Ssteas de patículas Conseação de oentu 7 SISTEA DE PARTÍCULAS COSERVAÇÃO DE OETU 6 6. Cento de assa Quando foças extenas age sobe u sstea coposto de áos copos, cada u deles oenta-se, e pncípo, de ua foa dfeente. O oento total do sstea é bastante coplcado, poé exste u ponto patcula, chaado cento de assa, cujo oento pode se encontado co facldade. Sua ntodução sa faclta a solução de pobleas enolendo utos copos e seu copotaento é coo se toda assa do sstea estesse concentada sobe ele. Paa u sstea coposto de assas, o cento de assa é defndo coo: C x Y Z C C y z onde ( C, Y C, Z C ) são as coodenadas do cento de assa e (x, y, z ) são as coodenadas do -éso copo. Paa u sstea de duas patículas e ua densão, po exeplo, C x + x Toeos alguns casos patculaes: a), x, x d C d/ S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
8 Ssteas de patículas Conseação de oentu b), x, x d C d/3 Paa u sstea co dstbução contínua de assa, fazeos d, Σ e a defnção de C é genealzada coo: V C V x d Coo exeplo, aos calcula a posção do cento de assa de ua baa ígda de copento L e a assa, ostada na Fg. 6.. este caso: L x dx d λdx Fg. 6. - Baa ígda de copento L e assa. C L x d L L C L L λ x dx Coo segundo exeplo, aos enconta o cento de assa de u secículo de ao R e assa ostado na Fg. 6., onde R é o copento do secículo. y d λds Rdθ R dθ θ x R Fg. 6. - Secículo de ao R e assa. C R cos θ ( ) Rdθ R cosθdθ R sen θ R S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Ssteas de patículas Conseação de oentu 9 Y C R sen θ ( ) Rdθ R sen θdθ R cos θ R.6 R R 6. oento do cento de assa Toando a deada tepoal na equação que defne a coodenada C do cento de assa e ua densão, teos: dx C dx + dx +... onde p é o oentu do -éso copo. Toando-se noaente a deada tepoal e usando-se a a Le de ewton: dv dp C a F F C Ass, a esultante de todas as foças atuantes sobe o sstea obedece a a Le de ewton, desde que seu efeto seja consdeado sobe o cento de assa. É nteessante nota-se que quando soaos todas as foças exstentes no sstea, estaos consdeando, alé das foças extenas, as foças ntenas execdas po u copo sobe o outo. Desta foa F F F nt Coo sabeos, as foças ntenas sepe ocoe aos paes (ação - eação) e cancela-se utuaente quando efetuaos a soa sobe todos os nt consttuntes do sstea F. Ass, costuaos dze que as foças ntenas não odfca o estado de oento do sstea coo u todo e potanto, + F ext S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Ssteas de patículas Conseação de oentu a C F ext F ext Soente foças extenas são capazes de odfca o estado de oento do cento de assa do sstea, que se oe coo se fosse una únca patícula de assa, sob a ação da foça extena esultante que atua no sstea. Exeplo: Iagneos u pojétl lançado oblquaente que explode no ponto alto da tajetóa de odo que a pea etade ca etcalente, confoe osta a Fg. 6.3. Queeos calcula a tajetóa da segunda etade. Exste apenas a foça extena peso agndo sobe o sstea. Desta foa, de acodo co o que os no Cap. 3 sobe lançaento de pojétes, θ Fg. 6.3 - Pojétl lançado oblquaente que explode no ponto alto da tajetóa. Y C C Após a explosão, que ocoe e cosθ t senθ t t ax deoa paa atng o topo da tajetóa, teos: x senθ g S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas gt senθ, tepo que a assa g constante ( ) sen θ t t ax y g t sen θ t g g YC
Ssteas de patículas Conseação de oentu Veos que a altua da assa é a esa que a do cento de assa, ou e outas palaas, eles cae juntos. Podeos calcula a posção da assa de acodo co: C cos θ t x senθ + g x ( t) cos θ t senθ g e, Y C gt senθ t y + gt senθ t gt y ( t) senθ t YC que ass coo ca junto co o cento de assa. Da equação paa x (t) elnaos o tepo: x t + senθ /g cosθ e pela substtução deste e y (t) encontaos a equação da tajetóa y (x ) após a explosão: ( x + senθ / g) tgθ senθ g y ( x ) x + g 4 cos θ Daqu obteos que y ocoe quando x ax 3 senθ, coo g espeado. a ausênca de foças extenas, a elocdade do cento de assa é constante, de onde segue que P tabé é ua constante de oento. Isto que dze que duante colsões ou oentos elatos ente as áas pates do sstea, o oentu total é conseado. Quando S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Ssteas de patículas Conseação de oentu estudaos colsões, as les de conseação de enega e oentu seão de extea potânca. 6.3 Ssteas onde a assa aa Ssteas onde a assa aa são dfíces de see esoldos pela aplcação deta da a Le de ewton poque e aa sultaneaente. Vaos consdea a stuação ostada na Fg. 6.4. Ua quantdade de assa, co elocdade ', deposta-se sobe u copo de assa deslocandose co elocdade. Vaos supo a exstênca de ua foça F que pode altea o oentu do sstea. o nstante edataente anteo à colsão: P(t) + ' e no nstante edataente posteo à colsão: P(t + t) ( + ) ( + ) ( + ) + onde o teo de ode supeo fo despezado po se uto pequeno. ' F Fg. 6.4 - Sstea co assa aáel. A aação do oentu é dada po: P P( t + t) P(t) ( ' ) Podeos econhece u ' coo sendo a elocdade de elata à assa, de foa que fcaos co: P u. Ddndo-se esta expessão po t e toando o lte paa t, obteos: dp d d F u S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Ssteas