas, durante o semestre, os alunos foram convidados a resolver um trabalho para casa (TPC) proposto pelos docentes o qual não contava para a classificação final. É claro que a resolução semanal de um TPC por parte dos alunos responsáveis promove um estudo extra de extrema importância para o sucesso na disciplina. Os TPC propostos foram os seguintes: Trabalho de Casa n o Entregar até segunda-feira dia 9 de Outubro de 2006. Faça um estudo da função x + f(x) = x 2 relativamemte ao domínio, zeros, paridade, assímptotas, continuidade, monotonia, extremos, pontos de inflexão, concavidade, esboço do gráfico e contradomínio. 2. Determine as dimensões de um rectângulo com um perímetro de 00 cm, cuja área é a maior possível. Nos anexos existe informação detalhada com o nome e curso dos alunos que fizeram os TPC. Assim como informação sobre a assiduidade dos alunos às aulas teóricas, aulas práticas e aos atendimentos semanais. 5

Trabalho de Casa n o 2 Entregar até segunda-feira dia 6 de Outubro de 2006. Considere o seguinte conjunto A =], 2] {3, 5} determine (apresentando as definições) o interior, exterior, fronteira, aderência e derivado do conjunto A. O conjunto A tem pontos isolados? O conjunto em causa é aberto e/ou fechado? Justifique todas as suas respostas. 2. Considere o seguinte conjunto A = {x R; x =+( ) n + ( )n,n N} n determine o interior, exterior, fronteira, aderência e derivado do conjunto A. O conjunto A tem pontos isolados? O conjunto em causa é aberto e/ou fechado? Justifique todas as suas respostas. 3. Considere a seguinte função real de variável real f(x) =2+ln( x + x ) seja D f o domínio da função anterior. Determine o interior, exterior, fronteira, aderência e derivado do conjunto D f. O conjunto D f tem pontos isolados? O conjunto em causa é aberto e/ou fechado? Justifique todas as suas respostas. Trabalho de Casa n o 3 Entregar até segunda-feira dia 23 de Outubro de 2006 6

. Considere a seguinte função f(x) = π 2 tg(x)+kx, k R. 3 Determine k de modo que o Teorema de Rolle seja aplicável à função em causa, relativamente ao intervalo [π/6,π/3]. 2. Mostre que o Teorema de Lagrange é aplicável à função: g(x) =ln( + x), x [0,e ], e determine o ponto do gráfico da função em causa em que a tangente é paralela ao segmento de extremos (0,g(0)) e (e,g(e )). 3. Use a regra de Cauchy (verifique a aplicabilidade da mesma) para confirmar o resultado do seguinte limite: [ lim x(arctg(e x ) π x + 2 )] =0. Trabalho de Casa n o 4 Entregar até segunda-feira dia 30 de Outubro de 2006. Determine a família das seguintes primitivas imediatas: xe x2 dx, sin 3 x 2 (x)dx, x3 +2 dx, x +x 4dx 2. Determine a família das seguintes primitivas por partes: x 2 e 3x dx, arccotg(x)dx, xcos(3x)dx, x 5 x3 +2 dx 3. Determine a família das seguintes primitivas por substituição: cos( x) 2 ex dx, x2 dx, dx, x x + 3 x dx 7

4. Determine a família das seguintes primitivas: x 2 (x ) dx, x x 3 + dx, x 5 x 2 dx, 2 cos(x) dx Trabalho de Casa n o 5 Entregar até segunda-feira dia 6 de Novembro de 2006. Determine a família das seguintes primitivas: e 4x dx x 2 x 2 dx sin 3 (x)cos 2 (x)dx xln(x)dx xarctg(x)dx xsin(2x)dx tg 2 (x)+ ln(x)(x +) dx tg(x) + x dx dx x x 2 (x ) 2 (x +) dx x x 2 + x 2 dx tg 4 (x)dx x 2 x2 +2 dx x 3 x 2 +2x 2 dx x2 dx x 4 (x 2 +)x dx Trabalho de Casa n o 6 Entregar até sexta-feira dia 7 de Novembro de 2006. Verifique utilizando a definição de Integral de Riemann o seguinte resultado (a, b são constantes reais e sem perda de generalidade 0 <a<b): b a (x + b)dx = 3b2 2ab a 2. 2 8

