Lista 4 Funções de Uma Variável Derivadas IIII Encontre y se y = ln(x + y. Derivadas de Ordem Superior Calcule y e y para as seguintes funções: a y = tgh(6x b y = senh(7x c y = cotgh( + x d y = cosh(x x e y = arctg(x f y = cos(x x g y = ln(cos(x h y = log ( x i y = log (x + sen(x j y = log 0 ( a x a + x k y = log a ( a x a + x l y = arccos(x + x m y = arcsen(cos(x n y = cosh(x cos(x o y = ln(cosh(x 4 Encontre y se y x = x y. Teorema do Valor Médio Seja f(x = x. Mostre que não existe c tal que f( f(0 = f (c( 0. Porque isso não contradiz o teorema do valor médio? 6 Mostre que a equação x + x + 6x + = 0 tem exatamente uma raiz real. 7 Mostre que a equação x sen(x = 0 tem exatamente uma raiz real. 8 Mostre que um polinômio de grau tem no máximo três raízes reais. Encontre: a b c d e f d 9 dx 9 x8 ln(x d 4 dx 4 cosh(x d dx ln(x d n dx n ln(x d n dx n cosh(x d n ( x dx n senh 9 Use o teorema do valor médio para provar a desigualdade: sen(a sen(b a b 0 Prove as identidades: ( x a arcsen = arctg( x π x + b arcsen(x = arccos( x
L Hopital Encontre os valores de c tal que o gráfico de f(x = x 4 + x + cx + x + Calcule os seguintes ites usando L Hopital quando possível 4x + x + a x x + b x 00 x + x x x c x x 0 + xe d e x x e e x x n f x π/ tg x tg x g x sen a x h ln(x ln(x x i x /x j x 0 xsen(x + k x 0 l sec (x cos(x ( x x + m x e 4x n o x ( x sen x Gráficos de Funções Prove que a função x + x + x é crescente em todos os pontos. Determine os intervalos nos quais f(x = ln x x é crescente e nos quais é decrescente. 4 Determine os intervalos nos quais f(x = e x / é crescente e nos quais é decrescente. seja côncavo para cima em todos os pontos. 6 Mostre que a função f(x = x x tem um ponto de inflexão em (0, 0 mas que f (0 não exista. 7 Nas figuras a seguir, a água é vertida para o vaso a uma taxa constante (em unidades apropriadas. Esboce o gráfico do nível da água em função do tempo, e explique a sua forma, indicando onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Indique os pontos de inflexão no gráfico, e explique a sua significância. a b 8 Para as próximas funções: aencontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente; bencontre os valores de máximo e mínimo locais; cencontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão; dencontre as assíntotas horizontais e verticais; eesboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores a (x b x / x c (x + + d x + cos(x e x / (x + 4 f ln(x 4 + 7 g ln( ln(x
h ex + i ln(tg (x e x j x 9 k x tg x π/ < x < π/ l e cos(x m π < x < π cos(x n t t 4 9 Para as seguintes funções, encontre as assíntotas inclinadas e esboce o gráfico, e para isso: aencontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente; bencontre os valores de máximo e mínimo locais; cencontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão; dencontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas; eesboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores a x x+ x b (x+ c + x d 0 + x + 4x Polinômio de Taylor f cosh(x em torno de 0 g h x em torno de x em torno de 4 i em torno de 0 x Usando o polinômio de Taylor de ordem calcule o valor aproximado e avalie o erro: a ln(. b.8 c sen(0. d sen(π/ e e 0.00 Determine o polinômio de Taylor de ordem de f em torno de x 0 a ln(x em torno de b e x em torno de 0 c sen(x em torno de 0 d cos(x em torno de 0 e senh(x em torno de 0 f cosh(x em torno de 0 x g x em torno de h x em torno de 4 i ( + x α em torno de 0 Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com um erro inferior a 0? 