Cap. 0. Cálculo tensorial

Cap. 0. Cálculo tensorial 1. Quantidades físicas 1.1 ipos das quantidades físicas 1. Descrição matemática dos tensores 1.3 Definição dos tensores. Álgebra tensorial 3. ensores cartesianos em D simétricos 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores 3. Lei de transformação para tensores de segunda ordem 3.3 Valores principais (próprios) 3.4 Circunferência de Mohr 3.4.1 Convenções e consequências 3.4. Determinação dos valores e das direcções principais 3.4.3 Determinação dos valores para uma rotação arbitrária 3.5 Verificações dos valores principais 3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções 4. ensores cartesianos em 3D simétricos 4.1 Valores e vectores principais (próprios) 4. Determinação e propriedades 4.3 Casos particulares 4.4 Valores etremos fora da diagonal

1. Quantidades físicas 1.1 ipos das quantidades físicas Nas aplicações das disciplinas de mecânica é importante determinar o tipo de grandeza de cada quantidade física introduzida. Esta separação permite saber o número de dados necessários a uma descrição completa desta quantidade, e as regras de cálculo a que está sujeita. odas as quantidades físicas classificam se em grandezas escalares, vectoriais, tensoriais de segunda ordem, tensoriais de terceira ordem, etc. Para uniformizar esta designação, os escalares chamam se também tensores de ordem zero e os vectores, tensores de primeira ordem. Uma grandeza escalar (um escalar) eige para a sua descrição apenas um único dado/número. Os eemplos das quantidades físicas de grandeza escalar são: massa, densidade, tempo, trabalho mecânico, energia, etc. Uma grandeza vectorial (um vector) é plenamente determinada pela sua direcção, sentido e intensidade, ou seja, pelos três dados, ligados à sua representação geométrica. Consequentemente, um vector costuma se representar por uma seta. Os eemplos das quantidades físicas de grandeza vectorial são: força, deslocamento, velocidade, aceleração, binário, ângulo de rotação, velocidade angular, aceleração angular, etc. Na matemática, um vector considera se como vector livre, ou seja, o seu ponto de aplicação não representa um dado necessário e assim a sua representação não é única. Na figura abaio, todas as setas representam um único vector livre em várias representações geométricas, porque as setas têm a mesma direcção, sentido e intensidade. Por eemplo, a um binário pode se associar um vector livre. No entanto, o significado físico de alguns vectores eige uma definição mais pormenorizada. Por eemplo, o vector da força considera se idêntico, quando o seu efeito a um certo objecto é igual. Assim, classificam se além dos vectores livres, vectores deslizantes e vectores fios (ou aplicados). Uma força nas disciplinas de estática ou de mecânica dos corpos rígidos, corresponde a um vector deslizante, ou seja, a um vector cujo dado adicional é a linha de acção (ou a recta de suporte) sobre a qual o

vector pode livremente deslizar. As duas representações na figura abaio, correspondem ao mesmo vector deslizante (fio à sua linha de acção). O vector fio está ligado ao seu ponto de aplicação, e por isso poderá ter apenas uma única representação geométrica. orna se óbvio que na mecânica dos corpos deformáveis as forças são vectores fios, porque o efeito sobre um corpo deformável é diferente quando o ponto de aplicação é diferente. Na figura abaio, a linha tracejada corresponde a uma representação simplificada do possível efeito da força aplicada na forma de deformação. Outros vectores mencionados, deslocamento, velocidade ou aceleração, representam uma quantidade física directamente ligada a um certo ponto de um corpo, e podem ser assim considerados como vectores aplicados (fios). Mas os vectores associados aos ângulos de rotação, à velocidade angular ou à aceleração angular, na dinâmica do corpo rígido, correspondem aos vectores livres. Os tensores de segunda ordem serão abordados nesta disciplina pela primeira vez e os eemplos são: a tensão e a deformação. Eistem naturalmente tensores de ordem maior que têm significado físico. Os que serão introduzidos nesta disciplina, são o tensor de rigidez e de fleibilidade, que são de quarta ordem. Os tensores de segunda ordem são generalizações de vectores, e para a sua determinação completa é preciso saber três vectores actuantes em três planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no ponto de aplicação destes três vectores, ou seja nove dados. Dado que o nosso objectivo é transformar os problemas físicos em conceitos matemáticos para os podermos resolver, é preciso estabelecer as regras de descrição matemática dos tensores.