2. Determine o valor dos seguintes integrais definidos: 0 x 2 π x3 +2 dx 0 xsin( 2x)dx 4 0 x +x dx 5 0 x x 2 +3x +2 dx 3. Utilizando a desigualdade de Schwarz, determine um majorante do seguinte integral 2 x +2dx Trabalho de Casa n o 7 Entregar até sexta-feira dia 24 de Novembro de 2006. Determine a área plana dos seguintes subconjuntos de R 2 : }. A = {(x, y) R 2 ; y x 2 5x +4,y x, y x2 +2..2 B = { } (x, y) R 2 ; y x 2 +,y x +3,y x, x 0. 2. Considere as linhas y =2,y= x e x =0: 2. Determine a área plana limitada pelas linhas em causa. 2.2 Determine o volume e a área da superfície do sólido de revolução gerado pela área plana anterior em que o eixo de revolução é o eixo das ordenadas. Represente graficamente o processo de gerar o sólido. 3. Considere o seguinte subconjunto de R 2 : { } A = (x, y) R 2 ; y x 2,y x. 3. Determine a área plana associada ao conjunto A. 9

3.2 Determine o volume e a área da superfície do sólido de revolução gerado pela área plana anterior em que o eixo de revolução é o eixo das abcissas. Represente graficamente o processo de gerar o sólido 4. Determine o comprimento das seguintes linhas: 4. A linha é dada da seguinte forma (paramétrica): x = cos(2t), y= sin(2t)com0 t π/2. 4.2 A linha é dada da seguinte forma: y = ln(cos(x)) com 0 x π/4. Trabalho de Casa n o 8 Entregar até segunda-feira dia de Dezembro de 2006. Classifique e estude por definição a natureza dos seguintes integrais impróprios: + +x 2dx + x 4dx + 0 xe x dx 2. Classifique e estude por comparação a natureza dos seguintes integrais impróprios: + x + + dx x 3 +x dx 2 3. Classifique e estude pelos critérios a natureza dos seguintes integrais impróprios: + 0 x 3 dx 2 x 2 x 2 dx 4. Estude a convergência do seguinte integral e diga se o integral em causa é absolutamente ou simplismente convergente: + cos(x) dx x 3 0

Trabalho de Casa n o 9 Entregar até sexta-feira dia 5 de Janeiro de 2007. Determine a natureza das seguintes séries geométricas e sempre que possível apresente a sua soma: ( ) n + 3 n+ 6 2. Determine a natureza das seguintes séries de Mengoli e sempre que possível apresente a sua soma: n ln( n(n +) n +2 ) 3. Use séries de Mengoli para verificar a seguinte igualdade: (n + x)(n ++x) = +x 4. Utilizando o critério de D Alembert, estude a natureza das seguintes séries: (n + )! 3 n+ 2 n n!.3.5...(2n ) 5. Utilizando o critério de Cauchy, estude a natureza das seguintes séries: 2 3 n+ (n 2 +2) n 3 n 2 3 6. Estude em termos de convergência absoluta ou simples as seguintes séries: ( ) n n ( ) n n! cos(n +2) n 4

