1 Sistema de Numeração e Aritmética Básica O Sistema de Numeração Decimal possui duas características importantes: ele possui base 10 e é um sistema posicional. Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação dos números, são eles: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Por ser um sistema posicional, cada algarismo assume um valor relativo de acordo com a posição ocupada em um número, por exemplo, no número 3, o algarismo representa duas unidades ou vinte, e o 3 representa três dezenas ou 30. Já, no número 30, o algarismo 3 representa três centenas ou 300, o representa duas unidades ou vinte e o 0 representa zero unidades. 1. A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir. Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C? a) 1, 4 e 8 b), 3 e 5 c) 4, 5 e 6 d) 1, 3 e 9 e) 1, 6 e 5 Dessa adição resulta a seguinte equação: 3(ABC) BBB 3(100A 10B C) 100B 10B B 100A C B 7 Como A, B e C são números inteiros compreendidos entre 0 e 9 essa equação só é válida para A = 1, B = 4 e C = 8.. Henrique escreveu a sequência de números naturais de 1 a 170. Quantos algarismos Henrique escreveu? 1 a 9 9 números 9 algarismos 10 a 99 90 números 90. = 180 algarismos 100 a 170 71 números 71.3 = 13 algarismos Assim, 9 + 180 + 13 = 40 algarismos
Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: ax + b = 0. Em que a e b são números reais, com a 0. Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da equação tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que: O número é solução da equação 5x 10 = 0, pois a sentença 5. 10 = 0 é verdadeira; O número 4 é solução da equação 5(z 1) = z + 7, pois a sentença 5(4 1) =. 4 + 7 é verdadeira. Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que duas equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são equivalentes. Veja alguns exemplos. 5x 10 = 0 5x = 10 x + 9 = y 9 = 3y 5(z 1) = z + 7 3z 1 = 0 3. Qual é a solução da equação 5(x + 3) (x 1) = 0? 5(x 3) (x 1) 0 5x 15 x 0 3x 17 0 3x 0 17 3x 3 x 1 4. O conjunto solução da equação x em R é: x a) S = {1} b) S = {} c) S = {} d) S = x x x x x x x x 5. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = x + 7 possui solução. a) a 1 ax x 6 b) a x(a ) 6 c) a 3 6 d) a 1 x a e) a a 0 a
Problemas envolvendo equações de 1º grau Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos: ler o enunciado com muita atenção; verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x, por exemplo) escrever a equação de acordo com os dados do problema; por meio de processos algébricos resolver a equação obtida; fazer a interpretação da solução no correspondente problema; 3 6. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número. pensei em um número; subtraí 4 desse número; dividi o resultado por 5; multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40. Em que número pensei? Seja x o número pensado. Subtrai 4 desse número: x 4 Dividi o resultado por 5: x 4 5 Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40: x 4 x 4 8. 40 5 x 4 5 x 9 5 5 7. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados quatro pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o alunos errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou? 4x (30 x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18 8. Um grupo de jovens participava de uma festa. Às 3h retiram-se 1 garotas do grupo e o número de rapazes ficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiram-se 15 rapazes e o número de garotas ficou sendo o dobro do de rapazes. Qual era a quantidade inicial de jovens desse grupo? Inicial 3h Em seguida Garotas x x 1 x 1 Rapazes y y y - 15 y (x 1) x 1 (y 15) y x 4 x 1 y 30 y x 4 ( ) y x 18 y 4x 48 y x 18 3x 66 x y 0
4 Exercícios propostos 1. A seguinte figura representa a subtração de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos por letras (A,B,C,D,E). Os valores de A, B, C, D e E que tornam correta a expressão, são tais que sua soma é igual a: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e). Na tabela seguinte, cada símbolo ( e ) substitui uma das quatro operações básicas, que devem ser efetuadas em cada linha, para obter o resultado que se encontra na última coluna. 4 7 3 = 9 36 4 5 = 14 85 5 1 =? Dessa forma, para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número? a) 18 b) 17 c) 16 d) 13 e) 1 4. Um grupo de amigos está planejando uma viagem. Se cada um deles contribuísse com 140 reais para as despesas previstas, faltariam 40 reais. Mas se cada um deles contribuísse com 160 reais, sobrariam 60 reais. A quantia, em reais, que cada um deveria contribuir de modo a obterem exatamente o necessário para essas despesas é a) 144 b) 146 c) 148 d) 150 e) 15 5. Uma escola aplicou um provão para os alunos concluintes do 9.º ano do Ensino Fundamental, contendo 50 questões. Cada aluno ganhava quatro pontos para cada resposta correta e perdia um ponto para cada resposta errada. Se Eduardo fez 130 pontos, o número de questões acertadas por ele foi a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39 6. Se a diferença entre 60 e dois terços de um número é igual a 54, então esse número é a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 7. Observe a tabela de preços de um estacionamento. 3. Para abrir o cofre de sua casa, Glória precisa usar uma senha, que é um número de quatro algarismos diferentes de zero. Ela sabe que: o algarismo da unidade é o dobro do algarismo da unidade de milhar; o algarismo da centena é o triplo do algarismo da unidade de milhar; o algarismo da centena é o dobro do algarismo da dezena. Qual é a senha do cofre de glória? Com base na tabela acima, é correto afirmar que não compensará pagar uma diária completa caso o carro fique no estacionamento por, no máximo: a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 6 horas e) 7 horas
5 8. João Gastador e Pedro Econômico estavam conversando quando João Gastador disse: Se você me vender um de seus automóveis importados, nós ficaremos com a mesma quantidade de automóveis importados. Imediatamente, Pedro Econômico retrucou: E se você me vender um de seus automóveis importados, eu ficarei com o dobro da quantidade de automóveis importados que você tem. O quadrado da metade da soma das quantidades de automóveis importados de João Gastador e de Pedro Econômico é igual a: a) 16 b) 5 c) 36 d) 49 e) 64 Gabarito 1 3 4 5 6 7 8 b a 634 c b c a c