Departameto de Matemática, IST Uidade de Probabilidades e Estatística Complemetos de Probabilidades e Estatística 2o. Teste 2o. Semestre 2010/11 Duração: 1 hora e 45 miutos 08/06/2011 8 horas Sala V1.08 Justifique coveietemete todas as respostas. Atete que o euciado desta prova tem duas págias, é costituído por quatro grupos e a cotação máxima é de 24 valores. Grupo III 5.0 valores 1. Uma pequea cetral eléctrica só é capaz de forecer eergia eléctrica a uma pequea vila se possuir 2 dos 3 geradores a fucioar. Admita que os tempos (em meses até falha dos três geradores são v.a. idepedetes e ideticamete distribuídas a X, com fução de sobrevivêcia F X (x = P (X > x = e 0.2x, x 0. (a Determie a fução de sobrevivêcia do tempo até iterrupção do forecimeto de eergia (1.5 eléctrica. Sistema k de V.a. X tempo (em meses até falha do i ésimo gerador, i = 1,..., Distribuição i.i.d. X i X, i = 1,..., 1, x < 0 F X (x = P (X > x =, i.e., X Expoecial(0.2 e 0.2x, x 0 Nova v.a. X ( k+1 = duração do sistema k de Fução de sobrevivêcia Seja p = F X (x = e 0.2x. Etão, para x 0, tem-se F X( k 1 (x = P [ X ( k+1 > x ] form = 1 F Biomial(,p (k 1 =3,k=2 = 1 F Biomial(3,p (1 ( 1 3 = 1 p i (1 p 3 i i i=0 1
= 1 (1 p 3 3p(1 p 2 = 3p 2 2p 3 Caso cotrário, FX( k 1 (x = 1. = 3e 0.4x 2e 0.6x. (b Obteha o valor esperado do tempo até iterrupção do forecimeto de eergia eléctrica. (1.0 Valor esperado Uma vez que X ( k 1 é uma v.a. ão egativa, pode adiatar-se que E[X ( k 1 ] = = + 0 + 0 F X( k 1 (x dx ( 3e 0.4x 2e 0.6x dx ( 3 = 0.4 e 0.4x + 2 + 0.6 e 0.6x 0 = 3 0.4 2 0.6 = 25 6. 2. Cosidere que o itervalo [0, 1] é particioado em m sub-itervalos disjutos com comprimetos p 1,..., p m (p j > 0, m p j = 1. Nesse caso a etropia (de Shao desta partição é defiida por h = m p j l(p j. Admita que {X 1, X 2,...} é uma sucessão de v.a. idepedetes com distribuição uiforme em [0, 1] e seja Z (j o úmero de X 1, X 2,..., X que pertecem ao j ésimo itervalo da partição acima. Mostre que W = 1 m Z (j l(p j P h. 1 (2.5 V.a. X i, i = 1,..., Z (j = o úmero de X 1,..., X que pertecem ao j ésimo itervalo da partição de [0, 1] Distribuição X i i.i.d. Uiforme(0, 1, i = 1, 2,... (Z (1,..., Z (m Multiomial m 1 (, (p 1,..., p m Z (j Biomial(, p j, j = 1,..., m cov(z (j, Z (l form = p j p l, j, l = 1,..., m, i j Sucessão de v.a. {W = 1 m Z (j l(p j, = 1, 2,...} 1 Sugestão: Note que o vector aleatório (Z (1,..., Z (m possui compoetes depedetes e distribuição cojuta Multiomial m 1 (, (p 1,..., p m ; obteha E(W e V (W ; e determie os limites destes dois mometos. 2
Valor esperado E(W = E 1 m Z (j l(p j = 1 m E [Z (j] l(p j = 1 m p j l(p j m = p j l(p j = h Variâcia V (W = V 1 m Z (j l(p j ( = 1 2 m V [Z (j] [l(p j ] 2 m m +2 cov(z (j, Z (l l(p j l(p l l=j+1 = 1 m m m p 2 j (1 p j l(p j 2 p j p l l(p j l(p l l=j+1 = 1 m m m p j (1 p j l(p j 2 p j p l l(p j l(p l l=j+1 Averiguação da covergêcia em probabilidade Para já lim E(W = h. + Mais, como m p j (1 p j l(p j e m ml=j+1 p j p l l(p j l(p l são quatidades fiitas, tem-se lim V (W 1 = lim + + = 0. m m m p j (1 p j l(p j 2 p j p l l(p j l(p l l=j+1 Ora, estas duas codições são suficietes para que se coclua que W P h. 3