7. Utilize o critério do integral para estudar a natureza da seguinte série (verifique as hipóteses do critério): ( ln(n)) n=2 8. Usando o critério de comparação ou seus corolários estude a natureza das seguintes séries: n 2 n4 +2 n n 2 + n +3 2+6 n Trabalho de Casa n o 0 Entregar até sexta-feira dia 5 de Janeiro de 2007. Estude a natureza das seguintes séries de potências em R: n (x 2)n ( ) 3 n n!x n 2. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: ( ) n xn (x 2) n n (n + )! 3. Desenvolva em série de Mac-Laurin as seguintes funções: f(x) = +x, g(x) =, h(x) =e3x x +2 4. Desenvolva em série de Taylor em torno do ponto x = as seguintes funções: f(x) =ln(3 x), g(x) = (x +2)x, h(x) = x 2

5. Usando desenvolvimentos em série de potências de x, determine o seguinte limite: e x lim x 0 x 6. Confirme a convergência da seguinte série numérica 2 n+ n=3 e determine o valor para o qual a série converge usando para tal o desenvolvimento em série de potências de x da função f(x) =e x. n! Trabalho de Casa n o Entregar até sexta-feira dia 2 de Janeiro de 2007. Determine a solução da seguinte EDO homogénea de ordem 2 com condições iniciais: y (t) y (t) =0 y(0) =, y (0) = 2. Determine a solução da seguinte EDO homogénea de ordem 3: y (t) y(t) =0 3. Determine a solução da seguinte EDO não-homogénea de ordem 4 com solução particular y (t) =ht β e condições de fronteira: y iv (t)+2y (t) =2 y(0) = 0, y (0) =, y (0) = 2, y (π) =0 4. Considere a seguinte equação diferencial ordinária homogénea de ordem 2: y (t)+4y(t) =0 3

i) Verifique se a função y(t) = cos(2t) +sin(2t) + 4 satisfaz a equação diferencial em causa. ii) Determine a solução da equação diferencial dada com condições de fronteira y(0) =, y ( π 2 )=2 No início do semestre os alunos foram alertados para a existência de uma web page com toda a informação relevante sobre a disciplina, por exemplo: objectivos, programa, avaliação, TPC, testes, notas, atendimento, etc... http://evunix.uevora.pt/ flc/indx.html A bibliografia recomendada aos alunos foi a seguinte:. Carapau, F., 2005, Manual de Matemática I, ADCE, Publicações Universidade de Évora, (ISBN:972-778-082-2). 2. Carapau, F., 2006, Primitivas, Integrais e suas Aplicações, Publidisa, (ISBN:989-20-0360-8). 3. Figueira, Mário, 996, Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, Univ. de Lisboa Fac. de Ciências Demat. 4. Anton, Howard, 999, Cálculo um novo horizonte, volume I,II, 6 a Edição, Bookman. 5. Sarrico, Carlos, 997, Análise Matemática, leituras e exercícios, Trajectos Ciência, Gradiva, Lisboa. 6. Swokowski, Earld William, 994, Cálculo com geometria analítica, Vol.2, 2 a edição, Makron Books do Brasil editora, Ltda. 7. Apostol, M.T., 994, Cálculo volume I,II, Editora Reverté, Ltda. 8. Ferreira, J.Campos, 987, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian. 9. Piskounov, N., 988, Cálculo Diferencial e Integral volume I,II, Editora Lopes da Silva. 3 Carga lectiva semanal A carga lectiva semanal por licenciatura foi a seguinte: 3 horas de aulas teóricas + 2 horas de aulas práticas. Aulas teóricas previstas 27, e dadas pelo docente 27. Aulas práticas previstas 4, e dadas por cada docente 4. 4

