3 a LIST DE EXERÍIOS Prof. Ânderson Vieira 1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: = {x x é letra da palavra matemática} = {x x é cor da bandeira brasileira} = {x x é nome do estado brasileiro que começa com a letra a} 2. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: = {0,2,4,6,8,...} = {0,1,2,...,9} = { rasília, Rio de Janeiro, Salvador} 3. Escreva com símbolos: (a) o conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre 10 e +10; (b) o conjunto dos divisores inteiros de 42; (c) o conjunto dos múltiplos inteiros de 0; (d) o conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 0 e 3; (e) o conjunto dos nomes das capitais da região entro-oeste do rasil. 4. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos: = {1, 1,+2, 2,+3, 3,+6, 6} = {0, 10, 20, 30, 40,...} = {1,4,9,16,25,36,...} D = {Lua} 5. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? { = x x < 9 4 e x > 6 } 5 = {x 0 x = 2} = { x x é inteiro e x 2 = 3 } 6. Quais dos conjuntos abaixo são vazios? D = {x 2x+1 = 7} = {x 0 x = 0} { = x x > 9 4 e x < 6 } 5 = {x x é divisor de zero} D = {x x é divisível por zero} 1
7. Dados = {1,2,3,4} e = {2,4}: (a) escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: (i) 3 é elemento de (ii) 1 não está em (iii) é parte de (iv) é igual a (v) 4 pertence a (b) classifique as sentenças anteriores em falsas ou verdadeiras. 8. Sendo = {1,2}, = {2,3}, = {1,3,4} e D = {1,2,3,4}, classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique (a) D (b) (c) (d) D (e) = D (f) 9. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? (a) {a,a,a,b,b} = {a,b} (b) {x x 2 = 4} = {x x 0 e x 3 4x = 0} (c) {x x < 0 e x 0} = 10. Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo. (a) 0 {0,1,2,3,4} (b) {a} {a,b} (c) {0} (d) 0 (e) {a} (f) a {a,{a}} (g) {a} {a,{a}} (h) {a,{a}} (i) {a,{a}} (j) {a,b} {a,b,c,d} 11. Faça o diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte:,, e D são conjuntos não vazios, D. 12. onstrua o conjunto das partes do conjunto = {a,b,c,d}. 13. Dados os conjuntos = {a,b,c}, = {c,d} e = {c,e}, determine,, e. 14. lassifique em V ou F: (a) ( ) (b) ( ) (c) ( ) (d) ( ) ( ) (e) ( ) (f) ( ) ( ) admitindo que, e são conjuntos quaisquer. 2
15. Dados os conjuntos = {a,b,c,d}, = {b,c,d,e} e = {c,e,f}, determine,, e. 16. lassifique em V ou F: (a) ( ) (b) ( ) (c) ( ) (d) ( ) ( ) (e) ( ) (f) ( ) ( ) admitindo que, e são conjuntos quaisquer. 17. Determine o conjunto X tal que: {a,b,c,d} X = {a,b,c,d,e}, {c,d} X = {a,c,d,e} e {b,c,d} X = {c}. 18. Sabe-se que = {n N 1 x 10}, {2,3,8}, = {2,7}, = {2,5,6} e = {n N 1 n 8}. Determine. 19. Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relação 20. ssinale no diagrama os seguintes conjuntos: {1,2} X {1,2,3,4}. (a) (c) ( ) (b) ( ) (d) 21. Sejam os conjuntos com 2 elementos, com 3 elementos, com quatro elementos. Qual é o número máximo de elementos de ( )? 22. Sejam os conjuntos = {a,b,c,d}, = {c,d,e,f,g} e = {b,d,e,g}. Determine 3
(a) (b) (c) (d) ( ) (e) ( ) (f) ( ) ( ) 23. lassifique em V ou F as sentenças: (a) ( ) (b) ( ) ( ) = (c) ( ) (d) ( ) ( ) admitindo que, e são conjuntos quaisquer. 24. Dadososconjuntos={1,2,3,4,5}, = {1,2,4,6,8}e = {2,4,5,7},obtenhaumconjunto X tal que X e X =. 25. ssinale no diagrama ao lado os seguintes conjuntos: (a) (d) (b) ( ) (e) (c) (f) 26. lassifique em V ou F as seguintes sentenças: (a) ( ) ( ) = ( ) ( ) (b) (c) ( ) (d) ( ) 4
27. Sendo E = {1,2,3,4,5,6,7,8}, p(y) : y +1 6 e F = {y E y satisfaz p(y)}, determine F. 28. Descreva os elementos dos conjuntos abaixo: = {x x 2 5x 6 = 0} = {x x é letra da palavra exercício} = {x x 2 9 = 0 ou 2x 1 = 0} D = {x 2x+1 = 0 e 2x 2 x 1 = 0} E = {x x é algarismo do número 234543} 29. Seja E = {a,{a}}. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras. (a) a E (b) {a} E (c) a E (d) {a} E (e) E (f) E 30. Dados e conjuntos tais que n() = 4, n() = 5 e n( ) = 3, determine o número de subconjuntos de. 31. Sendo, e conjuntos finitos, estabeleça uma fórmula para calcular n( ) 32. Se = {3n : n N} e = {n N n é divisor de 120}, qual é o número de elementos de? 33. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhum das duas? 34. Denotando-se por X o complementar de um conjunto qualquer X, determine o conjunto [P (P Q)], quaisquer que sejam os conjuntos P e Q. 35. onsiderando os conjuntos, e, representados abaixo, e sabendo que n( ) = 24 n( ) = 4 n( ) = 16 n( ) = 11 n( ) = 10 calcule: (a) n( ) (b) n( ) (c) n( ( )) (d) n(( ) ) (e) n( ( )) 5
