Departameto de Matemática robabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEMec 2 o semestre 20/202 2 o Teste B 08/06/202 :00 Duração: hora e 30 miutos Justifique coveietemete todas as respostas! Grupo I 3.5 + 2.5 + 3.0 +.0 0 valores. ara iferir sobre a probabilidade p de cacelameto de reservas de voos por parte dos seus clietes, uma agêcia de viages decidiu aalisar os processos relativos a 230 reservas de voos passados, escolhidos ao acaso da sua vasta carteira, registado-se para cada reserva se a mesma tiha sido cacelada ou ão. (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de p. Diga se o estimador é cetrado. (3.5) V.a. de iteresse X v.a. idicadora de cacelameto de reserva Distribuição X Beroulli(p) arâmetro descohecido p (X ) (cacelameto da reserva), 0 p F.p. (X x) form p x ( p) x, x 0, Amostra x (x,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de p asso Fução de verosimilhaça X i idep L(p x) (X i x i ) X i X p x i ( p) xi] p xi ( p) xi, 0 < p < asso 2 Fução de log-verosimilhaça l L(p x) l(p) x i + l( p) ( x i) asso 3 Maximização A estimativa de MV de p é aqui represetada por ˆp e d l L(p x) dp 0 (poto de estacioaridade) pˆp ˆp : d 2 l L(p x) dp < 0 (poto de máximo) pˆp 2 xi xi ˆp ˆp 0 xi ˆp 2 xi ( ˆp) < 0 2 ˆp x i x, média da amostra roposição verdadeira já que IN e 0 x i Este procedimeto só deve ser aplicado se x i 0,, sedo o resultado obtido, ˆp x, também válido se x i {0, }. ágia de 8
asso 4 Estimador de MV de p Será represetado pela v.a. EMV(p) X i X, média da amostra aleatória. Estimador de MV de p é cetrado? EMV(p) X é um estimador cetrado de p sse E( X) p, p 0, ]. Ora, ( ) E( X) E X i E(X i ) X i X E(X) E(X) p, p 0, ]. Assim, coclui-se que X é um estimador cetrado de p. (b) Sabedo que exactamete reservas (das 230 aalisadas) tiham sido caceladas, costrua um (2.5) itervalo, com ível de cofiaça de aproximadamete 95%, para o parâmetro p. V.a. X i idicador de cacelameto da i ésima reserva, i,..., i.i.d. X i X Situação X Beroulli(p) p descohecido 230 >> 30 (suficietemete grade) Obteção de IC para p asso Selecção da v.a. fulcral para p Utilizaremos a v.a. fulcral para p Z X E( X) EMVV ( X)] X p EMVp( p)/] X p a ormal(0, ), uma vez que os foi solicitada a determiação de um IC aproximado para uma probabilidade de sucesso e a dimesão da amostra justifica o recurso a uma aproximação distribucioal. asso 2 Obteção dos quatis de probabilidade Dado que ( α) 00% 95% α 0.05, os quatis a utilizar são { a α Φ ( α/2) Φ (0.975) tabela.9600 b α Φ ( α/2) Φ (0.975).9600. Estes equadram a v.a. fulcral para p com probabilidade aproximadamete igual a ( α). asso 3 Iversão da desigualdade a α Z b α (a α Z b α ) α a α X p q b α ] α X b α p X a α ] α X Φ ( α/2) p X + Φ ( α/2) ] α. ágia 2 de 8
asso 4 Cocretização Ao ter-se em cosideração que 230 x x i 230 proporção observada de reservas caceladas Φ ( α/2).9600, coclui-se que o IC aproximado a 95% para p é dado por ] x( x) IC(p) x ± Φ ( α/2), 230 ±.9600 230 ( ) 230 230 ] 0.047826 ( 0.047826) 0.047826 ±.9600 230 0.020247, 0.075405]. 2. Um fabricate admite que o coteúdo de icotia dos cigarros produzidos possui distribuição ormal, com valor esperado (µ) e desvio padrão (σ) descohecidos. Uma amostra de 6 cigarros, seleccioados ao acaso da produção diária, coduziu a uma média e um desvio padrão iguais a x.05 mg e s 0. mg, respectivamete. (a) O fabricate afirma que µ mg (teor máximo imposto legalmete em 2003), ao passo que (3.0) a represetate de uma agêcia de vigilâcia saitária afirma que µ é superior a esse valor. Cofrote estas duas hipóteses ao ível de sigificâcia de 5%. V.a. de iteresse X coteúdo de icotia de cigarros da produção (em mg) Situação X ormal(µ, σ 2 ) µ descohecido σ 2 descohecido Hipóteses H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 Nível de sigificâcia α 0 0.05 Estatística de teste T X µ 0 S H0 t ( ) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal com variâcia descohecida. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste uilateral superior (H : µ > µ 0 ), a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita do tipo W (c, + ), ode c : (Rejeitar H 0 µ µ 0 ) α 0, i.e., c F t ( ) ( α 0 ) F t (6 ) ( 0.05) F t (60) (0.95) tabela.67. ágia 3 de 8
Decisão Uma vez que 6, x.05 e s 0.0, o valor observado da estatística é igual a t x µ 0 s.05 0.0 6 3.905. Ora t 3.095 W (.67, + ), pelo que devemos rejeitar H 0 (hipótese do fabricate) a qualquer.s. maior ou igual a 5%. (b) Cofrote as hipóteses referidas a alíea aterior usado o valor-p. (.0) Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Uma vez que este teste é uilateral superior temos: valor p (T > t H 0 ) (T > 3.905 H 0 ) F t(60) (3.905). Recorredo às tabelas de quatis da distribuição de t-studet podemos adiatar um itervalo para o valor-p deste teste. Com efeito, ao equadrarmos coveietemete t 3.905, obtemos sucessivamete F t (60) (0.9995) 3.460 < 3.905 < + 0.9995 < F t(60) (3.905) < 0 < valor p < 0.9995 0.0005. Logo devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 0.05%, por exemplo a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia de %, 5% e 0%. Alterativa Decisão (com base em valor-p determiado usado máquia de calcular) Uma vez que este teste é uilateral superior valor p (T > t H 0 ) (T > 3.905 H 0 ) F t(60) (3.905) 0.0002, pelo que devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 0.02%, por exemplo a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia de %, 5% e 0%. Grupo II 3.0 + 2.0 + 3.0 + 3.0 0 valores. O resposável pela seguraça de uma fábrica de automóveis recolheu uma amostra casual de registos de acidetes de trabalho que foi classificada de acordo com o período do dia de trabalho em que estes acidetes ocorreram, tedo-se obtido a seguite tabela de frequêcias: eríodo 8:00 9:59 0:00 :59 3:00 4:59 5:00 6:59 Número de acidetes 2 28 5 25 Teste, ao ível de sigificâcia de 5%, se os acidetes de trabalho se distribuem de modo uiforme (3.0) pelos 4 períodos cosiderados. V.a. de iteresse X idicador do período de duas horas em que ocorreu o acidete, 2, 3 e 4 se o acidete ocorreu os períodos 8:00-9:59, 0:00-:59, 3:00-4:59 e 5:00-6:59, respectivamete ágia 4 de 8
Hipóteses Seja p i (X i), i, 2, 3, 4. Se os acidetes se distribuem de modo uiforme ao logo do dia de trabalho, com 4 períodos de duas horas, p i p 0 i 4, i, 2, 3, 4. Assim sedo, cofrotar-se-ão as seguites hipóteses: H 0 : p i p 0 i 4, i, 2, 3, 4 H : i : p i p 0 i Nível de sigificâcia α 0 0.05 Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β ), ode: k No. de classes 4; O i Frequêcia absoluta observável da classe i; E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i; β No. de parâmetros a estimar 0. Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) A região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é um itervalo à direita W (c, + ), ode c : (Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, em particular, c F χ 2 (k β )( α 0 ) F χ 2 (4 0 )( 0.05) F χ 2 (3)(0.95) tabela 7.85. Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 Atededo a que, sob H 0, p i p 0 i 4, i, 2, 3, 4, tem-se E i p 0 i 80 4 20, i, 2, 3, 4. Note-se que ão é ecessário qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e em todas elas E i. Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém adiatar a seguite tabela auxiliar. eríodo i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H 0 arcelas valor obs. estat. teste i o i E i p 0 (o i E i ) 2 i E i 8:00 9:59 2 20 (2 20) 2 20 3.2 2 0:00 :59 28 20 3.2 3 3:00 4:59 5 20.25 4 5:00 6:59 25 20.25 k oi 80 k Ei 80 t k (o i E i ) 2 E 8.9 i Dado que t 8.9 W (7.85, + ), devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. maior ou igual a 5%. ágia 5 de 8