4 Atendimento aos alunos Fernando Carapau (aulas teórias e aulas práticas): 4 a feira das 4h às 6h, gabinete n o 254 do CLV, fora este horário o docente esteve sempre disponível para esclarecer os alunos em alguma dúvida concreta. Fátima Correia (aulas práticas): 2 a feira das 4h às 6h, gabinete n o 22 do CLV, fora este horário o docente esteve sempre disponível para esclarecer os alunos em alguma dúvida concreta. 5 Avaliação e resultados (i) Avaliação contínua - neste tipo de avaliação o aluno pode realizar a a ea2 a frequência. Considera-se o aluno aprovado desde que obtenha média, arredondada às unidades, superior ou igual a dez valores no conjunto das duas frequências, não tendo obtido classificação inferior a 8 valores em nenhuma delas. (ii) Avaliação por exame - podem realizar este tipo de avaliação os alunos que não escolheram a avaliação contínua e aqueles que reprovaram na mesma. Considera-se o aluno aprovado desde que obtenha classificação, arredondada às unidades, superior ou igual a dez valores. Datas dos testes Primeira frequência dia 4 de Dezembro de 2006. seguinte: Universidade de Évora Departamento de Matemática Matemática I a Frequência - 4 de Dezembro de 2006 8h-2h O teste proposto aos alunos foi o. Sendo D f o domínio da função ln(x +3) f(x) = x determine o interior, exterior, fronteira, aderência e derivado do conjunto D f. O conjunto D f tem pontos isolados? O conjunto D f é aberto e/ou fechado? Justifique todas as suas respostas. 5

2. Considere a função g(x) = x. Enuncie o Teorema de Rolle e explique porque razão não é aplicável à função em causa no intervalo [, 3]. 3. Determine a família das seguintes primitivas: xe x2 dx cos 3 (x)dx xln(x)dx +tg 2 (x/2) +3tg 2 (x/2) dx x x 2 + x 2 dx 4. Verifique, utilizando a definição de Integral de Riemann, o seguinte resultado (a, b são constantes reais e sem perda de generalidade 0 <a<b): b a (e x + b)dx = e b e a + b 2 ba 5. Determine o valor dos seguintes integrais definidos: 0 x 2 π/2 3 x3 + dx 0 xcos(x)dx 4 0 x x + dx 6. Determine o comprimento da seguinte linha dada de forma paramétrica: x = e t cos(t), y = e t sin(t), 0 t π 7. Considere o seguinte subconjunto de R 2 : { } = (x, y) R 2 ; y x 2 2x, y x, y x +2 (i) Determine a área da superfície plana associada ao conjunto. (ii) Seja Γ o conjunto que resulta ao adicionar a restrição y 0 ao conjunto. Como consequência, determine o volume e a área lateral da superfície do sólido de revolução gerado pelo conjunto Γ em que o eixo de revolução é o eixo das ordenadas. Represente o sólido de revolução em causa. Segunda frequência dia 2 de Janeiro de 2007. O teste proposto aos alunos foi o seguinte: 6

Universidade de Évora Departamento de Matemática Matemática I 2 a Frequência - 2 de Janeiro de 2007 8h-2h Nota: Justifique todas as suas respostas com princípio, meio e fim. Usando integrais impróprios determine o comprimento da circunferência de um círculo de raio r (sem perda de generalidade considere o círculo com centro na origem). 2. Classifique e estude por definição a natureza dos seguintes integrais impróprios: 0 2x dx 0 ln(x)dx + x dx 3. Considere o seguinte integral impróprio de a espécie: + π cos(3x) dx x 3 Verifique se o integral em causa é absolutamente ou simplesmente convergente. 4. Estude a natureza das seguintes séries numéricas (enunciando e verificando o critério que utilizou): () n+ + n 2 2n3 +3n + ( ) n n! n 3 n n! 2 n n 5. Estude em R a natureza da seguinte série de potências: ( ) n (x +) n n 3 n 7