Grupo IV 5.0 valores Numa experiêcia evolvedo 23 rolametos, 2 uma egeheira mecâica registou os úmeros (em milhões de rotações até falha, obteve o diagrama de caule-e-folhas (à esquerda, cosiderado StemExpoet 0, e desehou o papel de probabilidade de Weibull (ao cetro. Stem Leaves Couts 17 88 1 28 92 1 33 00 1 41 12 52 2 45 60 1 48 40 1 51 84 96 2 54 12 1 55 56 1 67 80 1 68 64 64 88 3 84 12 1 93 12 1 98 64 1 105 12 84 2 127 92 1 128 04 1 173 40 1 Stem uits: 1 5 4 3 2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 50 100 150 (a Depois de ter cometado o ajuste do modelo de Weibull, deduza estimativas grosseiras dos respectivos parâmetros. probabilidade. Tire partido dos dados o diagrama de caule-e-folhas e do papel de (2.5 V.a. de iteresse X = úmero (em milhões de rotações até falha de rolameto Modelo postulado {Weibull(α, β, α, β > 0} Papel de probabilidade Sabemos que, para qualquer modelo absolutameto cotíuo, tem-se F X (X (i Beta(i, i + 1. Logo, ao cosiderarmos como estimativa de [ ( ] x(i β p i = F X (x (i = 1 exp α o valor esperado ˆp i = E[F X (X (i ] = E[Beta(i, i + 1] = i + 1, iremos cofrotar (idirecta e graficamete ˆp i e F X (x (i, ou seja, [ ( ] i + 1 1 exp x(i β α 1 i [ ( ] + 1 exp x(i β α 2 Um rolameto é um mecaismo que usa esferas para dimiui a resistêcia ao atrito de duas peças que rolam uma sobre a outra. 4
( l 1 i + 1 [ ( ] + 1 l l i + 1 l(α + 1 ( ] + 1 [l β l i + 1 ( x(i β α β l(x (i β l(α l(x (i. Assim, o papel de probabilidade é costituído pelos potos ( [ ( ] + 1 l l, l(x (i. i + 1 Cometário Os potos dispõem-se de forma aproximadamete liear o gráfico facultado. Cosequetemete, a egeheira mecâica pode afirmar que o modelo postulado se ajusta razoavelmete ao cojuto de dados. Estimativas grosseiras de α e β Uma possibilidade obter estimativas grosseiras passa por utilizar os logaritmos do míimo e do máximo da amostra e respectivas abcissas: l(α + 1 l [ l ( ] +1 (α, β β : +1 = l(x( l(α 1 l [ l ( ] +1 β 1+1 = l(x(1 Observação β +1 l[l(+1] l[l( ] = l(x ( l(x (1 α = exp { l(x ( 1 l [l ( + 1] } β β 24 l[l(24] l[l( = 23] 1.89845 l(173.40 l(17.88 α = exp { l(173.40 1 l [l 1.89845 (24]} 318.831 É curioso otar que ão é possível obter expressões fechadas para as estimativas de α e β pelo método dos mometos, pelo que as estimativas grosseiras α e β são de extrema utilidade pois servirão de estimativas iiciais o procedimeto umérico de obteção das estimativas de máxima verosimilhaça de α e β. (b Tal egeheira decidiu executar graficamete o teste de ajustameto de Kolmogorov-Smirov ao ível de sigificâcia de 1%, tedo para o efeito elaborado o gráfico acima à direita e postulado a distribuição de Weibull com parâmetros de escala e forma iguais às estimativas de máxima verosimilhaça obtidas umericamete, α = ˆα = 318.827 e β = ˆβ = 0.826, respectivamete. Após ter descrito detalhadamete o procedimeto utilizado, adiate a decisão tomada pela (2.5 egeheira? 5