1. Descrição matemática dos tensores A descrição matemática dos tensores baseia se em componentes. Para poder definir as componentes é preciso primeiro introduzir o espaço e o referencial. Nesta disciplina vamos trabalhar apenas no espaço de Euclides, também chamado espaço cartesiano. A palavra cartesiano já está ligada ao referencial introduzido. Vamos distinguir o espaço unidimensional (1D), que corresponde à recta de números reais, plano cartesiano ou espaço bidimensional (D), que corresponde à lista ordenada (enupla) de números reais, e espaço tridimensional (3D), que corresponde à lista ordenada de 3 números reais. É possível estender esta definição no sentido matemático para a lista ordenada de m números reais, designada m. Uma fórmula simples e válida para definir o número de componentes necessárias para a n descrição completa de tensores é: m em que m corresponde a ordem do espaço e n a ordem do tensor. Por eemplo: um vector em 3 dimensões, tem 3 1 =3 componentes, etc. O já mencionado referencial cartesiano, será o único referencial utilizado nesta disciplina. O referencial cartesiano é definido pelos eios coordenados, mutuamente perpendiculares. Cada eio poderá ser definido pelo seu vector base unitário. No espaço cartesiano (de Euclides), a unidade tem o mesmo comprimento em todas as direcções dos eios cartesianos. Nas aplicações convém uniformizar a utilização do referencial. Nesta disciplina será somente utilizado o referencial directo. O referencial directo é possível verificar pela regra de mão directa. Para esta verificação em 3D, basta rodar os dedos na direcção de para e o polegar indica o sentido positivo do eio z. Em alternativa, é possível rodar os dedos de para z, ou de z para e o polegar indica o sentido positivo de ou de, respectivamente. A ordem dos eios, e z nesta verificação tem sempre que corresponder a uma permutação positiva, que poderá ser obtida pela mudança cíclica de índices. Em D costuma se introduzir eios e de tal maneira que o eio z aponta contra o observador. As componentes além da descrição matemática, ajudam igualmente na representação geométrica dos tensores. No caso de uma grandeza escalar, não faz sentido falar sobre representação geométrica. A descrição matemática eige apenas este único dado, que

corresponde a um número real, ou seja, pertence ao conjunto. Grandeza escalar não se altera quando é medida por observadores em referenciais diferentes. A representação geométrica dos vectores mostra se na figura abaio: A representação matemática dos vectores usa as componentes introduzidas e a sua forma poderá ser vectorial ou matricial. Na forma vectorial pode se usar a soma vectorial: F F F F Fi F j Fk Fe Fe Fe Fe Fe Fe z z 1 z 3 z z Ou a forma em componentes: F F, F, F z A descrição matricial usa por definição as componentes na forma de uma coluna F FFF, F, Fz F z A representação matemática das componentes de tensores de segunda ordem faz se na forma matricial, em duas dimensões, por eemplo: 11 1 1 E analogamente em 3D:

z z 11 1 13 z z 1 3 z z zz z z z 31 3 33 As componentes dos tensores são habitualmente números e assim estão relacionados a uma dada posição. Quando as componentes dependem da posição, designamos os tensores campos tensoriais. Usa se assim: Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial. Em resumo, a diferença entre um tensor e um campo tensorial, é que as componentes do tensor são números e as componentes do campo tensorial são funções de posição, ou seja, funções de,, F,, z tem as z de um dado referencial. Assim, por eemplo, um campo vectorial componentes F,, z, F,, z, F,, z. z 1.3 Definição dos tensores A quantidade física chama se tensor quando as suas componentes obedecem à lei de transformação. Esta lei descreve cálculo das componentes no referencial após a transformação. ensores cartesianos Os tensores cartesianos são tensores cujas componentes são definidas no referencial cartesiano, consequentemente a lei de transformação é especificada apenas para os referenciais cartesianos e por isso representa apenas a rotação do referencial.. Álgebra tensorial A álgebra tensorial obedece às mesmas regras como o cálculo matricial. Serão revistas apenas as propriedades que serão utilizadas nesta cadeira. ensores cartesianos de segunda ordem classificam se em tensores simétricos, anti simétricos e assimétricos. As componentes de um tensor simétrico verificam ij ji As componentes de um tensor anti simétrico verificam ij ji

o que implica que os termos diagonais são nulos, porque apenas o número 0 é igual ao seu oposto. As componentes de um tenor assimétrico não verificam nenhuma regra especial, no entanto é possível separá lo na sua parte simétrica e anti simétrica. S A O cálculo das componentes efectua se de acordo com as regras seguintes: S, ou seja S ij ij ji A, ou seja A ij A ij A 3. ensores cartesianos em D simétricos 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores ji Já foi definido que a transformação de referencial corresponderá a uma rotação. Uma rotação de referencial em duas dimensões está plenamente determinada por um único ângulo, cujo sentido positivo considera se anti horário. Com a alteração do referencial, alteram se as componentes do tensor. Este facto poderá ser facilmente visualizado no caso de um vector. É fácil de deduzir o valor das componentes no referencial rodado. F cos sin F F sin cos F Designa se a matriz de rotação, F R F