6. Utilizando a definição, desenvolva em série de potências de x a seguinte função: f(x) = +2x 7. Determine a solução da seguinte EDO homogénea de ordem 4 com condições iniciais: y iv (t)+y (t) =0 y(0) =, y (0) = y (0) = y (0) = Primeiro exame dia 6 de Janeiro de 2007. O teste proposto aos alunos foi o seguinte: Universidade de Évora Departamento de Matemática Matemática I Exame - 6 de Janeiro de 2007 7h-20h Nota: Justifique todas as suas respostas com princípio, meio e fim. Considere o seguinte subconjunto de R: } A = {x R; x = ( )n n,n N. Determine o interior, exterior, fronteira, aderência e derivado do conjunto A. O conjunto A tem pontos isolados? O conjunto A é aberto e/ou fechado? 2. Determine a família das seguintes primitivas: x 2x2 dx cos(x)sin(x) dx arctg(x)dx ex +dx 8

3. Determine a área do seguinte subconjunto de R 2 : { } = (x, y) R 2 ; y x 2 +3x +4,y x +4,y 0 4. Utilize o critério do integral (enuncie e verifique as condições do mesmo) para estudar a natureza da seguinte série ( + 3n) 2 5. Estude a natureza das seguintes séries numéricas (enunciando e verificando o critério que utilizou): n3 + 3 n n! n (n +) n 6. Utilizando a definição, desenvolva em série de potências de x a seguinte função f(x) = ln(x + ) e utilize esse resultado para determinar ln(x +) lim x 0 x 7. Determine a solução da seguinte EDO homogénea de ordem 3 com condições iniciais: y (t) y (t)+y (t) y(t) =0 y(0) =, y (0) =, y (0) = Exame de recurso dia 5 de Fevereiro de 2007. O teste proposto aos alunos foi o seguinte: Universidade de Évora Departamento de Matemática Exame de recurso de Matemática I 5 de Fevereiro de 2007 0h-3h 9

Nota: Justifique todas as suas respostas com princípio, meio e fim. Sendo D f o domínio da função f(x) = x, determine o interior, exterior, fronteira, ln(x) aderência e derivado do conjunto D f. O conjunto D f tem pontos isolados? O conjunto D f é aberto e/ou fechado? (nota: caso não consiga determinar correctamente o domínio da função f considere D f =], 5[ ]6, 7] {0}) 2. Determine a família das seguintes primitivas: xsin(x 2 )dx tg 3 (x)dx xe x dx x (x )(x +) dx x + x dx 3. Considere o seguinte subconjunto de R 2 : { } Θ= (x, y) R 2 ; y x, y 3 2x, y 0. Determine o volume e a área lateral da superfície do sólido de revolução gerado pela área plana anterior em que o eixo de revolução é o eixo das ordenadas. Represente graficamente o sólido em causa. 4. Classifique o seguinte integral impróprio e diga se o mesmo é simplesmente ou absolutamente convergente: + sin(x) dx x 2 3 5. Estude em R a natureza da seguinte série de potências de convergência. (x ) n n! e determine o seu raio 6. Determine o desenvolvimento em série de potências de x da função f(x) =e x, confirme a convergência da seguinte série numérica 2 n+ n=4 e determine o valor para o qual a série converge usando para tal o desenvolvimento da função f. 20 n!

7. Confirme que a função y(t) =e t é solução da EDO homogénea y (t) y(t) = 0 de ordem 2. E, além disso, determine outra solução tal que verifica as seguintes condições iniciais y(0) = e y (0) =. De seguida vamos analisar os resultados da avaliação licenciatura a licenciatura 2 : 5. Licenciatura em Engenharia de Recursos Hídricos (LERH). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LERH: 6 2. Número de alunos da LERH avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 0 3. Número de alunos da LERH (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 0 4. Número de alunos da LERH (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 0 5. Número de alunos da LERH (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 0 6. Dos alunos avaliados da LERH foram aprovados 0 5.2 Licenciatura em Engenharia Biofísica(LEB). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEB: 26 2. Número de alunos da LEB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 8 3. Número de alunos da LEB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 7 4. Número de alunos da LEB (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 2 Para mais detalhe sobre os resultados da avaliação consultar anexos. Nos quais pode consultar, por exemplo: as notas dos testes, assiduidade dos alunos às aulas teóricas e práticas, atendimentos semanais e o número de TPC entregues pelos alunos. 2