36. Sabendo que e são subconjuntos de, = {e,f,g,h,i}, = {c,d}, cup = {a,b,c,d,e,f}, responda: Quantos elementos tem? E? 37. mapopulaçãoconsometrêsmarcasdesabãoempó:,e.feitaumapesquisa demercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: Forneça: (a) o número de pessoas consultadas; Marca Número de consumidores 109 203 162 e 25 e 41 e 28, e 5 Nenhuma das três 115 (b) o número de pessoas que só consomem a marca ; (c) o número de pessoas que não consomem as marcas ou ; (d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 38. Determine os conjuntos, e que satisfazem as seguintes seis condições: 1 a ) = {z,x,v,u,t,s,r,q,p} 2 a ) = {r,s} 3 a ) = {s,x} 4 a ) = {s,t} 5 a ) = p,q,r,s,t,u,v,x 6 a ) = {p,q,r,s,t,x,z} 39. Em certa comunidade há indivíduos de três etnias: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda: (a) quantos indivíduos tem a comunidade? (b) quantos são os indivíduos amarelos? 40. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica. firma tem a matriz na capital de São Paulo e somente duas filiais, uma em Santos e outra em ampinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de ampinas que optaram pelo plano? 41. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos: = {x R 1 x 2} = {x R 0 < x < 3} = {x R x 0 ou x > 2} = {x R 1 < x < 0 ou x 3} 6
42. Descreva, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: [ 1, 3], [0, 2), ( 3,4), (,5) e [1,+ ). 43. Descreva os seguintes conjuntos: (a) [0,2] [1,3] (b) [0,2] (1,3) ( (c) 1, 2 ) ( 0, 4 ) 5 3 (d) (,2] [0,+ ) (e) [ 1, + ) ( 92 ),2 (f) [1,2] [0,3] [ 1,4] (g) [ 1,3] [0,4] (h) ( 2,1] (0,5) (i) [ 1,3] [3,5] (j) 12 ) (,0 3 ] 2, 1 4 44. Sendo = {x R 1 < x 3} e = {x R 2 < x 5}, calcule. 45. Sejam = (,2] e = [0,+ ) intervalos de números reais. Determine. 46. Determine a interseção dos conjuntos: R Q; (N Z) Q e N (Z Q). 7
Respostas 1. = {m,a,t,e,i,c} = {branco, azul, amarelo, verde} = { mazonas, mapá, cre, lagoas} 2. = {x x é inteiro, par e não negativo} = {x x é algarismo arábico} = {x x é nome de cidade que já foi capital do rasil} 3. (a) { 9, 6, 3,0,3,6,9} (b) {±1,±2,±3,±6,±7,±14,±21,±42} (c) {0}; { 1 (d) 1, 1 2, 2 1, 2 } ; 2 (e) {uiabá, ampogrande, Goiânia}; 4. = {x x é divisor de 6} = {x x é múltiplo inteiro e negativo de 10} = {x x é quadrado perfeito} D = {x x é satélite natural da Terra} 5. D = {3} 6. = 11. D 12. P() = {,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c}, {a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d}, {a,c,d},{b,c,d},} 13. = {a,b,c,d}, = {a,b,c,e}, = {c,d,e} e = {a,b,c,d,e}. 14. (a) V (b) F (e) V (f) V 15. = {b,c,d}, = {c}, = {c,e} e = {c}. 16. (a) V (b) F 17. X = {a,c,e} 18. = {2,5,6,7,9,10} (e) V (f) V 19. 4: {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 7. (a) (i) 3 (ii) 1 / (iii) (iv) = (v) 4 (b) (i) V (ii) V (iii) V (iv) F (v) V 8. (a) V (e) F (b) F (f) V 20. (a) 9. (a) V (b) F (c) V 10. (a) V (f) V (b) F (g) V (h) V (d) F (e) F (i) F (j) F (b) 8
(c) (c) (d) (d) 21. 2 (e) 22. (a) {a,b} (d) {a,b} (b) {e,f,g} (e) {a,b,c} (c) {b} (f) {a,c,e,f,g} 23. (a) V (b) V (f) 26. (a) V 24. = {1,3,5} (b) V 27. F = {6,7,8}. 25. (a) 28. = {6, 1} = {e,x,r,c,i,o} = {3, 3,5} { D = 1 } 2 E = {2,3,4,5} (b) 29. (a) V (b) V (e) F (f) V 9
30. 64 31. n( ) = n()+n()+n() n( ) n( ) n( )+n( ) 32. n( ) = 8 33. 332 e 83 34. P Q. 35. (a) 8 (b) 1 (c) 7 36. n() = 4; n() = 4? 37. (a) 500 (b) 61 (c) 257 (d) 84 38. = {p,q,r,s,t} = {r,s,x,z} = {s,t,u,v,x} 39. (a) 560 40. 40% (b) 280 (d) 3 (e) 12 41.. D 0-1 0 1 2 0 3 42. [ 1,3] = {x R 1 x 3} [0,2) = {x R 0 x < 2} ( 3,4) = {x R 3 < x < 4} (,5) = {x R x < 5} [1,+ ) = {x R x 1} 43. (a) [1,2] (b) (1,2] ( (c) 0, 2 ) 5 (d) [0,2] (e) [ 1,2) 2 3 (f) [1,2] (g) [ 1,4] (h) ( 2,5) (i) [ 1,5] (j) [ 32 ],0 44. = {x R 1 < x 5}. 45. = [0,2]. 46. R Q = Q; (N Z) Q = QeN (Z Q) = Z. 10