Cálculo II Segunda Aula: Aplicações das Integrais Definidas

Cálculo II Segunda Aula: Aplicações das Integrais Definidas Prof. Jefferson Abrantes (Universidade Federal de Campina Grande) Unidade Acadêmica de Matemática-UAMat Campina Grande-PB

Volumes por seções transversais Nosso objetivo agora é calcular volumes de sólidos utilizando as áreas de suas seções transversais.

Volumes por seções transversais Nosso objetivo agora é calcular volumes de sólidos utilizando as áreas de suas seções transversais. Por uma seção transversal de um sólido S entendemos como sendo a região plana formada pela interseção de S com um plano P.

Para vencermos este objetivo, verificaremos inicialmente sólidos cilíndricos com bases arbitrárias

Para vencermos este objetivo, verificaremos inicialmente sólidos cilíndricos com bases arbitrárias, do tipo:

Utilizando o Princípio de Cavalieri, temos que o volume deste sólido, é dado por: Volume=área da base x altura

Utilizando o Princípio de Cavalieri, temos que o volume deste sólido, é dado por: Volume=área da base x altura =A.h.

Utilizando o Princípio de Cavalieri, temos que o volume deste sólido, é dado por: Agora, suponha que Volume=área da base x altura =A.h. x [a, b] A(x) = área da seção transversal S(x),

Utilizando o Princípio de Cavalieri, temos que o volume deste sólido, é dado por: Agora, suponha que Volume=área da base x altura =A.h. x [a, b] A(x) = área da seção transversal S(x), seja uma função contínua.

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b,

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1,

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j,

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S, é aproximadamente igual a x j vezes A(x j )

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S, é aproximadamente igual a x j vezes A(x j ), isto é V j A(x j ). x j.

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S, é aproximadamente igual a x j vezes A(x j ), isto é Desta forma, V j A(x j ). x j. V := Volume de S

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S, é aproximadamente igual a x j vezes A(x j ), isto é Desta forma, V j A(x j ). x j. n 1 V := Volume de S = j=0 V j

Fatiando por planos paralelos Se particionarmos o intervalo [a, b] por subintervalos: a =: x 0 < x 1 < x 2 <... < x j < x j+1 <... < x n 1 < x n := b, de modo que x j := x j+1 x j = constante, j = 0, 1,..., n 1, obtemos que o volume, V j, do sólido gerado pelo fatiamento de P j e P j+1 com S, é aproximadamente igual a x j vezes A(x j ), isto é Desta forma, V j A(x j ). x j. n 1 n 1 V := Volume de S = V j A(x j ). x j. j=0 j=0

Observando que: n + = V n 1 j=0 A(x j). x j,

Observando que: n + = V n 1 j=0 A(x j). x j, temos V = n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j.

Observando que: temos n + = V n 1 j=0 A(x j). x j, V = n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j. Por outro lado, uma vez que A(x) é uma função contínua em [a, b]

Observando que: temos n + = V n 1 j=0 A(x j). x j, V = n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j. Por outro lado, uma vez que A(x) é uma função contínua em [a, b] n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j = b a A(x)dx.

Observando que: temos n + = V n 1 j=0 A(x j). x j, V = n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j. Por outro lado, uma vez que A(x) é uma função contínua em [a, b] n 1 lim n + j=0 A(x j ). x j = b a A(x)dx. Destes fatos, podemos concluir finalmente que V = b a A(x)dx.

Definição O volume, V, de um sólido de área de seção transversal integrável A(x) de x = a até x = b é dado por: V = b a A(x)dx.

Exemplos 1. Uma pirâmide com 3 metros de altura tem uma base quadrada com 3 metros de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular à altura e a x metros abaixo do vértice, é um quadrado com x metros de lado. Determine o volume da pirâmide.

2. Uma cunha curva de um cilindro circular de raio 3 foi cortada por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo plano atravessa o primeiro plano a um ângulo de 45 0 no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.

Sólidos de revolução o método do disco

O sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana em torno de um eixo é chamado de sólido de revolução.

O sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana em torno de um eixo é chamado de sólido de revolução. Por isto, se S é um sólido de revolução,

O sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana em torno de um eixo é chamado de sólido de revolução. Por isto, se S é um sólido de revolução, temos que suas áreas, A(x), de seções transversais são discos de raio R(x)

O sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana em torno de um eixo é chamado de sólido de revolução. Por isto, se S é um sólido de revolução, temos que suas áreas, A(x), de seções transversais são discos de raio R(x), dados por: A(x) = πr(x) 2.

O sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana em torno de um eixo é chamado de sólido de revolução. Por isto, se S é um sólido de revolução, temos que suas áreas, A(x), de seções transversais são discos de raio R(x), dados por: Assim, A(x) = πr(x) 2. Volume pelos discos de rotação em torno do eixo x V = b a A(x)dx = b a π [R(x)] 2 dx.

Exemplos 1.A região entre a curva y = x, 0 x 4, e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume.

Exemplos 1.A região entre a curva y = x, 0 x 4, e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. 2. O círculo x 2 + y 2 = a 2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume.

Exemplos 1.A região entre a curva y = x, 0 x 4, e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. 2. O círculo x 2 + y 2 = a 2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume. 3. Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e as retas y = 1, x = 4 em torno da reta y = 1.

Volume pelos discos de rotação em torno do eixo y Exemplos 1. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região entre o eixo y e a curva x = 2/y, 1 y 4.