5. Número de alunos da LEB (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 7 6. Dos alunos avaliados da LEB foram aprovados 7, e não realizou os exames 7. Melhor e pior classificação da LEB : 3 valores e 0 valores, respectivamente. 5.3 Licenciatura em Engenharia Alimentar(LEAL). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEAL: 20 2. Número de alunos da LEAL avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 7 3. Número de alunos da LEAL (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 6 4. Número de alunos da LEAL (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 0 5. Número de alunos da LEAL (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 6 6. Dos alunos avaliados da LEAL foram aprovados 4, reprovados 2 e não realizou os exames 7. Melhor e pior classificação da LEAL : 3 valores e 5 valores, respectivamente. 5.4 Licenciatura em Engenharia Agrícola(LEA). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEA: 59 2. Número de alunos da LEA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 7 3. Número de alunos da LEA (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 4 4. Número de alunos da LEA (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 5. Número de alunos da LEA (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 6. Dos alunos avaliados da LEA foram aprovados 0, reprovados 5 e 2 não realizaram os exames 7. Melhor e pior classificação da LEA : 3 valores e 4 valores, respectivamente. 22

5.5 Licenciatura em Ciências do Ambiente(LCA). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LCA: 35 2. Número de alunos da LCA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 6 3. Número de alunos da LCA (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 5 4. Número de alunos da LCA (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 0 5. Número de alunos da LCA (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 3 6. Dos alunos avaliados da LCA foram aprovados 8, reprovados 6 e 2 não realizaram os exames 7. Melhor e pior classificação da LCA : 7 valores e 3 valores, respectivamente. 5.6 Licenciatura em Biologia(LB). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LB: 20 2. Número de alunos da LB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 62 3. Número de alunos da LB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 56 4. Número de alunos da LB (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 47 5. Número de alunos da LB (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 8 6. Dos alunos avaliados da LB foram aprovados 36, reprovados 9 e 7 não realizaram os exames 7. Melhor e pior classificação da LB : 5 valores e 2 valores, respectivamente. 23

5.7 Licenciatura em Engenharia Zootécnica(LEZ). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEZ: 85 2. Número de alunos da LEZ avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 24 3. Número de alunos da LEZ (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 4 4. Número de alunos da LEZ (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 4 5. Número de alunos da LEZ (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 2 6. Dos alunos avaliados da LEZ foram aprovados 2, reprovados 2 7. Melhor e pior classificação da LEZ : 4 valores e 3 valores, respectivamente 5.8 Licenciatura em Ensino de Biologia e Geologia(LBG). Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LBG: 23 2. Número de alunos da LBG avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 8 3. Número de alunos da LBG (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática: 4 4. Número de alunos da LBG (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa: 3 5. Número de alunos da LBG (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanal dos docentes: 3 6. Dos alunos avaliados da LBG foram aprovados 4, reprovados 4 7. Melhor e pior classificação da LBG : 4 valores e 6 valor, respectivamente 24

