14 O ROTACONAL E O TEOREMA DE STOKES 14.1 - O ROTACONAL A equção:. dl ( A) (14.1) ecion integ de inh do veto intensidde de cmpo mgnético fechdo L com coente tot envovid po esse cminho. o ongo de um cminho Embo eções envovendo cminhos finitos sejm úteis em teoi de cicuitos, é fequentemente desejáve, n teoi de cmpos, eções que envovm gndes em um ponto no espço. O Rotcion é um eção pontu que pode se utiid p pic ei de Ampée em um ponto. Considee um áe incement, em um meio conduto, tvessd pependicumente po um coente (figu 14.1) figu 14.1 - Supefície incement tvessd po coente Apicndo ei de Ampée, e dividindo po :. dl (14.) Pssndo o imite, com tendendo eo: im. d im 0 0 (14.3) O segundo membo d equção 14.3 é densidde de coente J. O pimeio membo epesent um opeção vetoi sobe um cmpo vetoi, denomind otcion. Assim, podemos esceve: ot J (14.4) n â n indic que ot é um veto pependicu e n dieção de J.
94 Vmos go encont epessão p ot em temos ds coodends, e. Considee inicimente um áe incement fomd peos dos e, e componente em do veto J, J, pependicu. + ( /) J + ( /) Apicndo ei de Ampée: figu 14. - Cicução de em um supefície.. dl ( A) (14.5) + + + ( ) + ( ) J (14.6) Dividindo po : ot J (14.7) Semehntementente, ns dieções e teemos: ot ot J J (14.8) (14.9) Assim: ot + + J + J + J (14.10) ou: ot J (14.11) Lembndo que: 94
95 + + (14.1) e: + + ( A / m) (14.13) vmos fe opeção : (14.14) + + + (14.15) ou: J (14.16) Est é ei de Ampée n fom pontu. Conceito A cicuitção do veto intensidde de cmpo mgnético em um supefície que tende eo (ccteindo um ponto no espço), dividid pe áe dess supefície, é o veto densidde de coente J neste ponto. O conceito do otcion pode tmbém se picdo o cmpo eetosático: E. dl 0 (14.17) E 0 (14.18) Eempo 14.1 Um intepetção físic do otcion - Um cg etngu ev águ n dieção do eio. gu d ch é b m. Ach o otcion d veocidde d águ, que é epess po: V π k sen( b ) ( m / s ) Soução O otcion d veocidde seá: figu 14.3 - Ch etngu V V ( m / s ) As demis deivds são nus, poque veocidde só possui componente em, e só vi n dieção. V kπ π V cos b b ( m / s ) Um intepetção físic p o otcion d veocidde neste eempo pode conseguid com o uíio de de um pequeno peho medido de 95
96 otcion, que denominemos "otcionâmeto", mostdo n figu 14.4. Se coocmos este peho dento d ch, com seu eio vetic o ongo do eio, ee giá no sentido hoáio qundo estive à esqued do cento d ch, e no sentido nti-hoáio qundo estive à dieit do cento d ch, coespondendo voes positivos e negtivos do otcion. Qundo estive no cento d ch ee não giá, visto que s foçs que tum ns pás estão em equiíbio. Tmbém podemos dedui que ee giá mis pidmente qundo estive ns bods d ch, decindo veocidde té eo no cento d ch. pequeno peho, detemin veocidde d águ em cd ponto d ch. V V pás figu 14.4 - medido de otcion Sbendo que veocidde d águ é nu ns pedes d ch, é possíve, com jud desse figu 14.5 - gáficos d veocidde e otcion no eempo 14.1 Eempo 14. Considee um conduto ciíndico com io R m, pecoido po um coente A, unifomemente distibuíd. Enconte dento e fo do conduto. Soução ( A / m) π figu 14.6 - conduto pecoido po coente O veto intensidde de cmpo mgnético seá epesso em coodendds ciíndics: R ( A / m) A epessão ge p o otcion em coodends ciíndics é: 1 + + 1 Potnto, dento do conduto: 1 R A m ( / ) π dento do conduto ve: e fo: R ( π A / m ) ou: R A m ( / ) π J Fo do conduto: 96
97 1 A m ( / ) π 0 14. - O TEOREMA DE STOKES Considee supefície S, dividid em supefícies incementis, mostdo n figu 14.7. n figu 14.7 - Supefície dividid em supefícies incementis.. dl (14.19) ( ) n ou n.. dl S S (14.0) Reindo um cicução p tods s áes incementis, e somndo os esutdos, mioi dos temos se cncem, com eceção dos que estão no contono d supefície S. Potnto: ( ) dl ds A.. S (14.1) A equção cim é chmd de Teoem de Stokes, e é váid p quque cmpo vetoi. Utiindo-o n ei de Ampée: ( ) ds J ds dl A... S S (14.) Pes identiddes cim pecebemos que podemos fcimente pti d ei de Ampée n fom integ e cheg n su fom pontu e vice-ves, utiindo o teoem de Stokes. EXERCÍCOS 1) - Ddo o veto genéico ( 0,8; π/3; 0,5). A e sen em coodends ciíndics, ccue o otcion de 1 A em ) - Ddo o veto genéico espço. A cosθ senθ + 3 3 θ, moste que o otcion de A é nuo p todo o 97
98 3) - Enconte J se (). + 3. + cos θ. θ 3. + 7. +. (b) 6. +. + 5. e (c) 98