Hipóteses H 0 : F X (x = F 0 (x = 1 exp H 1 : x : F X (x F 0 (x Nível de sigificâcia α 0 = 1% Estatística de teste [ ( ] ˆβ x, x 0 ˆα A egeheira está a executar graficamete o teste de Kolmogorov-Smirov, cuja estatística de teste é D = sup F (x, X F 0 (x. x IR Região de rejeição de H 0 para valores da estatística de teste Trata-se de uma cauda à direita W, α0 = (c, α0, 1], ode c, α0 = F 1 D H 0 (1 α 0. Cocretamete, c, α0 = c 23, 1% tabela = 0.3295. Região de rejeição de H 0 para valores da f.d. empírica da amostra, F (x, x Não rejeitaremos H 0 a qualquer.s. meor ou igual a α 0 = 1%, se i.e., se d = sup F (x, d F 0 (x 0.3295, x IR F 0 (x 0.3295 F (x, x F 0 (x + 0.3295. Caso cotrário, devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. maior ou igual a α 0 = 1%. Decisão A julgar pelo gráfico traçado pela egeheira com F 0 (x (f.d. cojecturada, F (x, x (f.d. empírica, badas com limites F 0 (x ± 0.3295, tudo idica x : F (x, x [F 0 (x 0.3295, F 0 (x + 0.3295], pelo que devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. maior ou igual a α 0 = 1%, logo a qualquer dos.u.s. (1%, 5%, 10%. 6
Grupo V 8.0 valores 1. Um especialista etedeu adoptar o modelo {Beta(α, β, α > 0, β > 0} para descrever a variabilidade da v.a. X = eléctrica. Y, ode Y represeta o âgulo de ressalto de uma motoserra π/2 Depois de ter provado que o modelo acima pertece à família expoecial, idetifique um par de estatísticas cojutamete suficietes para (α, β. (2.5 V.a. X = Y, ode Y = âgulo de ressalto de uma motoserra eléctrica π/2 Modelo {Beta(α, β, α > 0, β > 0} Averiguação de perteça à família expoecial 3 Para x (0, 1, tem-se ode: f(x α, β = = 1 B(α, β xα 1 (1 x β 1 1 exp [(α 1 l(x + (β 1 l(1 x] 1, B(α, β c(α, β = 1 B(α,β 0; w 1 (α, β = α 1 e w 2 (α, β = β 1 são fuções reais de (α, β que ão podem depeder de x; T 1 (x = l(x e T 2 (x = l(1 x são fuções reais de x que ão depedem de (α, β; b(x = 1 0. Coclusão Pelo facto de o modelo pertecer à família expoecial podemos ivocar o critério de factorização (de Halmos-Savage-Bahadur e cocluir que ( ( T 1 (X i, T 2 (X i = l(x i, l(1 X i é uma estatística suficiete para (α, β. 3 Recorde-se que uma f.(d.p. f X θ (x diz-se pertecer à família Expoecial se f X θ (x = c(θ [ k ] exp w j(θ T j (x b(x, ode: θ = (θ 1,..., θ d, d k; c(θ 0; w 1 (θ,..., w k (θ são fuções reais de θ que ão podem depeder de x; T 1 (x,..., T k (x são fuções reais de x que ão depedem de θ; b(x 0. Neste caso, T (X = ( T 1(X i,..., T k(x i é uma estatística suficiete para θ. 7
2. Depois de uma aálise prelimiar de dados, uma meteorologista decidiu recorrer a um modelo uiparamétrico {Gama(3, β, β > 0}, com fução de desidade de probabilidade f(x β = 1 2 β3 x 2 e βx I (0,+ (x, para modelar a taxa de precipitação X (em mm por hora um mês de chuva moderada. (a Com o objectivo de cofrotar as hipóteses H 0 : β = β 0 e H 1 : β = β 1 (β 1 > β 0, a metereologista decidiu usar a estatística de teste T = 2 β 0 X i H0 χ 2 (2 3. Mostre que a cauda à esquerda W = (0, 13.85 é a região de rejeição de H 0 mais potete de tamaho 5% escrita para valores da estatística de teste quado = 4. (4.0 V.a. X = taxa de precipitação (em mm por hora um mês de chuva moderada Modelo {Gama(3, β, β > 0} Hipóteses H 0 : β = β 0 vs. H 1 : β = β 1 (β 1 > β 0 Tamaho do teste α 0 = 5% Estatística de teste T = 2 β 0 X i H0 χ 2 (2 3 Região de rejeição mais potete (RRMP de tamaho α 0 (i Aspecto da RRMP É sabido que { RRMP 0 (β = β 0, β = β 1 = x : f(x β } 1 f(x β 0 c Ora, para x i > 0, i = 1,...,, f(x β 1 c f(x β 0 ( 1 2 β3 1 x 2 i e β 1x i ( 1 2 β3 0 x 2 i e β 0x i c ( 3 [ ] β1 exp (β 1 β 0 x i β 0 c (β 1 β 0 x i c x i c pois β 1 > β 0 t = 2 β 0 x i c pelo que a RRMP de tamaho α 0, escrita para valores da estatística de teste 8