6 Conclusões e perspectivas Dos 374 alunos inscritos na disciplina de Matemática I apenas foram avaliados 42 alunos (i.e. número de alunos que foram a pelo menos um teste). Dos alunos avaliados apenas 06 alunos foram a pelo menos a uma aula teórica ou prática, apenas 66 alunos entregaram pelo menos um trabalho de casa proposto pelos docentes e apenas 24 alunos foram aos atendimentos semanais. Dos alunos avaliados foram aprovados 8 alunos (dos quais 22 alunos são do primeiro ano), reprovaram 48 e 3 não realizaram os exames finais. 6. Alguns factores relacionados com o insucesso Na opinião do corpo docente o insucesso dos alunos na disciplina de Matemática I está relacionada com os seguintes factores:. Onúmero fantasma de alunos que estão inscritos na cadeira mas que não frequentam a universidade e as aulas de forma activa. Estes alunos apenas aparecem para realizar os testes. Na maior parte dos casos aparecem aos testes sem estarem minimamente preparados para a resolução do mesmo e acabam por desistir. Alguns destes alunos têm explicações o que neste caso concreto é um factor positivo. 2. Nas primeiras quatro semanas de aulas (não é exagero) os alunos do primeiro ano são desviados de forma sistemática das aulas por causa das praxes académicas perdendo assim aulas teóricas e aulas práticas essenciais para a compreensão das matérias seguintes. Quando finalmente aparecem às aulas ficam completamente perdidos. E depois desistem facilmente. 3. Alguns alunos de outros anos não têm horário para frequentar as aulas, lá aparecem uma vez por outra. De forma geral são alunos com outra maturidade e empenhados em fazer a disciplina. Alguns destes alunos têm explicações o que neste caso concreto é um factor positivo. 4. Em relação aos alunos que entram na 2 a fase o problema é o seguinte: já aparecem tarde na universidade e ainda têm as ditas praxes académicas, quando finalmente aparecem às aulas ficam completamente perdidos e desistem facilmente. 5. Para fazer uma disciplina como Matemática I é necessário ir sempre ou quase sempre às aulas, fazer um estudo contínuo, honesto e rigoroso, consultar os livros recomendados, ou outros, sobre a matéria exposta e combater as dúvidas existentes sempre que possível por iniciativa própria. Na opinião do corpo docente são poucos os alunos com sentido de responsabilidade. 25

6. Ao longo do semestre os alunos raramente aparecem nos atendimentos semanais dos docentes. Alguns, aparecem apenas nas vésperas dos testes que é quando iniciam o estudo da matéria para avaliação. Esta atitude de não ir aos atendimentos semanais de uma forma sistemática é muito negativa para o sucesso na disciplina. 7. Em geral os alunos do primeiro ano têm uma deficiente preparação de base e falta de hábitos de estudo. 8. É claro que a motivação e a preparação de base dos alunos são um factor decisivo para o sucesso ou insucesso na disciplina. 6.2 Alguns factores relacionados com o sucesso Na opinião do corpo docente o sucesso dos alunos na disciplina de Matemática I está relacionada com os seguintes factores:. Alguns alunos do primeiro ano têm uma adequada preparação de base. Em relação aos alunos de outros anos nota-se que adquiriram com o tempo uma certa maturidade que lhes permitiu uma preparação de base aceitável ou mesmo boa. Alguns destes alunos têm explicações o que neste caso concreto é um factor positivo. 2. O empenho e a dedicação do corpo docente motivou, sem dúvida alguma, o estudo da maior partes dos alunos que iam às aulas. É de notar que tanto as aulas teóricas como práticas tiveram ao longo do semestre uma assistência notável. 3. A apresentação por parte do docente das aulas teóricas de dois Manuais Didácticos sobre o programa da disciplina auxiliou, sem dúvida alguma, o estudo dos alunos responsáveis. 4. A introdução dos TPC a entregar semanalmente constituiu para os alunos responsáveis um estudo extra de extrema importância. 5. E, claro, a motivação pessoal de cada aluno, alheia ao corpo docente, também foi determinante para a nota final. 6.3 Perspectivas para o futuro Para o trabalho desenvolvido pelo corpo docente ficar completo gostaria de sugerir às Comissões de Curso, em causa, um inquérito aos alunos sobre o funcionamento da disciplina de Matemática I. Por tudo o que foi feito durante o ano lectivo 2004-2005, 2005-2006 e 2006-2007 o corpo docente está disponível para leccionar a mesma disciplina para o ano lectivo 2007-2008. Sem outro assunto, atenciosamente 26

Évora, 3 de Fevereiro de 2007 Os docentes (Fernando Carapau) (Fátima Correia) 27

ANEXOS 28