de patículas Conseação de oentu 3 ou altenataente, a F d + u que é a a le de ewton, poé odfcada pelo teo d u, conhecdo po foça de epuxo (não confund co a que apaece no pncípo de Aquedes, que eeos posteoente ao tata a ecânca dos fludos). a ausênca de u agente exteno, esta é a foça que é execda sobe o sstea pela poção de assa que fo adconada ou que dexou o sstea. Passeos agoa a analsa alguns exeplos e que a equação aca se aplca. a) Coea de caga - Ca aea a ua taxa d/ sobe ua coea deslocando-se co elocdade constante, coo osta a Fg. 6.5. este caso, a aceleação é nula e a elocdade da aea sendo adconada elata à coea é u, pos toaos o sentdo posto das elocdades paa a deta. A foça necessáa paa ante a coea co elocdade é: F d u aea Fg. 6.5 - Coea de caga. b) Foguete no espaço se gadade - E áas stuações físcas o sstea consegue u gande pulso ataés da ejeção de assa. Consdeeos u foguete nu nstante de tepo t, coo esqueatzado na Fg. 6.6. Vaos supo que o foguete esteja no espaço se gadade. Ente t e t + t, ua quantdade de assa seá expelda do foguete co ua elocdade u S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
4 Ssteas de patículas Conseação de oentu (elata ao foguete). Aplcando a a le de ewton odfcada pela foça de epuxo teos: t + u S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas + t + t Fg. 6.6 - Foguete no espaço se gadade. d d + u onde F, d / é a aceleação do foguete co elação a u efeencal e epouso e u é a elocdade da assa expelda co elação ao foguete. Toando o sentdo posto das elocdades paa a deta eos que u é negato, as coo o foguete pede assa, d/ tabé é negato. Ass, a aceleação é dgda paa a deta. A equação de oento pode se ntegada esultando e: d d u d u + u ln d sendo a assa ncal do foguete. Se o foguete te ua cacaça que pesa, caega ua quantdade de cobustíel e pate do epouso, a elocdade fnal seá: + u ln f u ln onde + e f. Coo o sentdo de u é oposto ao de teos: u l n ( + ) f
Ssteas de patículas Conseação de oentu 5 c) Foguete no capo gataconal - Esta stuação está ostada na Fg. 6.7. este caso, F g e potanto, d g + u d g gŷ, ŷ e u uŷ g d + u d d ( g + u d ) ŷ Toando e assa ncal, F g Fg. 6.7 - Foguete no capo gataconal. t d d g u uln gt S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
6 Ssteas de patículas Conseação de oentu Execícos - U bloco de assa epousa sobe ua cunha de assa e ângulo θ, que po ez está colocada sobe ua supefíce hozontal, coo ostado na Fg. 6.8. Soltando sstea a pat do epouso, co o copo a ua altua h, detene a elocdade da cunha quando o bloco toca o solo. Todas as supefíces são sentas de atto. θ h Fg. 6.8 - U copo de assa 4 g é solto do epouso de ua altua h co elação à supefíce da Tea. Sultaneaente, ua bala de assa g é dspaada etcalente da supefíce co elocdade /s. Sabendo-se que e algu luga da tajetóa as assas colde e se une, pegunta-se qual o tepo que as assas deoa paa ca desde o nstante e que é solta. 3 - U agão de caga abeto pesa ton. e está deslzando nu tlho se atto co elocdade de 6 c/s. Inca-se epentnaente ua fote chua e as gotas cae etcalente co e elação ao chão. Qual é a elocdade do agão após coleta 5 Kg de água? 4 - Sobe o pato de ua balança é colocada ua apulheta. o nstante ncal (t ) toda a aea está e epouso na pate supeo da apulheta. Sendo que a aea ca paa o ecpente nfeo a ua taxa λ d/, faça u gáfco ostando a letua na balança paa t. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Ssteas de patículas Conseação de oentu 7 5 - U jato de água co elocdade e fluxo φ d/ é dgdo paa ca confoe osta a Fg. 6.9. Ua lata co a boca paa baxo é sustentada pelo jato. Se a assa da lata é, a que altua ela fcaá? 6 - Ua gota de chua de assa ncal coeça a ca a pat do epouso. Supondo que a gota ganhe assa ao passa pelas nuens a ua taxa popoconal ao poduto da assa pela elocdade (d/ K), calcule a elocdade (t). Despeze a esstênca do a. ota: dx ax actgh( ax) a Fg. 6.9 7 - U foguete de bnquedo te ua cacaça que pesa g e ua quantdade ncal de cobustíel de 4 g. A elocdade elata ao foguete co que o cobustíel sa é /s e a taxa co que ele é queado é de g/s. Supondo que ele decole da supefíce da Tea (g /s constante), co elocdade ncal nula, que elocdade áxa ele atngá? 8 - Calcule a potênca necessáa paa leanta etcalente ua coda ncalente enolada no solo, co elocdade constante. A densdade lnea de assa da coda é λ e no níco ela está copletaente enolada. 9 - Calcule as coodenadas ( C,Y C ) do cento de assa de u pedaço de anel delgado (aco) de ao R e ângulo α, coo osta a Fg. 6.. - U canho otozado, de assa, enconta-se sobe ua pancha de adea de assa, que po sua ez enconta-se sobe o chão exteaente lso (se atto), confoe osta a Fg. 6.. O canho S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
8 Ssteas de patículas Conseação de oentu coeça a anda co aceleação a elata à pancha. a) Enconte a dstânca que a pancha pecoe após decodo u ntealo de tepo τ. b) Qual é a enega cnétca elata ao cento de assa depos de decodo este tepo? y α α R x Fg. 6. Fg. 6. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas