Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo 3A Lista 3 Eercício : Verifique o Teorema de tokes, calculando as duas integrais do enunciado, para F,,),,), o parabolóide +, com, e n apontando para fora de. olução: evemos verificar a seguinte igualdade: r rot F n d. + Os esboços de e estão representados a seguir. n O bordo de,, é a circunferência de raio, centrada em,,), contida no plano. Para que fique orientada positivamente com relação a, devemos orientá-lo no sentido horário quando visto de cima. Temos então que é dado por cost, sent e, com t π donde d sent, d cost e d. Então:
álculo 3A Lista 3 94 + r π π r d d + d [ sent) sent) cost)cost) ] dt sen t+cos t ) dt π. Temos : + }{{}, com,) : + donde um vetor normal a é N f,) f, f,),,) e d +4 +4 dd. omo n aponta para baio, então,, ) n +4 +4. Temos também que rot F,, ). Então: rot F nd,, ),, )dd dd A) π verificando neste caso o teorema de tokes. Eercício : alcule a circulação do campo F,,) i + j + k ao redor da curva fronteira do triângulo cortado do plano ++ pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem. olução: O esboço de está representado na figura que se segue.
álculo 3A Lista 3 95 e está orientada no sentido horário quando vista da origem então está orientada no sentido anti-horário quando vista do eio positivo. alculemos a integral de linha pelo Teorema de tokes. eja então a superfície, porção do plano ++, limitada por, conforme a figura a seguir. n A superfície é dada por :, com,), onde é a projeção de sobre o }{{} f,) plano. + Temos N f, f,),,). e acordo com a orientação de, devemos tomar n apontando para cima. Logo, n,,) 3 e d 3dd. Pelo Teorema de tokes, temos: r rot F n d onde rot F i j k,, ).
álculo 3A Lista 3 96 Logo: r,, ),,) 3 3 dd ) dd +) dd +) dd ) + + d 4 4 + + ) d ] [ + 3 + ) d [ 3 + ] d. Eercício 3: Use o teorema de tokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva. 3 +) d++4) d ++) d 3 πa onde é a curva obtida como interseção da esfera + + a com o plano + a. olução: alculemos a interseção das superfícies: { + + a a + + a) a + a ) a ) a a ) + 4 a ) que é uma elipse de centro, a ) e semi-eios a e a. Esta elipse é a projeção de sobre o plano. A curva com a orientação escolhida pode ser visualiada na figura que se segue.
álculo 3A Lista 3 97 a a a/ a onsidere a superfície, porção do plano a, limitada por, que pode ser vista na figura a seguir. a n a a/ a A projeção de sobre o plano é a região dada por ) a ) + a. ) a e acordo com a orientação de, segue que n aponta para cima. Então n N ),,,,). Logo n,,) e d dd. Temos: i j k rot F,, 3),, ). 3 + +4 + o teorema de tokes, temos: r rot F n d, ),, ) dd N N, onde 3) dd 3 A) 3π a a πa 3. 4
álculo 3A Lista 3 98 Eercício 4: alcule o trabalho realiado pelo campo de força F,,) + ) i + + ) j + + ) k quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera + + 4 que está no primeiro octante, na direção anti-horário quando vista por cima. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. eja a porção da esfera no primeiro octante, limitada por. Então. n om a orientação de, temos que n aponta para cima. Logo, n,,) a W F d r rot F n d,,). Temos onde Então i j k rot F,,) + + + W,,),,) d + +) d.