2. Uma egeheira iformática decidiu estudar a forma como o úmero de horas despedidas a iteret a última semaa (Y ) se relacioa com o úmero de aos de escolaridade completos do utilizador (x). A amostra de 200 adultos que recolheu ao acaso coduziu aos seguites resultados: 200 x i 2 207, 200 x2 i 25 3, 200 y i 333, 200 y2 i 3 295, 200 x iy i 5 322 (a) Após ter cosiderado o modelo de regressão liear simples Y i β 0 + β x i + ɛ i (i,..., 200), (2.0) obteha as estimativas de míimos quadrados de β 0 e β e iterprete a estimativa de β. Modelo de RLS Y i β 0 + β x i + ɛ i Y i úmero de horas despedidas a iteret pelo i ésimo idivíduo x i úmero de aos de escolaridade completados pelo i ésimo idivíduo ɛ i erro aleatório associado à medição da resposta i ésimo idivíduo] Estimativas de β 0 e β Uma vez que 200 e x i 2 207, x x i 2 207 200.035 x2 i 25 3 x2 i ( x)2 25 3 200.035 2 776.76 y i 333, ȳ y i 333 200 6.665 y2 i 3 295 y2 i (ȳ)2 3 295 200 6.665 2 440.6 x iy i 5 322 x iy i x ȳ 5 322 200.035 6.665 62.35,] as estimativas dos míimos quadrados de β e β 0 são, para este modelo, iguais a: ˆβ x iy i xȳ x2 i ( x)2 62.35 776.76 0.788337 ˆβ 0 ȳ ˆβ x 6.665 0.788337.035 2.0343. Iterpretação da estimativa de míimos quadrados de β ˆβ 0.788337 or cada ao adicioal de escolaridade completado, estima-se que o valor esperado do úmero de horas semaais despedidas a iteret aumete aproximadamete 0.788337 horas (pouco mais de 47 miutos). (b) Será que a amostra recolhida permite cocluir que existe relação de tipo liear etre o valor (3.0) esperado da variável resposta (Y ) e a variável explicativa (x), ao ível de sigificâcia de 5%? Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0, σ 2 ), i,..., (hipótese de trabalho) β 0, β, σ 2 descohecidos] Hipóteses H 0 : β β,0 0 H : β β,0 0 (existe relação liear etre E(Y ) e x) ágia 6 de 8
Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste ˆβ β,0 T H0 t ( 2) ˆσ 2 x2 i x2 Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H : β β,0 ), pelo que a região de rejeição de H 0 é W (, c) (c, + ), ode c : (Rejeitar H 0 H 0 ) α 0 c F t ( 2) ( α 0 /2) c F t (200 2) (0.975) c Φ (0.975) c.96 Decisão Tedo em cota que ˆβ 0.788337, x2 i x2 776.76 e que a estimativa σ 2 é igual a ( ) ( ˆσ 2 )] yi 2 ȳ 2 ( 2 ˆβ ) 2 x 2 i x 2 ( 440.6 0.788337 2 776.76 ) 200 2 9.838, o valor observado da estatística de teste é dado por ˆβ β,0 t ˆσ 2 x2 i x2 0.788337 0 9.838 776.76 4.9329. Como t 4.9329 W (,.96) (.96, + ), devemos rejeitar H : β β,0 0 a favor de H : β β,0 a qualquer.s. α 0 5%. (c) Deduza um itervalo de cofiaça a 90% para o valor esperado do úmero de horas semaais (2.0) despedidas a iteret por um adulto com 2 aos de escolaridade completos. Outro parâmetro descohecido E(Y x 0 2) β 0 + β 2, valor esperado do úmero de horas semaais despedidas a iteret por um adulto com 2 aos de escolaridade completos. IC a 95% para E(Y x 0 ) asso V.a. fulcral para E(Y x 0 ) β 0 + β x 0 Z ( ˆβ 0 + ˆβ x 0 ) (β 0 + β x 0 ) ] t ( 2) ˆσ 2 ( x x0)2 x2 i x2 + asso 2 Quatis de probabilidade Já que ( α) 00% 90% temos α 0.0 e lidaremos com dois quatis simétricos a α b α iguais a: ±F t ( 2) ( α/2) ±F t (200 2) ( 0.0/2) ±Φ (0.95) tabela ±.6449 ou ±F t ( ) (0.95) tabela ±.65. ágia 7 de 8
asso 3 Iversão da desigualdade a α Z b α (a 2 α Z b α) α 6 4 F t ( 2) ( α/2) ( ˆβ 0 + ˆβ x 0 ) (β 0 +β x 0 ) s» ˆσ 2 F 7 t ( 2) ( α/2) 5 α x 2 i x2 + ( x x 0 )2 j r ( ˆβ 0 + ˆβ x 0) F t ( 2) ( α/2) ˆσ 2 h i + ( x x 0) 2 x 2 i x2 β 0 + β x 0 ( ˆβ 0 + ˆβ x 0) + F t ( 2) ( α/2) r ˆσ 2 3 h + ( x x 0) 2 x 2 i x2 i ff α. asso 4 Cocretização " IC ( α) 00% (β 0 + β x 0) ( ˆβ 0 + ˆβ x 0) ± F t ( 2) ( α/2) ( 2.0343 + 0.788337 2) ±.6449 7.42574 ±.6449 0.22973] 6.8489, 8.0026]. s s ˆσ 2 9.838» # + ( x x 0) 2 x2 i x2» # (.035 2)2 + 200 776.76 ágia 8 de 8