T = 2 β 0 X i, é defiida por RRMP 0 (β = β 0, β = β 1 = efectivamete uma cauda à esquerda. (ii Poto crítico { t : t = 2 β 0 } x i c, É ecessário defiir c ou, equivaletemete, c, tedo em cota que T = 2 β 0 X i H0 χ 2 (2 3 : c : P [ T RRMP 0 (β = β 0, β = β 1 H 0 ] = α0 P (T c H 0 = α 0 F χ 2 (2 3 (c = α 0 c = F 1 χ 2 (2 3(α 0 c =4,α 0=5% = F 1 χ 2 (24(0.05 c tabela = 13.85. Dode W = (0, 13.85 seja, de facto, a região de rejeição de H 0 mais potete de tamaho 5% escrita para valores da estatística de teste. (b Para que íveis de sigificâcia será H 0 : β = β 0 = 1 2 cosistete (e H 1 : β = β 1 = 2 3 icosistete com o total de observações 4 x i = 30.856? (1.5 Decisão com base o p-value O valor observado da estatística de teste é t = 2 β 0 x i = 2 1 2 30.856 = 30.856. Ao lidar-se com uma região de rejeição que é uma cauda à esquerda, tem-se p value = P (T < t H 0 F χ 2 (24 (30.856. Tirado partido das tabelas dos quatis de probabilidade da distribuição do quiquadrado, pode adiatar-se um itervalo para o p-value F 1 (0.80 = 29.55 χ 2 (24 < t = 30.856 < 31.13 = F 1 χ (24(0.85 2 0.80 < p value = F χ 2 (30.856 < 0.85. (24 Deste modo ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. iferior ou igual a 80%, omeadamete a qualquer dos.u.s. (1%, 5%, 10%. devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. superior ou igual a 85%. 9
Grupo VI 6.0 valores 1. A associação de estudates de uma prestigiada escola de egeharia realizou um iquérito com vista a estudar os hábitos tabágicos etre @s estudates de oito liceciaturas. Os resultados do iquérito realizado juto de 50 aluos de cada uma de três das oito liceciaturas estão codesados a tabela seguite: ij Fuma (1 Não fuma (2 i Matemática (1 15 35 50 Electróica (2 10 40 50 Gestão Idustrial (3 20 30 50 j 45 105 150 Acha que há homogeeidade de hábitos tabágicos estas três liceciaturas? Respoda a esta questão recorredo ao teste da razão de verosimilhaças de Wilks e a um ível de sigificâcia de 5%. (2.5 V.a. categorizadas X = idicador de liceciatura 1, se @ estudate é da liceciatura em Matemática = 2, se @ estudate é da liceciatura em Electróica 3, se @ estudate é da liceciatura em Gestão Idustrial Y = idicador de hábito tabágico 1, se @ estudate fuma = 2, se @ estudate ão fuma Modelo multiomial Uma vez que se foram fixados à partida os úmeros de aluos iquiridos em cada uma das três liceciaturas, iremos cosiderar o modelo multiomial multiplicativo e doravate θ (ij = P (Y = j X = i descohecido, para i = 1,..., r e j = 1,..., s (r = 3, s = 2. Hipóteses H 0 : P (Y = j X = i = θ (1j = θ (2j = P (Y = j, i = 1,..., r, j = 1,..., s H 1 : (i, j : θ (ij P (Y = j, Nível de sigificâcia α 0 = 5%. Estatística de teste r s T form = 2 N ij l i N j N ij a H0 χ 2 (r 1(s 1. 10
Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste Trata-se de uma cauda à direita W = (c, +, ode. Decisão c = F 1 χ 2 (r 1(s 1(1 α 0 = F 1 χ 2 (3 1(2 1(1 0.05 = F 1 χ 2 (2(0.95 tabela = 5.991. Tedo em cota que ij Fuma (1 Não fuma (2 i Matemática (1 15 35 50 Electróica (2 10 40 50 Gestão Idustrial (3 20 30 50 j 45 105 150 o valor observado da estatística de teste é igual a ( r s i j t = 2 ij l = 2 [ 15 l + 10 l [ = 2 ( 50 45 150 ( 50 45 150 10 ( 50 45 150 15 ij + 35 l + 40 l ( 50 105 150 ( 50 105 150 40 ( 50 105 150 + 20 l + 30 l 20 30 ( ( 15 35 15 l + 35 l 15 35 ( ( 15 35 + 10 l + 40 l 10 40 ( ( ] 15 35 + 20 l + 30 l 20 30 4.831450 W = (5.991, +. 35 Deste modo, ão devemos rejeitar a hipótese de homogeeidade de hábitos tabágicos a qualquer.s. iferior ou igual a 5%. ] 11
2. Em determiados locais há uma forte associação etre a cocetração de ozoo (X em ppm e a cocetração de carboo secudário (Y em µg/m 3. Abaixo poderá ecotrar quatidades sumárias publicadas em 1984 uma revista dedicada à poluição do ar: = 16, x = 0.1035, 16 (x i x 2 = 0.025516, ȳ = 10.6625, 16 (y i ȳ 2 = 434.538, r = 0.715536. Assuma que (X, Y possui distribuição cojuta ormal bivariada com parâmetros descohecidos µ X, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y e ρ. (a Prediga a cocetração de carboo secudário quado a de ozoo é igual a 0.1ppm. (1.5 Par aleatório (X, Y X = cocetração de ozoo Y = cocetração de carboo secudário Modelo (X, Y Normal 2 (µ, Σ µ = (µ X, µ Y, vector de valores esperados descohecido σ Σ = X 2 ρ σ X σ Y, matriz de covariâcia descohecida ρ σ X σ Y σ 2 Y Valor predito para Y quado X = 0.1 A miimização do erro quadrático médio de predição coduz ao seguite valor predito para Y quado X = x: E(Y X = x = µ Y + ρσ Y σ X (x µ X. Mas se atedermos ao facto de qualquer dos parâmetros ser descohecido, teremos que recorrer à estimativa de MV de E(Y X = x que se obtém aplicado a propriedade de ivariâcia: Ê(Y X = x = ȳ + r s Y (x x s X = 10.6625 + 0.715536 10.3357. 434.538 16 0.025516 16 (x 0.1035 (b Um egeheiro defede que estas duas cocetrações são v.a. idepedetes. Apoiarão os dados esta opiião ao ível de sigificâcia de 10%? (2.0 Hipóteses No cotexto do modelo ormal bivariado, a idepedêcia etre X e Y é sióimo de coeficiete de correlação ulo. Logo iremos cofrotar as hipóteses seguites: H 0 : ρ = ρ 0 = 0 H 1 : ρ ρ 0 = 0 Nível de sigificâcia α 0 = 10% 12
Estatística de teste Da cosulta do formulário tem-se T = R 2 1 R 2 H 0 t ( 2, ode R = ( X i Y i XȲ [( Xi 2 ( X ] [ 2 ] ( t=1 Yi 2 (Ȳ 2 é o estimador de MV do coeficiete de correlação ρ. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste Quato maior for a estimativa de MV de ρ em valor absoluto, r, mais icosistete será H 0 com os dados. Logo a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste é uma reuião de caudas, i.e., W = (, c (c, +, ode Decisão c = F 1 t ( 2 (1 α 0 /2 = F 1 t (16 2 (1 0.10/2 = F 1 t (14 (0.95 tabela = 1.761. Tedo em cota que = 16, r = 0.715536, o valor observado da estatística de teste é igual a t = r 2 1 r 2 = 16 2 3.832498 0.715536 1 0.715536 2 W = (, 1.761 (1.761, +. Assim, devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. superior ou igual a 10%. 13