R cos sin sin cos A matriz de rotação é uma matriz ortogonal, ou seja: O determinante equivale a 1 Os produtos internos de colunas/ linhas equivalem a 1 no caso de colunas/linhas iguais, e 0 se forem diferentes A matriz inversa corresponde a sua transposta, ou seja R R 1 Pode se ainda verificar que as linhas de matriz de rotação são formadas pelos vectores base do referencial rodado com as componentes no referencial original. Vale a pena destacar que o determinante da matriz de rotação vale 1, quando o referencial após da rotação é também directo. Esta condição torna se óbvia em duas dimensões, no entanto em três dimensões o valor de determinante pode se usar para confirmar que o referencial resultante é directo. No caso de obter valor 1, basta alterar o sentido de um dos vectores base ao contrário. 3. Lei de transformação para tensores de segunda ordem A matriz de rotação usa se também para calcular as componentes dos tensores de segunda ordem no referencial rodado. R R Em duas dimensões é possível apresentar as fórmulas completas cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin ou, em alternativa, usando os ângulos duplos cos sin cos sin

sin cos 3.3 Valores próprios Verifica se que eiste uma rotação do referencial original, de tal maneira que os novos valores diagonais corresponderão ao máimo e ao mínimo de todos os possíveis valores diagonais, e que para esta rotação a componente fora de diagonal anula se. Prova: Usando a nulidade de componente fora da diagonal (tangencial) sin P cos P 0 tg P Usando a etremidade das componentes diagonais (normais) cos sin / 0 P sin cos 0 Analogamente para a componente tg P Substituindo o valor do ângulo de rotação calculado acima, verifica se que os valores diagonais são definidos R ma m, min m onde R m e R Os valores etremos chamam se valores próprios (principais), e o ângulo de rotação P define as direcções principais, mutuamente ortogonais, e formam o referencial principal. Em resumo, as componentes do tensor no referencial principal podem ser escritas da seguinte maneira: princ 0 ma 0 min

Por convecção costuma se colocar o valor máimo na posição (1,1). Depois de terminar os cálculos, é preciso decidir qual dos eios rodados correspondem ao eio do máimo, e qual ao eio do mínimo. Pode se provar uma regra simples desenhada na figura abaio. min ma para 0 3.4 Circunferência de Mohr Pela substituição verifica se facilmente: R e R O que corresponde à equação de uma circunferência de centro,0 m e raio R. Pode se assim concluir que as componentes de um tensor, relacionadas a todas as possíveis rotações do referencial original formam uma circunferência. Cada ponto da circunferência corresponde à componente normal e tangencial correspondente. As componentes normais desenham se no eio horizontal, e as tangenciais no eio vertical. Visto que a componente tangencial está relacionada com a componente normal, mas também com a componente normal, é preciso estabelecer as regras de visualização. Os valores principais visualizam se no diâmetro principal, dado que neste caso a componente fora da diagonal é igual a zero, e as componentes normais atingem o máimo e o mínimo; este facto não está influenciado pelo referencial original. min R ma m

m ma min, R ma min 3.4.1 Convenções e consequências Veja a animação no slide 19. Para simplificar, vamos designar o ponto que corresponde às componentes corresponde às componentes e : e : e que Verifica se assim, que para manter o mesmo sentido de rotação dos pontos na circunferência e dos eios, tem que se desenhar a componente relacionada à componente no sentido oposto ao habitual e a relacionada com no sentido habitual. O ângulo de rotação dos raios da circunferência tem que ser o dobro do ângulo de rotação dos eios. Os pontos e ficam no lado oposto do diâmetro (rotação 90º dos eios que corresponde a 180º na circunferência), a recta que os liga passa pelo centro e os valores normais são simetricamente posicionados em relação ao centro. Verifica se assim que ma min m é valido para qualquer rotação e vai ser referido posteriormente como relacionado ao 1º invariante. 3.4. Determinação dos valores e das direcções principais Slide 13. 3.4.3 Determinação dos valores para uma rotação arbitrária Slide 13. 3.4.4 Rotações de 45º a partir do referencial principal Verifica se que eistem mais dois pontos da circunferência que têm posição especial

O raio R corresponde ao máimo da componente fora da diagonal (tangencial),,ma R, e neste caso as componentes diagonais não se anulam, mas ambas têm o valor igual que equivale a m. As regras de visualização dos pontos definem o sinal da componente tangencial de acordo com o referencial escolhido. Note se que estes referenciais estão desviados a 45º do referencial principal. 3.5 Verificações dos valores principais Para a verificação dos valores principais, podem se confirmar os invariantes. Os invariantes são números escalares, cujo cálculo efectua se a partir de componentes. Este número é igual em todos os referenciais. Em duas dimensões eistem dois invariantes fundamentais. odos os outros são depois definidos como uma combinação linear dos fundamentais. 1º invariante fundamental: traço, ou seja I1

º invariante fundamental: determinante, ou seja I Outros invariantes: m, R, ma, min A verificação de cálculo dos valores principais faz se da seguinte forma: I 1 ma min I ma min 3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções Cada tensor de segunda ordem em duas dimensões tem 3 componentes distintas, e por isso cada 3 valores, mesmo de referenciais diferentes permitem sempre determinar as componentes num único referencial. O caso abaio tem uma aplicação útil nas medições de deformações, e além disso permite uma resolução gráfica simples Assume se que são conhecidos os valores normais nas três direcções diferentes e pretende se calcular as componentes que pertencem a um único referencial. O referencial introduzido é arbitrário, por isso convém fazê lo na forma mais vantajosa a b acos sin sin cos c acos sin sin cos Acima estão duas equações para duas incógnitas e