álculo 3A Lista 3 99 Para calcular esta última integral, devemos parametriar. Temos : ϕφ,θ) senφcosθ, senφsenθ, cosφ) { φ π/ com φ,θ) : θ π/. Temos d a senφdφdθ 4senφdφdθ. Logo: W 4sen φcosθsenθ+4senφcosφsenθ+4senφcosφcosθ ) 4senφ dφ dθ 6 sen 3 φcosθsenθ+sen φcosφsenθ+sen φcosφcosθ ) dφ dθ 6 6 6 8 π/ π/ π/ π/ sen 3 φ π/ sen 3 φcosθsenθ+sen φcosφsenθ+sen φcosφcosθ ) dθ dφ sen 3 φ sen θ π/ +sen φcosφ cosθ) ) +sen φcosφ dφ π/ cos φ ) π/ senφ dφ+3 sen φcosφ dφ [ 8 cosφ+ cos3 φ 3 ] π/ +3 [ ] sen 3 π/ φ 3 6. +sen φcosφsenθ π/ dφ Eercício 5: alcule I e 3 /3 ) d+ e 3 /3 + + ) d + e 3 /3 +5 ) d onde é a circunferência cost, sent e, com t [,π]. olução: alcular diretamente a integral será muito trabalhoso e como i j k rot F e 3 /3 e 3 /3 + + e 3 /3 +5,, ++),,+) então F não é conservativo. Assim, só nos resta aplicar o teorema de tokes. e : cost, sent e, com t [,π], concluímos que é dada por + e, isto é, é
álculo 3A Lista 3 a curva de interseção do cilindro + com o plano, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Observemos que é o bordo da porção do plano, limitada por. e acordo com a orientação de, devemos tomar n k. Temos :, com,) : + e d dd. omo rot F,,+),,6) em, então, pelo teorema de tokes, temos: I rot F k d,,6),,) d 6 d 6A) 6 π ) 6π. Eercício 6: alcule )d+ln + ) d + [ ln + ) + ] d sendo dada por γt) 4cost, 4sent, 4 4cost), com t π. olução: a parametriação de, temos 4cost, 4sent e 4 4cost, com t π donde + 6 e 4. Logo, é a curva interseção do cilindro + 6 com o plano 4, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. eja a porção do plano 4, limitada por. a regra da mão direita, vemos que n aponta para cima. A superfície pode ser descrita por : 4 f,), com,) : + 6. Temos N f, f,),,),
álculo 3A Lista 3 4 4 4 n 4 4 4 donde n,,) e d dd. Temos: rot F i j k ln+ ) ln+ )+,,). Logo, do teorema de tokes, temos: r rot F n d,,),,)dd +)dd A) π 4 3π.
álculo 3A Lista 3 Eercício 7: alcule F d r, onde F,,) + e sen, +, 3 + e sen) e é a interseção da superfície com o plano +, orientada no sentido do crescimento de. olução: Esboçando o cilindro parabólico e o plano +, vemos que os pontos A, A e A 3 são comuns às duas superfícies. Ligando-os, temos um esboço de. A A 3 A Observe que calcular F d r pela definição é uma tarefa etremamente complicada. Temos: i j k rot F, 3, ). +e sen + 3 +e sen Logo, F não é conservativo. Para aplicar o teorema de tokes, devemos fechar utiliando o segmento de reta que liga A 3 a A. n A A 3 A eja a porção do plano +, limitada por e que se projeta no plano segundo a região cujo esboço se segue.
álculo 3A Lista 3 3 escrevemos por : f,), com,) : e. onsiderando a orientação de, segue que a normal a está voltada para cima. Um vetor normal a é N, f, f ),,). Logo, n,,) e d dd. Pelo teorema de tokes, temos: r rot F n d, 3 ),),,)dd ou +)dd 3 3 [ 3 3 ] 6 ) 3 dd 3 4. r + dd 3 r 4. ) d álculo de r Temos :, com e donde d d. Então: r F d r Q,,) d Logo: +)d ] [ +. r 4. Eercício 8: alcule r, onde F,,) ) i + [ ln + ) + ] j + + ) k
álculo 3A Lista 3 4 e consiste das cinco faces do cubo [,] [,] [,] que não estão no plano, com n apontando para fora de. olução: A superfície aberta de e seu bordo estão representados na figura que se segue. n n n omo n é eterior, vemos que tem orientação no sentido anti-horário quando vista de cima. Pelo teorema de tokes, temos que: rot F n d F d r. Observemos que a curva é também bordo de outra superfície, porção do plano, limitada pela curva. Então e portanto: r F d r. n