0 Determine o polinômio de Taylor de ordem de f em torno de x 0 a ln(x em torno de b e x em torno de 0 c sen(x em torno de 0 d cos(x em torno de 0 e senh(x em torno de 0 4 Usando polinômios de Taylor calcule cos( com erro em módulo inferior a 0 4 Use o polinômio de Taylor de ordem 4 de cos(x para calcular o exato valor do ite cos(x x 0 x
Respostas dos Exercícios a. y = 7 tgh(6xsech (6x ( c. y x ( x + coth x + ( = csch x + (x + / ( d. y = cosh x (x(x tgh(x + log(cosh(x + cosh x (x tgh(x + xsech (x g. y = tg ( x 4x sec ( x c > 8 a. Crescente se 0 < x < ou x > Derivadas iguais a zero x = ou x = 0 ou x =. Concava para cima se x < ou < x < ou x > a. 400/x b. cosh(x c. 70/x 7 y = (y(x(xy (x++x(x y (x y(x (x +y(x y(x 4 y = y(x(xy(x y(x xy(x x ln(y(x x(xy(x x x y(x y(x ln(x 6 Seja f(x = x + x + 6x +. Como f(0 = e f( = 4 e f contínua pelo Teorema do Valor Intermediário existe c tal que f(c = 0. Para provar a unicidade. Suponha que existissem mais de uma raiz. Sejam c e c duas raízes. Pelo Teorema de Rolle, existiria d tal que f (d = 0. Mas f (x = 6x + 6x + 6 e logo f (x > 0 para todo x. Absurdo 0 Dica derive a identidade. a. b. 0 c. d. f. g. a i. j. n. x ln x = Utilizando L Hopital temos ln x /x = b. Crescente se 0 < x < 8. Derivadas iguais a zero x = 8 Derivada não existe x = 0 Concavidade para baixo x < 0 ou x > 0. d. Pontos Críticos π + πk Crescente Exceto nos pontos críticos. Concava para cima se cos(x < 0. o. Dica: e ln x /x /x = /x x = x = x = 0 ( x x sen x x sen x = 0 f. Crescente se x > 0 Concava para cima se < x < 0 ou 0 < x < Crescente se 0 < x < e 4 Crescente se x < 0 g. Domínio 0 < x < e 4
Crescente nunca Concava para cima se 0 < x < Assíntotas verticais na origem. x 0 cos(x = j. Domínio x ± Primeira derivada ex (x x 9 (x 9 Crescente x < ou < x < 0 ou x > + 0 ł Derivada muito complicada para ser analisada. n. Derivada f = t (t 4 /. Derivada não existe t =, t =. Decrescente se < t <. Derivada se anula t = ou t = Segunda derivada f = t(t 6 9(t 4 /. Concava para cima se 6 < t < ou t > 6 l. Primeira derivada sen(x ( e cos(x Crescente se sen(x > 0 Ou seja se πk π < x < πk. Segunda derivada: e cos(x ( sen (x cos(x = e cos(x ( cos (x cos(x Crescente se ( ( πk + arccos < x < ( ( < πk + π arccos É útil a aproximação: ( ( arccos 0.904 9 a. f = /( + x Assíntota inclinada y = x. d. Crescente se x > f = (x +6x+ /. Assíntotas inclinadas y = x + e y = x + m. Crescente se π < x < 0 ou π < x < π. Pontos Críticos x = π ou x = π Concava para baixo: nunca
0 a. (x /(x b. + x + x / d. x g. + /( + x /9( + x a. Usando o polinômio calculado no exercício anterior temos: 0.8. e. Usando o polinômio calculado no exercício anterior temos:.00 a. (x 4 (x 4 + (x (x + (x c. x x /6 + x /0 f. + x / + x 4 /4 Usando a fórmula de Taylor com erro de Lagrange: Suponhamos que a função f(x seja (n + vezes diferenciável no ao redor do ponto p. Então E n (x = fn+ (x (x an+ (n +! para algum x entre x e p. Queremos que E n ( < 0. Logo basta tomar n tal que < 0, (pois e < ou seja, tal que (n +! (n +! > (0. Substituindo valores em (n +! temos que n = 8. 4 Use a fórmula de Taylor com erro de Lagrange, observando que < sen x < e < cos x <. 6