álculo 3A Lista 3 5 omo está orientada no sentido anti-horário, então pela regra da mão direita, deduimos que n aponta para cima: n k. Aplicando o teorema de tokes, para calcular F d r, temos: r rot F n d onde rot F i j k ln+ )+ +, +, ). omo a equação de é com e então rot F,, ) em. Assim: r,, ),,) d ) d A ). Finalmente: rot F n d F d r F d r. Eercício 9: eja a curva sobre o cilindro + quecomeça no ponto,,) e termina no ponto,,), como mostra a figura que se segue. alcule F d r, onde F,,) é dado por F,,) ) i + j + k. olução: eja, onde é o segmento de reta que liga,,) a,,). Então uma parametriação de é dada por σt),, t), t. onsideremos uma superfície cujo bordo seja. eja onde é a porção do cilindro entre e a curva e é a porção do plano, limitada por +. e acordo com a orientação de, devemos tomar n e n apontando para dentro do cilindro, isto é, n,,) e n k. Temos: i j k rot F,, +). )
álculo 3A Lista 3 6,,),,),,) n n,,) o teorema de tokes, temos: F d r rot F n d rot F n d + rot F n d +,, +),,) d +,, +),,) d d + +) d dd dd+ dd A) π. : + } {{ } ) } {{ } )
álculo 3A Lista 3 7 Logo: F d r + F d r π. Mas Então: F d r F σt) ) σ t) dt,,t),, ) dt r +π. t dt. ) por simetria em integral dupla. Eercício : alcule a integral do campo vetorial ) F,,) + +, ++e /,+ +e / ao longo da curva interseção da superfície 4 + 9 +,, com o plano, orientada no sentido do crescimento de. olução: O esboço de está representado na figura a seguir. 3 A B 3 Para e, temos 4 + 9, donde A 4 ) ) 3,, 4 e B 3,,. Vemos que rot F,, ) e que dom F R 3 é um conjunto simplesmente coneo. Então, pelo Teorema das Equivalências em R 3, a integral F d r não depende do caminho que
álculo 3A Lista 3 8 liga o ponto A ao ponto B. Assim, consideremos o segmento de reta AB, dado por : e, com 4 4. Temos que d d. Então: 3 3 r F d r P,,) d 4 /3 4 /3 [ ] 4 +) d /3 4 /3 8 3. Eercício : alcule cos+ 3) d 4 sen)d + 3 3 + ) d sendo a hélice cost, sent e t, com t [,π]. olução: Faendo F,,) cos+ 3) i + 4+sen) j + 3 3 + ) k temos que: rot F i j k cos+ 3 4+sen 3 3 +,3 3,cos cos). omo dom F R 3 que é um conjunto simplesmente coneo, então pelo teorema das equivalências em R 3, temos que F é conservativo. Portanto, F admite uma função potencial ϕ,,) que satisfa ϕ cos+ 3 ) ϕ 4+sen ) ϕ 3 + 3). Integrando ), ) e 3) em relação a, e, respectivamente, encontramos: ϕ,,) sen+ 3 +f,) 4) ϕ,,) 4 + sen+g,) 5) ϕ,,) 3 + +h,) 6).
álculo 3A Lista 3 9 Para encontrar a mesma epressão para ϕ,,) devemos tomar f,) 4+, g,) 3 + e h,) sen 4. ubstituindo em 4), 5) e 6) encontramos ϕ,,) sen+ 3 4+. Assim, pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos r ϕγπ)) ϕγ)) onde γt) cost,sent,t). omo γπ),,π) e γ),,), temos: r ϕ,,π) ϕ,,) +π) 3 + π) + +) 8π 3 +4π 4ππ +). Eercício : eja F,,) +, +3,). a) Mostre que F d r é independente do caminho. b) alcule F d r, onde é a curva obtida como interseção da superfície 9, 4 com o plano, orientada no sentido do crescimento de. olução: a) Temos que dom F R 3 que é um conjunto simplesmente coneo. Além disso, i j k rot F,, ). + +3 Então pelo teorema das equivalências, segue que r é independente do caminho. b) e 9, e 4 temoa 4 9 donde 4. Logo, ±. Assim, o ponto inicial de é A,,4) e o ponto final é B,,4). O esboço de está representado na figura que se segue.
álculo 3A Lista 3 9 4 B A 3 3 omo I não depende de, então consideremos o segmento que liga A a B. Temos que é dado por :. Logo, d e d. Então: 4 r ] [4+ 3 3 F d r P,,4) d 8+ 8 ) 64 3 3. 4+ ) d Eercício 3: A integral e d+ e +cos ) d send é independente do caminho? alcule o valor da integral para a curva obtida como interseção da superfície 9, com 5 com o plano, orientada no sentido de crescimento de. olução: O campo F P,Q,R) e, e +cos ), sen )
álculo 3A Lista 3 é de classe em R 3, que é um conjunto simplesmente coneo. omo i j k rotf e e +cos) sen então, pelo teorema das equivalências, a integral sen +sen,,4e 4e ) F d r não depende de. e 9, 5 e temos 5 9 donde 3 e ± 3. onsiderando que está orientada no sentido de crescimento de, concluímos que o ponto inicial de é o ponto A, 3,5) e o ponto final de é B, 3,5). omo F d r não depende de, então vamos substituir por, segmento de reta que liga A a B. Então temos :, 5, 3 3 donde d e d. Então: F d r F d r P,,5)d+Q,,5)d+R,,5)d ) 3 ) Q,,5)d e +cos5 ) d 3 3 e +cos5 ) e ] 3 d [ 3 + cos5 3 e 3 + 3 ) cos5 e 3 + 3 ) cos5 e 3 e 3. Em ) temos que d e d.